Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения
Вставка
- Опубліковано 30 лип 2021
- 4 млн просмотров • Таблица умножения боль...
@arinablog наш семейный канал
Telegram: t.me/volkov_telegram
Группа ВК: volkovvalery
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Предыдущее видео: • Секретный метод решени...
Формула Герона. Площадь треугольника.
Моё новое видео на другом канале ➜ Удивительный способ нахождения квадратов чисел без калькулятора ua-cam.com/video/6KjW1SY5soA/v-deo.html
3 способ. Построить в 3д программе и не забивать мозг хламом.
Спасибо, однако все так просто/ да если бы вы были мои учителем точных наук, может что из меня и вышло .
И всё таки Герон молодец что нашел простую формулу вычисления!
@@doubravka1833🤓
@@doubravka1833И нашёл, и вывел
@@doubravka1833не вывел, а доказал
Складываем все стороны и умножаем на2=84 "Формула Андрея"
А откуда ты 2 достал?
Умножают на 2, иногда в некоторых случаях.
A если стороны треугольника 3, 4, 5, то складываем все стороны и делим на 2! Проверено, работает! "Формула Джонсона"
Если стороны треугольника 6, 8, 10, для нахождения площади, их достаточно сложить! "Формула Джона", или так называемый "треугольник Джона"!
Мы вчера на геометрии минут 10 на доске расписывали равнобедренный треугольник нижняя сторона=8 верхний угол 60°. Пытались стороны найти...
Хорошо помню, как учительница математики не одобряла применение готовой формулы Герона для этой задачи и требовала "самим хорошенько подумать", решить своим способом. Потом оказывалось, что другой способ и есть доказательство этой известной формулы...) Спасибо Вам за отличный пример.
И правильно делала. Сначала формулу Герона надо ДОКАЗАТЬ.
@@MarkBoldyrev Дык ее выводят. Ну если кто даёт в готовом виде, так то от спешки. Сначала решаем уравнением. Потом выводим формулу. Собственно, что за проблема с этой задачей. Этот голос иногда интересное даёт. Это же просто ликбез.
@@user-vs6jw1zd8y лол, формулу Герона выводить каждый раз это куча времени, ее доказательство не такое уж и быстрое, хоть и тривиальное
спасибо герону и пифагору, что их формулы и теоремы каждый раз доказывать не надо
теж саме тільки розжовано; .Просто умовно трикутник ділим на два ліня В-Д потім складаємо (перевертаємо другу получину частину трикутника) так щоб з них вишов прямокутник, тоб то частина В,Д(2),С стає повех часитни А,В, Д і маємо прямокутник ЛІНІЇ 1= А, 2=Д(2), 3=ВС, 4=Д(2) Та просто перемножаємо частину 1 на 2, або3на 4. довше писати чим робити. Село і люди. Я на матиматик я просто практик підрахунку плошини. Аредодавець, і хрен кому метр дам за даром, ну і шкуродером не був.
Вторым способом удобнее решать, если высоту опускать на сторону ВС, которая 14. Тогда все числа получаются целыми, и вычисления будут устными.
Я не сразу это увидел.
Это ж изи. Формула Герона. 84 ответ
Оооо!. А на какой ляд ,он такую формулу " вывел"! Вот, уж, действительно, ему не фиг делать было!( Извините, пишу так , чтобы другие себе голову такой хреновиной не забивали!)
@@user-cm1ve4gu7e пппаппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппп аппаппппппппппппппппп
Аппаппппппппппппппппппппппппп Аппапппппп
А прежде, чем использовать формулу Герона... простите, её надо доказать в общем виде, между прочим. В математике НЕТ ГОТОВЫХ ФОРМУЛ.
А вы теорему Пифагора тоже каждый раз доказываете в общем виде?
как хорошо, что закончил школу уже давно, посмотрел-ужаснулся. И как я живу без всего этого.
😂😂😂😂
А еще есть поэт Гомер.)))
Как то и я живу без всего этого.
Слушай! Не хвастайся, что закончил школу. Как бы не все такие везучие. 😂
Можно ещё по теореме косинусов найти косинус угла, потом синус, а после s=0,5*a*b*sin(a)
Можно с работы пойти домой сразу, а можно через гастроном.
@@alexivch54 Через гастроном лучше
Да точно очень много вариантов
Думаете угол будет табличный или сводящийся к табличному?
@@user-nf2km5qu5j угол не нужен, нужен только косинус и синус угла
Вспомнил математику.У меня в 5 классе была 5 оценка за экзамен а за год 4.Так как я троечник был.Тригонометрия легко давалась.На экзамене два метода решения задачи выполнил.И купили велосипед родители.
У меня еще один способ решения.
По теореме косинусов находим cosC:
13^2=15^2+14^2-2×15×14×cosC
Отсюда находим cosC=0,6
По прямоугольному треугольнику BDC находим DC=14×0,6=8,4.
По теореме Пифагора находим высоту BD=11,2. И находим площадь треугольника S=84.
Разумно *)
Вы не работаете токарям расточником т.е.Координадчиком.Только ему бы пришла в голову тонкое простое решение?
@@user-nb7kk3io7y я работаю инженером технологом, разрабатываю расцеховки, считаю заготовки.
Удивительно в наше время специалисты пользуются готовыми программами по проектированию и расчеты делает сама программа.Мало кто до сих пор применяет формулы для расчетов.Забыли уже.Если выключится свет инженер будет простаивать а человек который не забыл школьную программу 5-6 класа справится без всяких программ.Ценю таких людей.У меня на работе конструктора рассчитать вес заготовки по начальным данным не могут без компа это бичь нашего молдавского образования
@@user-nb7kk3io7y, это бич не только вашего образования, но и российского.
Поправочка: эти формулы проходят не в 5-6кл., а в 8-ом.
Есть и третий способ но он сложнее,
Можно дорисовать по основанию до прямоугоника у которого две противоположные стороны =15. А боковые стороны =Х . И получится два прямоугольных треугольников сумму площадей которых если отнять от площади прямоугольника и получится площадь треугольника .
Решение :
Х²+У²=169
Х²+(15-у)²=196
Решаем систему и получаем У=6,6
После по тереме Пифагора получаем х=11,2
Теперь находим сумму двух прямоугольных треугольников
(11,2•6,6):2 + (8,4•11,2):2= 36,96+47,04=84
После уже отнимаем от площади прямоугольника 11,2•15=168
168-84=84
Ответ площадь треугольника со странами 13, 14 и 15 будет равна 84 .
В конце отнимать не надо: сумма площадей двух прямоугольных треугольников равна площади нашего треугольника. Это сразу видно, если из вершины провести высоту, которая тоже =11,2.
Спасибо! Чем больше способов - тем лучше.
Браво!
Человек с аналитическим складом ума не когда не пропадет.Не когда бы не допер привести все к системе Ур.
Хех, сегодня на уроке проходили формулу Герона, и была как раз эта задача, с этими же сторонами, но найти нужно было высоту BD. Спасибо за объяснение и показу второго способа!
Провести высоту.
Разбить основание на а1 и а2
Составить 3 уравнения а1+а2=15
И 2 уравнения по Пифагору
13^2 - h^2=а1^2
14^2 - h^2=а2^2
Решить систему из 2ух последних уравнерий.
13^2 - 14^2 = a1^2 - a2^2
Выразить а1 через 15-а2
Подставить. Решить. Найти а2
Вернуться к уравнению 2 или 3. Подставить. Найти высоту. И дальше по формуле площади треугольника
Второй способ хорошо использовать, когда сторона или стороны заданы иррациональными числами. Спасибо Вам, всегда четко, ясно и доступно.
В этом случае как раз формула Герона рулит, тк там всегда разность квадратов работает
Спасибо. С удовольствием смотрю решения задач.
Я заставляю учить наиболее популярные соотношения сторон прямоугольного треугольника: 3÷4÷5; 5÷12÷13; 7÷24÷25; 8÷15÷17. Конечно, предварительно доказав их. Теперь, смотрим, какие два соотношения подходят для данного случая. 1) соотношение 5/12/13 и 2) 9/12/15= 3/4/5 . Здесь видно, что общий по длине катет 12,теперь проверим сумму длин других катетов: 5+9= 14. Следовательно, высота, проведенная к стороне 14, равна 12. И все:S=(14×12)/2=84.
Не надо заставлять учить! Надо учить думать! Иначе, учащийся так и не поймёт, что такое математика и для чего его в школе ею мучают.
@@johnmarlowe4092 надо заставлять учить думать 😁.
Вы,молодец!
@@johnmarlowe4092 а они у меня умеют думать, просто у нас в Узбекистане на 30 тестовых вопросов отводят всего лишь 1 час, поневоле приходится заставлять заучивать некоторые свойства и математические лайфхаки. Жизнь заставляет😒
Гениально! Второй способ я дотумкал, а про первый не знал. Спасибо, Валерий!
Все понятно, подробно, спасибо, 1ый способ мне больше нравится!
Обычно решают самым удобным. Но рассмотреть разные способы полезно, чтобы повторить формулы и методы. В данном случае по формуле Герона проще всего.
Сложнее, так как сначала надо доказать формулу Герона В ОБЩЕМ ВИДЕ
Да. Хорошо. Я в школе пользовалась и тем , и др,
@@MarkBoldyrev а зачем её доказывать? При решении задач разрешается использовать доказанные теоремы без их повторного доказательства. А готовая формула Герона - та же доказанная теорема.
@@user-jd3ft8wt5rШкольнику надо не только готовые формулы зубрить? Ему надо ум свой тренировать, как спортсмены мышцы на тренировке. Общеизвестно высказывание, приписываемое Ломоносову: «Математику изучать надобно, поскольку она в порядок ум приводит». Так кратко и выразительно может сформулировать свою мысль только человек, не просто относящийся к математике с почтением, но и в силу собственного опыта понимающий её роль в жизни, возможности её приложений в самых разных областях знания. Ломоносов получил фундаментальную для своего времени подготовку по математике и естественным наукам. В Марбургском университете он слушал лекции Х.Вольфа по математике, астрономии, алгебре, физике, механике, логике и другим дисциплинам, а в дополнение к перечисленному брал ещё уроки арифметики, геометрии и тригонометрии. Примечательно, что свои первые работы там Ломоносов подписывал как «студент математики и философии».
еще можно найти угол по теореме косинусов. далее найти синус и по формуле (absin a)/2 найти площадь
Это и есть формула герона, просто скобки раскрыли
Здесь красиво даже не столь само решение, а способы обращения с числами, упрощающие устный счет. А то, при наличии калькуляторов всегда под рукой, отучаешься считать устно, даже при действиях с двузначными числами :)
Я щас в 8 классе, мы решаем так:
13+14+15 = 42 - периметр
42*1/2 = 21 - полупериметр (p)
По формуле Герона:
Sabc = √p(p-a)(p-b)(p-c) = √21(21-13)(21-14)(21-15) = √(21*8*7*6) = √7056 = 84 ед.2
Ответ: 84 (Ролик пока не смотрел)
Так удобно если есть калькулятор, а как на экзамене найти корень из 7056?
@@Ghost_Reaper Таблицу брадиса иметь
@@user-xy6db3mh5w её нельзя брать
@@Ghost_Reaper столбиком
@@Ghost_Reaper Можно число 21 разложить на 3*7, 8 на 2*4 и 6 как 2* 3.Дальше вынести корень и поумножать, там легко получается
Я когда в школе учился, тоже всякие задачи решал. Учился-учился и однажды понял, что решаю, по сути, одно и то же, только разными способами. Причем просчитал такую тенденцию: чем младше класс, тем геморройнее способ решения. Потом появляется понятие "переменная" и все упрощается. Я не беру высшие сферы, интегралы и пределы - это немного другое. Я о вещах более приземленных.
Даже взять вот этот пример. Герон когда-то вывел формулу, Пифагор доказал теорему. Зачем они это делали? Очевидно, чтобы упростить вычисления, а уж формулы приведения (разность квадратов, квадрат разности и т.п.) - тем более. Однако же в школе система построена так, что у ученика складывается ощущение, что все эти формулы придуманы для запутывания.
В данном примере самый логичный способ решения - применение формулы Герона (кстати, автор даже с этой формулой устроил забег по гвоздям: простое перемножение по правилам арифметики превратил в разложение на множители - ну и зачем?) Зачем тут тригонометрия? Я понимаю, что понты. Так автору бы следовало бы предупреждать, что "сейчас мы будем гланды через ж*** рвать, поэтому относитесь к этому не как к практическому способу, а как или к развлекухе (для любителей) или как к садо-мало (для другой категории)".
Второй способ содержит халтуру (для автора). Автор, как известно, любитель простых дробей и иррациональных чисел (и это я еще, выражаясь математически, рассуждаю "в поле действительных чисел"). А тут бац - десятичные дроби пошли. Неужто калькулятор применялся?
У автора, кстати, куча таких сюжетов, где решаются примеры, которые в жизни не встречаются чуть более чем никогда.
PS Кстати, в школе я любил тригонометрию. Но никак не мог понять все эти соотношения углов в треугольнике. И когда, уже будучи взрослым узнал, что это вообще-то значения Х и Y угла при радиусе единичной окружности, то подумал: какой же му**к придумал это выражать через треугольник? Да, при нахождении значений синуса и косинуса в итоге он и получается (треугольник), но зачем ср)ать в головы 13-летним детям пубертатного периода про треугольники, когда проще показать "кружочек, в нем крестик со стрелочками, и та, что вниз - это косинус, а что влево - синус". Нет, **ть, давайте все усложним, придумаем прилежащие и противолежащие (полкласса сразу в ступоре: это как???? при том, что я еще в хорошее время учился, сейчас 3/4 поди затупит от таких слов) и превратим очевидные и полезные в быту вещи в какие-то абстракции.
Вот поэтому у нас столько неучей.
Формула Герона обычно самая любимая у детей.
Не переносит эту формулу в школе))
@@canis_mjr глупость. Эта формула самая запоминающийся для них.
@@user-ss3wu5wm4f я до сих пор не могу запомнить, есть ли там 1/2 под корнем(( Впрочем, на работе не разу её и не использовал, а вот Пифагора и площадь через высоту и основание постоянно))
@@canis_mjr Пифагора вы можете использовать только для прямоугольного треугольника, а Герона для любого....
@@user-ss3wu5wm4f да, но из любого треугольника можно сделать прямоугольный, что показано в способе 2, я за общность, хотя вероятно, у меня просто аллергия на формулу Герона ещё со школы.
В школе такое решал не напрягаясь, теперь сижу и думаю, как же эту простую задачу решить. Решил вторым способом, хотя первый я в школе знал
Через высоту тоже можно, тогда получаем квадратное уравнение. Потом находим высоту как катет левого образовавшегося прямоугольного треугольника, потом саму площадь находим как 1/2*высоту*основание, т.е. 15
Как найти высоту? Не понял
@@grawber3000 высоту можно выразить через катет и гипотенузу левого треугольника, то же самое сделать для правого треугольника, причем высоты обоих треугольников совпадают, значит, можно приравнять получившиеся выражения, получаем уравнение, находим х. Потом высоту находим по теореме Пифагора.
@@fivestar5855 он так и сделал вторым способом
Все понятно. Спасибо
Красота!
Интересная какая формула - не знал про такую. Решил 2 способом.
Как всегда всё красиво!
Есть ещё способ: полупроизведение сторон треугольника на синус угла, заключённого между ними. Через теорему косинсов найдёте косинус любого угла, а через осн. тригонометрическое тождество выразите и найдёте синус этого же угла, поставите в формулу и все. Да, громозко, но как вариант кроме и так всем известного Герона
Высчитав длину В-д, преобразуем треугольник в прямоугольник, добавляя два аналогичных имеющихся треугольника. А ВД и ВДС.Зная высоту и длину прямоугольника, путём арифметических действий высчитываем площадь и делим на два. Если нужно потом все высчитываем по формуле автора.
Спасибо. Как будто за партой оказался. Лубимые предметы были алгебра и геометрия.
Главное, в геометрических задачах - это ход решения , остальное ,математические действия , при условии , если знать хорошо теоремы !
Есть еще один вариант решения! Из угла А опустить перпендикуляр на ВС. Тогда можно принять, что ВС состоит из 28 условных частей, 13 и 15. 14/28=0,5. Соответственно, ВС = 6,5 и 7,5 единиц. Дальше по Пифагору.
Это будет не высота, а биссектриса.
@@LilyGareeva ?
Спасибо большое!
Мне 50 лет. В школе была четвёрка по геометрии. За всю жизнь все эти знания мне ни разу не пригодились....
Здравствуйте как все сложно у вас, треугольник вы правельно расделили теперь один треугольник выводим в квадрат или прямоугольник как в нашем случаи узнаем площядь и делим на 2 также и со вторым треугольником, потом плюсуем результаты вот вам и площядь, и так пример всего будет составлять высота на ширину, деление на два,и плюсуем результаты ВОТ И ВСЕ
Тоже решал по второму способу, но считал иначе. Ответ такой же: 84
Смысл такой. Аналогично, как в видео, проводим из вершины B высоту h. Левую часть AC обозначаем через x, правую через 15-x.
Записываем уравнения для левого и правого прямоугольного треугольника:
13^2=x^2+h^2
14^2=(15-x)^2 или 14^2=15^2-30x+x^2+h^2
Избавляемся от x^2 и от h^2 - вычитаем из второго равенства первое:
14^2-13^2=15^2-30x, ну а дальше дело техники.
Находим, что x=6,6
h=11,2
S=84
зачем утруждать себя лишними вычислениями, если известны все стороны? Я решил первым способом. Мне 83 года))
@@user-ov7zy3lp7i, я значительно моложе и поэтому могу позволить себе удовольствие заниматься "лишними вычислениями". :)
...краткость, сестра таланта!, всё чётко, предельно ясно и красиво подано!
Спасибо!
Я сразу про Герона Александрийского вспомнил. Видать, знатно мне в школе втемяшили, что спустя 30 лет помню.
Спасибо за два способа решения.
Очень понравилась формула Герона ! узнал что -то новое для себя 😀СПАСИБО !
Что ж тут нового? Это же античность! В школе изучали на геометрии.
Вы в школу не ходили?
Формула Гирона более изящная.
Эту формулу вообще-то в школьном курсе геометрии проходят.
Если это никак не отразится на экономике нашей страны,то и ценности этому не много...
А мне вторым вариантом, помимо Герона, на ум сразу пришло найти косинус любого угла по теореме косинусов, пересчитать в синус и площадь через синус и стороны
Muito bonita solução!!!
Решила сразу вторым способом. Школу окончила в 1973г. Математика всегда была любимым предметом (и физ-ра тоже))) Спасибо!
Видимо память уже не та, коли формулу Герона не помните?
И я вторым способом, в 1969 окончила школу и любила математику, и учитель Анастасия Яковлевна была от бога.
@@user-uy2wb9qd6x Второй способ лучше, т.к. логику развивает, а это главное в изучении геометрии и математики в школе.
Перый способ почему-то не знала! Второй способ это школьная задача! Решила именно так! Посмотрела на ваше решение совпало!
Вот мы ток, ток прошли по геометрии площади большей части фигур (геометрия 8 класс) и я не понимал формулу Герона, а оказалось, там не периметр, а полу-периметр. Спасибо тебе большое, я сразу посчитал ещё раз, и спокойно вышло 84
не тебе, а Вам
@@svkuznetsov6192 буду я ещё всякую тыдру на Вы называть!
Спасибо.
Сразу вспомнил формулу Герона. 🎉
Как то ночью пытаясь уснуть придумал свою формулу вычисления треугольника, моя более проще.складываем (13см+14+15=42см)=(42÷4=10,5см) ресуем квадрат все стороны которого (10,5см). Умножаем стороны квадрата (10,5см*10,5см=110,25см)изночально общая сумма сторон треугольника была (42см÷2)=21.теперь (110,25см-21см=89,25см.)=(89,25÷2=44,65,5см)вот ваша площадь треугольника.
По теореме косинусов косинус угла между 14 и 15 равен 0,6. Это такой же косинус как и в случае египетского треугольника (со сторонами 3,4,5). Проводим высоту к стороне 15 так, чтобы получился прямоугольный треугольник с гипотенузой 14 и углом арккосинус 0,6. Эта высота также является противолежащим катетом к этому углу, поэтому по аналогии с египетским треугольником, имеющим косинус 0,6 (3/5), соотношение противолежащего катета/высоты и гипотенузы равняется 0,8 (4/5). Получается, что противолежащий катет/высота делить на 14 равно 4/5. 4/5 * 14 = 56/5. Чтобы получить площадь, умножаем получившийся катет на 15 и делим на 2. Получается 56/5 * 15 / 2 = 56 * 3 / 2 = 168 / 2 = 84.
а, вот это уже круче. тоже искал какую-то изиминку (не нашел).
Дякую
Я надеялся, что здесь будет представлен какой-то оригинальный способ, поэтому немного огорчился увидев способ каким бы и я решал (не считая удобной формулы Герона конечно же) - сначала с помощью теоремы Пифагора находим какую-нибудь высоту (здесь это BD) и тогда искомой площадью треугольника будет половина прямоугольника АC-BD.
Единственно, что я конечно же не заморачивался бы с разложениями по формуле разности квадратов, а просто привёл бы к квадратному уравнению которое легко решается. И не заморачивался бы с разложением чисел на множители для удобного вычисления корней, а просто посчитал бы на калькуляторе/компьютере. Ну да, я всё же больше компьютерщик чем математик... 😀
Ну, я бы решал средствами линала
@@redtreatrick5265 а где здесь матрица? А чего бы ты тут находил? Векторное произведение? Определитель матрицы? Обратную матрицу? Чего тут можно находить средствами линейной алгебры?
@@zrtqrtzrt8787 Возьмите точку в любой вершине и проведите векторы к двум другим вершинам а дальше вспоминаем свойства векторного произведения
"Можно дорисовать по основанию до прямоугоника у которого две противоположные стороны =15. А боковые стороны =Х . И получится два прямоугольных треугольников сумму площадей которых если отнять от площади прямоугольника и получится площадь треугольника" . Это ниже человек написал и в притнципе так и делается у здравомыслящих. как говорится на земле кому надо быстро и точно что-то выяснить! Вся чебурашка с формулами только для развития интеллекта и мышления, логических цепочек и не применяется на практике живыми человеками) ! Алгоритм прикладной именно такой, как я скопировал из комментария "Ali Najafov" он ниже! И это аксиома, доказано временем и применением лично мной! О себе чуть- чуть выучился в ВУЗ СССР потом ещё один бвл, тезнарь)! Спорить со мной просто нереально, проиграете на раз!
веллестор, Вы бы понятно написали, как именно Вы дорисовываете, потому что непонятно
Как приятно, что ещё есть по настоящему умные люди с образованием СССР, а не с купленными за родительские деньги дипломами Особенно обидно за медицину.
Ну это же по сути и есть вывод формулы Герона без некоторых ответвлений
Совершенно верно
Нет, формула Герона выводится через нахождения косинуса одного из углов, и преобразование его в синус.
@@user-qn2bx8uj9o есть вывод без тригонометрии, изучите материал
А, всё, понял. Только что вывел такую формулу. Заедает мышление иногда.
@@user-qn2bx8uj9o а вы, однако, энтузиаст)))
Спасибо
1) По формуле Герона. 2) По следствию из теоремы косинусов и формуле с синусом. Сейчас посмотрю видео. Ответ: 84.
Решил третьим способом и четвёртым. Правда третий способ немного напоминает второй авторский. Пожалуй подпишусь. Нравится голову размять.
Можно через теорему косинусов пойти, найти косинус между любыми 2 углами,через косинус можно найти синус и использовать формулу ab×sina/2
А также можно пойти формулой нахождения площали используя полупериметр треугольника
разность квадратов наклонных равна разности квадратов наклонных.
по следствию из теоремы косинусов можна найти косинус любого угла, а следовательно и стнус.
20 секунд, усно, через трикутник Піфагора, де АС є гіпотенузою, яка дорівнює 5х3=15, або з коефіцієнтом збільшення 3(три). Опускаємо висоту з точки А на сторону ВС в якусь точку Е. Тоді два катети АЕ та СЕ будуть відповідно 3 та 4, але збільшені на коефіцієнт 3(три). А це 9 та 12 см. З побудови видно, що висота АЕ буде 12 см. Множимо ВС(14) на АЕ(12) та ділимо на 2. 14х12:2= 84. Все усно.
Класс!
Красава.
наверно в своё время прогулял урок, в 64 узнал о формуле герона,а может уже память отказывает,математику я точно не прогуливал
Спасибо, буду использовать первый способ.
Можно ещё так: выразить площадь как полупроизведение двух сторон на синус угла между ними, а синус вывести из теоремы косинусов, и получится в принципе та же формула Герона, но в другом виде, в два раза короче.
Валерий, если решать первым способом на вступительных прокатит?
Позвольте предложить альтернативное решение!
При беглом осмотре треугольника можно заметить, что если бы высота АH была равна 12, то мы получили бы две Пифагоровы тройки (5, 12, 13 и 9, 12, 15).
Попробуем доказать что АН действительно равна 12.
На стороне ВС возьмем точку Н таким образом, чтобы ВН и НС равнялись 5 и 9 соответственно.
Через точку Н проведем прямую, перпендикулярную ВС.
На этой прямой отметим точку А1 так, чтобы отрезок А1Н равнялся 12.
Построим два прямоугольных треугольника ВНА1 и СНА1.
По теореме Пифагора гипотенузы А1В и А1С равны 13 и 15 соответственно.
Треугольники АВС и А1ВС равны по трем сторонам.
Высота треугольника А1Н равна 12, а основание ВС равно 14, следовательно площадь равна 0,5 * 12 * 14 = 84.
Т.к. треугольники равны, то и площади равны, следовательно площадь АВС равна 84.
Если сложим короткие катеты из тех двух троек 5 и 9, получим сторону нашего треугольника 14. (14*12)/2=84. (См. коммент teacher)
@@Simonas.G. 0,5*12*14=84 (см. мой комментарий)
Мне вдруг стало интересно, есть ли математически обоснованная взаимосвязь площади и стороны CD. Поскольку в данном примере S=10*CD
Можно повернуть влево сторону 14 до стороны 13, ввести в том промежутке x и решить по теореме Пифагора.
Можно через теорему косинусов найти синус одного из углов, после чего вычислить площадь.
1) ПО ФОРМУЛЕ ГЕРОНА: S = кор(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)), где a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр = (a+b+c)/2.
2) ПРОВЕСТИ ВЫСОТУ, ПРОДЕЛАВ НЕБОЛЬШИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, НАЙТИ ЕЁ, ЗАТЕМ НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПО ФОРМУЛЕ: S = 0,5*h*a, где а - основание треугольника, а h - его высота.
3) Через теорему КОСИНУСОВ можно так же найти площадь данного треугольника.
ОТВЕТ: S = 84.
Или через теорему синусов
У данного треугольника, высота будет такой же, как и у равнобедренного треугольника, с боковыми сторонами по 13,5, а значит и площадь будет такой же 84
ваше предположение неверно
А есть ли какие-нибудь задачники такого плана, для пенсов-любителей посчитать площади и не только ?
Я бы через Герыча решал)
Есть третий способ - рисую треугольник в автокаде и площадь - сразу))
Я так делаю, когда считаю выполненные объёмы благоустройства (земляных работ, газона, покрытий) при криволинейных очертаниях поверхности либо при многочисленных изменений конфигурации благоустройства. Так быстрее. Однажды объем котлована считал (после университета), приводя основание и бровку к эквивалентной развернутой трапеции (где периметр основания котлована - это одно из оснований трапеции, периметр бровки - второе основание трапеции, а высота трапеции - среднее арифметическое отокосов: по три измерения на каждом откосе). В общем, результат совпал со стандартной формулой, но я был доволен собой, что придумал посчитать по-другому))))
Вот решение которое мне пришло в голову.
В вершине В строим треугольник с золотым сечением 3*3+4*4=5*5
Далее в правой нижней части получаем параллелограм со сторонами 5 и 10, а в левой равносторонний треугольник 10*10*10.
Дальше чистая алгебра.
По теореме косинусов косинус угла между 14 и 15 равен 0,6, значит синус 0,8. Тогда S=0,5*14*15*0,8=84
You're my hero in advance.
чтоб эксплуатировать формулу Герона, надо не только знать о её существовании в кем-то сочинённой математической абстракции, но и уметь возводить числа в степень 1/2, а если на каком-то отсталом от цивилизации острове не удасться найти калькулятор, то тогда для совершения акта решения такой актуальной задачи придётся поискать или сочинять алгоритм извлечения этих корней
вот что интересно..
если попробовать решить эту задачу
по вычислению площади круга..
то не получается..
Скажем, длина окружности 2πr= 13+14+15 = 42
Значит r= 42÷ 2π = 6.6847
Откуда S= πr(2) = 3.1415 × 6.6847(2)= 140.,38
Супер
Формула Герона очень удобна и не только для треугольников.
Разделить высотой на два прямоугольных треугольника и посчитать сумму площади каждого. Затем сложить.
отлично молодец
А я из треугольника сделала четырехугольник с прямыми углами. Площадь четырехугольника со стороной 13 и 15 равна 195, значит площадь треугольника 195/2 равна 97,5
Третий способ (способ гения): Строим равный треугольник данному и находим его площадь по формуле Герона ,а так как их площади равные ,то площадь нашего исходного треугольника будет равна его копии!
Сложил все стороны, поделил на 4 и умножил ответ на ответ
Площадь треугольника по формуле Герона
S=√p(p-a)(p-b)(p-c), где
а,b,c-стороны треугольника, а р-полупериметр, подставляем цифры
S=√21•8•7•6=√7056=84
ответ. S=84
Большое спасибо , мозги начинают двигаться , всё просто здорово .Узнаю старую советскую школу очень приятно
Молодец
Формула Герона работает для любых треугольников.
По формуле Герона решается в уме: под корнем после факторизации получаются парные простые 2, 3, 7.
Спасибо вам, золотой человек
Обожаю математику
Везет ваи, а до меня не доходит, туплю
Можно найти угол по теореме косинусов и потом площадь через две стороны и скину угла между ними
Есть 3-й способ, можно решить: по теореме косинусов можно найти угол А, а затем по формуле одна вторая произведение сторон на синус угла между ними
После того как провели BD, умножаем длину AD, на длину BD и делим на 2. Потом , BD умножаем на DC и тоже делим на 2. Получиные результаты- складываем и получаем площадь. Для того чтобы узнать длину достаточно померить. А Ваши корни и формулы забивание мозгов особенно детям. Я работаю столяром и не разу ещё не ошибся в расчетах. ,
Странно! По вашему Вы две неизвестные величины перемножили и поделили на 2. Например: высота ВD Вам не известна. Так же неизвестная сторона АD и DС, а Вы их перемножили и поделили на 2? Ну, Вы, блин даёте!😄
Длину AS и BD ещё вычислить надо.
Нормальная, так, табуретка получается. А мерять рулеткой или складным метром.
@@juridanilov3718 )))Понятно, это методом «тыка» называется. Так же и «радиус» круга высчитывается у «бондарей» при изготовлении бочек.
Не известно Вам, теоретикам. А нам практикам известно. Так как вы, теоретики, применяет виртуальность. А мы практики, имеем возможность банально померить, и получить результат.
Вишь, ты как! Видать, Герон башковитый мужик был. У нас в деревне тоже один такой был, Германом звали. Формулы всякие любил выписывать... Может, это он и есть?
Скажите пожалуйста , для чего борода эта нужна ?