Вставка
- Опубліковано 16 сер 2023
- Что больше: 2^√7 или 3^√3? Выясняем это, не пользуясь калькулятором, но подбирая удобные степени двойки и тройки, близкие друг к другу.
Щетников А.И. "Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита"
cyberleninka.ru/article/n/raz...
Сравним 2^100 и 2^101. Показатель увеличился на 1%, а результат - на 100%.
Поэтому утверждение, что отклонение показателя на 1% пренебрежимо мало и не влияет на результат, требует дополнительных доказательств.
Он сравнивал не показатели а результат, хотя при возведении в квадра т погрешность повысилась до 2%, но все равно ок
При всём уважении к Вам, совершенно некорректно в таких задачах оперировать утверждениями вроде «с точностью до 1%». Может, начальные величины, которые нужно сравнить, отличаются меньше, чем на 1%. Откуда Вы знаете? Решение нужно оформлять в виде неравенства, чтоб всё было строго.
Спасибо!🌺
Мощно!)
В общем в своем решении пытался подобрать наиболее близкие приближения степеней 2. Для начала 3^(√3) и 2^(√7) возвел в степень √3, получил 2^√21 и 3^3, понятное дело 2^4 2^(14/3) > 2^(√21)
Далее 2^(14/3) сравниваем с 3^3, 2^14 и 3^9, учитывая, что 2^11 2^√7 < 3^√3
Предлагаю развить музыкальную тему дальше и глубже! Почему нот было 7, а стало 12? Почему индусы делят октаву на 19 интервалов? Почему от Пифагорова строя перешли к натуральному, а от натурального к равномерно темперированному?
Как-нибудь сделаем. На самом деле, это большой объём, если разбираться. Мы когда-то с пашей Томасом вели на зимней школе такой трёхдневный курс.
С равномерно темперированным, вроде бы, объяснение простое - это удобно чтобы поднять/опустить композицию на любое число тонов (если правильно помню смысл термина тон) чтобы адаптировать ее для певца с определённым рабочим диапазоном голоса или к инструменту, причём мелодия при этом не искажается благодаря сохранению пропорций между частотой звуков
@@andreykuznetsov7442 это называется транспозицией.
Для решения задачи хватило бы и того, что 2^11
Вот моё решение
Возведём в степень √7 и сравним 2⁷ и 3^√21
3^√21 > 3^√20,25 = 3^4,5
Далее сравним 2⁷ и 3^4,5, для чего возведём в квадрат и сравним теперь 2¹⁴ и 3⁹
Первое число равно 16384 (просто помню некоторые степени двойки наизусть), а 3⁹ = 3•3⁸ = 3•(3⁴)² = 3•81² > 3•80² = 3•6400 > 3•6000 = 18000
Значит, можно составить такую цепочку:
2¹⁴ = 16384 < 18000 < 3⁹
Возводим в степень 1/2, получаем:
2⁷ < 3^4,5 < 3^√21
Возводим в степень 1/√7, получаем:
2^√7 < 3^√3
Наверняка есть способ проще.
Решение красивое
Но я возвел в √15 степень и получил
2^√105 3√45
2^11 3^7
2048
Возведём обе части в степень 2√7, получим 2^14 < 3^9 < 3^(2√21)
В общем случае как-то не аккуратно сравнивать разницу показателей с разницей значений степеней
Чем это напомнило ua-cam.com/video/lxa17GDYaro/v-deo.html
Валерий Волков ответит?
Берем log2 от обеих частей неравенства. rt(7) ¥ rt(3)/log2(3) rt(7/3) ¥
-log2(3) 2^rt7 > 3^rt3😂
Сложновато решение) проще уж в уме корни найти))
Можно развить тему поиска таких близких чисел, как 256 и 243. Если мерой близкости (~качеством) чисел считать логарифм их отношения без единицы, то для 256 и 243 это будет -ln(256/243-1) = ~2.9 , а для 2^19 и 3^12 это будет -ln(3^12/2^19-1)= ~4.3. Например, 2^35 очень близко к 3251^3, для этих ребят качество составит 12.92 ! Для любой пары оснований такие соотношения легко находятся при взгляде на цепную дробь, полученную из отношения логарифмов оснований: ln(3251)/ln(2) = [11, 1, 2, 94640, 1, 19, 1, ..] В последовательности чисел нужно найти близкое к началу выдающееся число, здесь это 94640. Значит, если отбросить его и все последующие числа цепной дроби, то получится ОЧЕНЬ неплохое приближение!
Простым перебором можно найти немало жемчужин, как среди степеней простых, так и взаимно простых чисел. Например, пары простых:
61^1530 и 1201^887 дают качество 22.2337...
5039^133901815598 и 11813^121735457259 дают качество 43.189...
Или такие пары взаимно простых:
470^282 и 2087^227 дают качество 24.1395...
1311^15262648035293 и 31856^10566478311233 дают качество 52.0536..
Это значит, что в десятичном представлении первые 22 (~=52/log(10)) цифры этих чисел будут совпадать!
А чё на 5,5%?
Пытаюсь перейти по ссылке: 502 Bad Gateway 😞
предел производительности труда больше при серийном|массовом производстве производимой продукции
Как-то нелогично. Исходно было ограничение - не пользоваться результами вычислений, которые не сделаны в уме! Так ведь? И кто-то тут в чате и в самом деле непринуждённо в уме вычислил 3¹² ?
Срочно читать!