Все элементарно: здесь два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой: ABD и BCD. Возводим выражение, данное в условии, в квадрат. Получаем сумму квадратов катетов плюс их удвоенное произведение. И все это равно 144. Делим обе части равенства на 4 и получаем, что площадь одного треугольника плюс площадь другого равно 36.
Зачем учиться дальше 7-го класса, если они ( семиклассники) способны решать самые красивые задачи самыми простыми и, следовательно, самыми красивыми методами??? Видимо, недаром в послевоенные годы в СССР было обязательным лишь 7 классов!?!? Ура, товарищи!!! Ведущему Браво, Браво, Браво!!!
Поскольку в условиях не сказано, что углы B и D не прямые, то мысленно вращаем треугольник BCD вокруг точки D с соблюдением условий задачи до тех пор, пока угол D не станет прямым. Исходя опять же из условий задачи о равенстве AB и AD, получаем равенство BC и CD при их сумме 12. Э вуаля: имеем квадрат со стороной 6 и площадью 36.
@@GeometriaValeriyKazakov не обязательно, условия задачи не задают ограничения на эти углы. А значит если от их значения площадь меняется, то условия некорректны и надо было обозначить какие-то ограничения на эти углы. Если же условия корректны, то значит от углов площадь не зависит, а значит она 36
О, нашел такое же решение, совсем не обязательно рассматривать другой вариант потому что если будет другой ответ то значит не верно сформулирована задача, условия не достаточно для решения и может иметь разную площадь. Я описал решение в другом комментарии, там привел второй частный случай где длина одного катета треугольника ВСD стремится к нулю а второго к 12, тогда площадь четырехугольника стремится к площади треугольника ABD c длиной гипотенузы равной 12 и высотой 6, также к 36. Хотя слово стремится в этом случае не верно потому что она всегда будет равна 36.
А Паскаль еще был физиком и в честь него названа физическая единица. Мне очень нравится, как вы привносите небольные зернышки общей культуры (литературу, факты из жизни великих ученых) в решение задачи. Вы настоящий педагог.
@@GeometriaValeriyKazakov но ведь всем не угодишь. Продолжайте в выбранной Вами манере преподнесения информации! Очень интересно, полезно, содержательно!
В исходной задаче предполагается, что ответ будет единственным, вне зависимости от величины угла В (и, соответственно, ответного ему D). Т.е. я могу мысленно двигать вершину С произвольно как мне вздумается, искомая площадь при этом не изменится, если А=С=90°. При таком мысленном перемещении я останавливаю вершину С так, чтобы В равнялся 90°. Тогда D будет = 360-A-B-C=90°. Перед нами квадрат со стороной 6, т.е. s=36. Это одно из допустимых решений, а условия задачи предполагают, что оно единственное, т.е. все площади всех возможных четырёхугольников, образованных траекторией мысленного движения С должны быть равны друг другу.
Вы не знаете и не можете знать, ч о предполагается в исходной задаче. Строго говоря. там ничего не предполагается. Есть условие и все. Простые учебники - зло! В них у любой задачи есть ответ, в жизни и в математике это просто не так.
При всём множестве существования такого 4-х угольника ответ будет один 36 кв. ед. Смотрите решение в комментариях выше. Там есть критерий существования таких 4-х угольников через зависимость катетов.
Это неполное решение. Но оно вполне годится в отдельных случаях. А неполное потому, что берем частный случай и решаем его, но при этом не утруждаем себя доказательством того, что решение задачи будет одно и тоже, независимо от того какой случай взять. Т.е. факт того, что площадь будет одной и той же при разных соотношениях ВС и СD, и зависит только от их суммы мы подразумеваем из условия, но не задумываемся о том, что условие может быть неполным или противоречивым.
Пусть АВ=АД=а. Тогда ВД=а√2. Пусть ВС=х, СД=у. Тогда х в квадрате плюс у в квадрате равно два а в квадрате. х+у=12 . Возведем в квадрат обе части этого равенства. Два а в квадрате плюс 2ху равно 144. Разделим обе части полученного равенства на 4. Получим : а в квадрате деленное на 2 плюс ху деленное на 2 равно 36. Первое слагаемое - площадь равнобедренного треугольника. Второе - площадь другого треугольника.
Зоя Шаромет, у вас самое лучшее решение, такое, как необходимо для школьников, Итог вашего решения таков: S(ABCD)=S(∆ABD)+S(∆BCD)=a^2/2+x*y/2=36; Кроме того автор допустил ошибку на 10-ой минуте, площадь треугольника ABD равна BD^2/2 ; тогда, как автор делает ошибку возводя в квадрат два в знаменателе.
@@БадрудинИтоновичМагомадов с чего ради площадь треугольника считается как гипотенуза в квадрате пополам?он сказал,что половина гипотенузы равна высоте,опущенной к ней.нашел половины гипотенузы и умножил на высоту,потому что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно считать как возведение в квадрат этой высоты,соответственно и знаменатель в квадрат возвелся.он мог гипотенузу не делить на 2,а умножить ее на высоту,которая в два раза меньше высоту,а затем поделить произведение на два,получилось бы тоже самое.)
Копируем четырехугольник АВСD, поворачиваем на 90 градусов против часовой стрелки. Совмещаем точки A. Получаем трапецию с высотой (BC+CD), нижним основанием СD и верхним BC. Площадь трапеции: высота (BC+CD) умножить на полусумму оснований ((BC+CD)/2). т.е. 12*6=72. Площадь четырехугольника 72/2=36.
Мне эта фигура напоминает квадрат с немного загнутым уголком С по отношению к плоскости фигуры. Почему квадрат??? Потому. что противоположные углы прямые и стороны АВ и АД равны - - - - по условию. Если плоскость сделать ровной, то сторона квадрата будет равна - - - - 6. S =6*6= 36. Это конечно решение для 1 кл. Просто я так вижу.
Так как нет дополнительных условий, мы имеем два предельных варианта: 1) это квадрат, и его площадь 36, или 2) точка В совпадает с точкой С и у нас прямоугольный равнобедренный треугольник, с гипотенузой 12, площадь которого тоже 36. все остальные варианты лежат в диапазоне площадей от 36 до 36.
Несмотря на четыре "лайка", это не решение. Ваши предположения вовсе не гарнируют, что в промежуточных вариантах изменение площади невозможно. Рассмотрите другую ситуацию: прямоугольник с суммой длин смежных сторон, равной 12. Например, 1 и 11. Его площадь будет равна 11. 2 и 10 -- площадь 20. И тп.
@@theMerzavets нет, не будет больше. У нас функция с тремя уже определенными точками: 1) вариант когда BC = 0; 2) вариант когда BC = CD; 3) и вариант CD = 0. Везде функция дает одинаковый результат. такая функция не может иметь перегибов, и будет в виде прямой. т.е. и при остальных вариантах соотношения BC/CD она будет давать одинаковый результат.
@@IlyaKiss во-первых, с одинаковым периметром можно построить бесконечное количество именно прямоугольников; во-вторых, я не совсем понял суть вашего возражения. Или это не возражение было?
@@maxb5882 а на каком основании вы считаете эту функцию линейной? Какую кривую опишет угол при изменении её параметра? (Подсказка: хотя бы мысленно рассмотрите множество вписанных в окружность прямоугольных треугольников. Как раз все три ваших условия выполняются -- в крайних точках имеем треугольники, вырожденные в отрезки -- но функция при этом тригонометрическая.)
Два прямоугольных треугольника (один из которых равнобедренный) с общей гипотенузой. Используя теорему Пифагора и формулу суммы квадратов чисел получаем площадь фигуры 36. Легко и просто.
Перевернем четырехугольник на 90 градусов(отложим такой же, D в B ,C в К, B в Е. Так как четырехугольник можно вписать в окружность, ADC+ABC=180, то есть ЕК параллельна CD, после поворота образовалась боковая сторона KC = BC+CD = 12. Средняя от ни я трапеции = EK+CD/2=12/2=6, S=6*12=72, Это площадь двух изначальных фигур, значит искомая = 72/2 = 36
Проведём диагональ ВД. Она делит 4-х угольник на два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза. А далее применяя математический аппарат выражаем гипотенузу ВД из одного треугольника АВД и второго ВСД получим соотношение между катетами обоих треугольников. а именно 2 * а^2 = x^2 + (12-x)^2. Отсюда а^2 = x^2 - 12*x + 72. А теперь площадь четырёхугольника равна сумме площадей АВД и ВСД. Площадь АВД = а^2/2; Площадь ВСД = (х * (12-х)/2 и а^2/2 + (x*(12-x)/2= 1/2 * (х^2 - 12x+72 +12x-x^2)=72/2 = 36. ЧТД.
Соединяем прямой точку B с точкой С где она является диагональю для двух образованных треугольников АBС и ВСD. Сумма сторон ВС и СD = 12 применяем теорему Пифагора и находим длинну диагонали для двух образованных треугольников. Тогда получаем сумму сторон АB и СD =12, по условиям они равны между собой, 12:2=6, 6×6=36, что является площадью четырёх угольника.
Здравствуйте. Валерий Владимирович Козаков - автор учебника по геометрии в Беларуси. По-моему, работает и живет в Беларуси. И, мне кажется, наши славянские языки очень похожи, чтобы понимать друг друга. Давайте не будем использовать такой замечательный образовательный канал для выяснения отношений.
@@mishania6678 Классическая точка зрения шизофреника! Который разговаривает с окружающими на "своем языке", который никто, кроме него, больше не понимает. А вместо совести и ума у них - демагогия "про права" и сваливание с больной головы на здоровую.
Я делал по-другому: Диагональю BD разделил на два треугольника. BC - y CD - x x+y=12 тогда BC = x-12 У обоих треугольников выразил площади через X. Сложил получившиеся формулы. При упрощении уравнения X везде сократился. Ответ 36
Левую и правые части равенства условия возвести в квадрат .Оставив в левой части сумму квадратов , перенести удвоенное произведение в правую .Левая часть даёт квадрат ВД , что есть 2 АВ квадрат. То есть 4 площади треугольника АВД .В правой части 144 - 4 площади ВСД.Ответ 36
Валерий, СПАСИБО!!! Я восхищён тем, как Вы подаёте варианты решений (11-й, 10-й, ... ,7-й класс... и даже младше)!!! Мне больше всего именно этого не хватало... И вот я открыл для себя Ваш канал!!... Комментировать буду не всегда, а вот смотреть... -- постараюсь не пропускать! 👍 Ещё раз СПАСИБО!!!
Этот четырёхугольник и ещё три, полученные и него поворотом вокруг A на 90, 180 и 270 градусов, вместе образуют квадрат со стороной 12. Площадь тогда равна 12^2/4=36.
Проводим В-D. На серидине В-D лежит центр окружности проходящей проходящей через А В С и D. Отсюда АВ+СD = DC + СВ =12. Так как АВ=СD то АВ= 6 . Дальше 6*6=36
@@GeometriaValeriyKazakov только треугольник ВСD МЕНЬШЕ треугольника АВD. так как только равнобедренный треугольник будет иметь максимальную площадь. А все не равнобедренные будут меньше. Отсюда: площадь АВСD меньше 36.
Браво! а я не решил! не нашёл что и куда повернуть, дорисовать, но предположил, что 12 делим на 2 и получаем 36, но это так получилось в следствие паники и стыда
Искомая площадь: AB^2/2+BCxCD/2. Выразим AB^2 через BC и CD. AB^2/2=BD^2/4, BC^2+CD^2=BD^2. Тогда площадь равна (BC^2+CD^2)4 + BCxCD/2, складываем и получаем (BC^2 + 2BCxCD + CD^2)/4, заметим, что выражение в скобках это квадрат суммы, тогда ((BC+CD)^2)/4 или 114/4=36
Ответ- 36. Решение: соединим т.В и т. Д. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВД и ВСА. У них общая гипотенуза ВД. Из теоремы Пифагора следует сумма квадратов катетов в данных треугольниках будет одинакова, это возможно, если сумма длин катетов АВ+ АД = ВС+ СД = 12, так как треугольник АВД равнобедренный, то длина его катета равна 6, а площадь всей фигуры- 36.
Примерно так и я делал. Треугольники с общей гипотенузой, значит их площади одинаковы, и равны половине от произведения их катетов. А так как катеты у второго одинаковы, значит 12/2=6 Общий объем 6*6=36
Я нашёл свой собственный, который лучше ваших. )) Раскладываем на плоскости наш четырёхугольник и ещё три его копии, образованные его трёхкратным поворотом на 90 градусов вокруг точки А. И обнаруживаем, что в сумме они составляют квадрат со стороной BC+CD = 12; Его площадь равна 12^2 = 144; А площадь его четвертинки, соответственно = 144 / 4 = 36. Аминь. PS. Само собой нужно немножко доказать, что всё стыкуется именно в квадрат, но это дело несложной техники, я думаю пятиклассник справится без труда. PPS. Вообще, при просмотре видео, я ожидал увидеть это решение в качестве третьего, самого простого и красивого, способа. Но так и не дождался. Мы с Маленьким Принцем немного разочарованы...
Ваше решение тоже восхитительно, хотя оно вытекает из двух решений Валерия. ☝️ Или его решения являются производными от Вашего. 🤔 Можно и так сказать. 👍 Но главная изюминка Вашего решения в том, что оно демонстрирует единство этих трёх решений, что они -- суть одно и тоже! 😏 Кстати, большое спасибо Вам за Ваше решение!! 👍
да, пожалуй, это то самое "решение в одно действие" -- просто гениальное 🙂 Но до него догадаются "не только лишь все". Спасибо вам! Я же увидел диагональ BD, которая является диаметром описанной окружности для двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, и т.д.
Доказательство, что стыкуется в квадрат требует знания из 8 кл о том, что сумма углов четырехугольника 360. Как и решение автора для 1-7 кл. Я, кстати, именно его и нашла в первую очередь.
Проводим диагональ ВД. Треугольник АВД прямоугольный и равнобедренный с основанием ВД. Уколы при основании по 45 градусов. Теперь в треугольнике ВСД угол СДВ равен 90 минус угол СВД. И в то же время угол СДВ равен угол СДА минус угол АДВ, который 45 градусов. Значит СДВ равен 45 градусов Всё. Это квадрат. Задача из пальца высосана, зачем только? Время на канале забивать ?
поскольку четырехугольник вписан в окружность - то для него работает правило - BC+AD=CD+AB. И поскольку BD общий диаметр для двух прямоугольных треугольников BCD и ABD, вписанных в окружность, то BC+CD = 12 равно как AD+AB=12. AB=AD=12/2=6. Sabcd=2*6*6/ 2=36
@@АланияКрокодилова пардон - у вписанного четырехугольника работает правило произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. и учитывая что АB = AD и BC+CD=12, а так же исходя из того что треугольники ADB и BCD прямоугольные найдем BC по теореме Пифагора - BC= 6(2-2^1/2) . Из уравнений найдем AB=AD- и AB будет равно 12*(1-(2^1/2)/2)^1/2 , а CD = 6*2^1/2 из этого найдем площадь четырехугольника как площадь двух прямоугольных треугольников. Отсюда и получится 36.
Можно не задумываться над трансформацией, а просто 12 представить как сумму 2+10 (или любую другую, 3+9, например). А дальше посчитать BD, как гипотенузу прямоугольных треугольников. Корни квадратные из неудобных чисел самоликвидируются при подсчете площади треугольника ABD.
я повелся на первый кадр и решил устно. BD -- диаметр окружности. точки А и С лежат на окружности и опираются на этот диаметр. Можем двигать точку С на окружности, угол BCD будет оставаться прямым. Подвинем точку С по окружности так, что она перейдет в точку B, треугольник BCD станет вырожденным и диаметр окружности тогда равен 12, радиус 6. В таком случае S_ABCD = S_ABD = R^2 = 36.
самый простой алгебраический. площаь квадрата - квадрат диагонали на 2 деленный. значит треугольника BAD - деленый на 4. площадь прямоугольного тр-ка - полупроизведение катетов. возводим условие в кадрат делим на 2 и получаем ответ
4 таких прямоугольника складываются в квадрат со стороной 12, площадь которого будет 144, значит площадь АБСД 144/4=36. Просто поворотом на 90 относительно точки А.
Все точки лежат на одной окружности с диаметром BD. У четырехугольника есть два интересных частных случая: 1. ВС=0, и тогда это равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, площадь 36 2. ABCD - квадрат со стороной 6, площадь 36
Ну и... в промежутке между 1) и 2) пока ВС принимает значения от 6 до ноля, отрезки АВ и АД будут принимать значения от 6 до 8,48. производя площади бесконечного количества четырехугольников равними 36.
А можно пойти дальше, и заметить, что сторона прямоугольного треугольника BCD может меняться от стремящейся к 0 до стремящейся к 12. Тогда BD можно принять равным 12, площадь верхнего треугольника принять за 0, а площадь нижнего прямоугольного, равнобедренного треугольника с гипотенузой 12 будет как и у вас квадрат половины гипотенузы 6х6=36.
Решается очень просто: если площадь не зависит от двух неизвестных углов, то площадь квадрата равна (12/2)²= 36. Или, например, ВС или CD стремится к 0, то получается равнобедренный треугольник с основанием 12 и прямым углом в вершине, высотой 6. Площадь этого треугольника 12×6/2=36!
@@GeometriaValeriyKazakov а если зависит, то задача равносильна вопросу "какое расстояние между двумя планетами солнечной системы" или "сколько весит атом".
AD = AB = x, ВС =а, CD = b. a+b = 14, квадрат (a+b) = 144, удвоенный квадрат х = cумме квадратов a и b (теорема Пифагора). Следовательно сумма квадрата х и произведения a и b = 72, а следовательно площадь четырёхугольника - 36.
@@silenthunter9239 нет не равна. Квадрат суммы равен сумме квадратов а и b плюс удвоенное прозведение а на b. Но сумму квадратов а и b в этом равенстве можно заменить удвоенным квадратом х. По теореме Пифагора. Два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу BD, а значит, суммы квадратов их катетов равны.
Как найти площадь? Есть несколько решений этой задачи: 1 - Открыть Google Maps говорят что он знает всё.. 2 - Спросить у прохожих.. 3 - Вызвать такси, он довезёт (но это не точно 😂)
Диагональ БД делит четырех угольник на два прямоугольных треугольника. Площадь прямоугольника=1/2произведения катетов. Имея сумму катетов меньшего треугольника можно составить формулу в которой диагональ общая с равнобедренным треугольником.
Решал алгеброй. Потратил 30мин. пришлось заново научиться выражать площадь квадрата через его диагональ, и вспомнить сумму квадратов. Костя, 36 годиков.
Меня же эта задачка тем и заманила что решить её можно множеством способов. Меня всегда интересовал самый 'элегантный' - как правило, являющийся также самым 'эффективным' в смысле 'трудозатрат' (крайне актуально в реальной жизни и для не-математиков 😁). А вот тут-то и кроется весь пресловутый дьявол. Как правило, для нахождения элегантных решений, недостаточно знать/понять технические детали, главное - понять суть. Валерий это выразил научным термином 'инвариант'. Как-то так 🙂. P.S.: я вот совсем не педагог, но мне кажется что такого рода задачи ценны именно в 'методологическом' плане - учат школьников пониманию, а не просто и не столько чисто техническому решению задач. Имхо, это был один из сильнейших аспектов 'совкового' средне-школьного образования (по кр.мере, в естеств.науках), мир праху его, к большому сожалению.
@@mobikost Да, но поскольку в условии ничего не сказано, то в матемтаике это понимают так: мы рассматриваем все случаи, либо самый общий. Такие правила игры.
@@mobikost Обычно на олимпиадах этого не пишут, так как там все профи и всем все понятно. Но вы правы, для любителей можно было дописать, что ABCD - не квадрат!!! Но тогда не было столько комментариев, что тоже плохо для канала! Диалектика!
Загадка: дан четырёхугольник, 2 стороны равны, 2 угла прямые. Тогда, 2 других угла тоже прямые. Но тогда и 2 другие стороны тоже равны 2 предыдущим. Так это ж квадрат! 6*6=36
В ( 06.17) ошибка: " можно найти катет - он будет 12 делить на корень из 3". Правильно " 6 умноженное на корень из 2 или 12 деленное на корень из 2". Ведь острый угол 45 градусов, а не 60
Можно провести диагональ BD. Получим один равнобедренный треугольник, у второго прямоугольного сумма какие-то равна 12. Используем формулу сокращённого умножения суммы в квадрате. Раскрываем и получаем суммы площадей этих треугольникков , умноженных на 4. Ответ 36
Предположим что при данных условиях площадь не меняется. Возьмём частное значение когда точка С будет расположена на биссектрисе угла. Тогда получая квадрат ( по условию) сторона которого равна 6. Площадь 36. Решается в уме.
Есть еще 1 вариант решения через оценку выражений. Выражаем диагональ BD по теореме Пифагора 2 раза приняв АВ=АD=x и выразив площадь ABCD через нее. В итоге получим BC=6+/-(x2-36) 1/2. и x=6, а площадь АBCD тогда 36.
Я сперва решил алгебраически (через x) (8 класс). Только скобки нигде не раскрывал, поэтому получил в последней дроби в числителе полный квадрат, где у меня x благополучно сократился. А получив квадрат половины от 12, понял, что можно провести перпендикуляры из A на стороны BC и CD, и получить равновеликий четырёхугольнику квадрат со стороной 6 (способ похож на приведённый для 1-7 класса, но рассуждения чуток проще). Правда в первом классе ещё не знают о перпендикулярах. Решения с разрезанием по AC не заметил. Замечание: когда в геометрии говорят о равенстве фигур, то имеется в виду равенство их величин, т.е. площадей, а не конгруэнтность.
Эта задача решается устно, проведем от B линию до D получим равнобедренный треугольник, сумма внутренних углов 180 минус 90 и поделить на два получим , что каждый угол равен 45 градусов . Сумма углов четырёхугольника равна 360 , отсюда легко понять , что это и есть квадрат, тогда легко найти сторону квадрата которая равна 6 а площадь итак понятно 6*6=36 , тут квадрат нарисован по факту не правильно
Тут ещё проще решение. BD это диаметр окружности в который вписана эта трапеция. Поскольку треугольник BCD опирается на диаметр окружности то точка С может лежать на любом ее участке между точками B и D, не противореча условиям задачи. В том числе и совпадать с этими точками в пределе. В этом случае диаметр окружности будет равен 12 см. А площадь трапеции или уже треугольника будет равна четверти от 12 в квадрате т е. 36 см. Задача решается устно без всяких построений.
Напрашивается возвести в квадрат заданную сумму: 144=(BC+CD)в квадрате. Здесь будут содержаться: 1) площадь треугольника BCD и 2) квадрат диагонали BD, содержащий площадь треугольника BAD.
ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. Просто два угла в 90 градусов и общая гипоненуза ВД говорят о том, что площади двух треугольников равны. Равностороннесть АВ и АД с гипотенузой(диагональю квадрата,который мы представляем мысленно авсд ) говорит о том, что ав+ ад равно 12...можно более развернуто с доказательствами, но вроде это и так видно...как бы тянем угол С (прямой) до построения квадрата. Диагональ на месте, сумма сторон известна
"ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. " Как может быть "она сторона 12/2=6", если видно, что катеты прямоугольного треугольника BCD - Не Равны. Равенство АС = СД (из условия задачи) вовсе не означает, что их сумма равна 12. Их сумма в любом случае будет БОЛЬШЕ, чем ВС+СД.
У меня решение визуальное: представляем что смотрим на кусок фанеры из под угла D, разумеется получаем искаженную плоскость. Выравниваемся, смотрим фронтально, видим квадрат со стороной 6; = 36
Отрезок BD является гипотенузой треугольников ABD и BCD. Имеем тождество: BC + CD = 12. (BC + CD)÷2= 6. (BC÷2 + CD÷2)^2=6^2=36. (BC^2 + CD^2)÷4 + BC×CD÷2 = 36. BC квадрат плюс CD квадрат есть квадрат гипотенузы. Квадрат гипотенузы деленный на 4 равен площади треугольника ABC. BC×CD÷2 - площадь треугольника BCD. Площадь 4-угольника равна сумме площадей 3-угольников. Для проверки подставим в формулу численные значения BC и CD, согласно тождеству: 11 и 1; 10 и 2; 9 и 3; 8 и 4; 7 и 5; 6 и 6. Выясняется, что при всех сочетаниях катетов площадь 4-угольника неизменно равна 36. Фантастика! Этого не может быть! А как это работает? А давайте возьмем другие значения катетов BC и CD, а именно: -- 1 (минус 1) и 13; -- 2 и 14; -- 3 и 15; --88 и 100; --5 и 17 и так далее, тождество нам позволяет. Увы, результат тот же - 36. С той разницей, что здесь площади не складываются, а вычитаются. Окончательная формула - Sabcd = Sabd +/-- Sbcd
можно решить много проще. Из условия понятно, что любой 4-хугольник, соответствующий условию имеет одинаковую площадь. Значит можно взять 4-хугольник у которого ВС=СD=6. поскольку у треугольников общая диагональ, а треугольник BCD равнобедренный, с прямым углом, то АВСD - это квадрат со стороной 6 см. Соответственно площадь - 36
Из условия это никак не следует. Это вы додумываете условие. В конце-концов так и получилось. Но математическая задача в том, чтобы это как раз доказать!
Я очень люблю решать задачи по геометрии и математические примеры, но у меня ничего не получается в итоге, и я смотрю, как это делают другие. Не знаю, почему у меня это вызывает интерес. Наверно, это дано или же не дано от природы - улавливать суть в неочевидном, видеть и просчитывать возможности и ходы. Наверно, это то единственное, чему я завидую в других.
есть ещё четвертый способ, он проще показанных трех. Представьте, что BC=0. тогда вся фигура превращается в равнобедренный прямоугольный треугольник с диагональю = 12. Дальше не хитро, площадь 36 получается.
Дело в том, что BC и CD мы можем выбрать произвольно не нарушая условие задачи. В этом легко убедиться, вписав 4 -угольник в окружность: BC совпадет с ее диаметром. Например, можем взять BC =CD = 6. Тогда получаем квадрат со стороною 6. Ответ - 6х6=36. Или, если хотим, BC =0, CD =12. Тогда 4-угольник превращается в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой 12 и высотой 6. Площадь , соответственно, та же: 12х6:2=36. Вот и все...
А какое условие задачи я не выполнил? Я думаю, сам автор не осознал суть задачи. Правильное условие звучало бы так: доказать, что площадь 4-угольника не зависит от AB. Сама же площадь вычисляется, как я показал, элементарно. @@GeometriaValeriyKazakov
А можно вообще очень просто сделать. По формуле Пифагора, так как BD будет общей гипотенузой для ABD и CBD, то AB²+AD²=BC²+CD², а также нам известно что AB=AD, то есть ABD равнобедренный, и если BCD сделать тоже равнобедренным, то получаем квадрат. Соответственно 6*6=36. Предчувствую кучу комментариев что так делать нельзя, отвечу оба треугольника имеют общую гипотенузу, которая в свою очередь является центром окружности, в которую вписаны оба треугольника, и какое ни было бы соотношение сторон ВС и СD, будет меняться радиус окружности но не сумма площадей этих треугольников, и отсюда же AB=AD>=6
Строим BD как общую гипотенузу. Потом возводим в квадрат известную сумму катетов (BC+CD)^2=(BC^2+CD^2+2BC*CD)=144 . Она оказывается равной учетверённой площади малого треугольника (2BC*CD=4Sbcd) и квадрату общей гипотенузы (BC^2+CD^2=BD^2). Но BD^2=AB^2+AD^2=2AD*AB=4Sabd. Таким образом (BC+CD)^2= 4Sbcd+4Sabd=4Sabcd=12^2=144. Осталось разделить 144 на 4 и радоваться.
ДиагональВД является общей гипотенузой для двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов АС**2+СД**2=2АВ**2. Отсюда:АВ**2=(ВС**2+СД**2)/2. Площадь фигуры состоит из суммы площадей двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД : S=(АВ**2)/2 + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2)/(2*2) + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2 + 2*ВС*СД) /4 = (ВС+СД)**2/4 = 12**2/4 = 144/4 = 36
Забавно, что этому условию - ВСД=12 - соответствует бесчисленное множество четырёхугольников. Я даже подумал, что это какая-то ловушка. Но все эти четырёхугольники имеют площадь равную 36-ти. Например, если ВС=0 и СД=12, тогда у нас просто прямоугольный треугольник АВД с катетом 12 и его площадь =36. Если же ВС=СД=6, то у нас получится квадрат со стороной =6 - пртивоположные углы прямые и стороны равны. Уже интересно, что крайние значения дают тот же результат. Можно подставить ВС=4 и СД=8, или ВС=5 и СД=7, всегда получается 36.
Если присмотреться внимательнее, то в первом (для 10 класса) и в третьем (для 1-7 классов) случае производится разрезание заданного четырехугольника на две части, одной из которых является треугольник, который в дальнейшем перемещается на другое место на плоскости, образуя с оставшейся частью новую фигуру. В 1-м случае не обязательно это называть поворотом, можно как и в 3-м случае отрезать и просто переложить на новое место, и наоборот, в 3-м можно перемещение треугольника совершить путем поворота, как и в 1-м случае. Таким образом, 1-й и 3-й варианты решения задачи отличаются только полученной вновь фигурой. Далее, площадь квадрата изучается во 2-м классе, а площадь треугольника в 3-м, поэтому не стоит позиционировать данную задачу для 1-2 класса, не смешите людей! И не буду расписывать алгебраическое решение, которое вы позиционируете для 8-9 классов, просто упомяну, что есть гораздо более изящный вариант этого решения, не по сути, но, как минимум, по оформлению, а значит, он будет более нагляден и доходчив другому человеку!
1. Ни чего не мешает рассмотреть частный случай, когда ВС=0. Получаем треугольник АВD, BD=12. Опускаем высоту на ВD. Получаем два прямоугольных треугольника с катетами по 6. Sabcd=6*6/2*2=36 2. Другой частный случай BC=CD=6. Т.е. получаем квадрат со стороной 6. Sabcd=6*6=36. Два решения с одинаковыми ответами. Тривиально. А вот доказать, что площадь во всех случаях неизменна - сложнее.
Спасибо. А что позволяет рассмотреть частный случай? Давайте найдем площадь параллелограмма со сторонами 6 и 8. Рассмотрим его частый случай - прямоугольник. Получим 6х8 = 48. Верно, что ли?
@@GeometriaValeriyKazakov , из условия задачи следует, что площадь фигуры неизменна при любых BC и CD с ограничением, что их сумма равна 12. Отсюда решение любого частного случая покажет единственно верный ответ.
Но здесь же на видео представлены 3 способа, а не 4, как сказано в описании. Или я что-то упустил? Ну, не суть. Четырёхугольник ведь можно нарисовать по-разному, главное чтобы сумма BC+CD была равна 12. Тогда пусть BC=CD. Тогда этот 4-угольник будет сразу квадратом со стороной 6. Площадь, следовательно, 36. А ещё можно рассмотреть вырожденный случай, когда BC=0. Тогда CD=12 и мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12. Тоже вариант.
Диагональ BD даст по Пифагору в BCD 2AB^2=BC^2+CD^2; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2; Возведем в квадрат 144=BC^2+CD^2+2xBCxCD и подставим 144/2=AB^2+BCxCD; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2=144/4=36
второй легче для объяснения. я 4м классе. задача найти площадь равнобедренной трапеции. высота и верхняя и нижняя стороны известны. решил за 30 секунд. про среднюю линию ещё не знал. мысленно это прямоугольник и два треугольника = ещё прямоугольник
Решил в уме за 1.5 минуты. Проводим диагональ BD, получаем 2 равных по площади прямоугольных треугольника ABD и BCD с общей гипотенузой. Соответственно AB+AD=BC+CD, а оно уже известно 12. В итоге AB*AD = 36.
@@GeometriaValeriyKazakov Виноват. Увидел ошибку. Видимо мысленно поиграл в тетрис быстрее, чем смог сформулировать мысль )) Прямо как в старом анекдоте про алкоголика и два по 0,25
Игорь, не могу ответить на вопрос "как вы считает", так как ваш вопроос где-то прячется в ленте комментов. У меня 200 рлликов и доругие, поверьте, не хуже! Желаю при ятного просмотра.
В варианте решения дл 8-9 кл. нет смысла делать стороны Х и 12-Х. Гораздо проще сделать Х и У и сказать, что Х+У=12. И тогда матеиматика сильно проще получится.
Добрый день Валерий! Еще вариант решения. Если присмотреться то из условия и рисунка видно что треугольник ВСD можно по разному нарисовать исходя из условия, не противоречив условию. так есть частный случай когда Сторона ВС равна сторона СD, тогда ВС = СD=АВ=АD - АВСD тогда станет квадратом и площадь равна 6*6=36. если допустить что при другом соотношении сторон ВС и СD площадь изменится тогда не корректно само условие задачи и она не имеет ответа. Для проверки можно посмотреть еще один случай когда длина стороны ВС или СD стремится к нулю, другой стороны к 12 тогда площадь АБСD при этом стремится к площади равнобедренного прямоугольного треугольника с диагональю 12 и равна 12*6/2 = 36. То есть снова 36, два случая с максимальной и минимальной площадью ВСD и длиной ВD дают 36.
"если допустить что при другом соотношении сторон ВС и СD площадь изменится тогда не корректно само условие задачи и она не имеет ответа" Главное, это *допускать любое соотношение* между длинами ВС и СД, *которое не противоречит начальному условию* - сумма их длин равна 12. Таких соотношений имеется бесконечное множество. И для всех комбинаций площадь четырехугольника будет равна 36.
Древние геометры очень радовались, когда сложная задача превращалась в результате в простую красивую фигуру, потому способ №2 может иметь очень древнюю историю.
Давно так не смеялся над своими понтами. Сразу понял, что простейшее решение--через диагональ ВД. Но решил пойти оригинальным путем--через медианы АО и СО(радиусы). S=abc/4R. Сравнил оба решения--прослезился: те же формулы, только расчеты в 3 раза длиннее. Вспомнился анекдот про чукчу из "Поля чудес"--угадал все буквы за 1 минуту, сумел прочитать слово за 10минут.
Мне 67 лет, смотрел с интересом. Треугольник моя любимая фигура со школы, а дальше, став геодезистом, вычислял координаты методом триангуляции. Гениальность в простоте, потому последний вариант самый красивый. Спасибо!
Ребята, у меня описка там на экране "Экзюпери" !
У этой задачи нет определённого решения. Представьте, хотя бы, что BC=0, а CD=12 и сосчитайте площадь получившегося треугольника!
@@rogermorrison2968 сосчитали, столько же. Вы на учитываете, что размеры AB и AD при стремлении BC к нулю, тоже увеличаться. Но идея ваша хорошая.
@@GeometriaValeriyKazakov Ну, возможно. Я не пересчитывал. Хотя, такая инвариантность и выглядит странной.
Решение для 7-ого класса просто восхитительно в своей простоте! Кон-гениально! Спасибо.
Конгениально означает "аналогично".
И Вам спасибо!
144
Все элементарно: здесь два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой: ABD и BCD.
Возводим выражение, данное в условии, в квадрат. Получаем сумму квадратов катетов плюс их удвоенное произведение. И все это равно 144. Делим обе части равенства на 4 и получаем, что площадь одного треугольника плюс площадь другого равно 36.
Да, согласен. Алгеброй тоже красиво. Имеено делением на 4! Но никак не элементарно для ученика "хорошиста", для которых и канал.
правильное решение
Самый простой... Доступный для нормальных мозгов вариант!
Благодарю за ценнейшие уроки!!! Продолжайте, пожалуйста!!!
Здоровья и процветания каналу!!!
Спасибо, что смотрите наш канал.
Зачем учиться дальше 7-го класса, если они ( семиклассники) способны решать самые красивые задачи самыми простыми и, следовательно, самыми красивыми методами??? Видимо, недаром в послевоенные годы в СССР было обязательным лишь 7 классов!?!? Ура, товарищи!!!
Ведущему Браво, Браво, Браво!!!
Поскольку в условиях не сказано, что углы B и D не прямые, то мысленно вращаем треугольник BCD вокруг точки D с соблюдением условий задачи до тех пор, пока угол D не станет прямым. Исходя опять же из условий задачи о равенстве AB и AD, получаем равенство BC и CD при их сумме 12. Э вуаля: имеем квадрат со стороной 6 и площадью 36.
Да, но при это следует также рассмотртеь случай, когда эти углы не прямые.
я тоже как-то пробовал строить/крутить в автокаде эту задачку - и у меня она вырождалась в квадрат в итоге, других вариантов построить не удавалось :(
@@GeometriaValeriyKazakov не обязательно, условия задачи не задают ограничения на эти углы. А значит если от их значения площадь меняется, то условия некорректны и надо было обозначить какие-то ограничения на эти углы. Если же условия корректны, то значит от углов площадь не зависит, а значит она 36
И я так решила. Ясно, что это "квадрат".
О, нашел такое же решение, совсем не обязательно рассматривать другой вариант потому что если будет другой ответ то значит не верно сформулирована задача, условия не достаточно для решения и может иметь разную площадь. Я описал решение в другом комментарии, там привел второй частный случай где длина одного катета треугольника ВСD стремится к нулю а второго к 12, тогда площадь четырехугольника стремится к площади треугольника ABD c длиной гипотенузы равной 12 и высотой 6, также к 36. Хотя слово стремится в этом случае не верно потому что она всегда будет равна 36.
А Паскаль еще был физиком и в честь него названа физическая единица. Мне очень нравится, как вы привносите небольные зернышки общей культуры (литературу, факты из жизни великих ученых) в решение задачи. Вы настоящий педагог.
Спасибо, так и былдо задумано. Но некотрым не нравиться, говорят - много воды. Что делать?
@@GeometriaValeriyKazakov но ведь всем не угодишь. Продолжайте в выбранной Вами манере преподнесения информации!
Очень интересно, полезно, содержательно!
@@МишаиГришаиТиона Спасибо за поддержку.
А ещё Паскаль изобрёл суммирующую машину.
Спасибо за многообразие решения. Мы решили одним способом ( через доп построения). И были безумно горды собой)))
Великолепно!!! И я горд за вас!
Все просто, легко и воздушно! Все, как я люблю! Огромное спасибо за отлично поданный материал, прям захотелось ещё порешать. Изящно!
И вам большое спасибо!
Спасибо. Красиво, изящно , наглядно.
Спасибо. Очень приятно.
В исходной задаче предполагается, что ответ будет единственным, вне зависимости от величины угла В (и, соответственно, ответного ему D). Т.е. я могу мысленно двигать вершину С произвольно как мне вздумается, искомая площадь при этом не изменится, если А=С=90°. При таком мысленном перемещении я останавливаю вершину С так, чтобы В равнялся 90°. Тогда D будет = 360-A-B-C=90°. Перед нами квадрат со стороной 6, т.е. s=36. Это одно из допустимых решений, а условия задачи предполагают, что оно единственное, т.е. все площади всех возможных четырёхугольников, образованных траекторией мысленного движения С должны быть равны друг другу.
Вы не знаете и не можете знать, ч о предполагается в исходной задаче. Строго говоря. там ничего не предполагается. Есть условие и все. Простые учебники - зло! В них у любой задачи есть ответ, в жизни и в математике это просто не так.
При всём множестве существования такого 4-х угольника ответ будет один 36 кв. ед. Смотрите решение в комментариях выше. Там есть критерий существования таких 4-х угольников через зависимость катетов.
@@ВасилийИльиненко-ц5е детский сад, штаны на лямках.
Это неполное решение. Но оно вполне годится в отдельных случаях. А неполное потому, что берем частный случай и решаем его, но при этом не утруждаем себя доказательством того, что решение задачи будет одно и тоже, независимо от того какой случай взять. Т.е. факт того, что площадь будет одной и той же при разных соотношениях ВС и СD, и зависит только от их суммы мы подразумеваем из условия, но не задумываемся о том, что условие может быть неполным или противоречивым.
Попробуйте построить фигуру которая дана в условии задачи, и вы поймёте что ошибаетесь!
Пусть АВ=АД=а. Тогда ВД=а√2. Пусть ВС=х, СД=у. Тогда х в квадрате плюс у в квадрате равно два а в квадрате. х+у=12 . Возведем в квадрат обе части этого равенства. Два а в квадрате плюс 2ху равно 144. Разделим обе части полученного равенства на 4. Получим : а в квадрате деленное на 2 плюс ху деленное на 2 равно 36. Первое слагаемое - площадь равнобедренного треугольника. Второе - площадь другого треугольника.
Зоя Шаромет, у вас самое лучшее решение, такое, как необходимо для школьников, Итог вашего решения таков: S(ABCD)=S(∆ABD)+S(∆BCD)=a^2/2+x*y/2=36; Кроме того автор допустил ошибку на 10-ой минуте, площадь треугольника ABD равна BD^2/2 ; тогда, как автор делает ошибку возводя в квадрат два в знаменателе.
Спасибо. Да, это хороший алгебраический способ. Смотрите последний ролик - "Вишенка на торте".
@@БадрудинИтоновичМагомадов с чего ради площадь треугольника считается как гипотенуза в квадрате пополам?он сказал,что половина гипотенузы равна высоте,опущенной к ней.нашел половины гипотенузы и умножил на высоту,потому что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно считать как возведение в квадрат этой высоты,соответственно и знаменатель в квадрат возвелся.он мог гипотенузу не делить на 2,а умножить ее на высоту,которая в два раза меньше высоту,а затем поделить произведение на два,получилось бы тоже самое.)
Я также
@@mvk508 Спасибо, что подписаны на наш канал.
Копируем четырехугольник АВСD, поворачиваем на 90 градусов против часовой стрелки. Совмещаем точки A. Получаем трапецию с высотой (BC+CD), нижним основанием СD и верхним BC. Площадь трапеции: высота (BC+CD) умножить на полусумму оснований ((BC+CD)/2). т.е. 12*6=72. Площадь четырехугольника 72/2=36.
Супер решение!
Мне эта фигура напоминает квадрат с немного загнутым уголком С по отношению к плоскости фигуры. Почему квадрат??? Потому. что противоположные углы прямые и стороны АВ и АД равны - - - - по условию. Если плоскость сделать ровной, то сторона квадрата будет равна - - - - 6. S =6*6= 36. Это конечно решение для 1 кл. Просто я так вижу.
@@snuskega5356 Спасибо. Вы истинный геометр, прирожденный. Так и нужно - видеть!
Самое суперские решение 8-9 Кл.
@@ЛидияНудьга-ц7г Спасибо. Я тоже так думаю. С другой стороны, это как сказать: пирожное с шоколадом - самая вкусная еда. Будем есть все!
Так как нет дополнительных условий, мы имеем два предельных варианта: 1) это квадрат, и его площадь 36, или 2) точка В совпадает с точкой С и у нас прямоугольный равнобедренный треугольник, с гипотенузой 12, площадь которого тоже 36. все остальные варианты лежат в диапазоне площадей от 36 до 36.
Несмотря на четыре "лайка", это не решение. Ваши предположения вовсе не гарнируют, что в промежуточных вариантах изменение площади невозможно. Рассмотрите другую ситуацию: прямоугольник с суммой длин смежных сторон, равной 12. Например, 1 и 11. Его площадь будет равна 11. 2 и 10 -- площадь 20. И тп.
@@theMerzavets нет, не будет больше. У нас функция с тремя уже определенными точками: 1) вариант когда BC = 0; 2) вариант когда BC = CD; 3) и вариант CD = 0. Везде функция дает одинаковый результат. такая функция не может иметь перегибов, и будет в виде прямой. т.е. и при остальных вариантах соотношения BC/CD она будет давать одинаковый результат.
@@theMerzavets, так в иных случаях будет и не прямоугольник, а просто четырёхугольник.
@@IlyaKiss во-первых, с одинаковым периметром можно построить бесконечное количество именно прямоугольников; во-вторых, я не совсем понял суть вашего возражения. Или это не возражение было?
@@maxb5882 а на каком основании вы считаете эту функцию линейной? Какую кривую опишет угол при изменении её параметра? (Подсказка: хотя бы мысленно рассмотрите множество вписанных в окружность прямоугольных треугольников. Как раз все три ваших условия выполняются -- в крайних точках имеем треугольники, вырожденные в отрезки -- но функция при этом тригонометрическая.)
Два прямоугольных треугольника (один из которых равнобедренный) с общей гипотенузой. Используя теорему Пифагора и формулу суммы квадратов чисел получаем площадь фигуры 36. Легко и просто.
Решил устно, ~ 10-15 cек🤣
формулу квадрата суммы чисел, а не суммы квадратов
Спасибо. Елена оговорилась. Да, алгебраический способ эффективен. Спасибо, что смотрите нас.
Перевернем четырехугольник на 90 градусов(отложим такой же, D в B ,C в К, B в Е. Так как четырехугольник можно вписать в окружность, ADC+ABC=180, то есть ЕК параллельна CD, после поворота образовалась боковая сторона KC = BC+CD = 12. Средняя от ни я трапеции = EK+CD/2=12/2=6, S=6*12=72, Это площадь двух изначальных фигур, значит искомая = 72/2 = 36
Да. Спасибо.
Чтобы "отшить" любителей частных случаев можно ввести дополнительное бессмысленное условие.
Назначить углу АВС значение, с минутами и секундами.
Ну, да можно. Только смотреть не будут. ua-cam.com/video/c-ujEMxS3i4/v-deo.html
Проведём диагональ ВД. Она делит 4-х угольник на два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза. А далее применяя математический аппарат выражаем гипотенузу ВД из одного треугольника АВД и второго ВСД получим соотношение между катетами обоих треугольников. а именно 2 * а^2 = x^2 + (12-x)^2. Отсюда а^2 = x^2 - 12*x + 72. А теперь площадь четырёхугольника равна сумме площадей АВД и ВСД. Площадь АВД = а^2/2; Площадь ВСД = (х * (12-х)/2 и а^2/2 + (x*(12-x)/2= 1/2 * (х^2 - 12x+72 +12x-x^2)=72/2 = 36. ЧТД.
Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".
Соединяем прямой точку B с точкой С где она является диагональю для двух образованных треугольников АBС и ВСD. Сумма сторон ВС и СD = 12 применяем теорему Пифагора и находим длинну диагонали для двух образованных треугольников. Тогда получаем сумму сторон АB и СD =12, по условиям они равны между собой, 12:2=6, 6×6=36, что является площадью четырёх угольника.
Супер, спасибі, дуже цікаві рішення! Із задоволеням слідкую за вами.
@@ТетянаСтаніславівна-ь8р вам не автор канала ответил
Здравствуйте. Валерий Владимирович Козаков - автор учебника по геометрии в Беларуси. По-моему, работает и живет в Беларуси. И, мне кажется, наши славянские языки очень похожи, чтобы понимать друг друга. Давайте не будем использовать такой замечательный образовательный канал для выяснения отношений.
@@mishania6678 Классическая точка зрения шизофреника! Который разговаривает с окружающими на "своем языке", который никто, кроме него, больше не понимает. А вместо совести и ума у них - демагогия "про права" и сваливание с больной головы на здоровую.
@@mishania6678 По-моему очевидно, что "оскорбить всех пытаются" только дикие зомбоукры, потомки быв. великих Людей.
И Вам спасибо. Извините за поздний ответ.
Я делал по-другому:
Диагональю BD разделил на два треугольника.
BC - y
CD - x
x+y=12 тогда BC = x-12
У обоих треугольников выразил площади через X.
Сложил получившиеся формулы. При упрощении уравнения X везде сократился. Ответ 36
Спасибо, что смотрите нас.
(ВС+СД) в квадрате = 144. С другой стороны, если расписать квадрат суммы, учитывать АВ=АД , то получится (ВС+СД) в квадрате =4S. Отсюда S=144/4=36
Да, можно алгеброй. Спасибо.
Левую и правые части равенства условия возвести в квадрат .Оставив в левой части сумму квадратов , перенести удвоенное произведение в правую .Левая часть даёт квадрат ВД , что есть 2 АВ квадрат. То есть 4 площади треугольника АВД .В правой части 144 - 4 площади ВСД.Ответ 36
я тоже так решила😊
Спасибо. Да, конечно, алгебрический способ хорош.
Супер Всё способы хороши Но особенно понравился 3 способ
Спасибо.
Валерий, СПАСИБО!!! Я восхищён тем, как Вы подаёте варианты решений (11-й, 10-й, ... ,7-й класс... и даже младше)!!! Мне больше всего именно этого не хватало... И вот я открыл для себя Ваш канал!!... Комментировать буду не всегда, а вот смотреть... -- постараюсь не пропускать! 👍 Ещё раз СПАСИБО!!!
И вам спасибо, что поняли идею. Ведь смотрит много не профессионалов, и они не понимают просто, зачем это нужно. А вы знаете!
Этот четырёхугольник и ещё три, полученные и него поворотом вокруг A на 90, 180 и 270 градусов, вместе образуют квадрат со стороной 12. Площадь тогда равна 12^2/4=36.
Спасибо за комментарий.
Проводим В-D. На серидине В-D лежит центр окружности проходящей проходящей через А В С и D. Отсюда АВ+СD = DC + СВ =12. Так как АВ=СD то АВ= 6 . Дальше 6*6=36
Отлично.
@@GeometriaValeriyKazakov только треугольник ВСD МЕНЬШЕ треугольника АВD. так как только равнобедренный треугольник будет иметь максимальную площадь. А все не равнобедренные будут меньше. Отсюда: площадь АВСD меньше 36.
Согласен.@@СергейМусиенко-м4н
Браво! а я не решил! не нашёл что и куда повернуть, дорисовать, но предположил, что 12 делим на 2 и получаем 36, но это так получилось в следствие паники и стыда
Спасибо.
Спасибо за подробный разбор. Решил 1-7 класс )). Склеил 4 равных четырёхугольника в большой квадрат со стороной ВС+СD=12.
И вам спасибо.
Еще проше: (12/2)^2=36. Потому что квадрат со стороной 6 подходит под условие задачи.
Спасибо, что смотрите нас.
ua-cam.com/video/ZMNIKokmBDg/v-deo.html
Искомая площадь: AB^2/2+BCxCD/2. Выразим AB^2 через BC и CD. AB^2/2=BD^2/4, BC^2+CD^2=BD^2. Тогда площадь равна (BC^2+CD^2)4 + BCxCD/2, складываем и получаем (BC^2 + 2BCxCD + CD^2)/4, заметим, что выражение в скобках это квадрат суммы, тогда ((BC+CD)^2)/4 или 114/4=36
Думаю, что это самое лучшее алгебраическое решение.
@@GeometriaValeriyKazakov я только что решил точно так.
@@ВасилийСорокин-ю1с Единомыслие!
Ответ- 36. Решение: соединим т.В и т. Д. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВД и ВСА. У них общая гипотенуза ВД. Из теоремы Пифагора следует сумма квадратов катетов в данных треугольниках будет одинакова, это возможно, если сумма длин катетов АВ+ АД = ВС+ СД = 12, так как треугольник АВД равнобедренный, то длина его катета равна 6, а площадь всей фигуры- 36.
Да, это хорошее алгебраическое решение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте". Там я его применяю.
Примерно так и я делал.
Треугольники с общей гипотенузой, значит их площади одинаковы, и равны половине от произведения их катетов. А так как катеты у второго одинаковы, значит 12/2=6
Общий объем 6*6=36
@@SerhiiSoproniuk Спасибо. Если у треугольников общая гипотенуза, то их площади не обязательно равны ).
@@GeometriaValeriyKazakov Согласен. Ошибка.
@@SerhiiSoproniuk Очень непросто признавать ошибки. Хорошее качество, на мой взгляд. Спасибо.
Я нашёл свой собственный, который лучше ваших. ))
Раскладываем на плоскости наш четырёхугольник и ещё три его копии, образованные его трёхкратным поворотом на 90 градусов вокруг точки А. И обнаруживаем, что в сумме они составляют квадрат со стороной BC+CD = 12; Его площадь равна 12^2 = 144; А площадь его четвертинки, соответственно = 144 / 4 = 36.
Аминь.
PS. Само собой нужно немножко доказать, что всё стыкуется именно в квадрат, но это дело несложной техники, я думаю пятиклассник справится без труда.
PPS. Вообще, при просмотре видео, я ожидал увидеть это решение в качестве третьего, самого простого и красивого, способа. Но так и не дождался. Мы с Маленьким Принцем немного разочарованы...
Ваше решение тоже восхитительно, хотя оно вытекает из двух решений Валерия. ☝️ Или его решения являются производными от Вашего. 🤔 Можно и так сказать. 👍 Но главная изюминка Вашего решения в том, что оно демонстрирует единство этих трёх решений, что они -- суть одно и тоже! 😏 Кстати, большое спасибо Вам за Ваше решение!! 👍
Решение офигенное
да, пожалуй, это то самое "решение в одно действие" -- просто гениальное 🙂 Но до него догадаются "не только лишь все".
Спасибо вам!
Я же увидел диагональ BD, которая является диаметром описанной окружности для двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, и т.д.
Доказательство, что стыкуется в квадрат требует знания из 8 кл о том, что сумма углов четырехугольника 360. Как и решение автора для 1-7 кл. Я, кстати, именно его и нашла в первую очередь.
Проводим диагональ ВД. Треугольник АВД прямоугольный и равнобедренный с основанием ВД. Уколы при основании по 45 градусов. Теперь в треугольнике ВСД угол СДВ равен 90 минус угол СВД. И в то же время угол СДВ равен угол СДА минус угол АДВ, который 45 градусов. Значит СДВ равен 45 градусов Всё. Это квадрат. Задача из пальца высосана, зачем только? Время на канале забивать ?
поскольку четырехугольник вписан в окружность - то для него работает правило - BC+AD=CD+AB. И поскольку BD общий диаметр для двух прямоугольных треугольников BCD и ABD, вписанных в окружность, то BC+CD = 12 равно как AD+AB=12. AB=AD=12/2=6. Sabcd=2*6*6/ 2=36
Вы ошибаетесь. У вписанных четырехугольников равны суммы противоположных углов, а не сторон.
@@АланияКрокодилова пардон - у вписанного четырехугольника работает правило произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. и учитывая что АB = AD и BC+CD=12, а так же исходя из того что треугольники ADB и BCD прямоугольные найдем BC по теореме Пифагора - BC= 6(2-2^1/2) . Из уравнений найдем AB=AD- и AB будет равно 12*(1-(2^1/2)/2)^1/2 , а CD = 6*2^1/2 из этого найдем площадь четырехугольника как площадь двух прямоугольных треугольников. Отсюда и получится 36.
Спаасибо, что смотрите нас. Все заблуждаются.
Можно не задумываться над трансформацией, а просто 12 представить как сумму 2+10 (или любую другую, 3+9, например). А дальше посчитать BD, как гипотенузу прямоугольных треугольников. Корни квадратные из неудобных чисел самоликвидируются при подсчете площади треугольника ABD.
я повелся на первый кадр и решил устно. BD -- диаметр окружности. точки А и С лежат на окружности и опираются на этот диаметр. Можем двигать точку С на окружности, угол BCD будет оставаться прямым. Подвинем точку С по окружности так, что она перейдет в точку B, треугольник BCD станет вырожденным и диаметр окружности тогда равен 12, радиус 6. В таком случае S_ABCD = S_ABD = R^2 = 36.
Спасибо. Непонятно, почему сумма BC+CD=12 будет сохраняться.
самый простой алгебраический. площаь квадрата - квадрат диагонали на 2 деленный. значит треугольника BAD - деленый на 4. площадь прямоугольного тр-ка - полупроизведение катетов. возводим условие в кадрат делим на 2 и получаем ответ
Спасибо. Алгебраический способ хорош. И если бы я его дал, то не было бы половины комментариев. Какой я предусмотрительный!
4 таких прямоугольника складываются в квадрат со стороной 12, площадь которого будет 144, значит площадь АБСД 144/4=36. Просто поворотом на 90 относительно точки А.
Вашу мысль понял. Да, вы правы. Только 4-ка (оговорочка). Это известное рабиение квадрата. В молодец, если сами придумали!
Выражаю признательность автору,за отличный "разбор полётов".
Учитесь все, как нужно писать комментарии! Спасибо, что смотрите нас.
Все точки лежат на одной окружности с диаметром BD. У четырехугольника есть два интересных частных случая:
1. ВС=0, и тогда это равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, площадь 36
2. ABCD - квадрат со стороной 6, площадь 36
Спасибо. Интересное рассуждение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте"
я также решил, по моему это самое корректное решение, что ВС может быть в диапазоне от 0 до 6.
@@242ra Спасибо. Да, про диапазон верно. А дальше что?
Ну и... в промежутке между 1) и 2) пока ВС принимает значения от 6 до ноля, отрезки АВ и АД будут принимать значения от 6 до 8,48. производя площади бесконечного количества четырехугольников равними 36.
Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника, равна половине гипотенузы., тогда СН=6
Отлично.
А можно пойти дальше, и заметить, что сторона прямоугольного треугольника BCD может меняться от стремящейся к 0 до стремящейся к 12. Тогда BD можно принять равным 12, площадь верхнего треугольника принять за 0, а площадь нижнего прямоугольного, равнобедренного треугольника с гипотенузой 12 будет как и у вас квадрат половины гипотенузы 6х6=36.
если во втором решении не вводить х, то станет проще. 12^2 = (BC+CD)^2 = BC^2+CD^2 + 2*BC*CD = BD^2 + 2*BC*CD = AB^2 + AD^2 + 2*BC*CD = 2*AB*AD + 2*BC*CD = 4*S_{ABD} + 4 * S_{BCD} = 4S. Отсюда S = 12^2/4 = (12/2)^2 = 36.
Спасибо.
Спасибо огромное. Для меня эта информация очень важна. Я лично кроме теоремы Пифагора и суммы площадей больше ничего придумать не могла
Спасибо.
Решается очень просто: если площадь не зависит от двух неизвестных углов, то площадь квадрата равна (12/2)²= 36.
Или, например, ВС или CD стремится к 0, то получается равнобедренный треугольник с основанием 12 и прямым углом в вершине, высотой 6. Площадь этого треугольника 12×6/2=36!
Спасибо. А если все-таки зависит?
@@GeometriaValeriyKazakov а если зависит, то задача равносильна вопросу "какое расстояние между двумя планетами солнечной системы" или "сколько весит атом".
AD = AB = x, ВС =а, CD = b. a+b = 14, квадрат (a+b) = 144, удвоенный квадрат х = cумме квадратов a и b (теорема Пифагора). Следовательно сумма квадрата х и произведения a и b = 72, а следовательно площадь четырёхугольника - 36.
Привет, однофамилька! Извините, что раньше не заметил. Рад вас видеть на канале.
А разве сумма квадратов чисел равна квадрату суммы этих чисел?🤔🤔🤔🤔🤔🤔
@@silenthunter9239 нет не равна. Квадрат суммы равен сумме квадратов а и b плюс удвоенное прозведение а на b. Но сумму квадратов а и b в этом равенстве можно заменить удвоенным квадратом х. По теореме Пифагора. Два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу BD, а значит, суммы квадратов их катетов равны.
@@ТамараКазакова-и1ы Спасибо, Тамара!
Как найти площадь?
Есть несколько решений этой задачи:
1 - Открыть Google Maps говорят что он знает всё..
2 - Спросить у прохожих..
3 - Вызвать такси, он довезёт (но это не точно 😂)
ОТл. Дневник на стол
Диагональ БД делит четырех угольник на два прямоугольных треугольника. Площадь прямоугольника=1/2произведения катетов. Имея сумму катетов меньшего треугольника можно составить формулу в которой диагональ общая с равнобедренным треугольником.
Новый канал ua-cam.com/video/KE0J6FzI9Hg/v-deo.htmlsi=ahDbhp9bkhkHK_Pj
Решал алгеброй. Потратил 30мин. пришлось заново научиться выражать площадь квадрата через его диагональ, и вспомнить сумму квадратов. Костя, 36 годиков.
Спасибо. Вы молодец, что потратили время. Да, это хороший алгебраический способ.
Меня же эта задачка тем и заманила что решить её можно множеством способов.
Меня всегда интересовал самый 'элегантный' - как правило, являющийся также самым 'эффективным' в смысле 'трудозатрат' (крайне актуально в реальной жизни и для не-математиков 😁). А вот тут-то и кроется весь пресловутый дьявол.
Как правило, для нахождения элегантных решений, недостаточно знать/понять технические детали, главное - понять суть. Валерий это выразил научным термином 'инвариант'. Как-то так 🙂.
P.S.: я вот совсем не педагог, но мне кажется что такого рода задачи ценны именно в 'методологическом' плане - учат школьников пониманию, а не просто и не столько чисто техническому решению задач. Имхо, это был один из сильнейших аспектов 'совкового' средне-школьного образования (по кр.мере, в естеств.науках), мир праху его, к большому сожалению.
Самое просто решение. 1. Решение есть и оно однозначно 2. Решение не зависит от углов В и D, т е В и D могут быть любые. 3. В=D=90. X=Y. 6²=36
Спсибо. А кто сказал, что не зависит? Вдруг при других углах - другие ответы?
@@GeometriaValeriyKazakov так тогда бы условие было зависимым от углов :)
@@mobikost Да, но поскольку в условии ничего не сказано, то в матемтаике это понимают так: мы рассматриваем все случаи, либо самый общий. Такие правила игры.
@@mobikost Обычно на олимпиадах этого не пишут, так как там все профи и всем все понятно. Но вы правы, для любителей можно было дописать, что ABCD - не квадрат!!! Но тогда не было столько комментариев, что тоже плохо для канала! Диалектика!
Самое интересное. Это поворот. Превращение в равнобедренный ∆ с диагональю 12. И высотой, делящей на два равных ∆ с катетами 6.
Спасибо. Наверное, да
Загадка: дан четырёхугольник, 2 стороны равны, 2 угла прямые. Тогда, 2 других угла тоже прямые. Но тогда и 2 другие стороны тоже равны 2 предыдущим. Так это ж квадрат! 6*6=36
Спасибо. Не обязательно.
Спасибо за три способа решения.
И вам.
В ( 06.17) ошибка: " можно найти катет - он будет 12 делить на корень из 3". Правильно " 6 умноженное на корень из 2 или 12 деленное на корень из 2". Ведь острый угол 45 градусов, а не 60
Спасибо.
Можно провести диагональ BD. Получим один равнобедренный треугольник, у второго прямоугольного сумма какие-то равна 12.
Используем формулу сокращённого умножения суммы в квадрате. Раскрываем и получаем суммы площадей этих треугольникков , умноженных на 4. Ответ 36
Да. Это хорошее алгберическое решенние. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте".
Решил без каких либо доп. построений.
Обозначим
BC=y, CD=z, AB=AD=x
Имеем
z+y=12
Решаем
S(ABCD) = S(BCD) + S(ABD)
S(BCD) = zy/2
S(ABD) = x^2/2
BD^2=2*x^2=y^2+z^2
y+z=12 =>
y^2 + z^2 + 2zy = 144
y^2 + z^2 = 144 - 2zy
Так как y^2 + z^2 = 2*x^2, то можем записать
2*x^2 = 144 - 2zy
x^2 = 72 - zy
Так как площадь равна сумме площадей треугольников ABD и BCD, то
y*z/2 + (72 - yz)/2 = (yz + 72 - yz ) / 2 =>
S(ABCD) = 72/2 = 36
Предположим что при данных условиях площадь не меняется. Возьмём частное значение когда точка С будет расположена на биссектрисе угла. Тогда получая квадрат ( по условию) сторона которого равна 6. Площадь 36.
Решается в уме.
Спасибо. Частное решение не доказывает общий случай. ВСе простые числа задаются формулой x^2+x+41, написал Эйлер и ... ошибся. Не все.
@@GeometriaValeriyKazakovтак никто доказательства и не спрашивал, надо было ответ устно узнать😁
Есть еще 1 вариант решения через оценку выражений. Выражаем диагональ BD по теореме Пифагора 2 раза приняв АВ=АD=x и выразив площадь ABCD через нее. В итоге получим BC=6+/-(x2-36) 1/2. и x=6, а площадь АBCD тогда 36.
Это и есть то, как решить устно.
Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".
Спасибо! Замечательная задача!
Алания, куда Вы пропали?
Решил вращением ∆ACD вокруг точки А. Хотя мне как-то ближе алгебраический метод, ну, а самый красивый - 3-й способ. *Спасибо!*
Спасибо. См. "Вишенка на торте".
Красивые решения,спасибо!
Я сперва решил алгебраически (через x) (8 класс). Только скобки нигде не раскрывал, поэтому получил в последней дроби в числителе полный квадрат, где у меня x благополучно сократился.
А получив квадрат половины от 12, понял, что можно провести перпендикуляры из A на стороны BC и CD, и получить равновеликий четырёхугольнику квадрат со стороной 6 (способ похож на приведённый для 1-7 класса, но рассуждения чуток проще). Правда в первом классе ещё не знают о перпендикулярах.
Решения с разрезанием по AC не заметил.
Замечание: когда в геометрии говорят о равенстве фигур, то имеется в виду равенство их величин, т.е. площадей, а не конгруэнтность.
Спасибо.
Спасибо. все варианты решения понравились, 7 класс всё-таки более красивый.
Спасибо. Нужно все способы. Ведь мы тренируемся решать разные задачи.
Эта задача решается устно, проведем от B линию до D получим равнобедренный треугольник, сумма внутренних углов 180 минус 90 и поделить на два получим , что каждый угол равен 45 градусов . Сумма углов четырёхугольника равна 360 , отсюда легко понять , что это и есть квадрат, тогда легко найти сторону квадрата которая равна 6 а площадь итак понятно 6*6=36 , тут квадрат нарисован по факту не правильно
Тут ещё проще решение. BD это диаметр окружности в который вписана эта трапеция. Поскольку треугольник BCD опирается на диаметр окружности то точка С может лежать на любом ее участке между точками B и D, не противореча условиям задачи. В том числе и совпадать с этими точками в пределе. В этом случае диаметр окружности будет равен 12 см. А площадь трапеции или уже треугольника будет равна четверти от 12 в квадрате т е. 36 см. Задача решается устно без всяких построений.
Спасибо. Отличная идея.
Напрашивается возвести в квадрат заданную сумму: 144=(BC+CD)в квадрате. Здесь будут содержаться: 1) площадь треугольника BCD и 2) квадрат диагонали BD, содержащий площадь треугольника BAD.
Уточняю. 4 площади треугольника BCD=2BC*CD и 4 площади треугольника ABD=(BC*2+CD*2) =BD*2=2AB*2. Ответ 144:4=36.
Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".
ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36.
Просто два угла в 90 градусов и общая гипоненуза ВД говорят о том, что площади двух треугольников равны.
Равностороннесть АВ и АД с гипотенузой(диагональю квадрата,который мы представляем мысленно авсд ) говорит о том, что ав+ ад равно 12...можно более развернуто с доказательствами, но вроде это и так видно...как бы тянем угол С (прямой) до построения квадрата. Диагональ на месте, сумма сторон известна
"ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. "
Как может быть "она сторона 12/2=6", если видно, что катеты прямоугольного треугольника BCD - Не Равны.
Равенство АС = СД (из условия задачи) вовсе не означает, что их сумма равна 12. Их сумма в любом случае будет БОЛЬШЕ, чем ВС+СД.
У меня решение визуальное: представляем что смотрим на кусок фанеры из под угла D, разумеется получаем искаженную плоскость. Выравниваемся, смотрим фронтально, видим квадрат со стороной 6; = 36
Это гениальнрое проектвное рассуждение! Прям как у Я. Штейнера. Спасибо.
Отрезок BD является гипотенузой треугольников ABD и BCD. Имеем тождество: BC + CD = 12. (BC + CD)÷2= 6. (BC÷2 + CD÷2)^2=6^2=36. (BC^2 + CD^2)÷4 + BC×CD÷2 = 36. BC квадрат плюс CD квадрат есть квадрат гипотенузы. Квадрат гипотенузы деленный на 4 равен площади треугольника ABC. BC×CD÷2 - площадь треугольника BCD. Площадь 4-угольника равна сумме площадей 3-угольников. Для проверки подставим в формулу численные значения BC и CD, согласно тождеству: 11 и 1; 10 и 2; 9 и 3; 8 и 4; 7 и 5; 6 и 6. Выясняется, что при всех сочетаниях катетов площадь 4-угольника неизменно равна 36. Фантастика! Этого не может быть! А как это работает? А давайте возьмем другие значения катетов BC и CD, а именно: -- 1 (минус 1) и 13; -- 2 и 14; -- 3 и 15; --88 и 100; --5 и 17 и так далее, тождество нам позволяет. Увы, результат тот же - 36. С той разницей, что здесь площади не складываются, а вычитаются. Окончательная формула - Sabcd = Sabd +/-- Sbcd
Спасибо.
ua-cam.com/video/-UgSZnv2F4g/v-deo.html
можно решить много проще. Из условия понятно, что любой 4-хугольник, соответствующий условию имеет одинаковую площадь. Значит можно взять 4-хугольник у которого ВС=СD=6. поскольку у треугольников общая диагональ, а треугольник BCD равнобедренный, с прямым углом, то АВСD - это квадрат со стороной 6 см. Соответственно площадь - 36
Из условия это никак не следует. Это вы додумываете условие. В конце-концов так и получилось. Но математическая задача в том, чтобы это как раз доказать!
Я очень люблю решать задачи по геометрии и математические примеры, но у меня ничего не получается в итоге, и я смотрю, как это делают другие. Не знаю, почему у меня это вызывает интерес. Наверно, это дано или же не дано от природы - улавливать суть в неочевидном, видеть и просчитывать возможности и ходы. Наверно, это то единственное, чему я завидую в других.
Спасибо.
есть ещё четвертый способ, он проще показанных трех. Представьте, что BC=0. тогда вся фигура превращается в равнобедренный прямоугольный треугольник с диагональю = 12. Дальше не хитро, площадь 36 получается.
Отлично.
Дело в том, что BC и CD мы можем выбрать произвольно не нарушая условие задачи. В этом легко убедиться, вписав 4 -угольник в окружность: BC совпадет с ее диаметром. Например, можем взять BC =CD = 6. Тогда получаем квадрат со стороною 6. Ответ - 6х6=36. Или, если хотим, BC =0, CD =12. Тогда 4-угольник превращается в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой 12 и высотой 6. Площадь , соответственно, та же: 12х6:2=36. Вот и все...
А кто разрешил выбирать? Нарушение.
Смотрите послений ролик Говорят ответ 8 не настоящий!
А какое условие задачи я не выполнил? Я думаю, сам автор не осознал суть задачи. Правильное условие звучало бы так: доказать, что площадь 4-угольника не зависит от AB. Сама же площадь вычисляется, как я показал, элементарно. @@GeometriaValeriyKazakov
Посмотрите, может поможет ua-cam.com/video/Cmv3onThkSU/v-deo.htmlsi=qb0fw5Zosfnhl_ny@@АлександрСавченко-ы4л
А можно вообще очень просто сделать. По формуле Пифагора, так как BD будет общей гипотенузой для ABD и CBD, то AB²+AD²=BC²+CD², а также нам известно что AB=AD, то есть ABD равнобедренный, и если BCD сделать тоже равнобедренным, то получаем квадрат. Соответственно 6*6=36. Предчувствую кучу комментариев что так делать нельзя, отвечу оба треугольника имеют общую гипотенузу, которая в свою очередь является центром окружности, в которую вписаны оба треугольника, и какое ни было бы соотношение сторон ВС и СD, будет меняться радиус окружности но не сумма площадей этих треугольников, и отсюда же AB=AD>=6
Спасибо. Это хорошее алгебраическое решение. См. рлик "Вишенка на торте"!
Строим BD как общую гипотенузу. Потом возводим в квадрат известную сумму катетов (BC+CD)^2=(BC^2+CD^2+2BC*CD)=144 . Она оказывается равной учетверённой площади малого треугольника (2BC*CD=4Sbcd) и квадрату общей гипотенузы (BC^2+CD^2=BD^2). Но BD^2=AB^2+AD^2=2AD*AB=4Sabd. Таким образом (BC+CD)^2= 4Sbcd+4Sabd=4Sabcd=12^2=144. Осталось разделить 144 на 4 и радоваться.
Да, это карсивый алгебраический способ решения. См. похожий последний мой ролик, там я его применил.
ДиагональВД является общей гипотенузой для двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов АС**2+СД**2=2АВ**2. Отсюда:АВ**2=(ВС**2+СД**2)/2.
Площадь фигуры состоит из суммы площадей двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД :
S=(АВ**2)/2 + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2)/(2*2) + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2 + 2*ВС*СД) /4 = (ВС+СД)**2/4 = 12**2/4 = 144/4 = 36
Спасибо за подрбное алгебраическое решение.
дошкольник: BC+CD=12. В частном случае BC=CD=6. четырехугольник вырождается в квадрат. S=6x6=36
Спасибо, что смотрите нас.
Сумма двух сторон равна 12. Сумма сторон АВ и AD также равна 12. Периметр равен 24. Это квадрат со стороной 6 и площадью 36.
Спасибо. Это не обязательно квадрат. Посмотрите на рисунок.
Быстрее всего решить через два прямоугольных треугольника, проведя диагональ ВD. Далее через tg &sin
Спасибо. Да, тригонометрия - это сила.
Устное решение. Возводим BC+CD=12 в квадрат и получаем 4 площади треугольника BCD и 4 площади треугольника ABD равны 144. Ответ 144:4=36.
???
Спасибо. Не то чтобы устное, там еще то алгебрическое колдовство. Но решение красивое.
Ещё проще,сумма длин вс и сд делим на 2, получаем 6,значит и другие стороны тоже 6 ,т.е. квадрат ,шестью шесть равно 36, усе...
Спасибо.
Забавно, что этому условию - ВСД=12 - соответствует бесчисленное множество четырёхугольников. Я даже подумал, что это какая-то ловушка. Но все эти четырёхугольники имеют площадь равную 36-ти. Например, если ВС=0 и СД=12, тогда у нас просто прямоугольный треугольник АВД с катетом 12 и его площадь =36. Если же ВС=СД=6, то у нас получится квадрат со стороной =6 - пртивоположные углы прямые и стороны равны. Уже интересно, что крайние значения дают тот же результат. Можно подставить ВС=4 и СД=8, или ВС=5 и СД=7, всегда получается 36.
Да. Вы абсолютно правы. Хотя окончательно такое утверждение можно сделать после решения.
Если присмотреться внимательнее, то в первом (для 10 класса) и в третьем (для 1-7 классов) случае производится разрезание заданного четырехугольника на две части, одной из которых является треугольник, который в дальнейшем перемещается на другое место на плоскости, образуя с оставшейся частью новую фигуру.
В 1-м случае не обязательно это называть поворотом, можно как и в 3-м случае отрезать и просто переложить на новое место, и наоборот, в 3-м можно перемещение треугольника совершить путем поворота, как и в 1-м случае. Таким образом, 1-й и 3-й варианты решения задачи отличаются только полученной вновь фигурой.
Далее, площадь квадрата изучается во 2-м классе, а площадь треугольника в 3-м, поэтому не стоит позиционировать данную задачу для 1-2 класса, не смешите людей!
И не буду расписывать алгебраическое решение, которое вы позиционируете для 8-9 классов, просто упомяну, что есть гораздо более изящный вариант этого решения, не по сути, но, как минимум, по оформлению, а значит, он будет более нагляден и доходчив другому человеку!
Спасибо огромное за столь подробный комментарий. Он всем будет полезен!
Валерий, спасибо за геометрию, и за Экзюпери.
И Вам спасибо за Экзюпери.
1. Ни чего не мешает рассмотреть частный случай, когда ВС=0. Получаем треугольник АВD, BD=12. Опускаем высоту на ВD. Получаем два прямоугольных треугольника с катетами по 6. Sabcd=6*6/2*2=36
2. Другой частный случай BC=CD=6. Т.е. получаем квадрат со стороной 6. Sabcd=6*6=36.
Два решения с одинаковыми ответами. Тривиально. А вот доказать, что площадь во всех случаях неизменна - сложнее.
Спасибо. А что позволяет рассмотреть частный случай? Давайте найдем площадь параллелограмма со сторонами 6 и 8. Рассмотрим его частый случай - прямоугольник. Получим 6х8 = 48. Верно, что ли?
@@GeometriaValeriyKazakov , из условия задачи следует, что площадь фигуры неизменна при любых BC и CD с ограничением, что их сумма равна 12. Отсюда решение любого частного случая покажет единственно верный ответ.
Но здесь же на видео представлены 3 способа, а не 4, как сказано в описании. Или я что-то упустил?
Ну, не суть.
Четырёхугольник ведь можно нарисовать по-разному, главное чтобы сумма BC+CD была равна 12.
Тогда пусть BC=CD. Тогда этот 4-угольник будет сразу квадратом со стороной 6. Площадь, следовательно, 36.
А ещё можно рассмотреть вырожденный случай, когда BC=0. Тогда CD=12 и мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12. Тоже вариант.
Спасибо, что смотрите нас.
Диагональ BD даст по Пифагору в BCD 2AB^2=BC^2+CD^2; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2; Возведем в квадрат 144=BC^2+CD^2+2xBCxCD и подставим 144/2=AB^2+BCxCD; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2=144/4=36
ua-cam.com/video/-UgSZnv2F4g/v-deo.html
второй легче для объяснения. я 4м классе. задача найти площадь равнобедренной трапеции. высота и верхняя и нижняя стороны известны. решил за 30 секунд. про среднюю линию ещё не знал. мысленно это прямоугольник и два треугольника = ещё прямоугольник
Спасибо.
Решил в уме за 1.5 минуты. Проводим диагональ BD, получаем 2 равных по площади прямоугольных треугольника ABD и BCD с общей гипотенузой. Соответственно AB+AD=BC+CD, а оно уже известно 12. В итоге AB*AD = 36.
С какой стати равных по площади? Это не обязательно.
@@GeometriaValeriyKazakov Виноват. Увидел ошибку. Видимо мысленно поиграл в тетрис быстрее, чем смог сформулировать мысль )) Прямо как в старом анекдоте про алкоголика и два по 0,25
@@Igor_Lena Ок
Игорь, не могу ответить на вопрос "как вы считает", так как ваш вопроос где-то прячется в ленте комментов. У меня 200 рлликов и доругие, поверьте, не хуже! Желаю при ятного просмотра.
Алгебраический метод мне кажется тупо повезло, не факт, что можно будет решить с другими данными
ua-cam.com/video/c-ujEMxS3i4/v-deo.html
*Ответ: S(ABCD) = 36.* РЕШЕНИЕ. 12² = (BC + CD)² = BC² + CD² + 2BC*CD = BD² + 4*S(BCD) = AB² + AD² + 4*S(BCD) = 2*AB² + 4*S(BCD) = 2*AB*AD + 4*S(BCD) = 4*S(ABD) + 4*S(BCD) = 4*[S(ABD) + S(BCD)] = 4*S(ABCD). ⇒ 4*S(ABCD) = 12²; S(ABCD) = 12²/4 = (12/2)² = 6² = 36.
В варианте решения дл 8-9 кл. нет смысла делать стороны Х и 12-Х. Гораздо проще сделать Х и У и сказать, что Х+У=12. И тогда матеиматика сильно проще получится.
Да, можно системой, но мы решали обычным линейным. Спасибо.
Пусть S - искомая площадь, S1 - площадь треугольника ABD, а S2 - площадь треугольника BCD.
S1 - площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, поэтому квадрат гипотенузы равен учетверённой площади (AB²+AD²=BD², BD²=2AB²= 4AB×AD/2 = 4S1).
Площадь S2=BC×CD/2. Запишем (BC+CD)²= BC²+CD²+2BC×CD = BD² + 4×S2 =12²=144
4×S2 = 144 - BD²
4S = 4S1+4S2 = BD² + 144 - BD² = 144
S = 144/4=36
Спасибо. Это хорошее алгбераическое решение. См. "Вишенка на торте".
Последнее решение понравилось, спасибо
Спасибо за три способа. Для меня самый очевидный второй. Давненько не вертел фигуры. Спасибо что напомнили.
Добрый день Валерий! Еще вариант решения.
Если присмотреться то из условия и рисунка видно что треугольник ВСD можно по разному нарисовать исходя из условия, не противоречив условию. так есть частный случай когда Сторона ВС равна сторона СD, тогда ВС = СD=АВ=АD - АВСD тогда станет квадратом и площадь равна 6*6=36. если допустить что при другом соотношении сторон ВС и СD площадь изменится тогда не корректно само условие задачи и она не имеет ответа. Для проверки можно посмотреть еще один случай когда длина стороны ВС или СD стремится к нулю, другой стороны к 12 тогда площадь АБСD при этом стремится к площади равнобедренного прямоугольного треугольника с диагональю 12 и равна 12*6/2 = 36. То есть снова 36, два случая с максимальной и минимальной площадью ВСD и длиной ВD дают 36.
Отлично.
"если допустить что при другом соотношении сторон ВС и СD площадь изменится тогда не корректно само условие задачи и она не имеет ответа"
Главное, это *допускать любое соотношение* между длинами ВС и СД, *которое не противоречит начальному условию* - сумма их длин равна 12. Таких соотношений имеется бесконечное множество. И для всех комбинаций площадь четырехугольника будет равна 36.
Древние геометры очень радовались, когда сложная задача превращалась в результате в простую красивую фигуру, потому способ №2 может иметь очень древнюю историю.
Согласен. Спасибо.
Давно так не смеялся над своими понтами. Сразу понял, что простейшее решение--через диагональ ВД. Но решил пойти оригинальным путем--через медианы АО и СО(радиусы). S=abc/4R. Сравнил оба решения--прослезился: те же формулы, только расчеты в 3 раза длиннее. Вспомнился анекдот про чукчу из "Поля чудес"--угадал все буквы за 1 минуту, сумел прочитать слово за 10минут.
Задачи - способ повеселиться!
Мне 67 лет, смотрел с интересом. Треугольник моя любимая фигура со школы, а дальше, став геодезистом, вычислял координаты методом триангуляции. Гениальность в простоте, потому последний вариант самый красивый. Спасибо!
Спасибо, что смотрите наш канал.
После поворота получили прямоугольный равнобедренный треугольник АСС1 с гипотенузой 12. Площадь его равна 36.
Да, спасибо.