Что больше: 5¹⁰+6¹⁰ или 7¹⁰?
Вставка
- Опубліковано 7 жов 2020
- ✔ Японский способ: • Таблица умножения боль...
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Telegram: t.me/volkov_telegram
Группа ВК: volkovvalery
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Неравенство Бернулли: • Неравенство Бернулли (...
Ничего не понятно, но очень интересно 👍🏻
Отличная методика обучения.
С праздником учителя!
Ура новое видео, спасибо очень полезно
Решение с помощью неравенства Бернулли. Спасибо за видео.
Спасибо!🌺
Давно вас не было
Интересненький контент!
Классно! Спасибо!
Я решал так.
Рассмотрим уравнение 5^x + 6^x = 7^x, которое после деления на 7^x даёт уравнение (5/7)^x + (6/7)^x = 1. Левая часть - убывающая функция, как сумма двух убывающих функций, правая часть - постоянная. Значит, если уравнение имеет корень, то этот корень единственный.
Теперь рассмотрим величину f(x) = 5^x + 6^x - 7^x. Подставляя сюда x = 3, получаем f(3) = 5^3 + 6^3 - 7^3 = 125 + 216 - 343 = 341 - 343 = -2 < 0. Подставляя сюда, к примеру, x = 0, получаем, f(0) = 5^0 + 6^0 - 7^0 = 1 + 1 - 1 = 1 > 0.
Рассмотренное уравнение можно записать в виде f(x) = 0. В силу непрерывности f(x) и того, что f(0) > 0 и f(3) < 0, уравнение имеет корень x0 на промежутке (0; 3). Нам важно, что x0 < 3. Согласно предыдущему он единственный, а значит делит область определения D(f) = R на два интервала (до корня и после корня), на каждом из которых f(x) сохраняет знак постоянным. Этот знак на интервале после корня, т.е (x0; +∞) отрицательный, т.к. при x = 3 из этого интервала он отрицательный. Значение x = 10 тоже принадлежит этому интервалу (т.к. 10 > 3 > x0), а значит, f(10) = 5^10 + 6^10 - 7^10 < 0, т.е. 5^10 + 6^10 < 7^10.
Этот вариант понятней, чем в видео. Смотрю на все это и прихожу в состояние ужаса, как это объяснять ребёнку?
@@kossestepan пусть компенсирует недостаток изобретательности и знания теории грубой силой - быстрым устным счётом :)
5^10 = 25^5 = 625*625*25 < 400000*25 = 10^7
6^10 = (6*6*6*6)*(6*6*6*6)*36 = (216*6)*(216*6)*36 < 1300*1300*36 = 169*36*10^4 < 200*40*10^4 = 8*10^7
7^10 = 343*343*343*7 > (1000/3)^3*7 = (10^9/27)*7 = (70/27)*10^8 > 2*10^8
10^7 + 8*10^7 < 2*10^8
Ну если не прокатит в качестве доказательства, то по крайней мере можно себя проверить или же понять, подо что подгонять решение :)
@@kossestepan чем он понятнее?
Не, ну все понятно, конечно, но зачем Вам эта непрерывность и корень в (0, 3)?
(5/7)^x + (6/7)^x убывает и при x=3 меньше 1, значит при х=10 тоже.
@@serhiislobodianiuk776 Действительно, так ещё проще!
Красота!
Зря я сегодня выпил
Тёзка, вы не правы. В тот день, наверное, звёзды выстроились так, что выпить было необходимостью.
А я вроде бы не пила, но после просмотра сомневаться начала
Спасибо большое решение было полезно
Отличный пример, а про неравенство Бернулли не знал! С меня лайк!
его и не надо знать
Быстрая красота тоже красота.
Воспользуемся тем, что 7>5, 6>5. Далее:
7¹⁰-6¹⁰ = (7-6)(7⁹+7⁸6¹+7⁷6²+7⁶6³+...+7¹6⁸+6⁹) > 5⁹+5⁹+...+5⁹ = 10*5⁹ = 2*5¹⁰ > 5¹⁰, поэтому 7¹⁰ > 6¹⁰ + 5¹⁰.
Все намного... очень намного проще. Достаточно вспомнить, что в данном контексте, показательная функция - монотонно возрастающая...
klassno ti sdelal. a ya 7¹⁰=(6+1)¹⁰>6¹⁰+10*6⁹>2*6¹⁰>6¹⁰+5¹⁰
А Вас это решение ничем не смущает?
5^2+6^2=61 7^2=49
5^3+6^3=341 7^3=343.
Корень уравнения 5^x+6^x=7^x находится между 2 и 3. Можно его уточнить, например, методом половинного деления. Однако аналитическое решение было-бы гораздо интересней.:)
Доказываем, что работает при 4 степени, раскладываем на разность квадратов. Следовательно для 10 тоже работает.
можно было было просто 7^10 расписать как (6+1 )^10 и тогда это выражение точно больше чем 6^10+10*(6^9) (Это просто два первых члена выражения, которое получается после раскрытия скобок) , а это точно больше чем 6^10+5^10 .
Как чувствовал, что без Бернулли здесь опять не обойдётся. А я всё никак не могу запомнить это простенькое классическое неравенство. Виноват, исправлюсь.
Використаємо властивості степенів: 5^10+6^10 проти 7^10. Виділимо в обох частинах множник 5^10: 5^10+(5*1,2)^10 проти (5*1,4)^10. За правилами степенів: 5^10+5^10*1,2^10 проти 5^10*1,4^10. Винесемо спільний множник: 5^10*(1+1,2^10) проти 5^10*1,4^10. Скоротимо у лівій і правій частинах множник 5^10: 1+1,2^10 проти 1,4^10. Видно, що права частина більша лівої ( алгебра, 7 клас).
Вообще не видно, сейчас-то самое интересное осталось проделать.
Наконец-то новое видео! Кстати, там можно легче решить, хотя слишком простым способом: 5²+6²>7² 5³+6³
Отсюда не вытекает, что 5^10+6^10
@@Abraxax вытекает, так как там высокие степени
@@user-qw6sh8dn5z строго говоря не вытекает, вам придется доказывать это отдельно. Иникитивно и логически это понятно, но строго математически доказать сложней, чем в примере автора.
Закрыл и сделал вид, что даже не открывал.
Не мое это 😁
Ничего не поняла,но смотрю,интересно.
Спасибо.
ЗАчем так усложнять? Тут же видно, что числитель справа больше, а знаменатели одинаковы и всё
Я решила по индукции: мы знаем, что 5^3+6^3 < 7^3 и нужно доказать, что если 5^n+6^n < 7^n, то то же верно при n+1
5^(n+1)+6^(n+1) V 7^(n+1)
5*5^n + 6*6^n V 7*7^n
Мы знаем, что 5*5^n < 7*5^n
И 6*6^n < 7*6^n
А ещё мы знаем, что 5^n + 6^n < 7^n по базе индукции.
Значит, 7*(5^n + 6^n) < 7*7^n
7*5^n + 7*6^n < 7^(n+1)
Но 5^(n+1) + 6^(n+1) < 7*5^n + 7*6^n, поэтому 5^(n+1) + 6^(n+1) < 7*(n+1)
5+6 = 11 > 7
5^2+6^2 = 25+36 = 61 < 49 = 7^2
5^3+6^3 = 125+216 = 341 > 343 = 7^3
Т.е. при n>2 5^n+6^n < 7^n, а по условию n=10
Просто бейсик:
MessageBox(5^10+6^10) - результат: 70231801
MessageBox(7^10) - результат: 282475249
Гораздо интереснее определить что больше - Пи в степени числа Грема или число Грема в степени Пи. (С этим компьютер не справится принципиально) )))
Очевидно первый вариант.
А нельзя было на калькуляторе посчитать, если уж такими методами?
@@ympalympa6796 А у меня калькулятора нет )))
Здравствуйте подскажите с помощью какого устройства вы пишите. Мне это нужно для дистанционного объяснения решения задач. Спасибо
Графический планшет.
@@ValeryVolkov напишите пожалуйста модель планшета
уже при третьей степени это сработает, можно и подбором оценить
Да понятно, хороший урок) и вправлу, математика - царица наук..
Когда-то встречал такой знак сравнения ~
Ну и интуитивно я видел ответ. Почему? Потому что 7ка в 10й степени "будет больше в себя включать", чем меньшие основания. Ну я и говорю, интуитивно, а формулируется ещё хуже. Но не беда. Я сначала 3 в кубе плюс 4 в кубе сравнил с пятью в кубе. а дальше посчитал примерно как будет работать если 4 в кубе, плюс 5 в кубе, будет меньше чем 6 в кубе. Полагаю, что при увеличении основания, врят ли что-то изменится кардинально, хотя... 8 в кубе + 9 в кубе = 64*8 + 81*9 = 512 + (810 - 81) = 512 + 729 хм это будет больше 1000 которая равна 10 в кубе. То есть при увеличении основания тенденция ослабляется, что в общем-то логично, поскольку относительные расстояния между числами становятся меньше... Но! Мы добрались вплотную до 10-ки и сумма предыдущих оснований оказалась всего немного больше 1000. А при увеличении степени, возрастать будет тендеция к увеличению разницы. Почему? Потому что
3*3*3 будет меньше 4*4*4, но если мы возведём каждое из них на степень больше, то результат левой части умножится всего на три, а результат правой части уже на 4.
Из этого я делаю вывод, что для 10 степени тенденция к уменьшению из-за увеличения основания, сыграет намного меньше, чем увеличения степени (относительно куба).
Поэтому уверен что ответ верный, что в принципе и подтверждается в видео.
Что в видео не нравится - ссылка на зависимость из прошлого видео. С одной стороны повторять хорошо, а с другой -любое "понимание из формулы" - это не понимание, понимание это когда чувствуешь и представляешь почему так. Поэтому хорошо бы, на мой взгляд, более интуитивный способ.
👏👏👏
А я просто свела к простейшей аналогичной задаче в уме: 2 в квадрате + 3 в квадрате (=13) меньше, чем 4 в квадрате (=16). Всё! Моя задача не доказать, а решить 🙂
Эмм, а если взять те же цифры, но степень сделать меньше, например "2".
Тогда получается, что: 5 в квадрате равно 25 и 6 в квадрате равно 36. 25+36=61. А это больше чем 7 в квадрате (49)....
@@user-bk2od3xy3i Разочаровали человека....
Я просто на калькуляторе вычислил, 7^10 больше 😀
а если батарейка сядет?
А просто помножить и сложить нельзя?
А что если 5^10+6^10; 7^10 выразить как (5^2)^5 +(6^2)^5;(7^2)^5 при этом степень 5 во всех можно сократить,да? и можно ли так сделать, подскажите
нельзя
Почему с левой частью нельзя сделать то же что и с правой?
Обьясните пожалуйста а откуда вообще единица взялась и как числа в степенях превратились в дроби если они не равны этим дробям. Спасибо
Обе части неравенства разделили на 6^10, получилось деление числа само на себя, поэтому единица.
7^10/6^10=(7/6)^10 обе части тождественно равны.
@@dakoz О, спасибо, так чуть более понятно стало
Левая часть уравнения не может быть равной правой по теореме Ферма. Этот случай можно не рассматривать!
7^10 - 5^10 6^10
(6+1)^10 - (6-1)^10 6^10
через Бином Ньютона получаем:
10*6^9 + (a>0) 6^10
10*6^9 > 6^10
Сравнить 7^10 с 2×6^10 (>5^10+6^10) и с 2×5^10 (
5^10+6^10 v 7^10
5 ~=4
5^10~=(2^2)^10~=10^6
6^10=(2*3)^10~=10^3*2*10^5=2*10^8
7^10~=8^10=(2^10)^3~=10^9
[ 5^10+6^10 v 7^10 ] (Я не очень хорош в мат. нотации. Квадратными скобками я показываю, что одно сравнение примерно равно другому сравнению) ~= [10^6+2*10^8 v 10^9]
10^6+2*10^8 v 10^9 => 20100000 v 1000000000 => 201000000 5^10+6^10 < 7^10
Я помню таблицу степеней тройки и двойки до десяти, что дает мне довольно быстро прикидывать подобные штуки с относительной точностью
Я разделила на 6^10. 49/36 > 1,2. 1,2^2 > 1,4, 1,4^2> 1,9 . Очевидно, что 1,9*1,2 > 2. А левая часть меньше 2.
Зачем я это посмотрела?...в школе ничего не понимала,сейчас не понимаю,и,видимо,уже не пойму....
О, Боги! Страшно то как!😵
Я воспользовалась биномом Ньютона
После того, как оценили левую часть и получили, что она меньше 2, можно возвести правую часть хотя бы в 5 степень и получить 16807/7776, что больше 2. И уже увидеть, что правая часть больше.
НУ ПОЧЕМУ ВЫ СВОИ ДЕЙСВИЯ НЕ ОБОСНОВЫВАЕТЕ НЕ ПОЯСНЯЕТЕ НИКАК . ПОЧЕМУ АК А НЕ ИНАЧЕ ВЫ ВЫБИРАЕТЕ ЦИФРЫ И ДЕЙСТВИЯ .
✅
А логарифмированием можно?
Да, я так и попробовал. Можно поделить на 7^10, а дальше доказать, что (6/7)^10 не больше 1/2. С помощью логарифмических преобразований можно доказать, что 1/2 больше:)
Глупый вопрос. Решается за 2-3 секунды... При всем уважении... Достаточно вспомнить, что показательна функция в данном контексте возрастает и 10=2*5
Можно проще. 5^10+6^102
6^10*(7/6) ^10 > 2*6^10
7^10>5^10+6^10
На семейный канал больше не приглашаете. Канал закрылся?
Конкретно тут, всё очевидно. уже на стадии куба 7 больше чем сумма кубов 5 и 6. На квадрате и возведении на единицу сумма 5 и 6 становится относительно больше 7. Так что тут даже решать не надо было.
ВЫПИСЫВАЕМ 10 ПЯТЕРОК, НИЖЕ 10 ШЕСТЕРОК, НИЖЕ 10 СЕМЕРОК В СТОЛБИК. СМОТРИМ ТЕНДЕНЦИЮ УВЕЛИЧЕНИЯ УМНОЖЕНИЯ , НАПРИМЕР5 В КУБЕ==125. 6 В КУБЕ==216, 7 В КУБЕ==343. СУММА 125 И216==341.343 БОЛЬШЕ 341. СЛЕДОВАТЕЛЬНО 7 В СТЕПЕНИ ИМЕЕТ ТЕНДЕНЦИЮ К НАРАСТАНИЮ УВЕЛИЧЕНИЯ ПО СР. С СУММОЙ 5 В 10 ПЛЮС 6 В 10.
Можно 7 представить как 6+1, тогда 7^10=(6+1)^10=6^10+10*6^9...>6^10+5^10
6^10+10*6^9... Имели ввиду вот это: 6^10 + 6^9... ?
А доказать что 6^9 + ... > 5^10 ?
@@user-gx2fg2ll1j имел в виду бином Ньютона
@@user-if3cd8em4q Ну так это 6^10 + 6^9..., а не 6^10+10*6^9... как Вы написали.
@@user-gx2fg2ll1j биномиальный коэффициент при 6^9*1^1 равен 10, а не 1, поэтому 6^10+10*6^9
@@user-if3cd8em4q Всё я накосячил - вечер не соображаю.
А если 5^3+6^3V7^3 или 7^5+8^5V9^5
То обе части меньше 2
Я не подстрекатель, но с числами x>0, n>2 всегда работает правило:
x^n + (x+1)^n < (x+2)^n
И это можно доказать по-школьному, хотя с помощью неравенства Бернули это делается несомненно красивее. Запоминайте, быть может ещё кому поможет это неравенство :)
10^3+11^3=2331,no 12^3=1728 !!!
5^10+6^10
10\6 откуда взял?
n = 10, x = 1/6, смотри на неравенство Бернулли и подставляй
А без Бернулли никак? Уж больно экзотическая штука.
А там девушка биномом сделала, просто (6+1)^10 первые два слагаемых взяла
голова
7 в 10степень
Не понил .
(5^10 + 6^10) v (7^10)
5^10(1 + 1.2^10) v 5^10(1.4^10)
(1 + 1.2^10) v 1.4^10
1.2^10 намного ниже чем 1.4^10
Поделил все на 5 в 10
Получил 1+1,2^10 и 1,4^10
Вспомнил, что 1,2^2 равно 1,44
В итоге 1+1,44^5 < 1,4^10
Очевидно, вопреки комментаторам.
Я оценил 1,4 грубо, как квадратный корень из двух
Получаем 1+1,44^5 < ~32
Поделив на 6^10, вы исследуете функции с левой и правой стороны, поделив на 5^10, вы получаете голый ответ
Не очевидно.
Теперь докажите, что 1+1,44^5 < 1,4^10 действительно выполняется.
Не очевидно
Задача от подписчика:
C из n по k
@@user-wz9ci3vt9s не к тому комментарию написал
Зачем так сложно? Посчитать проще. 5^3 + 6^3 = 341 < 343 = 7^3. Для больших степеней все тем более понятно,отрыв ещё больше будет.
конечно 7 вы шо издиваетесь такую очевидную вещь доказывать
Можно рассмотреть две монотонно возрастающие функции fx = (x+2)^10, gx = x^10 + (x+1)^10
При x = 1, fx > gx, а значит и при x = 5 fx > gx
Усе
НУ САМ ЛОГИЧИСКИ ПОДУМАЙ 7 БОЛЬШЕ ПЯТИ И БОЛЬШЕ ШЕСТИ ЗНАЧИТ ЛЮБОЕ ЧИСЛО В 10 СТЕПЕНИ БОЛЬШЕ ЧЕМ ТО ЛЮБОЕ ЧИСЛО КОТОРЫЙ МЕНЬШЕ
Боже, ты должен доказать и показать решение, а не просто поставить знак наугад)
На хер это кому надо в жизни?
Слава Богу! Я думала,что только мне эта мысль пришла
Числа настолько большие, что единицей можно пренебречь. Очевидно, что в левой части будет цифра меньше единицы, а в правой части на порядки больше единицы.
Кто бы ни читал этот комментарий, знай, что *ГОСПОДЬ ИИСУС ХРИСТОС ЛЮБИТ ТЕБЯ!*
Whoever reads this comment, know that *LORD JESUS CHRIST LOVES YOU!*
أو بو وةب
Видео не понятное или жепросто я тупая😊
Не школьная задача
Это якобы решение очень напоминает что- то юридическое, когда полно бреда и все ждут главного: сколько и где.
Это не решение, это доказательство основанное на показаниях свидетеля некоего Бернулли.
Взялся решить задачу?
Вот сиди и перемножай.
Кстати, решение требует проверки, проверяй.Хочу видеть.
Не всегда считают деньги или количество автомобилей на покраску. Не надо знать самих чисел, если важен только результат. А вот докапываться, что доказательство это не решение это сродни тому, чтобы считать площадь квадратиками, а не умножением одной стороны на другую
@@ympalympa6796 начни с простых движений: сравни квадраты, потом кубы и , оказывается, нет необходимости эксгумировать старого швейцарца, все просто.
Конечно 7в десятой степени, будет больше.