Логарифмирование не поможет ★ Сделано в СССР ★ Показательно-степенное уравнение 10^(x-x^2 )=x^x
Вставка
- Опубліковано 7 лис 2020
- ✔ 2 миллиона просмотров ★ • Таблица умножения боль...
@arinablog
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Telegram: t.me/volkov_telegram
Группа ВК: volkovvalery
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Показательно-степенное уравнение 10^(x-x^2 )=x^x
Прошло долгих 7 лет, как я наткнулся на этот канал с целью подготовиться к тогда ещё ГИА, и вот уже и бакалавриат подошёл к концу, а я все ещё смотрю данный канал и жду новых видео :)
на кого училитесь?
@@TurboGamasek228 на специальность "Прикладная механика" - на инженера в собирательном смысле слове )
@@Gennadi149 приятно было читать твой комментарий) Желаю тебе успеха в работе и в жизни.
Первый IBM-совместимый комп я увидел в 1988 в уральском политехе. Первый свой ноут IBM-A30 я купил в 2000-ом году. Я через телефон/АДСЛ был подключен к инету за несколько лет до того, как youtobe появился. А данный канал нашел только год назад - и не жалею. Он мне не нужен, но он мне нравится. Валерий - упертый, но настоящий.
Я бы, всё-таки, еще графики функций lg(x) и 1-x нарисовал - так оно красивей и наглядней. :)
Собственно это и есть графический способ решения, как никак.
А решать подбором - чувствовать себя первоклассником
да конечно) прологарифмировал и нарисовал графики - вся задача. и не надо никакого метода подбора и поиска других корней
@@alexnikola7520 да я так и решил.Как раз хотел написать но опередили
@@alexnikola7520 так нарисовать графики это лишь особым образом угадать корень. Сама по себе единственность пересечения эскизов графиков функций не является строгим доказательством.
Берём исходное уравнение.
1) Угадываем х =1.
2) При 0 < x < 1 левая часть больше 1, т.к. слева 10 в положительной степени, а правая часть меньше 1, т.к. справа число меньшее 1 в положительной степени.
3) При x > 1 левая часть меньше 1, правая - больше.
Из 2 и 3 следует, что других решений нет.
А я подумал о единице в первое мгновение, посмотрев на равенство)))с
Решила точно также, как вы, пользуясь логикой
Я из СССР, при поступлении в 1975г. штудировала Сканави. Сейчас Сканави на чердаке. Огромное спасибо.
Откуда известно, что это из Сканави?
СКАНАВИ -хороший задачник! Задачи каждого раздела с тремя степенями сложности предлагались
Да! Сканави это вещь. Как тренажерный зал, только для мозгов. С тремя уровнями сложности
Сканави издал сборник задач по основным разделам математики. Я тоже готовился к экзаменам по этой книге. У меня есть даже решебник к этим заданиям. Особенно мне нравится геометрические задачи с применением тригонометрии, сама тригонометрия, параметры, алгебраические выражения, ур-я и нер-ва.
Лучше б подарили кому-нибудь.
Особенно понравился момент с убывающей и возрастающей функциями! Спектр решаемых мной задач расширяется и все благодаря вам!
Отличное доказательство единственности решения. Спасибо.
Спасибо, стряхнула пыль с мозга. 🌹
Как всегда изящно и ошеломительно просто! Спасибо!
Попрошу заметить, что функции - непрерывны. Это же важное условие
в данном случае нет
Весьма элегантно! В 1984 поступила в Киевский политех, Сканави был моей настольной книгой при подготовке! И сейчас ею пользуюсь при подготовке детей к вступительным экзаменам..... в Сербии! Замечательная школа советской математики!
Огромное спасибо вам за ваши видео , они помогли мне поступить👍
Интересные у Вас приёмы.
Хорошо, когда числа к чему-то привязаны.
Логарифмируем, пацаны
Всё гениальное просто!
Привет Валерий. Действительно отличная задача. Спасибо вам!
Как обычно
Хакаято вроде как сложная хрень
А в итоге ответ 1
поэтому везде, где нужен только ответ, но я не знал, как решать - я писал 0 или 1 в ответах. Прокатывало с завидной регулярностью
А ответ был тривиальный. 1. Всё.
Интуитивно подумал что 1, решил еще на превью. Но доказать что будет 1 сложнее, чем догадаться
@@ilyas3981 доказать просто - подставить 1 в формулу. а вот _показать_ решение, что ты не с балды его придумал - это другое...
я решил еще по картинке на превью) вернее, это мозг решал без моего участия))
@@shlemkin А теперь докажи, что это единственный корень=))
Отлично, все детально, понятно и кажется даже не трудно, спасибо!
Просто и легко решил за минуту. Причём без двойного переноса туда-сюда.
Как только мы получили равенство x - x² = x lg x, то в силу того, что x > 0 (а следовательно, x ≠ 0), мы можем сократить на x и сразу получить уравнение 1 - x = lg x, которое уже и решаем методами исследования функций и подбора.
Сокращение на x напрашивалось сразу без переноса
@@edgar6792 да. Осталось лишь доказать, что мы вправе так сделать, что крайне элементарно и совершенно очевидно.
Спасибо за то, что вы делаете
Договор дороже денег. Лайк и комент. Занят был не много. Просмотр без звука - потом послушаю. Сложные дни были.
Послушал. Интересно, но зачем что-то логарифмировать. ясно, что только 1=1 при возведении в любую степень. Задачка простая, но интересная и полезная. Ясно, что нужно избавиться от 10. Способ один: x-x^2=0. Можно упростить, рассмотрев x1 - тот же метода подбора, но без логарифмирования.
Спасибо, очень интересное уравнение. Последнее уравнение я решал графически.
Мне очень нравится Ваша подача! 👏🏻👏🏻👏🏻👍🏻
Технично=красиво !
Спасибо
Спасибо за видео!
Спасибо!
Великолепно!
Для решения подобных уравнений в аналитическом виде в последнее время модно применять функцию Ламберта.
Спасибо !!
И кто это сказал, что "логарифмирование не поможет"? Именно оно, и только оно, и помогает!
Зачем? X-X² представляем как (1-Х)Х, далее сокращаем степень Х у обеих сторон. Ну и ответ 1 напрашивается уже сам собой. 3 действия)))
@@user-ci1hj1il4h надеюсь, что у тебя будет ещё время подготовиться к егэ.
@@TheLoveKusano ну вообще то я уже давным давно не школьник, ЕГЭ сдал хорошо, поступил куда хотел. Я где то ошибку допустил?
Нет, сокращение одинаковых степеней возможно, поэтому по идее ты прав
@@user-sn7js3eq2l вот и я так думаю. Спасибо!
Спасибо Вам большое!
Спасибо за интересное решение!
Это все очень интересно, но на самом деле задача выглядит так: (10^(1-x))^x=x^x
Класс! По-моему, я так же решил эту задачу в 1989
То что 1 это ответ - очевидно.
А за доказательство, что ответ единственный, лайк
Решить можно было без аналитического исследования. 1-x-lgx=0. 1 = lgx +lg(10^x). 1 = lg(x*10^x). x*10^x = 10. При х10. При х = 1 решение есть. И никаких графиков и анализа функции на возрастание/убывание не требуется.
Так это по сути тоже самое, при x1. Т. е. сделанные вами выводы следуют напрямую из свойств данных функций.
Не особо то проще проводить хоть и не сложные, но манипуляции, а потом ещё рассматривать три случая для x вместо того, чтобы просто представить в голове графики логарифмической и линейной функций :)
@@Gennadi149 голову на листок не напишешь :)
@@user-gt7me3ue4j разница в том, что аналитическое решение подразумевает под собой знание производной функции и строгое обоснование почему она больше нуля, а в данном случае я могу лишь воспользоваться заменой х =1+dx
@@user-sg1ow2yt9w Можно было у изначального уравнения рассмотреть три случая. Если x=1, то 10^(1-1^2)=10^0=1=1^1, значит x=1 корень. Если x>1, то x^x>1, x^2>x, значит 10^(x-x^2)
Как всегда, на высоте
Мощно и красиво!
без логарифмов можно обойтись: так как если решения существуют, то все они будут иметь вид 10^n, где n - рациональное число, то есть X = 10^n. Заменяем X на 10^n. Дальше группировка и, наконец, получаем, что 10^n = 1 - n. А дальше как в ролике: обе функции монотонны, одна возрастает, вторая убывает => одно решение при n = 0, а значит X = 10^0 = 1.
Обожаю ваш канал :)
Да, интересно использование принцип в возрастанию и убывания функции... Можно определить, как поиск 0. Наверное любую задачу стоит начинать так.
Спасибо.
Круто🤩
Браво!
Думал что вы решите это уравнение без метода подбора😁😁
Такие уравнения не решаются аналитически. Только графически , подбором или численно.
@@user-fg3cu3yx1v если считать что в 1 = x^x (x>0) очевидным ответом может быть только 1, то можно сказать я решил это без подбора
@@user-xk2vb8qv3m и 0*
@@user-fg3cu3yx1v значит ставь задачу грамотно. Например, доказать что уравнение имеет ровно один положительный корень.
@@user-fg3cu3yx1v Говорят, что такие уравнения решаются с помощью W-функции Ламберта. Только я не могу понять принцип ее работы
Супер задача! Как раз проверяет умение аналитически мыслить.
Но если 2 функции были либо убываюшими, либо возрастаюшими, то решений могло быть бесконечно много.
Но тут суть именно в этом, что одна возрастает, другая убывает
Класс !
Решил ещё в самом начале методом подбора. 💪💪💪
Самое простое было х = 1. Так и вышло.
Но не пытался доказать, что это будет единственное решение, поэтому посмотрел видео.
Здорово же выпутались из первоначального «ужаса»! А я испугался и не стал решать самостоятельно.
Я просто в начале видео, не видя решения подставил 1 👍
Божественно)
На ночь глядя посмотрел из любопытства этот ролик , думал сойду с ума
Можно было воспользоваться свойствами функций в самом начале, без преобразований, но тогда корень не так очевиден, нужно поподбирать
Интересно🤔💭, спасибо, как всегда очень поучительно
Ого, круто!
Круто
Да, не отходя от кассы, сходу ответ угадывается ЭТО ...ЕДИНИЦА!!!
По-моему более наглядно перегруппировать последнее уравнение как
x + lg(x) = 1
и рассмотреть три случая:
* 0
Долго боялся смотреть это видео. Сейчас спьяну открыл, поставив на паузу, и решил в уме. Вот мой алгоритм решения:
10^(x-x^2) = 10^(x(1-x))
Преобразуем полученное выражение свойству степеней
10^(x-x^2) = (10^(1-x))^x
Подставляем полученное выражение в изначальное равенство
(10^(1-x))^x = x^x
Показатели степеней одинаковые -- сокращаем их
10^(1-x) = x
Еще раз преобразовываем по свойству степеней
10^(1-x) = 10^-1 * 10^x = 1/10 & 10^x
Откуда получаем равенство
10^x = 10x
Выполняя те же действия с графиками, получаем единственную точку пересечения - это 1. И никаких логарифмов
Отлично
Какой сайт/какую программу используете как доску для записи? Сколько не искал так и не нашел программу с нормальной клеткой на фоне.
Валерий использует paint. Зачем искать "программу с клеткой", если можно в любом графич. редакторе со слоями (от pain_net до photoshop) кинуть на нижний слой любую понравившуюся картинку с клеткой и писать на слое выше?
Хм, а я вот решил по-другому🤔
Из обоих частей можно извлечь корень степени x.
В итоге получилось (10/10^x)=x
Ну и дальше построение графиков и приход к выводу, что пересечение у них только в одном месте : x=1🤷♂️
10^(x-xx) = x^x
10^x(1-x)=x^x
Возводим обе части в степень 1/x
10^(x-1)=x
10/10^x=x
10x/10^x=1
Очевидно, что x=1, т.к. уравнение имеет только одно действительное решение при x принадлежащее еденице (метод подбора).
Почему ноль не может быть?
@@nepocarlsen2451 х в степени х. Нельзя 0 брать. Нельзя возводить в нулевую степени 0 :(
2 в нулевой степени это как 2 в первой степени делённое на 2 в первой, т. е. 2/2=1.
И если также 0 в нулевой сделать, получится 0/0 что нельзя, так что вот
@@user-gj4nh9bm1k чтобы вы знали, любое число в нулевой степени это единица. Поэтому 10⁰ и 0⁰ будет 1=1
@@nepocarlsen2451 если предел справа к 0 функции х^х посчитать то тогда да, но предел функции и значение функции тут не совпадают) Я вам как учитель говорю, сверху я написал простое арифметическое доказательство
Ах, хорош! :)
you are the best explainer!
Не шарю в математике, но оч интересно :)
Божественный подбор!
почему х = 0 не решения, разве 10^0 не равно 0^0? и вопрос, почему не взять корень степени х справа и слева? получится 10^(1-x) = x, дальше исследуем что x может лежать только в диапазоне от 0 до 1 и это как раз и будут крайние точки 0 и 1
10^0 = 1, а 0^0 - это неопределенность, у нее нет точного значения, т.к. все в степени 0 равно 1, но 0 в любой степени равен 0, что создает противоречие, что делает данное выражение неопределенностью, у которой нет точного решения, поэтому данное решение не верно, даже если не было бы условия x>0
@@pirokarus9093 любой калькулятор вам вычислит, что 0 в степени 0 равно единице. Здесь нет никакой неопределённости
С этим сложными уравнениями одна беда: чаще всего подставляешь 1, 2 или типа того и понимаешь, что других решений нет.
Выносим степень "х" в левой части и сокращаем ее и справа и слева . остается 10^(1-х) =х .Дальше решаем графически, строим график у=х и у=10^(1-х) . Ответ х=1
Можно обойтись и без логарифмирования: возведем обе части в степень 1/x (мы можем это сделать, так как обе стороны положительны и x не равен 0): (10^(x(1-x)))^(1/x)=(x^x)^(1/x), 10^(1-x)=x, левая часть монотонно убывает, правая монотонно возрастает, т. е. уравнение имеет максимум 1 корень, который легко подбирается - x=1
Уравнение вида 1 - х = lgX можно решить и графически.
Математика - без рисунков
@@DmitryKrechet эмм... нет
@@springyoutube2856 да. Только аналитика, как завещал покойный Конев Виктор Васильевич
Блин, решение крутое!
Дякую Профессор
Как обычно ответ -единица. В задачах творца бывает ещё экспонента, но не в этом случае.
То есть, чтобы придумать такую задачу нужно написать: 10 в степени 1-1 = 1 в степени 1. Потом заменить едbницу на X и задача готова! 😀😇
Не знаю почему но я интуитивно это понял.
Решение банально. Х=1, так как будет 10⁰=1¹, а любое число в нулевой степени - 1
А можно ли применять метод мажорант после логарифмирования?
Можно было просто задаться областью определения и проанализировать: функции справа и слева при x>1 и 0
Крутоооо
Спасибо!
Есть два отрезка с координатами (x1,y1,x2,y2) и (x3,y3,x4,y4). Как определить пересекаются эти отрезки или не пересекаются?
возможно есть более изящный способ, но я бы сделал так:
1. составить уравнение прямых через эти отрезки
2. найти точку пересечения прямых
3. проверить находятся ли координаты точки в пределах обоих отрезков.
@@cb_q Спасибо, я так и делаю, только 3-й пункт по проекциям на оси. Но хотелось бы метод попроще.
Всё тоже самое можно сказать про исходное уровнение - сразу видно, что решение = 1 и что других корней нет из-за строгого возрастания одной части и убывания другой, логарифмирования не требуется.
Можно было у изначального уравнения рассмотреть три случая. Если x=1, то 10^(1-1^2)=10^0=1=1^1, значит x=1 корень. Если x>1, то x^x>1, x^2>x, значит 10^(x-x^2)
Почему именно 1?
@@allayar7 логически взял
Крутое решение крутой задачи
Пытался решать так (10^(x-1)) ^x=x^x отсюда (т.к x>0) 10^(x-1) =x и дальше исследуем показательную и линейную функцию. По сути тоже самое, но зато логарифмировать не надо. Это решение оправдало бы название ролика
Уникальное решение 💪😄👌
Я понял, что что-то адекватно доказать в этом примере я не смогу и начал подбором. Я не мало так удивился, когда первая цифра, которую я подставил явилась верным ответом
В конце, помимо доказательства возрастания и убывания функций, необходимо доказать их монотонность, это так же необходимое условие для существования только одного корня.
Интересно, я про логарифм и не подумал. я совсем иначе решил. x>0, значит можно возвести обе части в степень 1/х.
Тогда имеем х=10^(1-х)=10/(10^х).
Тогда 10= х*10^х. И х, и 10^х монотонно возрастающие на всей области определения, значит и их произведение монотонно возрастает. Значит каждое значение из области допустимых значений принимается лишь раз. Несложно заметить, что при x=1 мы и получаем 1*10^1=10. Равенство верно, х найден. Задача решена.
Кому подбор не нравится , тут можно было сказать вот что 1-× это какое то число и логарифм по основанию x тоже какое то число , но поскольку эти числа между собой вычитаются , то число должен быть одинаковым , чтобы все это было равен нулю , можно было отдельнл решить 1-x , там получаем единицу , проверили логарифм , совпал равенства верное , получили бы другое число , это было бы пустое множество .
Тэйлор log(1 + a) = a
Заменяем x = 1 + a
Следовательно 1 - x = 1 -(1+a)= -a
Заменяем log(x)=log(1+a)=a
Получаем уравнение -а = а 》》》 2*а = 0 》》》 a=0 》》》 x = 1 + a = 1
Решил устно за полминуты, это совсем не сложно
Ну, я, честно, сразу нашел корень 1, но расписать, конечно, не так просто, как кажется
Это, как говорится, частный случай, с которым крупно повезло (x = 1). То есть решение становится очевидным. В реальных ситуациях так бывает далеко не всегда. Корни уравнения могли быть и не столь очевидными и не целыми и корень мог быть не один. Стоило лишь там оказаться каким-то коэффициентам, константам и другим степеням x в показателях. Поэтому такие уравнения часто решаются приближённо численными итеративными методами. Вот скажем, получилось бы в результате, например, 3 - 2*x - lg(x) = 0. И тут бы всё не так очевидно подбиралось. Но приближённое решение есть. Исходя из того, что логарифмическая функция изменяется гораздо слабее от роста x, чем линейная, на первой итерации положим логарифмический член константой, например 0. Получим 3 - 2*x = 0, откуда x в первом приближении равен 1,5. Подставим в логарифмический член данное значение, получим 3 - 2*x - lg(1,5) = 0 или приближённо 2,8239 - 2*x = 0. Так на второй итерации x = 1,41195 (приближённо). Так можно провести ещё несколько итераций, значения x на них будут: 1.4251; 1.423075; 1.423385; 1.423334... Несложно увидеть, что абсолютная величина разницы между значениями, получаемыми на следующих итерациях уменьшается. То есть итерации постепенно сходятся к какому-то определённому значению около 1.4233. Можем для проверки подставить значение, полученное на последней из приведенных итераций (1.423334). Получаем: 3 - 2*1.423334 - lg(1.423334) , что примерно равно 0.000025. Уже достаточно близко к 0, но если точность не устраивает, то можно осуществить ещё столько сколько надо итераций (лишь бы точность выполнения машинных операций с действительными числами позволяла), чтобы дойти до приближённого решения с заданной точностью. Точного решения, в отличии от примера из видео в этом случае не получится. И таких ситуаций в реальной практике полно.
А нельзя решить через подстановку lgx=10^t ? я попробовал вроде все ок
Преобразовать к виду 10\10^x=x можно без логарифмирования и затем исследовать обе функции.
Без логарифмов и без исследования: Пусть ^ - знак степени. Дано: 10^(x-x*x) = x^x; раскроем скобку: 10^(x*(1-x)) = x^x; поменяем порядок множителей у скобки 10^((1-x)*x) = x^x; или по другому (10^(1-x))^x = x^x; отсюда видно, что 10^(1-x) = x представим как произведение 10^1 / 10^x = x или 10 / 10^x = x или перенесем в правую часть знаменатель 10 = x*10^x запишем 10 в степени, чтобы был одинаковый вид с каждой стороны равенства 1*10^1 = x*10^x откуда четко виден корень который равен 1
На семейном канале так вкусно, что с трудом было сброшено 5 кг, теперь страшно опять подсесть
функция Ламберта в помощь👽
Если я ничего не напутал, то можно извлечь корень из неотрец. прав. и левой части без потери корней. Извлечём корень x-степени, тогда будем иметь дело с 10/x = 10^x и исследовать эти ф-ции или воспользоваться функцией Ламберта.
Я решил интуитивно за одну секунду )
x>0 - область определения x^x. При 0x^x. При x>1 10^(x-x^2)
Автор видео: *вычисляет ответ через логарифмы и разложения на множители*
Я: *просто предположил, что ответ 1, из уравнения x=10^(1-x)*
Логично)))
Я просто вначале взял икс как 1 чтобы попробовать решить аналитически и как оказалось нашёл корень уравнения