至高の整数問題【大学への数学 最難Dランク】
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- Опубліковано 29 вер 2020
- 新人予備校講師として授業しました！
2010年 千葉大医学部で出題された整数問題です。
大学への数学では、Dランク（最難）となってましたが
平方数や指数の弱点を知れば、意外とすんなり解けますね！
P.S.今日のパスチャレはこちら
note.com/pfsbr123
最後の宿題の答えはこちらです！
（貫太郎さんとのコラボ動画で語りました）
• パスラボ宇佐見さん登場 整数問題
数学オリンピックの整数問題はこちら（mod8を使う問題）
• 伝説の数学オリンピック 整数問題【鮮やかすぎ...
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作問した人の頭の良さを感じる。大学入試整数問題を俯瞰して作成された問題
平方数と指数の弱みは初めて知りました笑
この動画見て整数問題好きになったかも
貫太郎さんの動画でよく見る問題ですね
別にセンター受けるわけではなく趣味で数学やってる者なんですけどめっちゃ分かりやすくて楽しいです！
宿題付きとてもありがたい！
この問題学校の授業内演習でやって分からなかったので、わかりやすい解説助かりました
やっぱり整数問題って解けたら格好いいよね
誰かさんの動画見ると一瞬で因数分解したくなる…
中3だけどやり方なぞったら宿題解けた！
久しぶりに数学の楽しみを思い出せました！ありがとうございます！
ニヤニヤしちゃぅん
スタサプでやったこと使ったら解けた!
文系数学受験だけど自信出てきました！
3^n + 40 = k^2
3^nの一の位の数字は、3,9,7,1のいずれか
nが奇数の時は 3 or 7
nが偶数の時は 9 or 1
なので、3^n+40の一の位も3,9,7,1のどれかになる
一方で、k^2の一の位の数字は、0,1,4,5,6,9のいずれか
3^n+40とk^2の一の位が一致する場合というのは、一の位が1 or 9の時のみ
よってnは偶数
n=2x(xは正の整数)とすると、
(3^x)^2 + 40 = k^2 となり、3^x = yとすると
y^2 + 40 =k^2
なので、y < k
もしも、kがy+1よりも小さくなったら、確実にkは自然数ではない
よってy+1 ≦ k
(y+1)^2 ≦ y^2 + 40
これを満たすのは、y ≦ 19.5
3^x = yなので、考えられるyは3,9のみ
となると、(n,k)=(2,7),(4,11)
すげぇ
り、理解出来る…すげえ
全く同じ解答方法…
3^x = y とおいて、
y
解説ありがとうございました!!
PASSLABOのおかげで整数問題が好きになった
ほぼ同じ解法で解けました。
嬉しい。
nが2の倍数となることを示して因数分解するんですね！感動しました🥺
手が途中で止まっちゃったんですが動画を廻始めてすぐ「そうだった！」でわかって解けました！
平方数見たら(mod3) (mod4)を考えるのは難関校では定石ですね。
ありがとうございます！
壮年のおつさんですが、数学は好きです。学生時代を思い出します。頭の体操にいいですね。 理解できました。
ありがたい
楽しいなあああああああああ
パスラボが世間で有名な予備校になることを願っていますよ！！これからも頑張ってください！
懐かしすぎ
おはようございます！
3^n-9=k^2-49から右辺を因数分解して何かできるかと思ったのですが、これを利用した解法はありそうですか？
すげえ
剰余分類など貫太郎で鍛えていればチョロいですね
学校で全く同じのが出て友達に共有出来ました
自分の論述はまだまだダメでしたが、初見でまさかの解けました！！！！！嬉しすぎる！！！！！！
この問題ではあまり関係なかったけれど、mod4を考えるとkが奇数なのがわかって、3^lも奇数だから、(k-3^l)と(k+3^l)は奇数同士の足し引きで偶数なのが分かり、(k-3^l)が 1 の場合と 5 の場合も除けました。
備忘録2周目👏80V" 〖 n が偶数を願う 〗
→ 最強戦略☆Q単項化 (和と差の積で因数分解) できたらいいな。
mod 3 の試行錯誤→△かなり遅い // mod 4 の合同式を用いると、
与式より、 (－1)ⁿ ≡ k² ･･･①, k² (平方数) ≡ { 1, 0 の☆周期数列 } ･･･② ①と②を
合わせて、 n(偶数)＝ 2m, k(奇数)＝2a－1 とおくことができる。( m, a ∈自然数 )
これより、 ( 与式 ) ⇔ ( 2a－1 ＋3^m )( 2a－1 －3^m ) ＝ 40
( 2a－1 ＋3^m ) と ( 2a－1 －3^m ) は、 偶奇を*共にする 大と小の 正の二整数である
ことに 注意して、 ( 2a－1 ＋3^m, 2a－1 －3^m )＝ ( 20, 2 ), ( 10, 4 )
これより、 ( a, m )＝ ( 6, 2 ), ( 4, 1 ) よって、 ( k, n )＝ ( 11, 4 ), ( 7, 2 ) ■
[ 感想→ k は奇数であることは使う必要無かった。(動画) ] 類題: 7ⁿ＝ k²－99 ( n, k ∈整数 )
解けた！めっちゃ嬉しい
貫太郎のでn∈偶ならいいなーっておもってたらmod4でちょろかった
貫太郎さんが好きそうな問題
なんなら貫太郎さんやってたしね。
おれはみなみが好き
定義域を絞ると同時に
整数分解して解の候補を求める。
連立方程式といっしょかな？
高一でmodとかよくわからないので40を連続する奇数の和(7+9+11+13、19+21)で表して
1からn番目までの奇数の和がn番目の平方数になることを利用して
3^n=1+3+5、1+3+5…13+15+17
3^n=3^2、3^4
と求めました
類題について質問なんですけど、
n
剰余分類は経験量少ないのでありがたい
実験で(n,k)=(2,7),(4,11)を発見、この二つ以外はないと予想
以下、n>4とし、3を法とする。両辺は3の倍数、40≡1だからk^2≡1
また両辺は奇数だからk^2は奇数、よってkは奇数 条件を満たすkを自然数mの式で表すとk=18m+7,18m+11
n>5より両辺は81の倍数である。
i)k=18m+7のとき
k^2-40=324m^2+252m+9
=9(36m^2+28m+1)
ここで、括弧の中は3の倍数にならなければならない。互除法を用いると、その条件は
36m^2+28m+1=3(12m^2+9m)+m+1
3がm+1で割切れることである。これを満たすのはm=2であるが、代入して計算するとk^2-40が3の累乗にならないので不適。
ii)k=18m+11のとき
k^2-40=9(36m^2+44m+9)
ここで、括弧の中は3で割切れなければならない。その条件は、互除法を用いると
36m^2+44m+9=3(12m^2+14m+3)+2mより、3が2mで割切れることである。これを満たす自然数mは存在しない。
以上から、条件を満たすのは
(n,k)=(2,7),(4,11)
nが偶数の場合に因数分解から2解が出るのは割と早々にわかったのですが、nが奇数になる解が存在しないことの証明に頓挫しました。mod4が定石、というのは、ちゃんと知っていないと使えないテクニックですね。
ちなみに5以上の素数（に限らず奇数すべて）でも、(4m+1)ⁿは常に4で割って余り1、(4m+3)ⁿは余り3と余り1を交互に繰り返す、と覚えておくのがよさそうですね。
x+y と x-y は偶奇一致
本動画では
k-3^l と k+3^l は偶奇一致
(∵ 差が2・3^l 偶数)
を使えばより早く解けるよ
宿題もできました！意外に大きな数が出てきましたねw
k＝2m±1および2mとする
左辺が奇数だから2mはダメ
kに2m±1を代入すると右辺は4で割って1余る数とわかる
両辺は単調増加だから解があるとしたら2個以下
3の累乗のうち4で割って1余る数を
2m +1 2m -1それぞれで探すと解ける
でもまぁ、解説の方法がスマートですね… 面白かったです
これ小問1が簡単でこの問題自体もそこまで難しそうには見えないからヤバい泥沼だといつ気付けるかが勝負をわける問題だと思う。
千葉大の問題ですよね、医学部のみに課された問題。それでいいのか数学科それでいいのか千葉大と大学の姿勢を疑ういろんな意味でインパクト強い一問。
合同式から考えるとk=1,5,7,11,…になりますかね？(間違っていたらすみません！)指数や平方数の倍数と余りの関係、とても参考になりました！ありがとうございます！
3倍数では無い奇数なので合ってると思います！
計算ミス怖いですよね。
かつて受けた数検準1級で、pとqを見間違えたまま解き進め、計算が狂い出しパニックになった思い出があります。
サムネ見て、
そういや『青の数学』って小説で
「n, xが整数の時 2^n+7=k^2 の解を全て求めよ」
って似たような問題があったの思い出しました。
宿題、mod4の余りに注目して解いたけど、表書いてるときに数字見間違えて解答ミス(コメント欄で他の人の解答と照らし合わせた)してしまった、、情けない
宿題をやってみました。7のn乗を4で割る（mod4）とあまりは、1か3になるようです。ただ、7の指数計算が面倒くさくて7の5乗までしかやっていません。この先もずっとその傾向が続くかどうか自分で証明できません。しかし動画で示された手順の通りに行い、（99のmod4は3かマイナス1なので7の2l乗であろう）とこぎつけ答えは一応出せました。回答が正しかった場合においては、前述の7の乗数のmod4がこの先もずっと1か3になるかどうかの証明は不要であるということなのでしょうか。
パスラボの得意分野の問題やな！
kが7以上の自然数で、lも自然数なので
k−3^lが7−3＝4で4以上と範囲を絞ったのですが、それだと（k+3^l,k−3^l）の組み合わせが
（10,4）にしかならなくて困ってます！
どこが間違ってるのか分かりません。教えてください！
kとlの2つの文字があるからじゃないですか？
例えばk=11でl=2であればk-3^l=2となりますので、
解けました。
こういう問題て全部ゴリ押しでやってしまって時間結構かけてしまう…
(7.2),(11.4)は求められたけどその先もあると思ってずっと悩んでたわ、それだけでよかったんやな…
一応解答出してみました。
一行に記入できる文字数の関係で見づらい箇所があるかもしれません、ご容赦ください。
まず、7^n>0で、(k^2-99)は整数だから、
|k|≧10かつn≧0…①
また、
K^n≡1、0、1、0、1、0…(mod4)
ここで、
99≡3(mod4)だから、
k^2-99≡2、1、2、1、2、1…(mod4)
さらに、
7^n≡1、3、1、3、1、3…(mod4)
以上より、7^n=k^2-99となるためには、nは偶数でなければならない。
よって、n=2a(aは0以上の整数)とすると、与えられた方程式は以下のように変形できる。
7^2a=k^2-99
k^2-7^2a=99
(k+7^a)(k-7^a)=99
ここで、k+7^a > k-7^aで、
99=3^2×11より、
(k+7^a , k-7^a)
=(99,1)、(33,3)、(11,9)、(-1,-99)、(-3,-33)、(-9,-11)
ここで、
k+7^a+k-7^a=2k
かつ
k+7^a-(k-7^a)=2・7^a…②
(99,1)について
99+1=100=2×50
99-1=98=2×7^2
これは②を満たす。
他のについても同様の作業を繰り返すと、
(33,3)、(-3,-33)は不適、(11,9)、(-9,-11)は適している。
よって、
(a,k)=(2,±50)、(0,±10)であり、
(n,k)=(4,±50)、(0,±10)
これは①を満たす。
サムネで見たときに、nの偶奇で3^nは
n奇数: 03, 27, 243, 2187, 19683....
n偶数: 09, 81, 729, 6561, 59049....
と続き、各々の下2桁を見ると奇数の場合はmod4=3, 偶数の場合はmod4=1 (3≡-1 (mod4)から説明可能)
k^2を移項すると、平方数はmod4で0(偶数)or1(奇数)に限られるので、nは偶数、kは奇数（それも7以上）に限定される
あとは和と差の積にして、各々検討…すれば解けるはず。
宿題の問題のKってぷらまい10とぷらまい50ですか？
mod や因数分解を使わない解法（泥臭いけど、そんなに大変ではなかった）
・両辺の下1桁に注目すると、「n = 偶数」「k の下1桁 = 1,3,7,9」が分かる
・「n = 偶数」なので、「k^2 - 40 の平方数は自然数」が分かる
・よって「7 ≦ k ≦ 20」が分かる。よって「k = 7,9,11,13,17,19」（21^2 だと 40 を引いても 20^2 に届かない）
・あとは総当たりで、「k = 7,11」が出る
1行目の「下1桁に注目」ってのは実は「mod10をとる」と同義ですよね。3ⁿとk²－40の末位に共通して登場する数は1と9だけで、そこから1行目の2つの命題が導かれます。kの候補を初期段階で絞り込めたのは大きいです。
k+3^lが偶数ならばk-3^lも必ず偶数(k-3^l=(k+3^l)-2・3^l)だからk-3^lが偶数(逆も真)というのは
意味がないけど3の倍数というのは意味がある 差は絞るためではなくlを求めるために出した
2や5のmod3が1になるのはなんでですか？
あと、指数の底がどんな値でもmod4 mod8を適用できるのでしょうか？
k²をmod3で割った数だと思います
乳酸bot ありがとうございます。早とちりしてしまいました…
ハミゴは年代というより地域性の問題かと。基本は関西弁ですが、今は中四国にも普及してますね。
早稲アカに居たのはfirst ear 。私はハチマキは絶対にしなかった。
初耳という意味ではnewsですね。first earという英語はありません。
@@junichifukuda9026 マジレス草
k≧0のときのみを考える.n=2m+1とおけるとき7×(49)^m=k^2-99でmod 4とすると2≡k^2となり不適。よってn=2mとおけ(k-7^m)(k+7^m)=99ここで(k+7^m)-(k-7^m)=2×7^mより左辺の因数同士が公約数を持つとしたら2か7の倍数である。右辺は99より左辺の因数は公約数を持たないから(k+7^m,k-7^m)=(11,9),(99,1),であり(k,m)=(10,0)(50,2)よって求めるものはk
k≧0ときのみになるのはどうやって導いたんですか？
解けるなんてすごいですね！
仮定ですよ？
平方数なので対称性がいえるからです
貫太郎さんの7^n＝k²-99の問題と類似問題です
て書いたら今日の宿題に出てきた。
あと質問ですが、k+3^nとk-3^nの表は、模試とかで書いても大丈夫ですか。
余裕で描いて大丈夫、増減表みたいなもん
できた！
まだ見てないけどmod4とってnの偶奇で場合わけに持ち込むと思う
サムネだけで解けました！
nが偶数だったら因数分解出来ると思ったのでmod4で確かめると上手くいって動画みたら全く同じでしたね(笑)
nが奇数のとき、k^2ー3^n=40となるが
ここから3^nが奇数であることよりk^2も奇数となりkも奇数であることが分かる。
ここで5を法とすると、
n=1のとき、3^n=3(mod5)
ここで3^2=4(mod5)になることから、
3^n・9^m=2or3(mod5)(mは正の偶数)となる。・・・①
また、kについて5を法とすると
k=1.9のとき、k^2=1(mod5)
k=3.7のとき、k^2=4(mod5)
k=5のとき、k^2=0(mod5)
すなわち、k^2=1.4.5(mod5)・・・②
①ー②=40から①ー②=0(mod5)となるはずだが、
実際は①ー②≠0(mod5)となる。
すなわちnが奇数のとき3^nーk^2=40を満たすnは存在しないことが分かる。
＊合同式のところ=になってます。すいません🙏
貫太郎の動画にもあったなぁ
今日の河合塾全統記述模試で似たようなのでた！
解けなかったけど……
7^n=k^2-99
7^n>0より
k^2-99>0
k^2>99
k≧10
kまたはn=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11~
k^2のmod4は1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1~
k^2のmod7は1,4,2,2,4,1,0,1,4,2,2~
7^nのmod4は3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3~
99のmod4は3、mod7は1
mod4の時
k^2が0、7^nが1のとき式成立
mod7の時
k^2が1のとき式成立
ただしn=0のとき、7^nが1となる
このときk=10・・・①
よって、k=20,22,34 36,48,50~
・・・②
nは偶数でn=2lとおく
(k+7^l)(k-7^l)=3^2×11
この式を解いて、k=50,18,10
②よりk=50
この解と①より、
(k,n)=(10,0)(50,4)
以上
kは整数なので(-10,0)(-50,4)も解ですね！
これってmod7のときって考える必要ありますか？
@@sora281457 mod7は使わずともmod4からk=10,50は出るのでmod7は不必要だけど、初見で問題解くときにいろいろ試してみるのも有りだから実験的な意味でmod7が無駄とは言い切れない。でも動画の内容的には平方数のmod3やmod4、指数のmod4やmod8を使った解法をやっているわけだし素直にmod3やmod4を使えばいいと思う。この問題の場合mod3はそこまで意味ないけど。
@@tohyasugano8428 7のn乗は正なのでkは10以上じゃないですか？
なあ k²≧100⇔k≦-10、10≦kじゃないですかね
解くより時始めようとする事の方が
難しい
宿題の解答見てきましたけど、素因数の絞り込みが少し不慣れな感じでしたね。この場合は足し算か引き算で公約数を絞ることができるので、覚えておくといいと思います。面白い問題でした。
日々の演習のポケット版でパラパラ読んでたらこの問題あった 千葉医の問題
まずk>0として
mod4をつかってnが偶数に
あとは因数分解から動画同様にk,nを出して
kの値は±つけるって感じでしょうか
6:50頃で両辺を3で割った場合、左辺はあまりゼロになるのは分かるのですが右辺のk^2があまり1になる理由が分からない泣 3で割るから余りは2と考えてしまいました。どなたか教えて欲しいです。
modの考え方が分からないっぽいのでmodを使わない考え方をしますね
(1)k=3x(xは整数)の時、k^2=9x^2となるのでk^2は3で割り切れます。
(2)k=3x+1の時、
k^2=9x^2+6x+1となるのでk^2は3で割ると1余ります
(3)k=3x+2の時、
k^2=9x^2+12x+4となるのでk^2は3で割ると1余ります
(1)と(2)と(3)からkが3の倍数ではない時にk^2を3で割ると必ず1余ることが分かると思います
3^nを3で割った余りは0なのでk^2-40を3で割った余りも0でないといけないですよね
40を3で割ると余りが1
もしkが3の倍数だとk^2-40を3で割った時、余りだけを考えた時に0-1=-1になってしまいます
これを0にするためにはk^2を3で割った時の余りを1にして、1-1=0という形にしなければ成り立たないので(1)と(2)と(3)からkは3の倍数ではない整数になり、その時k^2は3で割った時に必ず1余るということです
解いてみました！
7^n=k^2-99 n,k∈整数
(指針)
平方数 mod3,mod4に弱い
指数 mod4,mod8に弱い
今回はmod3,mod4を使う
(解答)
k=1,2,3,4,5,6のときk^2は
mod3とするとそれぞれ1,1,0,1,1,0
mod4とするとそれぞれ1,0,1,0,1,0
n=1,2,3,4,5,6のとき7^nは
mod4とするとそれぞれ3,1,3,1,3,1
以下、modでのあまりを比較して
k=2,4,8,10,14,16…
n=2m(mは整数)を満たせば良いことが分かる。
このとき、k^2-7^2m=99すなわち
(k+7^m)(k-7^m)=3^2×11と変形できる。
また、k+7^mとk-7^mは互いに整数でありk+7^m>k-7^mとなる。
このことを踏まえると、
(k+7^m、k-7^m)=(99,1)(33,3)(11,9)(-1,-99)(-3,-33)(-9,-11)となる。
よって、2×7^mはそれぞれ98,30,2,98,30,2となりm∈整数を満たすものは2×7^m=2,98すなわちm=0,2のときである。
m=0のときk∈整数を満たさない
m=2のときn=4でありk=50となる。
したがって求める解は(n,k)=(4,50)
合ってますか？
10,0も出てきませんか？
訂正、0,10
kはマイナスもありじゃないですか？
8:07質問なのですが
k=9のときmod3=0となり
mod3=1ではないので成り立たないと思うのです。
lの範囲違くてめっちゃ考えてた
n偶数なら40=(因数分解)でk,nが求まります
n奇数だと、偶奇性から解なしと分かります。
そうなんですか
modを勉強のために使ったのかはわからないけど実際の解答には必要なさそう
l=3^(n/2)とする。
与式⇔(k+l)(k-l)=40
任意のn∈ℕに対し、l∈ℕであるから
k+l>k-l
が成立。よってかけて40のペアで大きい方がk+l、小さい方がk-lである。nが自然数になるような(k,l)の選び方は、(11,4)、(7,2)のみ。あとはlのところをnについて解いたものを書けばよい。
＞任意のn∈ℕに対し、l∈ℕ
n＝1のときl＝√3でもう破綻してるやん
すばるさん早稲アカでバイトしてたのか。同じ校舎だったらよかったのになー。
すぐに因数分解できんこと見抜いてその線捨てて無限にmodやってて、nが偶数、kは36m+7または36m+11までやったのに、最初に因数分解切り捨てちゃったせいで2乗の差の超基本的な因数分解に気づけなくて猛反省
新数演に載ってた
今日ある大学の冠模試受けたけどこれと全く同じ問題でた笑
mod3やらmod４に注目するに至った過程がないからなあーそれを知っているかどうかにかかっている問題。一からそこに気が付きますか？？
3^nがあるのでmod3、40があるのでmod4とすれば1つは余りゼロ確定するから他の数字について考えればいいなっていう感じです
与式に登場する数字から何を法とするか考えます
2乗を見たらmod3,mod4で絞るっていうのは定石だからなあ
一からじゃ気づかないものを気づけるようになるために勉強するんよ
最後は3^l+k≦40だからl＝1,2,3を代入した
あまりまではたどり着いたけどmod4を使うんは考えなかった
良問をご紹介いただきありがとうございました。宿題はmod7 mod3 そして99が割り切れる数として mod9 mod11 など考えましたがうまくいかず、99が割り切れることにこだわらずにmod4 を考えたら分かりました。mod4 で7＾ｎ≡３ 1 3 1 3 1、、、の繰り返し。mod4 で（ｋ＾2－99）≡1または2となるため、左辺と右辺の余りが一致するのは余りが1の時 これは ｎが偶数となるときなので ｎ＝2ｍ（ｍは整数）として因数分解 99の素因数を大小関係を考えて正負で表に記して計算しました。（Ｋ，ｎ）＝（50 4）（10 0） （ー50 4） （－10 0）かと？思いました。間違っていたらすみません。。。勉強しなおしたいので、どこかに模範解答記してくださると嬉しいです。よろしくお願い申し上げます。
与式が両辺正になるのでkが10以上の整数という範囲が出せるから解答は2通りだと思います
@@mach6846 さま ご返信ありがとうございます。K≧10でも K≦-10でも 与式は正になると思いますが。。
@@doudou2381 問題文に自然数n,kと書いてあるのを見落としていました。最初の問題文の確認って大事ですね💦
「はみご」は90年代うんぬんというより方言やと思います
10分で解けた〜
nが偶数の時は、n≧6の時隣合う平方数の差は40以上になってしまうから2と4の時だけ
nが奇数の時はmod8で考えた時合う組み合わせがないので解なし
よってn＝2、4 だけ
記述含めて10分で解けたってことね
整数問題の応用問題は難しいです。
すぐ解けるから選択おすすめやで
@@kazunao5427 さま 平成３０年試行調査 問４の分銅問題はすぐに解けませんでした。値を代入してやっと答えを求めました。
こういうのって総当たりで全部書き出しても点数もらえるん？
貫太郎さんが適当に黒板に書き連ねてるやつね笑笑
これを限られた時間で試験会場で初見で解ける人いるんですね
絶対無理だわ
8:00前後の4n+1うんぬんって所、おかしくないですか？
そもそも、正解の7も11も4n+1じゃないんで。
6n±1かな？
正しくは4ｋ^2＋1ですねですね
mod4に気づけるかどうかだな
3ⁿはMOD4、8！
知らんかった
なんで平方数はmod3、4に弱くて指数はmod4、8に弱いんですか？
確かに弱いの意味がわからん。
4ヶ月前の俺なんか質問してて草