【正答率1%】海外で50万再生超えの整数問題が衝撃すぎたww
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- Опубліковано 12 гру 2021
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• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
今回の動画の引用元
• Solving the hardest qu...
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整数問題解いていて、毎回思うのは作問者が天才すぎる。
久し振りに見たらすばるさんかなり髪伸びましたね
相変わらず紹介してる問題も手応えあるし、解説もわかりやすくて登録者数の伸びも納得です
見た目だけで言うと今まで見てきた整数問題の数式の中で一番エグイ
それな！
東大医学部の問題も、こんなやり方で解けるんですね。面白かったです。
初手で (a!-1)(b!-1)=c!+1と等式を変形すると、aとbのいずれかが1の場合は0=c!+1, 2の場合は a!=c!+2 でaが3以上となった場合、cも3倍, 4倍と追従する必要があるため+2を満たすcはとりえないというのが直感的に分かると思いました！ただし、この変形だとa, bが3以上の時の説明が上手くできず、解説参考になりました！
3
どれか2つが一致しないといけないことに気づけば後は早いけど、そこまでがなかなか難しいなぁ
それ自体は簡単に示せる
a,b,cがx,y,zのどれかに1つずつ対応するとする
x≦y≦zとすると以下mody!で考えて
y!≡z!≡0
ここで
a!b!≡0 (a,bどちらかはyかzになる)
a!b!=a!+b!+c!より
0≡x!+y!+z!≡x!
つまりx!はy!の倍数かつx≦yでx=y
モディ！
スクショの内容が、メモになっちゃってる。模範解答の形も欲しいです
a!－a^2－3a=4を満たす3以上の整数が存在しないことの証明は次のようにするのはいかがですか。
左辺をaでくくると
a { (a－1)!－a－3}=4
として、これを満たすためにはaは4の約数しかあり得ない。そこでa=4を入れると成り立たないので不適。
(・_・?)？？
@@user-ki6rh7hv8q 14:20あたりのところです。
a≧3から(a－1)!－a－3は整数となるのでaは4の約数でないといけないと思ったのですが…
@@kskngn6445 約数っていうの見落としてました🙏
すげえ
ありがとうございます！
解ける自信はないけどできる所まで
対称性よりa≦bとする
b≧cのとき
a!b!=a!+b!+c!≦3b!
a!≦3 よりa=1,2
それぞれ
b!=1+b!+c!⇔1+c!=0不適
2b!=2+b!+c!
⇔{b(b-1)....(c+1)-1}c!=2より
c=1かつb(b-1)....(c+1)-1=2
b!=3となり不適
a=1,2に関してba+2のとき
0≡2+0より不適
よってc=a+1,a+2
c=a+1のとき a!=2+(a+1)=a+3
⇔a{(a-1)!-1}=3
aが3の倍数なのでa=3しかなく、十分性を満たす
c=a+2のとき a!=2+(a+2)(a+1)
mod(a)において0≡2+2=4より
a=4となるが4!=24
しぼり込みの方針はあってたけど多分じっさいとくと途中の場合わけで減点食らいそうな気がする🤗
a! - a^2 - 3a = 4で
aは4の倍数は（簡単に）導けないですね
例えば、a=5の時、LHSは4の倍数になるでしょうか
パッと見て、大小関係による消去法ですね。式形が面白い🎵
自分は2で割り切れる回数に注目してcを絞りましたが、少々遠回りでした…
a≧3のときは 5b!-c!≦6 という不等式になるのでb=3,c=4 ぐらいしかない。
すばるくんからな阪関無が聞けるとは思ってなかった笑
a.bを対称式にしてるから本来なら気をつけなきゃ行けないポイント使わないのね.
おはようございます！
徳に要るの技法の道
まっしぐら!
難しかったけど何とか解けた！
最近、数学に自信なかったけどちょっと取り戻せた…
名前間違ってて草
微積解説して頂きたい…
すみません。あまり関係ないかもなのですが質問です。
aⁿ+bⁿ=1
aⁿ-bⁿ=1
nは3以上の自然数
っていうのを成り立たせる解は
ありますか？フェルマーの最終定理を用いずにときたいのですが…
a,b,nが自然数ということなのであれば、少なくともa^n+b^n=1を満たすものはないのでは？
a=b=n=1というのが左辺の最小の場合ですが、これでも2となってしまうので。
a,bを複素数として、これはaⁿ,bⁿの連立1次方程式なので、aⁿ=1,bⁿ=0となり、b=0となります。
また、1の原始n乗根をwとして、a=w^k(kは整数)と書けます。
nは任意です。
実験して解法を見つけ出すのは常套手段。つーかそれが出来ないと私立止まりになる。
なんでや阪神関係ないやろ！
野球ファン気持ち悪い
んでや阪神関係ないやろ！
でや阪神関係ないやろ！
や阪神関係ないやろ！
334は笑ってしまったww
@腰からおはぎ
お前の考えてるのは33-4
コメ主の言ってるのは334だ間違えるな
@@user-kg3vz2jy9m こわw
9:35 のbとcの大小の評価のところ、普通にbがcより大きかったら分数になってしまうからって理由でb＜cと置けないですか？
b=cの場合、c!/b!=1となりますので、これが不適であることを別で証明する必要がありますね。
この解法ではb>=cが不適であることを、a>=3の大小関係を使って一気に証明していることから、b
やっぱり整数問題の2時間動画をちゃんと見ないとダメだな〜！面白いんだけど、理解が進まない😢
別解求めたけどアカンかった
(a!-1)(b!-1)=c!+1
と変形して、5(10,15)以上の階数が10(100,1000)の倍数である事を使ってなんとかならんかなと思ったんだけど。。。
私も同じ式変形を考えましたが、、
解けませんでした。
何とか自力で解けました・・・いや～キツかった。ちゃんと答えもあっててよかったです。
私の場合は、a=bの場合と、a
同じ方法を使いました！
すごい、、、笑
くそむずい
勘で3、3、4かなって思ったけど、それ以外について考えるのが難しかった。
あらたな334の伝説が生まれてしまった。
気持ち悪い
これは５！まで計算して順番に入れていくで証明可能だよね
階乗はあまりの増え過ぎで加法が入ると式での証明の必要性がなくなるよ
これ一橋駿台模試過去問で同じではないけど似たヤツあったな
これ阪神オリンピックの問題ですよ。
あと3倍角の問題ありそう
きっしょ
解法違ったけどなんとかできました。数オリ近いのでありがたいです、、
概略
与式 a!b! = a!+b!+c!
a,bに関する対称性から a>=b とする。
左辺=右辺は b! の倍数だから c>=b
b=cと仮定すると、a!b!-a!-2(b!)=0 だが、これを満たす自然数a,bは存在しない。
したがって、c>=b+1 となる。
b=1 のとき c!+1=0 となって不適
b=2 のとき a! =c!+2 となって不適 (階乗同士の差が2になることはない)
b=3 のとき 5(a!)=c!+6
右辺が5の倍数であることからc=4のとき (b!-1)a! = b!+c!
a>bと仮定すると、左辺が(b+1)!の倍数だが、c>bなので右辺は(b+1)!の倍数でなくなり矛盾する。
よって a=b となり、(b!-2)b! = c!
両辺をb!で割ると、b!-2 = (b+1 から始まるいくつかの連続した整数の積)
b>=4より b!-2 を4で割った余りは2だから、右辺は高々3個の連続した整数の積。
b b!-2 b+1 (b+1)(b+2) (b+1)(b+2)(b+3)
4 22 5 30 210
5 118 6 42 336
6 718 7 56 504
となってb=7のとき、b=6を起点とする数学的帰納法によって
(b! - 2) - (b+1)(b+2)(b+3) > 0がいえるので、
b>=4 では成立しない。
a>=bの下での唯一の解はa=bを満たすため、(a,b,c)=(3,3,4) が唯一の解である。
9:13 bはcより上…？
政経で全然取れません。参考書の使い方の手元解説をぜひお願いしたいです。もう時間がないのでお願いします🙇♂️
b=a+k(kは非負整数)とすると、
(与式)⇔a!•(a+k)!-a!-(a+k)!=c!
⇔(a+k)!(a!-1)=a!+c!
k＞0と仮定すると、
(左辺)≡0(mod(a+1))より(右辺)≡0が条件
ここでc＞aより(右辺)≡a!となり矛盾(動画の通りc＞aを示す)となりa=bとまとめa,bを導出しました
33-4
5:44 なんでや！阪神関係ないやろ！
なぜ、11:11のa+１
a,b,cは自然数なので＜を≦でcを評価するために+1をしています
教えましょう！
a
Why UA-cam recommended me this???😂 wish I could understand… I’m so bad at math
5:52な阪関無
きっしょ
1から9まで階乗した数字を書き出して、これ以上大きいとこりゃ無理だ。
a!(b!−1)=b!＋c!の式と見比べて
6＋24=30、6×5=30だぁ
…で偶然解けました。
阪神のオリンピックってなんだよwwwww
c=a+2の時はa! , -3a が三の倍数。-a^2を三で割った余は0 または2 。これは、4を三で割った余りが一であることに矛盾する。よって不適。
334…
イギリスはアンチ阪神だった・・・？
気持ち悪い
元の動画も見てきたけど、難問だけに説明のレベルが追い付いていない印象。
7:15 本家はa! 、ここではb!で割ってるけど
(a+1)!で割ると
整数=1/(a+1)+整数+整数
でスッキリする
連続するn個整数はnのかいじょうでうんたらかんたら
現役高校生です。自分はこの様に解きました。
解答として入試本番に記述に書いても大丈夫なものになっていますでしょうか？
対称性よりa≦bとしても一般性は失われない。
ここで
(与等式)⇔(a！−１)(b！−１)＝C！＋１（①と置く）
よりb＜Cとなることは自明である。
よって、①について右辺を超えない最大の左辺を考えると
{(C−１)！−１}^2＝C！＋１
⇔(C−１)！−２＝C
これを満たすCは４よりC≦４
(i)C＝４のとき、①より
(a！−１)(b！−１)＝25
∴a＝b＝3
(ii)C＝3のとき、①より
(a！−１)(b！−１)＝7
これを満たすa、bはないので不適
これを
(iii)C＝2のとき (iv)C＝1のとき
と調べっていくと題意を満たすa、b、Cの組は
(a、b、C)＝(3、3、４)
のみである。
b＜Cが自明なのは何故
a=2のとき
(b!-1)=C!+1となりb＞Cですけど
8:55 3!=6>3だからダメってことか。
1番上のコメントで答えバラされてわろた
A!B!C!から、C!をとったらえーびっ…
3,3,4草
なんか、こういうの入試で見たような気がする
もう少し簡単だったけど
なんでや！阪神関係ないやろ！！ｗ
きっしょ
コロンブスの卵よなぁ
初見で解けるんかな
1から解けました！発想の順をコメントしますので参考になれば
(a!-1)(b!-1)=c!+1を数分検討、主に余りに注目したがa,b,cが十分大きい時、modpにおいて
左辺=右辺=1で無意味と感じここでストップ
対称じゃん→a≦bに気づく。さらに自然数条件から絞るのだろうと予想をつけ両辺をa!で割る。
b!=1+b!/a!+c!/a!の式を眺める。c!/a!が整数でなければならないためa≦c
さらにここから実験と検討で数分。この状態で余りに注目したいと感じmod(a+1)を考えつく(気持ちとしてはb,cを上から抑えたかった)
この結果a
そういう解法ってどうやって思いつくのですか？経験？センス？
@@happyman-jw6sx 整数は特に好きなので経験が大きいと思います。センスはその中で培われたかと思います。その結果なんとなくこの技術を使おうっていう経験則が出来たのかと。
@@fclfc1039 ありがとうございます！
阪神で草
きっしょ
コメ欄の人達のレベルが高い……
なんでや！阪神関係ないやろ！
きっしょ
な阪関無
すべてが難しかった
30分かかったwwwww
これが本番解ける気しない
最後ぐだってるなぁ…。 a!-a^2-3a=4 で aは4の倍数ってどういうことだ…(a=2とかで普通に左辺が4の倍数になるし。)
aでくくって約数で一発(せいぜいa=4,2で代入くらい)だし、
"あまりにもこうだから"とは…
a!をa^2とかa^3のオーダーでおさえるのは入試レベルでもふつうにやる気がするが。今回の場合a>4で a!>2*a^2 で十分示せるし。。
a!-a^2-3a=4
a!-a^2+3a=4 ごっちゃにしてへん？
@@poloaotomato ぐだってたのは俺の方やったわ。すまん。
ここは正しくは4がaの倍数（aが4の約数）ですよね
@@ryomiyazawa822 だと思います！
3:25 aとbを入れ替えても同じ⇒ a≦bとしても問題ない のは感覚としてなんとなくわかるけど、証明しろ とか言われたらどうすればいいだろう
交換法則と結合法則でいいのでは？
自分でa≦bって仮定してるだけだから証明とかそういうことではないんじゃない？
a≦bとしても「問題ない」ではなく，「一般性は失われない」です．その意味するところは
「a>bではない」とか「a>bの可能性はない」ということではありません．
「a>bかもしれないが，そのときは aをb, bをaだと思えばいい，つまりaとbの入替えをすればいい」から「a≦bの場合だけ考えてもいい(=一般性を失わない)」ということ．ではなぜaとbの入替えが許されるのか？といえば，それは式がaとbについて「対称」だから．式におけるaの立場とbの立場=役割が同じだからです．対称でない場合は入替えは許されません．(aとcのように)
本問では解がa=bだったので不要でしたが，もしabとなる)解も追加しておかなければいけません．そうでないと解の一部を取りこぼしてしまいます．忘れがちなので要注意．
modで絞り込めないタイプの階乗問題はきしょい
ソースくらい貼ってくれよー
自分で調べろ
セルフツッコミ草
草ってなんだよ
そのコメントが一番いらん
概要欄にあります！
30秒くらいで解けました。a=bのときが少し苦労しました。
な阪神関係
３ ３ ４
ﾁｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰﾝ
気持ち悪い
むずくないやんけ
なはんせきむ
ボク、は
ゴールのある数学を
NEC 特許取得のち数検合格講師🌸
でした
技法数学
NEC ネットワーク特許取得2000年
徳のある道
33-4の33は阪神です
5:43 なんでや！阪神関係ないやろ！
気持ち悪い
な阪関無
33-4
きっしょ
な阪関無