Зачем учиться дальше 7-го класса, если они ( семиклассники) способны решать самые красивые задачи самыми простыми и, следовательно, самыми красивыми методами??? Видимо, недаром в послевоенные годы в СССР было обязательным лишь 7 классов!?!? Ура, товарищи!!! Ведущему Браво, Браво, Браво!!!
Здравствуйте. Валерий Владимирович Козаков - автор учебника по геометрии в Беларуси. По-моему, работает и живет в Беларуси. И, мне кажется, наши славянские языки очень похожи, чтобы понимать друг друга. Давайте не будем использовать такой замечательный образовательный канал для выяснения отношений.
@@mishania6678 Классическая точка зрения шизофреника! Который разговаривает с окружающими на "своем языке", который никто, кроме него, больше не понимает. А вместо совести и ума у них - демагогия "про права" и сваливание с больной головы на здоровую.
Валерий, СПАСИБО!!! Я восхищён тем, как Вы подаёте варианты решений (11-й, 10-й, ... ,7-й класс... и даже младше)!!! Мне больше всего именно этого не хватало... И вот я открыл для себя Ваш канал!!... Комментировать буду не всегда, а вот смотреть... -- постараюсь не пропускать! 👍 Ещё раз СПАСИБО!!!
А Паскаль еще был физиком и в честь него названа физическая единица. Мне очень нравится, как вы привносите небольные зернышки общей культуры (литературу, факты из жизни великих ученых) в решение задачи. Вы настоящий педагог.
@@GeometriaValeriyKazakov но ведь всем не угодишь. Продолжайте в выбранной Вами манере преподнесения информации! Очень интересно, полезно, содержательно!
Пусть АВ=АД=а. Тогда ВД=а√2. Пусть ВС=х, СД=у. Тогда х в квадрате плюс у в квадрате равно два а в квадрате. х+у=12 . Возведем в квадрат обе части этого равенства. Два а в квадрате плюс 2ху равно 144. Разделим обе части полученного равенства на 4. Получим : а в квадрате деленное на 2 плюс ху деленное на 2 равно 36. Первое слагаемое - площадь равнобедренного треугольника. Второе - площадь другого треугольника.
Зоя Шаромет, у вас самое лучшее решение, такое, как необходимо для школьников, Итог вашего решения таков: S(ABCD)=S(∆ABD)+S(∆BCD)=a^2/2+x*y/2=36; Кроме того автор допустил ошибку на 10-ой минуте, площадь треугольника ABD равна BD^2/2 ; тогда, как автор делает ошибку возводя в квадрат два в знаменателе.
@@БадрудинИтоновичМагомадов с чего ради площадь треугольника считается как гипотенуза в квадрате пополам?он сказал,что половина гипотенузы равна высоте,опущенной к ней.нашел половины гипотенузы и умножил на высоту,потому что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно считать как возведение в квадрат этой высоты,соответственно и знаменатель в квадрат возвелся.он мог гипотенузу не делить на 2,а умножить ее на высоту,которая в два раза меньше высоту,а затем поделить произведение на два,получилось бы тоже самое.)
Браво! а я не решил! не нашёл что и куда повернуть, дорисовать, но предположил, что 12 делим на 2 и получаем 36, но это так получилось в следствие паники и стыда
Все элементарно: здесь два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой: ABD и BCD. Возводим выражение, данное в условии, в квадрат. Получаем сумму квадратов катетов плюс их удвоенное произведение. И все это равно 144. Делим обе части равенства на 4 и получаем, что площадь одного треугольника плюс площадь другого равно 36.
Проводим В-D. На серидине В-D лежит центр окружности проходящей проходящей через А В С и D. Отсюда АВ+СD = DC + СВ =12. Так как АВ=СD то АВ= 6 . Дальше 6*6=36
@@GeometriaValeriyKazakov только треугольник ВСD МЕНЬШЕ треугольника АВD. так как только равнобедренный треугольник будет иметь максимальную площадь. А все не равнобедренные будут меньше. Отсюда: площадь АВСD меньше 36.
Перевернем четырехугольник на 90 градусов(отложим такой же, D в B ,C в К, B в Е. Так как четырехугольник можно вписать в окружность, ADC+ABC=180, то есть ЕК параллельна CD, после поворота образовалась боковая сторона KC = BC+CD = 12. Средняя от ни я трапеции = EK+CD/2=12/2=6, S=6*12=72, Это площадь двух изначальных фигур, значит искомая = 72/2 = 36
@@mobikost Да, но поскольку в условии ничего не сказано, то в матемтаике это понимают так: мы рассматриваем все случаи, либо самый общий. Такие правила игры.
@@mobikost Обычно на олимпиадах этого не пишут, так как там все профи и всем все понятно. Но вы правы, для любителей можно было дописать, что ABCD - не квадрат!!! Но тогда не было столько комментариев, что тоже плохо для канала! Диалектика!
Поскольку в условиях не сказано, что углы B и D не прямые, то мысленно вращаем треугольник BCD вокруг точки D с соблюдением условий задачи до тех пор, пока угол D не станет прямым. Исходя опять же из условий задачи о равенстве AB и AD, получаем равенство BC и CD при их сумме 12. Э вуаля: имеем квадрат со стороной 6 и площадью 36.
@@GeometriaValeriyKazakov не обязательно, условия задачи не задают ограничения на эти углы. А значит если от их значения площадь меняется, то условия некорректны и надо было обозначить какие-то ограничения на эти углы. Если же условия корректны, то значит от углов площадь не зависит, а значит она 36
О, нашел такое же решение, совсем не обязательно рассматривать другой вариант потому что если будет другой ответ то значит не верно сформулирована задача, условия не достаточно для решения и может иметь разную площадь. Я описал решение в другом комментарии, там привел второй частный случай где длина одного катета треугольника ВСD стремится к нулю а второго к 12, тогда площадь четырехугольника стремится к площади треугольника ABD c длиной гипотенузы равной 12 и высотой 6, также к 36. Хотя слово стремится в этом случае не верно потому что она всегда будет равна 36.
Копируем четырехугольник АВСD, поворачиваем на 90 градусов против часовой стрелки. Совмещаем точки A. Получаем трапецию с высотой (BC+CD), нижним основанием СD и верхним BC. Площадь трапеции: высота (BC+CD) умножить на полусумму оснований ((BC+CD)/2). т.е. 12*6=72. Площадь четырехугольника 72/2=36.
Мне эта фигура напоминает квадрат с немного загнутым уголком С по отношению к плоскости фигуры. Почему квадрат??? Потому. что противоположные углы прямые и стороны АВ и АД равны - - - - по условию. Если плоскость сделать ровной, то сторона квадрата будет равна - - - - 6. S =6*6= 36. Это конечно решение для 1 кл. Просто я так вижу.
Мне 67 лет, смотрел с интересом. Треугольник моя любимая фигура со школы, а дальше, став геодезистом, вычислял координаты методом триангуляции. Гениальность в простоте, потому последний вариант самый красивый. Спасибо!
Как найти площадь? Есть несколько решений этой задачи: 1 - Открыть Google Maps говорят что он знает всё.. 2 - Спросить у прохожих.. 3 - Вызвать такси, он довезёт (но это не точно 😂)
Я нашёл свой собственный, который лучше ваших. )) Раскладываем на плоскости наш четырёхугольник и ещё три его копии, образованные его трёхкратным поворотом на 90 градусов вокруг точки А. И обнаруживаем, что в сумме они составляют квадрат со стороной BC+CD = 12; Его площадь равна 12^2 = 144; А площадь его четвертинки, соответственно = 144 / 4 = 36. Аминь. PS. Само собой нужно немножко доказать, что всё стыкуется именно в квадрат, но это дело несложной техники, я думаю пятиклассник справится без труда. PPS. Вообще, при просмотре видео, я ожидал увидеть это решение в качестве третьего, самого простого и красивого, способа. Но так и не дождался. Мы с Маленьким Принцем немного разочарованы...
Ваше решение тоже восхитительно, хотя оно вытекает из двух решений Валерия. ☝️ Или его решения являются производными от Вашего. 🤔 Можно и так сказать. 👍 Но главная изюминка Вашего решения в том, что оно демонстрирует единство этих трёх решений, что они -- суть одно и тоже! 😏 Кстати, большое спасибо Вам за Ваше решение!! 👍
да, пожалуй, это то самое "решение в одно действие" -- просто гениальное 🙂 Но до него догадаются "не только лишь все". Спасибо вам! Я же увидел диагональ BD, которая является диаметром описанной окружности для двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, и т.д.
Доказательство, что стыкуется в квадрат требует знания из 8 кл о том, что сумма углов четырехугольника 360. Как и решение автора для 1-7 кл. Я, кстати, именно его и нашла в первую очередь.
Проводим диагональ ВД. Треугольник АВД прямоугольный и равнобедренный с основанием ВД. Уколы при основании по 45 градусов. Теперь в треугольнике ВСД угол СДВ равен 90 минус угол СВД. И в то же время угол СДВ равен угол СДА минус угол АДВ, который 45 градусов. Значит СДВ равен 45 градусов Всё. Это квадрат. Задача из пальца высосана, зачем только? Время на канале забивать ?
ЧТо за бред кликбейт в названии. Ниче что геометрия начинается только в 7 классе? В первом классе проходят сложение простых чисел 2+2. Ни о какой планиметрии дети не слышали. А задача сложная, расчитаная на старшую школу 10-11 класс или даже на курсы вуза. Но точно не на среднюю школу и тем более не на первый класс
Разумеется, все условно. Но в 1-3 классе Спивак (МГУ) обучает довольно сложным олимпиадным вещам. Думаю, вам все-таки стоит посмотреть другие ролики и поддреживать популяризатов математки.
Это вы зря,в начальной школе есть геометрические задачи,даже периметр вводят в 1иклассе,задачи на нахождение площади квадрата и прямоугольника,а в 4 задачи на прямоугольный треугольник и нахождение площадемюй многоугольника.Пусть не по формулам ,но все же.
Есть решение простое. ВД диагональ, угол А прямой, значит два остальных по 45*. Угол С прямой, значит сумма двух оставшихся углов ::: 90*. И будут по 45*.В итоге АВСД квадрат со стороной 6, а площадь :::36. 😊
Меня же эта задачка тем и заманила что решить её можно множеством способов. Меня всегда интересовал самый 'элегантный' - как правило, являющийся также самым 'эффективным' в смысле 'трудозатрат' (крайне актуально в реальной жизни и для не-математиков 😁). А вот тут-то и кроется весь пресловутый дьявол. Как правило, для нахождения элегантных решений, недостаточно знать/понять технические детали, главное - понять суть. Валерий это выразил научным термином 'инвариант'. Как-то так 🙂. P.S.: я вот совсем не педагог, но мне кажется что такого рода задачи ценны именно в 'методологическом' плане - учат школьников пониманию, а не просто и не столько чисто техническому решению задач. Имхо, это был один из сильнейших аспектов 'совкового' средне-школьного образования (по кр.мере, в естеств.науках), мир праху его, к большому сожалению.
4 таких прямоугольника складываются в квадрат со стороной 12, площадь которого будет 144, значит площадь АБСД 144/4=36. Просто поворотом на 90 относительно точки А.
В ( 06.17) ошибка: " можно найти катет - он будет 12 делить на корень из 3". Правильно " 6 умноженное на корень из 2 или 12 деленное на корень из 2". Ведь острый угол 45 градусов, а не 60
Проведём диагональ ВД. Она делит 4-х угольник на два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза. А далее применяя математический аппарат выражаем гипотенузу ВД из одного треугольника АВД и второго ВСД получим соотношение между катетами обоих треугольников. а именно 2 * а^2 = x^2 + (12-x)^2. Отсюда а^2 = x^2 - 12*x + 72. А теперь площадь четырёхугольника равна сумме площадей АВД и ВСД. Площадь АВД = а^2/2; Площадь ВСД = (х * (12-х)/2 и а^2/2 + (x*(12-x)/2= 1/2 * (х^2 - 12x+72 +12x-x^2)=72/2 = 36. ЧТД.
Так как нет дополнительных условий, мы имеем два предельных варианта: 1) это квадрат, и его площадь 36, или 2) точка В совпадает с точкой С и у нас прямоугольный равнобедренный треугольник, с гипотенузой 12, площадь которого тоже 36. все остальные варианты лежат в диапазоне площадей от 36 до 36.
Несмотря на четыре "лайка", это не решение. Ваши предположения вовсе не гарнируют, что в промежуточных вариантах изменение площади невозможно. Рассмотрите другую ситуацию: прямоугольник с суммой длин смежных сторон, равной 12. Например, 1 и 11. Его площадь будет равна 11. 2 и 10 -- площадь 20. И тп.
@@theMerzavets нет, не будет больше. У нас функция с тремя уже определенными точками: 1) вариант когда BC = 0; 2) вариант когда BC = CD; 3) и вариант CD = 0. Везде функция дает одинаковый результат. такая функция не может иметь перегибов, и будет в виде прямой. т.е. и при остальных вариантах соотношения BC/CD она будет давать одинаковый результат.
@@IlyaKiss во-первых, с одинаковым периметром можно построить бесконечное количество именно прямоугольников; во-вторых, я не совсем понял суть вашего возражения. Или это не возражение было?
@@maxb5882 а на каком основании вы считаете эту функцию линейной? Какую кривую опишет угол при изменении её параметра? (Подсказка: хотя бы мысленно рассмотрите множество вписанных в окружность прямоугольных треугольников. Как раз все три ваших условия выполняются -- в крайних точках имеем треугольники, вырожденные в отрезки -- но функция при этом тригонометрическая.)
Решал алгеброй. Потратил 30мин. пришлось заново научиться выражать площадь квадрата через его диагональ, и вспомнить сумму квадратов. Костя, 36 годиков.
Я делал по-другому: Диагональю BD разделил на два треугольника. BC - y CD - x x+y=12 тогда BC = x-12 У обоих треугольников выразил площади через X. Сложил получившиеся формулы. При упрощении уравнения X везде сократился. Ответ 36
Спасибо за красивый добрый задушевный антивоенный краткий честный гуманизм Экзюпери в волшебной вашей школьной элементарной геометрии - лишь самолет его антифашиста найден недавно в проливе возле Франции вдали от Украины... он ушел в вечность в 1944 году... просимо вас завжди спочатку чітко вказувати план, головну ідею розв'язування задач, робити належні паузи і мудро уникати зайвих очевидних утомлюючих деталей зі зменшенням кількості записів... чому ви не побачили 12-х +х у квадраті - усно можна коротко... просимо ставити дати народження і смерті...
Спасибо.Да, паузы нужны и для учеников обычных - высокая скорость. Но здесь проблема ютуба. Время просмотра рорлика среднее 3 мин. И если ролик длинный ютуб сичтает, что окнтент не интересен и уменьшает предложение моиъ роликов. Это проблема. Но у меня в плейлистах вы найдете много роликов для обычных не олимпиадных детей: 8 класс базовый, 8 класс повышенный, 9 класс базовый, 9 класс повышенный. Там все медленно. Шчыра дзякую за добрыя словы.
Два прямоугольных треугольника (один из которых равнобедренный) с общей гипотенузой. Используя теорему Пифагора и формулу суммы квадратов чисел получаем площадь фигуры 36. Легко и просто.
Левую и правые части равенства условия возвести в квадрат .Оставив в левой части сумму квадратов , перенести удвоенное произведение в правую .Левая часть даёт квадрат ВД , что есть 2 АВ квадрат. То есть 4 площади треугольника АВД .В правой части 144 - 4 площади ВСД.Ответ 36
В исходной задаче предполагается, что ответ будет единственным, вне зависимости от величины угла В (и, соответственно, ответного ему D). Т.е. я могу мысленно двигать вершину С произвольно как мне вздумается, искомая площадь при этом не изменится, если А=С=90°. При таком мысленном перемещении я останавливаю вершину С так, чтобы В равнялся 90°. Тогда D будет = 360-A-B-C=90°. Перед нами квадрат со стороной 6, т.е. s=36. Это одно из допустимых решений, а условия задачи предполагают, что оно единственное, т.е. все площади всех возможных четырёхугольников, образованных траекторией мысленного движения С должны быть равны друг другу.
Вы не знаете и не можете знать, ч о предполагается в исходной задаче. Строго говоря. там ничего не предполагается. Есть условие и все. Простые учебники - зло! В них у любой задачи есть ответ, в жизни и в математике это просто не так.
При всём множестве существования такого 4-х угольника ответ будет один 36 кв. ед. Смотрите решение в комментариях выше. Там есть критерий существования таких 4-х угольников через зависимость катетов.
Это неполное решение. Но оно вполне годится в отдельных случаях. А неполное потому, что берем частный случай и решаем его, но при этом не утруждаем себя доказательством того, что решение задачи будет одно и тоже, независимо от того какой случай взять. Т.е. факт того, что площадь будет одной и той же при разных соотношениях ВС и СD, и зависит только от их суммы мы подразумеваем из условия, но не задумываемся о том, что условие может быть неполным или противоречивым.
Ответ- 36. Решение: соединим т.В и т. Д. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВД и ВСА. У них общая гипотенуза ВД. Из теоремы Пифагора следует сумма квадратов катетов в данных треугольниках будет одинакова, это возможно, если сумма длин катетов АВ+ АД = ВС+ СД = 12, так как треугольник АВД равнобедренный, то длина его катета равна 6, а площадь всей фигуры- 36.
Примерно так и я делал. Треугольники с общей гипотенузой, значит их площади одинаковы, и равны половине от произведения их катетов. А так как катеты у второго одинаковы, значит 12/2=6 Общий объем 6*6=36
Я очень люблю решать задачи по геометрии и математические примеры, но у меня ничего не получается в итоге, и я смотрю, как это делают другие. Не знаю, почему у меня это вызывает интерес. Наверно, это дано или же не дано от природы - улавливать суть в неочевидном, видеть и просчитывать возможности и ходы. Наверно, это то единственное, чему я завидую в других.
поскольку четырехугольник вписан в окружность - то для него работает правило - BC+AD=CD+AB. И поскольку BD общий диаметр для двух прямоугольных треугольников BCD и ABD, вписанных в окружность, то BC+CD = 12 равно как AD+AB=12. AB=AD=12/2=6. Sabcd=2*6*6/ 2=36
@@АланияКрокодилова пардон - у вписанного четырехугольника работает правило произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. и учитывая что АB = AD и BC+CD=12, а так же исходя из того что треугольники ADB и BCD прямоугольные найдем BC по теореме Пифагора - BC= 6(2-2^1/2) . Из уравнений найдем AB=AD- и AB будет равно 12*(1-(2^1/2)/2)^1/2 , а CD = 6*2^1/2 из этого найдем площадь четырехугольника как площадь двух прямоугольных треугольников. Отсюда и получится 36.
У меня решение визуальное: представляем что смотрим на кусок фанеры из под угла D, разумеется получаем искаженную плоскость. Выравниваемся, смотрим фронтально, видим квадрат со стороной 6; = 36
Древние геометры очень радовались, когда сложная задача превращалась в результате в простую красивую фигуру, потому способ №2 может иметь очень древнюю историю.
Но здесь же на видео представлены 3 способа, а не 4, как сказано в описании. Или я что-то упустил? Ну, не суть. Четырёхугольник ведь можно нарисовать по-разному, главное чтобы сумма BC+CD была равна 12. Тогда пусть BC=CD. Тогда этот 4-угольник будет сразу квадратом со стороной 6. Площадь, следовательно, 36. А ещё можно рассмотреть вырожденный случай, когда BC=0. Тогда CD=12 и мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12. Тоже вариант.
1. Ни чего не мешает рассмотреть частный случай, когда ВС=0. Получаем треугольник АВD, BD=12. Опускаем высоту на ВD. Получаем два прямоугольных треугольника с катетами по 6. Sabcd=6*6/2*2=36 2. Другой частный случай BC=CD=6. Т.е. получаем квадрат со стороной 6. Sabcd=6*6=36. Два решения с одинаковыми ответами. Тривиально. А вот доказать, что площадь во всех случаях неизменна - сложнее.
Спасибо. А что позволяет рассмотреть частный случай? Давайте найдем площадь параллелограмма со сторонами 6 и 8. Рассмотрим его частый случай - прямоугольник. Получим 6х8 = 48. Верно, что ли?
@@GeometriaValeriyKazakov , из условия задачи следует, что площадь фигуры неизменна при любых BC и CD с ограничением, что их сумма равна 12. Отсюда решение любого частного случая покажет единственно верный ответ.
самый простой алгебраический. площаь квадрата - квадрат диагонали на 2 деленный. значит треугольника BAD - деленый на 4. площадь прямоугольного тр-ка - полупроизведение катетов. возводим условие в кадрат делим на 2 и получаем ответ
Соединяем прямой точку B с точкой С где она является диагональю для двух образованных треугольников АBС и ВСD. Сумма сторон ВС и СD = 12 применяем теорему Пифагора и находим длинну диагонали для двух образованных треугольников. Тогда получаем сумму сторон АB и СD =12, по условиям они равны между собой, 12:2=6, 6×6=36, что является площадью четырёх угольника.
Решается очень просто: если площадь не зависит от двух неизвестных углов, то площадь квадрата равна (12/2)²= 36. Или, например, ВС или CD стремится к 0, то получается равнобедренный треугольник с основанием 12 и прямым углом в вершине, высотой 6. Площадь этого треугольника 12×6/2=36!
@@GeometriaValeriyKazakov а если зависит, то задача равносильна вопросу "какое расстояние между двумя планетами солнечной системы" или "сколько весит атом".
Можно не задумываться над трансформацией, а просто 12 представить как сумму 2+10 (или любую другую, 3+9, например). А дальше посчитать BD, как гипотенузу прямоугольных треугольников. Корни квадратные из неудобных чисел самоликвидируются при подсчете площади треугольника ABD.
А можно пойти дальше, и заметить, что сторона прямоугольного треугольника BCD может меняться от стремящейся к 0 до стремящейся к 12. Тогда BD можно принять равным 12, площадь верхнего треугольника принять за 0, а площадь нижнего прямоугольного, равнобедренного треугольника с гипотенузой 12 будет как и у вас квадрат половины гипотенузы 6х6=36.
Дело в том, что BC и CD мы можем выбрать произвольно не нарушая условие задачи. В этом легко убедиться, вписав 4 -угольник в окружность: BC совпадет с ее диаметром. Например, можем взять BC =CD = 6. Тогда получаем квадрат со стороною 6. Ответ - 6х6=36. Или, если хотим, BC =0, CD =12. Тогда 4-угольник превращается в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой 12 и высотой 6. Площадь , соответственно, та же: 12х6:2=36. Вот и все...
А какое условие задачи я не выполнил? Я думаю, сам автор не осознал суть задачи. Правильное условие звучало бы так: доказать, что площадь 4-угольника не зависит от AB. Сама же площадь вычисляется, как я показал, элементарно. @@GeometriaValeriyKazakov
второй легче для объяснения. я 4м классе. задача найти площадь равнобедренной трапеции. высота и верхняя и нижняя стороны известны. решил за 30 секунд. про среднюю линию ещё не знал. мысленно это прямоугольник и два треугольника = ещё прямоугольник
Этот четырёхугольник и ещё три, полученные и него поворотом вокруг A на 90, 180 и 270 градусов, вместе образуют квадрат со стороной 12. Площадь тогда равна 12^2/4=36.
Загадка: дан четырёхугольник, 2 стороны равны, 2 угла прямые. Тогда, 2 других угла тоже прямые. Но тогда и 2 другие стороны тоже равны 2 предыдущим. Так это ж квадрат! 6*6=36
я повелся на первый кадр и решил устно. BD -- диаметр окружности. точки А и С лежат на окружности и опираются на этот диаметр. Можем двигать точку С на окружности, угол BCD будет оставаться прямым. Подвинем точку С по окружности так, что она перейдет в точку B, треугольник BCD станет вырожденным и диаметр окружности тогда равен 12, радиус 6. В таком случае S_ABCD = S_ABD = R^2 = 36.
AD = AB = x, ВС =а, CD = b. a+b = 14, квадрат (a+b) = 144, удвоенный квадрат х = cумме квадратов a и b (теорема Пифагора). Следовательно сумма квадрата х и произведения a и b = 72, а следовательно площадь четырёхугольника - 36.
@@silenthunter9239 нет не равна. Квадрат суммы равен сумме квадратов а и b плюс удвоенное прозведение а на b. Но сумму квадратов а и b в этом равенстве можно заменить удвоенным квадратом х. По теореме Пифагора. Два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу BD, а значит, суммы квадратов их катетов равны.
Тут ещё проще решение. BD это диаметр окружности в который вписана эта трапеция. Поскольку треугольник BCD опирается на диаметр окружности то точка С может лежать на любом ее участке между точками B и D, не противореча условиям задачи. В том числе и совпадать с этими точками в пределе. В этом случае диаметр окружности будет равен 12 см. А площадь трапеции или уже треугольника будет равна четверти от 12 в квадрате т е. 36 см. Задача решается устно без всяких построений.
есть ещё четвертый способ, он проще показанных трех. Представьте, что BC=0. тогда вся фигура превращается в равнобедренный прямоугольный треугольник с диагональю = 12. Дальше не хитро, площадь 36 получается.
Искомая площадь: AB^2/2+BCxCD/2. Выразим AB^2 через BC и CD. AB^2/2=BD^2/4, BC^2+CD^2=BD^2. Тогда площадь равна (BC^2+CD^2)4 + BCxCD/2, складываем и получаем (BC^2 + 2BCxCD + CD^2)/4, заметим, что выражение в скобках это квадрат суммы, тогда ((BC+CD)^2)/4 или 114/4=36
Предположим что при данных условиях площадь не меняется. Возьмём частное значение когда точка С будет расположена на биссектрисе угла. Тогда получая квадрат ( по условию) сторона которого равна 6. Площадь 36. Решается в уме.
Отрезок BD является гипотенузой треугольников ABD и BCD. Имеем тождество: BC + CD = 12. (BC + CD)÷2= 6. (BC÷2 + CD÷2)^2=6^2=36. (BC^2 + CD^2)÷4 + BC×CD÷2 = 36. BC квадрат плюс CD квадрат есть квадрат гипотенузы. Квадрат гипотенузы деленный на 4 равен площади треугольника ABC. BC×CD÷2 - площадь треугольника BCD. Площадь 4-угольника равна сумме площадей 3-угольников. Для проверки подставим в формулу численные значения BC и CD, согласно тождеству: 11 и 1; 10 и 2; 9 и 3; 8 и 4; 7 и 5; 6 и 6. Выясняется, что при всех сочетаниях катетов площадь 4-угольника неизменно равна 36. Фантастика! Этого не может быть! А как это работает? А давайте возьмем другие значения катетов BC и CD, а именно: -- 1 (минус 1) и 13; -- 2 и 14; -- 3 и 15; --88 и 100; --5 и 17 и так далее, тождество нам позволяет. Увы, результат тот же - 36. С той разницей, что здесь площади не складываются, а вычитаются. Окончательная формула - Sabcd = Sabd +/-- Sbcd
Диагональ БД делит четырех угольник на два прямоугольных треугольника. Площадь прямоугольника=1/2произведения катетов. Имея сумму катетов меньшего треугольника можно составить формулу в которой диагональ общая с равнобедренным треугольником.
Все точки лежат на одной окружности с диаметром BD. У четырехугольника есть два интересных частных случая: 1. ВС=0, и тогда это равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, площадь 36 2. ABCD - квадрат со стороной 6, площадь 36
Ну и... в промежутке между 1) и 2) пока ВС принимает значения от 6 до ноля, отрезки АВ и АД будут принимать значения от 6 до 8,48. производя площади бесконечного количества четырехугольников равними 36.
Я сперва решил алгебраически (через x) (8 класс). Только скобки нигде не раскрывал, поэтому получил в последней дроби в числителе полный квадрат, где у меня x благополучно сократился. А получив квадрат половины от 12, понял, что можно провести перпендикуляры из A на стороны BC и CD, и получить равновеликий четырёхугольнику квадрат со стороной 6 (способ похож на приведённый для 1-7 класса, но рассуждения чуток проще). Правда в первом классе ещё не знают о перпендикулярах. Решения с разрезанием по AC не заметил. Замечание: когда в геометрии говорят о равенстве фигур, то имеется в виду равенство их величин, т.е. площадей, а не конгруэнтность.
Решил в уме за 1.5 минуты. Проводим диагональ BD, получаем 2 равных по площади прямоугольных треугольника ABD и BCD с общей гипотенузой. Соответственно AB+AD=BC+CD, а оно уже известно 12. В итоге AB*AD = 36.
@@GeometriaValeriyKazakov Виноват. Увидел ошибку. Видимо мысленно поиграл в тетрис быстрее, чем смог сформулировать мысль )) Прямо как в старом анекдоте про алкоголика и два по 0,25
Игорь, не могу ответить на вопрос "как вы считает", так как ваш вопроос где-то прячется в ленте комментов. У меня 200 рлликов и доругие, поверьте, не хуже! Желаю при ятного просмотра.
Уважаемый гений. Тк у нас есть прямой угол между двумя известными, тем более одинаковыми катетами, то забиваем в эти углы постоянные гвозди. В четвертом тоже прямом углу ставим сьемный гвоздик. Натягиваем нить. Сьемный гвозь ведем до того, пока не установится прямой угол в правом верхнем углу. При изменении конфигурации треугольников ВСД их площадь одинакова. Получаем квадрат и площадь находится запросто. 😂 Удачи. Геомерики 😂😂😂 Хотя 7 класс - верно
Спасибо. Идея классная. Забив гвоздики и имея постоянный шнурок и вместо сьемного гвоздика звяв карандаш, мы начертим эллипс, в двух соседних гвоздиках - его фокусы. Но вам придется доказать, что площадь не будет меняться при движении съемного гвоздика. А вдруг будет все время разная или две разных? И я тут не при чем - это математика. Но идея ваша - замечательная! - супер!
Забавно, что этому условию - ВСД=12 - соответствует бесчисленное множество четырёхугольников. Я даже подумал, что это какая-то ловушка. Но все эти четырёхугольники имеют площадь равную 36-ти. Например, если ВС=0 и СД=12, тогда у нас просто прямоугольный треугольник АВД с катетом 12 и его площадь =36. Если же ВС=СД=6, то у нас получится квадрат со стороной =6 - пртивоположные углы прямые и стороны равны. Уже интересно, что крайние значения дают тот же результат. Можно подставить ВС=4 и СД=8, или ВС=5 и СД=7, всегда получается 36.
можно решить много проще. Из условия понятно, что любой 4-хугольник, соответствующий условию имеет одинаковую площадь. Значит можно взять 4-хугольник у которого ВС=СD=6. поскольку у треугольников общая диагональ, а треугольник BCD равнобедренный, с прямым углом, то АВСD - это квадрат со стороной 6 см. Соответственно площадь - 36
Из условия это никак не следует. Это вы додумываете условие. В конце-концов так и получилось. Но математическая задача в том, чтобы это как раз доказать!
Зачем такие сложности для такой простой задачи в три строки? Провести диагональ ВД. Площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников. Если Обозначить Ав=АД=а, ВС=в, СД=с, тогда S=1/4(в^2+с^2)+1/2в.с, т.к. 2а^2=в^2+с^2, отсюда 4S=(в+с)^2, т.к. 4S=144, S=36. Три строки. А с первого по четвёртый класс справится разные что вундеркинд, слишком заморочено.
Спасибо, Галина. Во-первых, это не такая простая задача для ученика 8 класса. Во-вторых, это же не олимпиада, а учебное видео. Значит нужно рассмотреть разные способы атаки незнакомой задачи. Это просто элемент обучения олимпиадников. Алгебраическое решение, конечно, хорошее. Правда обычный ученик, не олимпиадник, не сможет сделать такие преобразования. Посмотрите еще видео на тему по ссылке и последний наш ролик, где вам предоставляется возможность проявить свое мастерство. ua-cam.com/video/fFyPczCfPNg/v-deo.html
Не думала, что использование теоремы Пифагора и формулы площади прямоугольного треугольника - это алгебраическое решение. А ещё мне трудно представить семиклассника, который не знает теоремы Пифагора, но умеет мысленно резать, крутить и клеить треугольники. Вы в школе то преподавали? Я, слава Богу, и училась и преподавала в Советской школе, а ещё у нас на первом курсе читал лекции лично Погорелов А.В.,если слышали о таком. Ему бы и в голову не пришло заменить знание теории на игру в фантики. Может поэтому Советское образование самое лучшее в мире. А эти манипуляции - ну разве что от « нечего делать». Интересно, как на практике будут вычислять площадь подобного поля? Треугольники резать? Как говорят: « Спасибо за рИформу образования». Теперь геометрия от алгебры дальше чем история от астрономии.
@@ГалинаСеркина-б4х Спасибо. Я понимаю Вашу ностальгию по СССР. Но не разделяю Вашего негативного отношения к всему миру. К слову сказать, теорема Пифагора изучается в 8 классе. Берегите себя.
x+y=12 Area=xy/2 Diagonal=√{xx+yy} Area of left side triangle=aa/2 Total area=xy/2+aa/2 √2a=√{xx+yy} 2aa=xx+yy 2aa+2xy={x+y}^2=12^2=144 Dividing by 4 we get a^2/2+xy/2=144/4=36
Давно так не смеялся над своими понтами. Сразу понял, что простейшее решение--через диагональ ВД. Но решил пойти оригинальным путем--через медианы АО и СО(радиусы). S=abc/4R. Сравнил оба решения--прослезился: те же формулы, только расчеты в 3 раза длиннее. Вспомнился анекдот про чукчу из "Поля чудес"--угадал все буквы за 1 минуту, сумел прочитать слово за 10минут.
Получается что это BC+AD это сторона квадрата если соединить четыре таких четыре угольник то получится квадрат и сторона квадрата как раз это и есть их сумма тоест, 12^2 это 144, далее делим на четыре так как у нас площадь четырёх угольника это четыре площади это и есть площадь квадрата
Спасибо, Валерий Владимирович!Восхищена вашими учебниками по геометрии для 7-9 классов в РБ. Жаль, что не имели удовольствия на той же ноте продолжить обучение в 10-11.
ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. Просто два угла в 90 градусов и общая гипоненуза ВД говорят о том, что площади двух треугольников равны. Равностороннесть АВ и АД с гипотенузой(диагональю квадрата,который мы представляем мысленно авсд ) говорит о том, что ав+ ад равно 12...можно более развернуто с доказательствами, но вроде это и так видно...как бы тянем угол С (прямой) до построения квадрата. Диагональ на месте, сумма сторон известна
"ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. " Как может быть "она сторона 12/2=6", если видно, что катеты прямоугольного треугольника BCD - Не Равны. Равенство АС = СД (из условия задачи) вовсе не означает, что их сумма равна 12. Их сумма в любом случае будет БОЛЬШЕ, чем ВС+СД.
![Тестовый вопрос, на который все ответили неверно [Veritasium]](/img/n.gif)
Ребята, у меня описка там на экране "Экзюпери" !
У этой задачи нет определённого решения. Представьте, хотя бы, что BC=0, а CD=12 и сосчитайте площадь получившегося треугольника!
@@rogermorrison2968 сосчитали, столько же. Вы на учитываете, что размеры AB и AD при стремлении BC к нулю, тоже увеличаться. Но идея ваша хорошая.
@@GeometriaValeriyKazakov Ну, возможно. Я не пересчитывал. Хотя, такая инвариантность и выглядит странной.
Задача не корректная. И имеет бесконесно много решений
Решение для 7-ого класса просто восхитительно в своей простоте! Кон-гениально! Спасибо.
Конгениально означает "аналогично".
И Вам спасибо!
144
Благодарю за ценнейшие уроки!!! Продолжайте, пожалуйста!!!
Здоровья и процветания каналу!!!
Спасибо, что смотрите наш канал.
Зачем учиться дальше 7-го класса, если они ( семиклассники) способны решать самые красивые задачи самыми простыми и, следовательно, самыми красивыми методами??? Видимо, недаром в послевоенные годы в СССР было обязательным лишь 7 классов!?!? Ура, товарищи!!!
Ведущему Браво, Браво, Браво!!!
Решение неправильно. Эта задача не корректная, и не имеет единственноче решение.
@@eldarmamedov390дайте Ваши решения, будет интересно и полезно.....
Супер, спасибі, дуже цікаві рішення! Із задоволеням слідкую за вами.
@@ТетянаСтаніславівна-ь8р вам не автор канала ответил
Здравствуйте. Валерий Владимирович Козаков - автор учебника по геометрии в Беларуси. По-моему, работает и живет в Беларуси. И, мне кажется, наши славянские языки очень похожи, чтобы понимать друг друга. Давайте не будем использовать такой замечательный образовательный канал для выяснения отношений.
@@mishania6678 Классическая точка зрения шизофреника! Который разговаривает с окружающими на "своем языке", который никто, кроме него, больше не понимает. А вместо совести и ума у них - демагогия "про права" и сваливание с больной головы на здоровую.
@@mishania6678 По-моему очевидно, что "оскорбить всех пытаются" только дикие зомбоукры, потомки быв. великих Людей.
И Вам спасибо. Извините за поздний ответ.
Валерий, СПАСИБО!!! Я восхищён тем, как Вы подаёте варианты решений (11-й, 10-й, ... ,7-й класс... и даже младше)!!! Мне больше всего именно этого не хватало... И вот я открыл для себя Ваш канал!!... Комментировать буду не всегда, а вот смотреть... -- постараюсь не пропускать! 👍 Ещё раз СПАСИБО!!!
И вам спасибо, что поняли идею. Ведь смотрит много не профессионалов, и они не понимают просто, зачем это нужно. А вы знаете!
Спасибо большое, решение для младших потрясающе простое. Я решила алгебраически, но Ваш метод гениальный
А Паскаль еще был физиком и в честь него названа физическая единица. Мне очень нравится, как вы привносите небольные зернышки общей культуры (литературу, факты из жизни великих ученых) в решение задачи. Вы настоящий педагог.
Спасибо, так и былдо задумано. Но некотрым не нравиться, говорят - много воды. Что делать?
@@GeometriaValeriyKazakov но ведь всем не угодишь. Продолжайте в выбранной Вами манере преподнесения информации!
Очень интересно, полезно, содержательно!
@@Lilichkanew Спасибо за поддержку.
А ещё Паскаль изобрёл суммирующую машину.
Все просто, легко и воздушно! Все, как я люблю! Огромное спасибо за отлично поданный материал, прям захотелось ещё порешать. Изящно!
И вам большое спасибо!
Спасибо за многообразие решения. Мы решили одним способом ( через доп построения). И были безумно горды собой)))
Великолепно!!! И я горд за вас!
Спасибо. Красиво, изящно , наглядно.
Спасибо. Очень приятно.
(ВС+СД) в квадрате = 144. С другой стороны, если расписать квадрат суммы, учитывать АВ=АД , то получится (ВС+СД) в квадрате =4S. Отсюда S=144/4=36
Да, можно алгеброй. Спасибо.
Выражаю признательность автору,за отличный "разбор полётов".
Учитесь все, как нужно писать комментарии! Спасибо, что смотрите нас.
Супер Всё способы хороши Но особенно понравился 3 способ
Спасибо.
если во втором решении не вводить х, то станет проще. 12^2 = (BC+CD)^2 = BC^2+CD^2 + 2*BC*CD = BD^2 + 2*BC*CD = AB^2 + AD^2 + 2*BC*CD = 2*AB*AD + 2*BC*CD = 4*S_{ABD} + 4 * S_{BCD} = 4S. Отсюда S = 12^2/4 = (12/2)^2 = 36.
Спасибо.
Пусть АВ=АД=а. Тогда ВД=а√2. Пусть ВС=х, СД=у. Тогда х в квадрате плюс у в квадрате равно два а в квадрате. х+у=12 . Возведем в квадрат обе части этого равенства. Два а в квадрате плюс 2ху равно 144. Разделим обе части полученного равенства на 4. Получим : а в квадрате деленное на 2 плюс ху деленное на 2 равно 36. Первое слагаемое - площадь равнобедренного треугольника. Второе - площадь другого треугольника.
Зоя Шаромет, у вас самое лучшее решение, такое, как необходимо для школьников, Итог вашего решения таков: S(ABCD)=S(∆ABD)+S(∆BCD)=a^2/2+x*y/2=36; Кроме того автор допустил ошибку на 10-ой минуте, площадь треугольника ABD равна BD^2/2 ; тогда, как автор делает ошибку возводя в квадрат два в знаменателе.
Спасибо. Да, это хороший алгебраический способ. Смотрите последний ролик - "Вишенка на торте".
@@БадрудинИтоновичМагомадов с чего ради площадь треугольника считается как гипотенуза в квадрате пополам?он сказал,что половина гипотенузы равна высоте,опущенной к ней.нашел половины гипотенузы и умножил на высоту,потому что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно считать как возведение в квадрат этой высоты,соответственно и знаменатель в квадрат возвелся.он мог гипотенузу не делить на 2,а умножить ее на высоту,которая в два раза меньше высоту,а затем поделить произведение на два,получилось бы тоже самое.)
Я также
@@mvk508 Спасибо, что подписаны на наш канал.
С поворотом красиво мне 58 лет учился физмат школе любил геометрию красота
Спасибо огромное. Для меня эта информация очень важна. Я лично кроме теоремы Пифагора и суммы площадей больше ничего придумать не могла
Спасибо.
Чтобы "отшить" любителей частных случаев можно ввести дополнительное бессмысленное условие.
Назначить углу АВС значение, с минутами и секундами.
Ну, да можно. Только смотреть не будут. ua-cam.com/video/c-ujEMxS3i4/v-deo.html
Браво! а я не решил! не нашёл что и куда повернуть, дорисовать, но предположил, что 12 делим на 2 и получаем 36, но это так получилось в следствие паники и стыда
Спасибо.
Все элементарно: здесь два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой: ABD и BCD.
Возводим выражение, данное в условии, в квадрат. Получаем сумму квадратов катетов плюс их удвоенное произведение. И все это равно 144. Делим обе части равенства на 4 и получаем, что площадь одного треугольника плюс площадь другого равно 36.
Да, согласен. Алгеброй тоже красиво. Имеено делением на 4! Но никак не элементарно для ученика "хорошиста", для которых и канал.
правильное решение
Самый простой... Доступный для нормальных мозгов вариант!
Я тоже решил в Вашим методом, но третий способ красивый, я бы до него не додумался.
Тоже также решил
Проводим В-D. На серидине В-D лежит центр окружности проходящей проходящей через А В С и D. Отсюда АВ+СD = DC + СВ =12. Так как АВ=СD то АВ= 6 . Дальше 6*6=36
Отлично.
@@GeometriaValeriyKazakov только треугольник ВСD МЕНЬШЕ треугольника АВD. так как только равнобедренный треугольник будет иметь максимальную площадь. А все не равнобедренные будут меньше. Отсюда: площадь АВСD меньше 36.
Согласен.@@СергейМусиенко-м4н
Спасибо за подробный разбор. Решил 1-7 класс )). Склеил 4 равных четырёхугольника в большой квадрат со стороной ВС+СD=12.
И вам спасибо.
Перевернем четырехугольник на 90 градусов(отложим такой же, D в B ,C в К, B в Е. Так как четырехугольник можно вписать в окружность, ADC+ABC=180, то есть ЕК параллельна CD, после поворота образовалась боковая сторона KC = BC+CD = 12. Средняя от ни я трапеции = EK+CD/2=12/2=6, S=6*12=72, Это площадь двух изначальных фигур, значит искомая = 72/2 = 36
Да. Спасибо.
Самое просто решение. 1. Решение есть и оно однозначно 2. Решение не зависит от углов В и D, т е В и D могут быть любые. 3. В=D=90. X=Y. 6²=36
Спсибо. А кто сказал, что не зависит? Вдруг при других углах - другие ответы?
@@GeometriaValeriyKazakov так тогда бы условие было зависимым от углов :)
@@mobikost Да, но поскольку в условии ничего не сказано, то в матемтаике это понимают так: мы рассматриваем все случаи, либо самый общий. Такие правила игры.
@@mobikost Обычно на олимпиадах этого не пишут, так как там все профи и всем все понятно. Но вы правы, для любителей можно было дописать, что ABCD - не квадрат!!! Но тогда не было столько комментариев, что тоже плохо для канала! Диалектика!
Поскольку в условиях не сказано, что углы B и D не прямые, то мысленно вращаем треугольник BCD вокруг точки D с соблюдением условий задачи до тех пор, пока угол D не станет прямым. Исходя опять же из условий задачи о равенстве AB и AD, получаем равенство BC и CD при их сумме 12. Э вуаля: имеем квадрат со стороной 6 и площадью 36.
Да, но при это следует также рассмотртеь случай, когда эти углы не прямые.
я тоже как-то пробовал строить/крутить в автокаде эту задачку - и у меня она вырождалась в квадрат в итоге, других вариантов построить не удавалось :(
@@GeometriaValeriyKazakov не обязательно, условия задачи не задают ограничения на эти углы. А значит если от их значения площадь меняется, то условия некорректны и надо было обозначить какие-то ограничения на эти углы. Если же условия корректны, то значит от углов площадь не зависит, а значит она 36
И я так решила. Ясно, что это "квадрат".
О, нашел такое же решение, совсем не обязательно рассматривать другой вариант потому что если будет другой ответ то значит не верно сформулирована задача, условия не достаточно для решения и может иметь разную площадь. Я описал решение в другом комментарии, там привел второй частный случай где длина одного катета треугольника ВСD стремится к нулю а второго к 12, тогда площадь четырехугольника стремится к площади треугольника ABD c длиной гипотенузы равной 12 и высотой 6, также к 36. Хотя слово стремится в этом случае не верно потому что она всегда будет равна 36.
Спасибо за три способа решения.
И вам.
Копируем четырехугольник АВСD, поворачиваем на 90 градусов против часовой стрелки. Совмещаем точки A. Получаем трапецию с высотой (BC+CD), нижним основанием СD и верхним BC. Площадь трапеции: высота (BC+CD) умножить на полусумму оснований ((BC+CD)/2). т.е. 12*6=72. Площадь четырехугольника 72/2=36.
Супер решение!
Мне эта фигура напоминает квадрат с немного загнутым уголком С по отношению к плоскости фигуры. Почему квадрат??? Потому. что противоположные углы прямые и стороны АВ и АД равны - - - - по условию. Если плоскость сделать ровной, то сторона квадрата будет равна - - - - 6. S =6*6= 36. Это конечно решение для 1 кл. Просто я так вижу.
@@snuskega5356 Спасибо. Вы истинный геометр, прирожденный. Так и нужно - видеть!
Самое суперские решение 8-9 Кл.
@@ЛидияНудьга-ц7г Спасибо. Я тоже так думаю. С другой стороны, это как сказать: пирожное с шоколадом - самая вкусная еда. Будем есть все!
Мне 67 лет, смотрел с интересом. Треугольник моя любимая фигура со школы, а дальше, став геодезистом, вычислял координаты методом триангуляции. Гениальность в простоте, потому последний вариант самый красивый. Спасибо!
Спасибо, что смотрите наш канал.
Валерий, спасибо за геометрию, и за Экзюпери.
И Вам спасибо за Экзюпери.
Как найти площадь?
Есть несколько решений этой задачи:
1 - Открыть Google Maps говорят что он знает всё..
2 - Спросить у прохожих..
3 - Вызвать такси, он довезёт (но это не точно 😂)
ОТл. Дневник на стол
Я нашёл свой собственный, который лучше ваших. ))
Раскладываем на плоскости наш четырёхугольник и ещё три его копии, образованные его трёхкратным поворотом на 90 градусов вокруг точки А. И обнаруживаем, что в сумме они составляют квадрат со стороной BC+CD = 12; Его площадь равна 12^2 = 144; А площадь его четвертинки, соответственно = 144 / 4 = 36.
Аминь.
PS. Само собой нужно немножко доказать, что всё стыкуется именно в квадрат, но это дело несложной техники, я думаю пятиклассник справится без труда.
PPS. Вообще, при просмотре видео, я ожидал увидеть это решение в качестве третьего, самого простого и красивого, способа. Но так и не дождался. Мы с Маленьким Принцем немного разочарованы...
Ваше решение тоже восхитительно, хотя оно вытекает из двух решений Валерия. ☝️ Или его решения являются производными от Вашего. 🤔 Можно и так сказать. 👍 Но главная изюминка Вашего решения в том, что оно демонстрирует единство этих трёх решений, что они -- суть одно и тоже! 😏 Кстати, большое спасибо Вам за Ваше решение!! 👍
Решение офигенное
да, пожалуй, это то самое "решение в одно действие" -- просто гениальное 🙂 Но до него догадаются "не только лишь все".
Спасибо вам!
Я же увидел диагональ BD, которая является диаметром описанной окружности для двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, и т.д.
Доказательство, что стыкуется в квадрат требует знания из 8 кл о том, что сумма углов четырехугольника 360. Как и решение автора для 1-7 кл. Я, кстати, именно его и нашла в первую очередь.
Проводим диагональ ВД. Треугольник АВД прямоугольный и равнобедренный с основанием ВД. Уколы при основании по 45 градусов. Теперь в треугольнике ВСД угол СДВ равен 90 минус угол СВД. И в то же время угол СДВ равен угол СДА минус угол АДВ, который 45 градусов. Значит СДВ равен 45 градусов Всё. Это квадрат. Задача из пальца высосана, зачем только? Время на канале забивать ?
ЧТо за бред кликбейт в названии. Ниче что геометрия начинается только в 7 классе? В первом классе проходят сложение простых чисел 2+2. Ни о какой планиметрии дети не слышали. А задача сложная, расчитаная на старшую школу 10-11 класс или даже на курсы вуза. Но точно не на среднюю школу и тем более не на первый класс
Разумеется, все условно. Но в 1-3 классе Спивак (МГУ) обучает довольно сложным олимпиадным вещам. Думаю, вам все-таки стоит посмотреть другие ролики и поддреживать популяризатов математки.
Это вы зря,в начальной школе есть геометрические задачи,даже периметр вводят в 1иклассе,задачи на нахождение площади квадрата и прямоугольника,а в 4 задачи на прямоугольный треугольник и нахождение площадемюй многоугольника.Пусть не по формулам ,но все же.
Есть решение простое. ВД диагональ, угол А прямой, значит два остальных по 45*. Угол С прямой, значит сумма двух оставшихся углов ::: 90*. И будут по 45*.В итоге АВСД квадрат со стороной 6, а площадь :::36. 😊
Меня же эта задачка тем и заманила что решить её можно множеством способов.
Меня всегда интересовал самый 'элегантный' - как правило, являющийся также самым 'эффективным' в смысле 'трудозатрат' (крайне актуально в реальной жизни и для не-математиков 😁). А вот тут-то и кроется весь пресловутый дьявол.
Как правило, для нахождения элегантных решений, недостаточно знать/понять технические детали, главное - понять суть. Валерий это выразил научным термином 'инвариант'. Как-то так 🙂.
P.S.: я вот совсем не педагог, но мне кажется что такого рода задачи ценны именно в 'методологическом' плане - учат школьников пониманию, а не просто и не столько чисто техническому решению задач. Имхо, это был один из сильнейших аспектов 'совкового' средне-школьного образования (по кр.мере, в естеств.науках), мир праху его, к большому сожалению.
Красивые решения,спасибо!
Спасибо! Замечательная задача!
Алания, куда Вы пропали?
Спасибо. все варианты решения понравились, 7 класс всё-таки более красивый.
Спасибо. Нужно все способы. Ведь мы тренируемся решать разные задачи.
4 таких прямоугольника складываются в квадрат со стороной 12, площадь которого будет 144, значит площадь АБСД 144/4=36. Просто поворотом на 90 относительно точки А.
Вашу мысль понял. Да, вы правы. Только 4-ка (оговорочка). Это известное рабиение квадрата. В молодец, если сами придумали!
Спасибо за три способа. Для меня самый очевидный второй. Давненько не вертел фигуры. Спасибо что напомнили.
Еще проше: (12/2)^2=36. Потому что квадрат со стороной 6 подходит под условие задачи.
Спасибо, что смотрите нас.
ua-cam.com/video/ZMNIKokmBDg/v-deo.html
В ( 06.17) ошибка: " можно найти катет - он будет 12 делить на корень из 3". Правильно " 6 умноженное на корень из 2 или 12 деленное на корень из 2". Ведь острый угол 45 градусов, а не 60
Спасибо.
Проведём диагональ ВД. Она делит 4-х угольник на два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза. А далее применяя математический аппарат выражаем гипотенузу ВД из одного треугольника АВД и второго ВСД получим соотношение между катетами обоих треугольников. а именно 2 * а^2 = x^2 + (12-x)^2. Отсюда а^2 = x^2 - 12*x + 72. А теперь площадь четырёхугольника равна сумме площадей АВД и ВСД. Площадь АВД = а^2/2; Площадь ВСД = (х * (12-х)/2 и а^2/2 + (x*(12-x)/2= 1/2 * (х^2 - 12x+72 +12x-x^2)=72/2 = 36. ЧТД.
Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".
Так как нет дополнительных условий, мы имеем два предельных варианта: 1) это квадрат, и его площадь 36, или 2) точка В совпадает с точкой С и у нас прямоугольный равнобедренный треугольник, с гипотенузой 12, площадь которого тоже 36. все остальные варианты лежат в диапазоне площадей от 36 до 36.
Несмотря на четыре "лайка", это не решение. Ваши предположения вовсе не гарнируют, что в промежуточных вариантах изменение площади невозможно. Рассмотрите другую ситуацию: прямоугольник с суммой длин смежных сторон, равной 12. Например, 1 и 11. Его площадь будет равна 11. 2 и 10 -- площадь 20. И тп.
@@theMerzavets нет, не будет больше. У нас функция с тремя уже определенными точками: 1) вариант когда BC = 0; 2) вариант когда BC = CD; 3) и вариант CD = 0. Везде функция дает одинаковый результат. такая функция не может иметь перегибов, и будет в виде прямой. т.е. и при остальных вариантах соотношения BC/CD она будет давать одинаковый результат.
@@theMerzavets, так в иных случаях будет и не прямоугольник, а просто четырёхугольник.
@@IlyaKiss во-первых, с одинаковым периметром можно построить бесконечное количество именно прямоугольников; во-вторых, я не совсем понял суть вашего возражения. Или это не возражение было?
@@maxb5882 а на каком основании вы считаете эту функцию линейной? Какую кривую опишет угол при изменении её параметра? (Подсказка: хотя бы мысленно рассмотрите множество вписанных в окружность прямоугольных треугольников. Как раз все три ваших условия выполняются -- в крайних точках имеем треугольники, вырожденные в отрезки -- но функция при этом тригонометрическая.)
Решал алгеброй. Потратил 30мин. пришлось заново научиться выражать площадь квадрата через его диагональ, и вспомнить сумму квадратов. Костя, 36 годиков.
Спасибо. Вы молодец, что потратили время. Да, это хороший алгебраический способ.
Я делал по-другому:
Диагональю BD разделил на два треугольника.
BC - y
CD - x
x+y=12 тогда BC = x-12
У обоих треугольников выразил площади через X.
Сложил получившиеся формулы. При упрощении уравнения X везде сократился. Ответ 36
Спасибо, что смотрите нас.
Спасибо за красивый добрый задушевный антивоенный краткий честный гуманизм Экзюпери в волшебной вашей школьной элементарной геометрии - лишь самолет его антифашиста найден недавно в проливе возле Франции вдали от Украины... он ушел в вечность в 1944 году... просимо вас завжди спочатку чітко вказувати план, головну ідею розв'язування задач, робити належні паузи і мудро уникати зайвих очевидних утомлюючих деталей зі зменшенням кількості записів... чому ви не побачили 12-х +х у квадраті - усно можна коротко... просимо ставити дати народження і смерті...
Спасибо.Да, паузы нужны и для учеников обычных - высокая скорость. Но здесь проблема ютуба. Время просмотра рорлика среднее 3 мин. И если ролик длинный ютуб сичтает, что окнтент не интересен и уменьшает предложение моиъ роликов. Это проблема. Но у меня в плейлистах вы найдете много роликов для обычных не олимпиадных детей: 8 класс базовый, 8 класс повышенный, 9 класс базовый, 9 класс повышенный. Там все медленно. Шчыра дзякую за добрыя словы.
Два прямоугольных треугольника (один из которых равнобедренный) с общей гипотенузой. Используя теорему Пифагора и формулу суммы квадратов чисел получаем площадь фигуры 36. Легко и просто.
Решил устно, ~ 10-15 cек🤣
формулу квадрата суммы чисел, а не суммы квадратов
Спасибо. Елена оговорилась. Да, алгебраический способ эффективен. Спасибо, что смотрите нас.
Левую и правые части равенства условия возвести в квадрат .Оставив в левой части сумму квадратов , перенести удвоенное произведение в правую .Левая часть даёт квадрат ВД , что есть 2 АВ квадрат. То есть 4 площади треугольника АВД .В правой части 144 - 4 площади ВСД.Ответ 36
я тоже так решила😊
Спасибо. Да, конечно, алгебрический способ хорош.
В исходной задаче предполагается, что ответ будет единственным, вне зависимости от величины угла В (и, соответственно, ответного ему D). Т.е. я могу мысленно двигать вершину С произвольно как мне вздумается, искомая площадь при этом не изменится, если А=С=90°. При таком мысленном перемещении я останавливаю вершину С так, чтобы В равнялся 90°. Тогда D будет = 360-A-B-C=90°. Перед нами квадрат со стороной 6, т.е. s=36. Это одно из допустимых решений, а условия задачи предполагают, что оно единственное, т.е. все площади всех возможных четырёхугольников, образованных траекторией мысленного движения С должны быть равны друг другу.
Вы не знаете и не можете знать, ч о предполагается в исходной задаче. Строго говоря. там ничего не предполагается. Есть условие и все. Простые учебники - зло! В них у любой задачи есть ответ, в жизни и в математике это просто не так.
При всём множестве существования такого 4-х угольника ответ будет один 36 кв. ед. Смотрите решение в комментариях выше. Там есть критерий существования таких 4-х угольников через зависимость катетов.
@@ВасилийИльиненко-ц5е детский сад, штаны на лямках.
Это неполное решение. Но оно вполне годится в отдельных случаях. А неполное потому, что берем частный случай и решаем его, но при этом не утруждаем себя доказательством того, что решение задачи будет одно и тоже, независимо от того какой случай взять. Т.е. факт того, что площадь будет одной и той же при разных соотношениях ВС и СD, и зависит только от их суммы мы подразумеваем из условия, но не задумываемся о том, что условие может быть неполным или противоречивым.
Попробуйте построить фигуру которая дана в условии задачи, и вы поймёте что ошибаетесь!
Ответ- 36. Решение: соединим т.В и т. Д. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВД и ВСА. У них общая гипотенуза ВД. Из теоремы Пифагора следует сумма квадратов катетов в данных треугольниках будет одинакова, это возможно, если сумма длин катетов АВ+ АД = ВС+ СД = 12, так как треугольник АВД равнобедренный, то длина его катета равна 6, а площадь всей фигуры- 36.
Да, это хорошее алгебраическое решение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте". Там я его применяю.
Примерно так и я делал.
Треугольники с общей гипотенузой, значит их площади одинаковы, и равны половине от произведения их катетов. А так как катеты у второго одинаковы, значит 12/2=6
Общий объем 6*6=36
@@SerhiiSoproniuk Спасибо. Если у треугольников общая гипотенуза, то их площади не обязательно равны ).
@@GeometriaValeriyKazakov Согласен. Ошибка.
@@SerhiiSoproniuk Очень непросто признавать ошибки. Хорошее качество, на мой взгляд. Спасибо.
Я очень люблю решать задачи по геометрии и математические примеры, но у меня ничего не получается в итоге, и я смотрю, как это делают другие. Не знаю, почему у меня это вызывает интерес. Наверно, это дано или же не дано от природы - улавливать суть в неочевидном, видеть и просчитывать возможности и ходы. Наверно, это то единственное, чему я завидую в других.
Спасибо.
Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника, равна половине гипотенузы., тогда СН=6
Отлично.
Последнее решение понравилось, спасибо
Для себя понял, что застрял 8-9 классе, потому как решил именно таким способом. Спасибо за интересный разбор.
И Вам спасибо!
поскольку четырехугольник вписан в окружность - то для него работает правило - BC+AD=CD+AB. И поскольку BD общий диаметр для двух прямоугольных треугольников BCD и ABD, вписанных в окружность, то BC+CD = 12 равно как AD+AB=12. AB=AD=12/2=6. Sabcd=2*6*6/ 2=36
Вы ошибаетесь. У вписанных четырехугольников равны суммы противоположных углов, а не сторон.
@@АланияКрокодилова пардон - у вписанного четырехугольника работает правило произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. и учитывая что АB = AD и BC+CD=12, а так же исходя из того что треугольники ADB и BCD прямоугольные найдем BC по теореме Пифагора - BC= 6(2-2^1/2) . Из уравнений найдем AB=AD- и AB будет равно 12*(1-(2^1/2)/2)^1/2 , а CD = 6*2^1/2 из этого найдем площадь четырехугольника как площадь двух прямоугольных треугольников. Отсюда и получится 36.
Спаасибо, что смотрите нас. Все заблуждаются.
У меня решение визуальное: представляем что смотрим на кусок фанеры из под угла D, разумеется получаем искаженную плоскость. Выравниваемся, смотрим фронтально, видим квадрат со стороной 6; = 36
Это гениальнрое проектвное рассуждение! Прям как у Я. Штейнера. Спасибо.
Самое интересное. Это поворот. Превращение в равнобедренный ∆ с диагональю 12. И высотой, делящей на два равных ∆ с катетами 6.
Спасибо. Наверное, да
Древние геометры очень радовались, когда сложная задача превращалась в результате в простую красивую фигуру, потому способ №2 может иметь очень древнюю историю.
Согласен. Спасибо.
Но здесь же на видео представлены 3 способа, а не 4, как сказано в описании. Или я что-то упустил?
Ну, не суть.
Четырёхугольник ведь можно нарисовать по-разному, главное чтобы сумма BC+CD была равна 12.
Тогда пусть BC=CD. Тогда этот 4-угольник будет сразу квадратом со стороной 6. Площадь, следовательно, 36.
А ещё можно рассмотреть вырожденный случай, когда BC=0. Тогда CD=12 и мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12. Тоже вариант.
Спасибо, что смотрите нас.
1. Ни чего не мешает рассмотреть частный случай, когда ВС=0. Получаем треугольник АВD, BD=12. Опускаем высоту на ВD. Получаем два прямоугольных треугольника с катетами по 6. Sabcd=6*6/2*2=36
2. Другой частный случай BC=CD=6. Т.е. получаем квадрат со стороной 6. Sabcd=6*6=36.
Два решения с одинаковыми ответами. Тривиально. А вот доказать, что площадь во всех случаях неизменна - сложнее.
Спасибо. А что позволяет рассмотреть частный случай? Давайте найдем площадь параллелограмма со сторонами 6 и 8. Рассмотрим его частый случай - прямоугольник. Получим 6х8 = 48. Верно, что ли?
@@GeometriaValeriyKazakov , из условия задачи следует, что площадь фигуры неизменна при любых BC и CD с ограничением, что их сумма равна 12. Отсюда решение любого частного случая покажет единственно верный ответ.
самый простой алгебраический. площаь квадрата - квадрат диагонали на 2 деленный. значит треугольника BAD - деленый на 4. площадь прямоугольного тр-ка - полупроизведение катетов. возводим условие в кадрат делим на 2 и получаем ответ
Спасибо. Алгебраический способ хорош. И если бы я его дал, то не было бы половины комментариев. Какой я предусмотрительный!
Соединяем прямой точку B с точкой С где она является диагональю для двух образованных треугольников АBС и ВСD. Сумма сторон ВС и СD = 12 применяем теорему Пифагора и находим длинну диагонали для двух образованных треугольников. Тогда получаем сумму сторон АB и СD =12, по условиям они равны между собой, 12:2=6, 6×6=36, что является площадью четырёх угольника.
Решается очень просто: если площадь не зависит от двух неизвестных углов, то площадь квадрата равна (12/2)²= 36.
Или, например, ВС или CD стремится к 0, то получается равнобедренный треугольник с основанием 12 и прямым углом в вершине, высотой 6. Площадь этого треугольника 12×6/2=36!
Спасибо. А если все-таки зависит?
@@GeometriaValeriyKazakov а если зависит, то задача равносильна вопросу "какое расстояние между двумя планетами солнечной системы" или "сколько весит атом".
Можно не задумываться над трансформацией, а просто 12 представить как сумму 2+10 (или любую другую, 3+9, например). А дальше посчитать BD, как гипотенузу прямоугольных треугольников. Корни квадратные из неудобных чисел самоликвидируются при подсчете площади треугольника ABD.
А можно пойти дальше, и заметить, что сторона прямоугольного треугольника BCD может меняться от стремящейся к 0 до стремящейся к 12. Тогда BD можно принять равным 12, площадь верхнего треугольника принять за 0, а площадь нижнего прямоугольного, равнобедренного треугольника с гипотенузой 12 будет как и у вас квадрат половины гипотенузы 6х6=36.
Дело в том, что BC и CD мы можем выбрать произвольно не нарушая условие задачи. В этом легко убедиться, вписав 4 -угольник в окружность: BC совпадет с ее диаметром. Например, можем взять BC =CD = 6. Тогда получаем квадрат со стороною 6. Ответ - 6х6=36. Или, если хотим, BC =0, CD =12. Тогда 4-угольник превращается в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой 12 и высотой 6. Площадь , соответственно, та же: 12х6:2=36. Вот и все...
А кто разрешил выбирать? Нарушение.
Смотрите послений ролик Говорят ответ 8 не настоящий!
А какое условие задачи я не выполнил? Я думаю, сам автор не осознал суть задачи. Правильное условие звучало бы так: доказать, что площадь 4-угольника не зависит от AB. Сама же площадь вычисляется, как я показал, элементарно. @@GeometriaValeriyKazakov
Посмотрите, может поможет ua-cam.com/video/Cmv3onThkSU/v-deo.htmlsi=qb0fw5Zosfnhl_ny@@АлександрСавченко-ы4л
второй легче для объяснения. я 4м классе. задача найти площадь равнобедренной трапеции. высота и верхняя и нижняя стороны известны. решил за 30 секунд. про среднюю линию ещё не знал. мысленно это прямоугольник и два треугольника = ещё прямоугольник
Спасибо.
Этот четырёхугольник и ещё три, полученные и него поворотом вокруг A на 90, 180 и 270 градусов, вместе образуют квадрат со стороной 12. Площадь тогда равна 12^2/4=36.
Спасибо за комментарий.
Алгебраический метод мне кажется тупо повезло, не факт, что можно будет решить с другими данными
ua-cam.com/video/c-ujEMxS3i4/v-deo.html
Гадаю, способи згинів, вирізок і прикладок, які Ви демонстружте. є найціннішим.
Спасибо за оценку моего труда. Храни вас бог.
Загадка: дан четырёхугольник, 2 стороны равны, 2 угла прямые. Тогда, 2 других угла тоже прямые. Но тогда и 2 другие стороны тоже равны 2 предыдущим. Так это ж квадрат! 6*6=36
Спасибо. Не обязательно.
я повелся на первый кадр и решил устно. BD -- диаметр окружности. точки А и С лежат на окружности и опираются на этот диаметр. Можем двигать точку С на окружности, угол BCD будет оставаться прямым. Подвинем точку С по окружности так, что она перейдет в точку B, треугольник BCD станет вырожденным и диаметр окружности тогда равен 12, радиус 6. В таком случае S_ABCD = S_ABD = R^2 = 36.
Спасибо. Непонятно, почему сумма BC+CD=12 будет сохраняться.
AD = AB = x, ВС =а, CD = b. a+b = 14, квадрат (a+b) = 144, удвоенный квадрат х = cумме квадратов a и b (теорема Пифагора). Следовательно сумма квадрата х и произведения a и b = 72, а следовательно площадь четырёхугольника - 36.
Привет, однофамилька! Извините, что раньше не заметил. Рад вас видеть на канале.
А разве сумма квадратов чисел равна квадрату суммы этих чисел?🤔🤔🤔🤔🤔🤔
@@silenthunter9239 нет не равна. Квадрат суммы равен сумме квадратов а и b плюс удвоенное прозведение а на b. Но сумму квадратов а и b в этом равенстве можно заменить удвоенным квадратом х. По теореме Пифагора. Два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу BD, а значит, суммы квадратов их катетов равны.
@@ТамараКазакова-и1ы Спасибо, Тамара!
Тут ещё проще решение. BD это диаметр окружности в который вписана эта трапеция. Поскольку треугольник BCD опирается на диаметр окружности то точка С может лежать на любом ее участке между точками B и D, не противореча условиям задачи. В том числе и совпадать с этими точками в пределе. В этом случае диаметр окружности будет равен 12 см. А площадь трапеции или уже треугольника будет равна четверти от 12 в квадрате т е. 36 см. Задача решается устно без всяких построений.
Спасибо. Отличная идея.
есть ещё четвертый способ, он проще показанных трех. Представьте, что BC=0. тогда вся фигура превращается в равнобедренный прямоугольный треугольник с диагональю = 12. Дальше не хитро, площадь 36 получается.
Отлично.
Последний вариант отличный!
Согласен.
Искомая площадь: AB^2/2+BCxCD/2. Выразим AB^2 через BC и CD. AB^2/2=BD^2/4, BC^2+CD^2=BD^2. Тогда площадь равна (BC^2+CD^2)4 + BCxCD/2, складываем и получаем (BC^2 + 2BCxCD + CD^2)/4, заметим, что выражение в скобках это квадрат суммы, тогда ((BC+CD)^2)/4 или 114/4=36
Думаю, что это самое лучшее алгебраическое решение.
@@GeometriaValeriyKazakov я только что решил точно так.
@@ВасилийСорокин-ю1с Единомыслие!
Предположим что при данных условиях площадь не меняется. Возьмём частное значение когда точка С будет расположена на биссектрисе угла. Тогда получая квадрат ( по условию) сторона которого равна 6. Площадь 36.
Решается в уме.
Спасибо. Частное решение не доказывает общий случай. ВСе простые числа задаются формулой x^2+x+41, написал Эйлер и ... ошибся. Не все.
@@GeometriaValeriyKazakovтак никто доказательства и не спрашивал, надо было ответ устно узнать😁
Отрезок BD является гипотенузой треугольников ABD и BCD. Имеем тождество: BC + CD = 12. (BC + CD)÷2= 6. (BC÷2 + CD÷2)^2=6^2=36. (BC^2 + CD^2)÷4 + BC×CD÷2 = 36. BC квадрат плюс CD квадрат есть квадрат гипотенузы. Квадрат гипотенузы деленный на 4 равен площади треугольника ABC. BC×CD÷2 - площадь треугольника BCD. Площадь 4-угольника равна сумме площадей 3-угольников. Для проверки подставим в формулу численные значения BC и CD, согласно тождеству: 11 и 1; 10 и 2; 9 и 3; 8 и 4; 7 и 5; 6 и 6. Выясняется, что при всех сочетаниях катетов площадь 4-угольника неизменно равна 36. Фантастика! Этого не может быть! А как это работает? А давайте возьмем другие значения катетов BC и CD, а именно: -- 1 (минус 1) и 13; -- 2 и 14; -- 3 и 15; --88 и 100; --5 и 17 и так далее, тождество нам позволяет. Увы, результат тот же - 36. С той разницей, что здесь площади не складываются, а вычитаются. Окончательная формула - Sabcd = Sabd +/-- Sbcd
Спасибо.
ua-cam.com/video/-UgSZnv2F4g/v-deo.html
Диагональ БД делит четырех угольник на два прямоугольных треугольника. Площадь прямоугольника=1/2произведения катетов. Имея сумму катетов меньшего треугольника можно составить формулу в которой диагональ общая с равнобедренным треугольником.
Новый канал ua-cam.com/video/KE0J6FzI9Hg/v-deo.htmlsi=ahDbhp9bkhkHK_Pj
Ещё проще,сумма длин вс и сд делим на 2, получаем 6,значит и другие стороны тоже 6 ,т.е. квадрат ,шестью шесть равно 36, усе...
Спасибо.
Решил вращением ∆ACD вокруг точки А. Хотя мне как-то ближе алгебраический метод, ну, а самый красивый - 3-й способ. *Спасибо!*
Спасибо. См. "Вишенка на торте".
Решил без каких либо доп. построений.
Обозначим
BC=y, CD=z, AB=AD=x
Имеем
z+y=12
Решаем
S(ABCD) = S(BCD) + S(ABD)
S(BCD) = zy/2
S(ABD) = x^2/2
BD^2=2*x^2=y^2+z^2
y+z=12 =>
y^2 + z^2 + 2zy = 144
y^2 + z^2 = 144 - 2zy
Так как y^2 + z^2 = 2*x^2, то можем записать
2*x^2 = 144 - 2zy
x^2 = 72 - zy
Так как площадь равна сумме площадей треугольников ABD и BCD, то
y*z/2 + (72 - yz)/2 = (yz + 72 - yz ) / 2 =>
S(ABCD) = 72/2 = 36
Предлагаю назвать способ с построением на 18:29 «методом оригами». Не совсем, но чем-то похоже.
Да, согласен, можно из бумаги сделать 4-к и перегибать его. Извините за поздний ответ ( не успеваю).
Все точки лежат на одной окружности с диаметром BD. У четырехугольника есть два интересных частных случая:
1. ВС=0, и тогда это равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, площадь 36
2. ABCD - квадрат со стороной 6, площадь 36
Спасибо. Интересное рассуждение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте"
я также решил, по моему это самое корректное решение, что ВС может быть в диапазоне от 0 до 6.
@@242ra Спасибо. Да, про диапазон верно. А дальше что?
Ну и... в промежутке между 1) и 2) пока ВС принимает значения от 6 до ноля, отрезки АВ и АД будут принимать значения от 6 до 8,48. производя площади бесконечного количества четырехугольников равними 36.
обожаю красивые задачи по геометрии
Спасибо. И я тоже обожаю.
Я сперва решил алгебраически (через x) (8 класс). Только скобки нигде не раскрывал, поэтому получил в последней дроби в числителе полный квадрат, где у меня x благополучно сократился.
А получив квадрат половины от 12, понял, что можно провести перпендикуляры из A на стороны BC и CD, и получить равновеликий четырёхугольнику квадрат со стороной 6 (способ похож на приведённый для 1-7 класса, но рассуждения чуток проще). Правда в первом классе ещё не знают о перпендикулярах.
Решения с разрезанием по AC не заметил.
Замечание: когда в геометрии говорят о равенстве фигур, то имеется в виду равенство их величин, т.е. площадей, а не конгруэнтность.
Спасибо.
Решил в уме за 1.5 минуты. Проводим диагональ BD, получаем 2 равных по площади прямоугольных треугольника ABD и BCD с общей гипотенузой. Соответственно AB+AD=BC+CD, а оно уже известно 12. В итоге AB*AD = 36.
С какой стати равных по площади? Это не обязательно.
@@GeometriaValeriyKazakov Виноват. Увидел ошибку. Видимо мысленно поиграл в тетрис быстрее, чем смог сформулировать мысль )) Прямо как в старом анекдоте про алкоголика и два по 0,25
@@Igor_Lena Ок
Игорь, не могу ответить на вопрос "как вы считает", так как ваш вопроос где-то прячется в ленте комментов. У меня 200 рлликов и доругие, поверьте, не хуже! Желаю при ятного просмотра.
Уважаемый гений. Тк у нас есть прямой угол между двумя известными, тем более одинаковыми катетами, то забиваем в эти углы постоянные гвозди. В четвертом тоже прямом углу ставим сьемный гвоздик. Натягиваем нить. Сьемный гвозь ведем до того, пока не установится прямой угол в правом верхнем углу. При изменении конфигурации треугольников ВСД их площадь одинакова. Получаем квадрат и площадь находится запросто. 😂 Удачи. Геомерики 😂😂😂
Хотя 7 класс - верно
Спасибо. Идея классная. Забив гвоздики и имея постоянный шнурок и вместо сьемного гвоздика звяв карандаш, мы начертим эллипс, в двух соседних гвоздиках - его фокусы. Но вам придется доказать, что площадь не будет меняться при движении съемного гвоздика. А вдруг будет все время разная или две разных? И я тут не при чем - это математика. Но идея ваша - замечательная! - супер!
Забавно, что этому условию - ВСД=12 - соответствует бесчисленное множество четырёхугольников. Я даже подумал, что это какая-то ловушка. Но все эти четырёхугольники имеют площадь равную 36-ти. Например, если ВС=0 и СД=12, тогда у нас просто прямоугольный треугольник АВД с катетом 12 и его площадь =36. Если же ВС=СД=6, то у нас получится квадрат со стороной =6 - пртивоположные углы прямые и стороны равны. Уже интересно, что крайние значения дают тот же результат. Можно подставить ВС=4 и СД=8, или ВС=5 и СД=7, всегда получается 36.
Да. Вы абсолютно правы. Хотя окончательно такое утверждение можно сделать после решения.
можно решить много проще. Из условия понятно, что любой 4-хугольник, соответствующий условию имеет одинаковую площадь. Значит можно взять 4-хугольник у которого ВС=СD=6. поскольку у треугольников общая диагональ, а треугольник BCD равнобедренный, с прямым углом, то АВСD - это квадрат со стороной 6 см. Соответственно площадь - 36
Из условия это никак не следует. Это вы додумываете условие. В конце-концов так и получилось. Но математическая задача в том, чтобы это как раз доказать!
Интересно. Второй способ понравился больше.
Спасибо.
Ну прям в буквенном варианте неохота, а так просто BD гипотенузу мы знаем, через теорему синусов мы знаем всё и в другом треуголинике
Спасибо.
Зачем такие сложности для такой простой задачи в три строки? Провести диагональ ВД. Площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников. Если Обозначить Ав=АД=а, ВС=в, СД=с, тогда S=1/4(в^2+с^2)+1/2в.с, т.к. 2а^2=в^2+с^2, отсюда 4S=(в+с)^2, т.к. 4S=144, S=36. Три строки. А с первого по четвёртый класс справится разные что вундеркинд, слишком заморочено.
Спасибо, Галина. Во-первых, это не такая простая задача для ученика 8 класса. Во-вторых, это же не олимпиада, а учебное видео. Значит нужно рассмотреть разные способы атаки незнакомой задачи. Это просто элемент обучения олимпиадников. Алгебраическое решение, конечно, хорошее. Правда обычный ученик, не олимпиадник, не сможет сделать такие преобразования. Посмотрите еще видео на тему по ссылке и последний наш ролик, где вам предоставляется возможность проявить свое мастерство. ua-cam.com/video/fFyPczCfPNg/v-deo.html
Не думала, что использование теоремы Пифагора и формулы площади прямоугольного треугольника - это алгебраическое решение. А ещё мне трудно представить семиклассника, который не знает теоремы Пифагора, но умеет мысленно резать, крутить и клеить треугольники. Вы в школе то преподавали? Я, слава Богу, и училась и преподавала в Советской школе, а ещё у нас на первом курсе читал лекции лично Погорелов А.В.,если слышали о таком. Ему бы и в голову не пришло заменить знание теории на игру в фантики. Может поэтому Советское образование самое лучшее в мире. А эти манипуляции - ну разве что от « нечего делать». Интересно, как на практике будут вычислять площадь подобного поля? Треугольники резать? Как говорят: « Спасибо за рИформу образования». Теперь геометрия от алгебры дальше чем история от астрономии.
@@ГалинаСеркина-б4х Спасибо. Я понимаю Вашу ностальгию по СССР. Но не разделяю Вашего негативного отношения к всему миру. К слову сказать, теорема Пифагора изучается в 8 классе. Берегите себя.
x+y=12
Area=xy/2
Diagonal=√{xx+yy}
Area of left side triangle=aa/2
Total area=xy/2+aa/2
√2a=√{xx+yy}
2aa=xx+yy
2aa+2xy={x+y}^2=12^2=144
Dividing by 4 we get
a^2/2+xy/2=144/4=36
Super!
Давно так не смеялся над своими понтами. Сразу понял, что простейшее решение--через диагональ ВД. Но решил пойти оригинальным путем--через медианы АО и СО(радиусы). S=abc/4R. Сравнил оба решения--прослезился: те же формулы, только расчеты в 3 раза длиннее. Вспомнился анекдот про чукчу из "Поля чудес"--угадал все буквы за 1 минуту, сумел прочитать слово за 10минут.
Задачи - способ повеселиться!
Это квадрат разделенный на четыре четырохугольника
Получается что это BC+AD это сторона квадрата если соединить четыре таких четыре угольник то получится квадрат и сторона квадрата как раз это и есть их сумма тоест, 12^2 это 144, далее делим на четыре так как у нас площадь четырёх угольника это четыре площади это и есть площадь квадрата
А я окружность вписывал, потом по касательным понял, что все стороны равны 6, не много времени на это ушло
Спасибо. Вы рассмотрели частныйслучай. Стороны не обязательно равны (вы же видите на чертеже).
Спасибо! Было очень интересно! Я решил вторым способом. Любил алгебру, а геометрию не очень)))
Спасибо. Рад за вас.
Спасибо, Валерий Владимирович!Восхищена вашими учебниками по геометрии для 7-9 классов в РБ. Жаль, что не имели удовольствия на той же ноте продолжить обучение в 10-11.
Спасибо. Я имел возможность. И победил в конкурсе 10 класса. Это не мой выбор.
ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36.
Просто два угла в 90 градусов и общая гипоненуза ВД говорят о том, что площади двух треугольников равны.
Равностороннесть АВ и АД с гипотенузой(диагональю квадрата,который мы представляем мысленно авсд ) говорит о том, что ав+ ад равно 12...можно более развернуто с доказательствами, но вроде это и так видно...как бы тянем угол С (прямой) до построения квадрата. Диагональ на месте, сумма сторон известна
"ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. "
Как может быть "она сторона 12/2=6", если видно, что катеты прямоугольного треугольника BCD - Не Равны.
Равенство АС = СД (из условия задачи) вовсе не означает, что их сумма равна 12. Их сумма в любом случае будет БОЛЬШЕ, чем ВС+СД.