Как вавилоняне извлекали квадратные корни?
Вставка
- Опубліковано 20 бер 2024
- Вавилонский алгоритм извлечение квадратных корней, когда на следующем шаге берутся среднее арифметическое и среднее гармоническое от приближений предыдущего шага, исключительно быстро сходится.
Благодарим вас за интерес к нашей работе!
Получить доступ к дополненным материалам и поддержать нас можно в нашем телеграм-канале: t.me/getaclass_channel/525
Новосибирский Государственный Университет
www.nsu.ru/
Не знал этого способа.
Думал строили прямоугольный треугольник и гипотенузу измеряли.
Итеративные методы мощны!
гипотенузу придумал уже пифагор :) он жил позже
Причём этот итеративный метод довольно быстро набирает точность.
Кто знает.
Точно?
...хм
Спасибо древним индийским математикам, придумавшим десятичную систему. А то мучались бы сейчас с 60-ричной.:)
Это шутка, если что. 10-ая уже в Риме была, просто записывалась по другому.
Индусы видимо раньше римлян изобрели десятиричную систему.
Есть более удобные, например 12-ричные или 16-ричные.
Но благодаря древним индийским математикам, теперь страдаем с десятичной :)
@@asderoookrook7002просто умножать и делить на 10
@@user-nn2ss9vm1s12ти- ричная система была у них
это метод похоже можно обобщить на n-мерный куб и тем самым извлекать любые натуральные корни из любых например даже рациональных чисел. Спасибо за ролик
Респект древним. Я то думал, что это придумал Ньютон.
Доброго здоровья - я полагал метод Ньютона скорее завязан на понятии производной, нежели на "оквадрачивании" прямоугольника. Больше всего мне этот метод напомнил представление квадратного уравнения графическим методом, где прямоугольник x^2+bx=c представляли как квадрат х на х и прямоугольник b на х.
@@YuriiKostychov доказательство действительно можно ваести через производные. Методом Ньютона решают и другие нелинейные уравнения и из системы. Но если Вы посмотрите какие действия выполняются, то увидите, что это и есть метод Ньютона.
@@user-oc2yy9oz2j Да, формула похожа на метод Ньютона-рафсона, но тут скорее метод простой итерации:
a=1, b=2, A=2
a = (a+b )/2 , b = A/ a
и т.д.
Для А>1 оно будет работать всегда.
Снова здравствуйте - при одинаковых начальных условиях (нулевой итерации) оба алгоритма (возможно одного и того же метода) дают идентичные результаты по точности и пр. - пробежался методом Ньютона. Мне пока сложно увидеть прямую аналогию (через приращения площади) с дискретной производной функции f(x) = (x^2-2). Подумаю ещё. (@@user-oc2yy9oz2j
@@YuriiKostychov кстати, это метод Аль Хорезми
спасибо очень интересно
Мне ничего не понятно лично но я видимо очень глуп для всего вот этого.
И вам спасибо) Интересный подход, прямоугольник всё ближе к квадрату, а его сторона всё ближе к корню из 2
Расскажите пожалуйста подробнее про 60 ричную систему . У них было 59 разных цифр? Как они их складывали , делили и умножали ?
60 же разных цифр. Как в 10-тичной 10 цифр. Да обычно все действия производятся в любой системе счислений (разве что в единичной системе отличается, если что это счёт на пальцах к примеру).
Так же, как это производится в шестнадцатеричной, восьмиричной и любой какую только можно вообразить.
Вспомните, как производится сложение/вычитание и умножение/деление в столбик.
вот у нас есть пятеричная система счисления от 0 до 4: . - = * #
складываем числа -.= и #-. :
-.=
+
#-.
____
-.-=
в чём проблема расширить до 60-ричной?
@@Achmdв первом приближении, ни в чем, кроме пересчёта основания
Дякую вам за працю 😊
Интересный метод. Так ведь можно извлекать корни из других чисел.
Ещё алгоритм довольно быстро набирает точность.
Радует когда ко всему этому что угодно можно написать но вот смысл теряется и всё перестаёт работать так как надо.
Похоже можно геометрически и получение кубического корня объяснить (и тоже по факту метод Ньютона, и тоже быстро сходится).
Берём паралеллепипед, считаем среднее арифметическое по сторонам - это будут 2 стороны нового паралеллепипеда, делим объём 2 раза на это среднее - получаем третью сторону. Повторяем, пока не достигнем нужной точности.
"В буквах" это будет так:
P = a[i] + b[i] + c[i]
a[i+1] = b[i+1] = (P/3)
c[i+1] = V / (a[i+1] * b[i+1])
a[1] = b[1] = 1, c[1] = V
А можно побольше таких роликов с математикой?
Спасибо вам
ощущение что если бы 4000 лет назад технологии бы шли в пору с математикой, как сейчас, мы бы жили бы совсем в другом мире
как показала практика (и реальный мир) миром рулят не ученые и умы, а политики. а тут как в животном мире - выживает не умнейший и сильнейший, а наиболее приспособленный. а природа доказывает, что не всегда большой мозг/ум выигрывает в эволюционной гонке
Так-то технологии от математики и сейчас отстают значительно) Возможно, даже больше, чем 4000 лет назад)
Подскажите, а то что у нас во всех примерах получалось (m/n)^2=2+1/n^2, это совпадение ?
Не совпадение: если возьмёте за x сторону прямоугольника, то вторая сторона будет равна 2/x (из того, что площадь равна 2). Тогда среднее арифметическое даст
(x + 2/x)/2 = x/2 + 1/x
Площадь квадрата с такой стороной будет равна (x/2 + 1/x)² = x²/4 + 1 + 1/x² = 2 + (x²/4 - 1 + 1/x²) = 2 + (x/2 - 1/x)²
Чем ближе площадь к 2, тем ближе к нулю (x/2 - 1/x)², и значит, x будет стремиться к корню из двух
((2a/b + b/a)/2)^2 = ((2aa + bb)/(2ba))^2 = (4aaaa + 4aabb + bbbb) / (4baba) = aa/bb + 1 + bb/4aa = 1 + (4aaaa + bbbb) / 4baba = 1 + (4aaaa - 4baba + bbbb + 4baba) / 4baba = 2 + (2aa - bb)^2 / 4baba
остаётся понять, почему 2aa-bb равно -1 ...
По своей работе, мне приходится считать винтовую спираль.
Десетичная дробь, до 6й, 8й. Цифры и........ +
С уважением к контент. 😊🎉❤
(Урал, Россия, Екатеринбург)
Стоит у них спросить.
Полезно было бы добавить, что
a > (a+b)/2 > √(ab) > b,
поэтому на каждом шаге мы получем большую сторону a прямоугольника, а вычисляем меньшую b.
Когда пишешь программу это даже не играет роли, поскольку получается что сторона у тебя как бы одна все время : a = (a + n/a)/2
@@MrWhisper001 это позволяет понять, что на каждом шаге корень находится между a и b, а также, что диапазон поиска уменьшается более чем в 2 раза.
Т.е. оценить корректность алгоритма и скорость сходимости.
@@at_one это да, интересно понимали ли это сами вавилоняне.
Такой способ точнее( сходится быстрее) чем ряд Тейлора в окресности нуля?
весьма остроумно
Тяготеет к цепным дробям.
очень напоминает метод Дихотомии (численное решение уравнений)
Вроде у Веселовского в переводе сочинений Архимеда написано, что считали они по методу Ньютона. Там намного наглядней: например первое приближение корня из 5 берем 2, а следующее получаем размазывая погрешность 1 на две соседние стороны квадрата и.т.д.
загадка тысячелетия: почему bb - 2aa = 1
где b/a - это одна сторона такого прямоугольника, а 2a/b - вторая.
причём b/a равно (x+y)/2 предыдущего прямоугольника.
Шикарный выпуск! Но всё же хотелось бы пример из древней жизни, когда известна площадь квадрата, но неизвестна его сторона и её надо так посчитать! Это реально важно! СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Тот же принцип например площадь 4, тогда мы берём за вторую сторону 1 и берём среднее арифметическое -> 5/2, делим 4 на 5/2, получается 8/5, среднее арифметическое 41/20, ну и дальше
@@Lex06by а можешь придумать реальную в жизни причину для такого? Я пытался найти реальное историческое применение квадратного уравнения и не нашел. Может хоть у квадратного корня оно есть? (или было по крайней мере)
@@mike-stpr у вавилонян земли были общинными и надел под земледелие выделял правитель. Эти земли были вдоль рек и за счет наносов ила они были плодородными (как Нил в Египте). + они же рыли каналы, чтоб больше было заиливаемых земель. Так вот, чтоб не посориться всем, кому больше или меньше - учатки резались равной площади. Ну и чтоб н епростаивали. Так ч товсе просто - наделы делили.
@@Ihor_Semenenko спасибо! А для чего нужно было брать квадратный корень? Просто как бы, чтобы выделить участок равной площади, надо изначально знать его стороны, а не наоборот высчитывать их уже зная площадь. Поправь меня, где я ошибаюсь, плиз?
@@mike-stpr не, им просто нужно было решать квадратные уравнения - чтоб площадь через длинну выражать. А квадратный кореень это частный случай.
Но мое предположение не 100%, потмоу ка точных данных нет. Скорее всего именно так и использовали.
По факту, дихотомия..)) мощно, мощно))
Самая удобная, по-моему, 12-тиричная. 12 делится на 2 на 3 на 4 и на 6. Было бы удобно.
Она и существовала(как и 20-ричная) - у французов и англичан до сих пор чувствуется. А еще 12-ричной на фалангах пальцев(4х3) считать удобно, этим тоже пользовались.
Получаемые дроби имеют отношение к представлению корня из двух в виде цепной дроби? Ведь она, как известно, даёт наилучшее приближение.
Удивительно, но доказательства того, что процедура сходится к искомому кввдратному корню из двух, не прозвучало.
Я бы предложил рассмотреть другую задачу: допустим, мы умеем извлекать квадратный корень. Как нам быстро вычислить корень любой (целочисленной) степении? Ситуация типичная, большинство калькуляторов имеет только эту операцию.
Приведу пример для кубического корня: извлечь из числа квадратный корень, затем умножить на исходное число. Повторять до тех пор, пока результат не будет меняться.
Мне както на досуге приходила идея, что у вавилонян должно быть где-то кв корень из 60 содержаться. Вы меня подтолкнули внимательно их соображения посмотреть. Вавилоняне это хорошо, только вот в их числах с основанием 60 я этого не вижу. Если сравнивать с итеративными методами в компьютере, стандартная итерация прогоняется примерно 6 раз, значит выходная точность примерно 8-9 значащих знаков.
Я так понимаю нельзя точно его посчитать таким способом? Ведь иррациональные числа нельзя записать дробью
А другим методом возможно точно посчитать иррациональное число?
А зачем была нужна 60ричная система исчисления ?хмм
У землян привязка к десятичной сист. исч. (десять пальцев). А как еслиб брали все 20 пальцев или при двоичной систем (да-нет), в математике не землян???
Неплохо! Есть известный способ быстро вычислять знаки Пи, но на каждом шаге надо брать корень - с таким алгоритмом это вообще не проблема, неудивительно, что и миллион знаков можно посчитать очень быстро, там зависимость получается O(logN)
Неа, в лоб не получится.
Корень из корня уже будет иметь гигантский знаменатель.
А в том методе нужно считать:
48*√(2-√(2+√(2+√(2+√3))))
(Полупериметр вписанного 96-угольника).
А Архимед как-то доказал, что он больше 223/71 (а описанный меньше 22/7).
@@at_one нет, в том-то и дело, что это наверно самый не продуктивный способ вычислять знаки Пи, которой продержался аж до Ньютона, но и через арксинусы - ряды Тейлора тоже давно не идеально получается - чтобы вычислить Пи на самом деле можно работать по похожему на этот, вавилонский алгоритм, когда на каждом шаге число верных знаков будет удваиваться - в общем не удивительно, что на самом обычном процессоре сейчас миллион верных знаков занимает секунды буквально.
А по-моему, корень извлекался гораздо проще. На прямой откладываем отрезок, из которого надо извлечь корень. Увеличиваем этот отрезок на единичную меру. Строим полукруг так, чтобы увеличенный отрезок был его диаметром. А потом из "точки продолжения", в которой исходный отрезок был добавлен к единичному, строим перпендикуляр до пересечения с полукругом. Длина полученного перпендикуляра - и есть квадратный корень, причём, точный, а не приближённый.
Как древние римляне умножали и делили большие числа в столбик?
А что в этом сложного?
@@kirillshkro MCCXXXVIII x MDCXCVII = ?
@@x_rays ну так система та же десятичная(ну или пятеричная, как посмотреть). Не знаю как делали римляне, и с делением тут явно куда сложнее, чем с арабскими цифрами, но умножение же точно такое же и достаточно элементарное. Берём II, II*III=VI, II*V=VV, II*XXX=LX, II*CC=CD, II*M=MM. Берём V и сразу автоматом поднимаем на один ранг десятичных буквы соответственно V'DDLLLVVV(по счастью такую некорректную форму можно себе позволить, т. к. она однозначно читается), а пятеричные по формуле V = XXV, получаем V'DDLLLXXVVVV на этом этапе. И так по-тихоньку лепим монструозное количество слагаемых.
Такими огромными числами в Риме, как произведение четырёхзначных чисел, не оперировали, поэтому данный пример несколько лишён смысла.
Это по-моему, называется методом итераций. А может, методом исчерпания...
А зачем им это нужно было?
у меня в 5 классе был калькулятор с бп, который знал только 4 действия и в инструкции как раз был описан этот способ вычисления корней
Древние - значит умные.
60? На самом интересном месте. -
Итерационные методы древнего Междуречья! Стыбно должно быть школьникам, которые и простые дроби не умеют считать, ла что говорть, время по часам со тсрелками не смогут узнать.
Еще бы про нахождение площад икруга у древних египтян было бы интерсно послшуать.
И у индейцев. У них наскальные чертежи уже были изображены с учётом числа пи в пропорциях
Мне кажется, не совсем правильно сравнивать древних ученых дядечек и современных малышей.)
@@XBOCT_MAMOHTA Тут с вами согласен, у современного школьника больше возможностей получить знания - у древных дядечек такого изобилия не было.
@@Ihor_Semenenko и это тоже.)
Блин, мне этот вопрос во сне приснился, помнид же, что есть хороший способ как можно эту формумлу получить, и тут во сне вспмонил:)
√A = x + a
A = (x + a)²
A = x² + 2ax + a²
x>>a => A ≈ x² + 2ax
a = (A - x²) /2x
√A ≈ x + (A - x²) /2x = (2x² + A - x²) / 2x = (x² + A) / 2x
√A ≈ (x + A/x)/2
Еще одно подтверждение, что т.н. "арабские цифры" совсем не арабские. Потому что на месте проживания арабских племен были ближневосточные цивилизации (месопотамия, шумерия, вавилон) которые использовали шестидесятиричную сис-му счисления. А якобы "арабские цифры" это десятиричная система счисления, которую арабы просто переняли у индусов, а вовсе не изобрели сами.
Кстати, отголоски той шестидесятиричной с.с. есть на часах. Подумайте, 1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут. День 12 часов. Эти числа кратны к 60.
Так-то они называются арабскими, но цифры к арабам «пришли» из Индии!
почему тебе так не нравится слово система?
@@Maks_888 да, я в курсе. Я не уточнил про Индию, но объяснил почему у арабов не могли возникнуть.
арабскими они называются только у нас и только потому, что европейцы их переняли у арабов. немного видоизменив (повернув против часовой стрелки на 90 градусов). сами арабы не называют их арабскими и они отличаются от наших цифр.
тут ничего подтверждать не надо. все и так знают, что арабы используют индийские цифры.
@@Achmd ну это вы понимаете, а большинство обывателей на территории снг думают что цифры именно арабские. Более того, я как то общался с одной кавказской "гюльбинэ", она мне доказывала что именно Ислам дал миру эти цифры.
Нафига, а главное зачем древним людям нужно было пересчитывать прямойгольник в квадрат?
Например, нужно построить квадратный храм с заданной площадью пола.
Ну а математикам пофигу, нужно это или нет, им математика интересна сама по себе. Они просто удовольствие получали.
А почему не вавилонцы ?
Город Вавилон - жители вавилонцы.
Страна Вавилония - жители вавилоняне.
Так и нет понятно как определили корень из двух
да ни как.
оно им на хер не нужно было . у них просто было стадо лошадей .
Видимо у них надо было активно делить наделы между помещиками, вот и ударились в геометрию
!
Почму 17/12, а не 17/6?