Д/З. В образовавшемся параллелограмме бежевые тр-ки подобны, след-но, короткий синий отрезок (x) относится к длинному синему (y), как короткий красный (а) к длинному красному (b). Но x/y это есть отношение площади маленького бежевого тр-ка (S) к площади зелёного (2), а a/b это отношение площащи зелёного к площади большого бежевого (а его площадь равна S+3), т.е. можно записать: x/y = a/b или S/2 = 2/(S+3). Решая данное квадратное ур-е S^2+3*S-4=0, получим, что площадь маленького бежевого тр-ка S равна 1 (второй корень отрицательный). Ну тогда плащадь розового тр-ка равна (S+3)^2=2*Sроз, откуда Sроз = 8, ну и площадь всей трапеции равна 8+2+4+4=18 кв.ед.
Блестяще! Я свой коммент написал немного раньше, но замучился в изложении решения (маэстро поскупился на буквы на чертеже ДЗ) и просто написал ответ. Но Вы легко преодолели это неудобство при помощи цветов (маэстро на них не скупится никогда). Жаль, что у Вас нет нормального смартфона, и Вам приходится почти одинаково писать действие умножения и возведение в степень (S + 3)² = 2 • Sроз. Но это мелочи, главное - идеи. Успехов!
Обозначим половинку основания зелёного треугольника через a, его высоту - через h. У красного треугольника в силу подобия аналогичные параметры будут 2a и 2h, а у трапеции полусумма оснований - 3a, высота 3h. И так как ah = 1, то искомая площадь равна 3a•3h = 9.
a - верхнее основание, b - нижнее основание h - высота мелкого треугольника, H - высота большого треугольника, S1 - площадь мелкого треугольника BOC, S2 - площадь большого треугольника AOD S1=ah/2=1, S2=bH/2=4 ah=2, bH=8 S - трапеции S=(a+b)(h+H)/2=(ah+aH+bh+bH)/2=(2+aH+bh+8)/2=(10+aH+bh)/2 Треугоники BOC и AOD подобны S2/S1=k^2=4/1 k=2 H/h=k=2 H=2h, h=H/2 Подставляем H и h в формулу S=(10+aH+bh)/2=(10+a*(2h)+b*(H/2))/2=(10+2*(ah)+(bH)/2)/2=(10+2*2+8/2)2=(10+4+4)/2=9
Второй способ. Зеленое и розовое -- подобные. Высоты и основания 1:2. Зеленое -- одна долька, а желтое -- в два раза больше, т к одно желтое + зеленое в три раза больше зеленого от того, что основание такое же, а высота в три раза больше
Д.З.(2). Р - т.пересечения параллельной к АВ с диагональю ВD. Треугольники СОР и АОВ подобны. Обозначим: S(BOC) = s, S(CPD) = q, S(COP) = x. Коэффициент подобия равен РО/OB = x/s. S(AOB) = x + q. Отношение площадей подобных треугольников: x/(x + q) = x²/s². Отсюда получим: x = [- q + √(q² + 4s²)]/2. *Если теперь обозначить: q/s = ε,* то после понятных преобразований можно получить симпатичную формулу для площади трапеции в общем виде: *S(ABCD) = (s/2)∙[4 + (ε + 2)∙(ε + √(ε^2 + 4)].* *_В нашем случае :_* s = 2, ε = q/s = 3/2 ⟹ S(ABCD) = 18 ! Д.З.(1) Общую формулу давно привёл @adept7474. Она более известна в таком виде : (√S₁ + √S₂)² .
Я, кстати, ожидал, что кто-то из виртуальных детей из ролика таки предложит прийти к формуле площади трапеции, но этим решили заняться только ребята в каментах. А по мне так это как раз тот самый способ, что отличнице мог бы зайти.
А это будет считаться ещё одним способом? Площадь трапеции h(a+b)/2 Площадь малого треугольника h1*a/2 = 1 откуда h1 = 2/a Площадь большой треугольника h2*b/2 = 4, откуда h2 = 8/b h = h1+h2 или 2/а + 8/b Из подобия треугольников получаем что b = 2a Тогда площадь трапеции: (2/a + 8/b) * ((a+b)/2) Подставляем вместо b = 2a и получаем: (2/а + 4/а) * (3а/2) Приводим подобные получаем: 6/а * 3а/2 "а" сократились в итоге осталось 9.
Решил похоже на первый способ. У треугольников АВС и АСД одинаковая высота, но основание у АСД в два раза больше, значит и площадь в два раза больше. Если обозначить площади АВО и СОД как х, то х + 4 = (х + 1) * 2, х = 2, а вся площадь трапеции 4+1+2+2=9
ДЗ-2 Решал надежно и некрасиво, с упором на вычислительность, с целью получить кусочек желтого. Пришел к дикому с^3+8*с^2+11*с-20. Сумма нечётных =12, а четных =-12. с=1 площадь трапеции=18. Видимо, должны возникать медианы, но я их не нашел ... пока -------- Нашел покороче, 3/(с+2)=(с+2)/3. Но расписывать не буду. Обозначайте, пожалуйста точки.
Идея отличная! Лучше, думаю, описать так: высота ABC равна 3h и в 3 раза больше, чем h у BOC, значит, S(ABC)=1*3=3. Высота ACD в 3/2 больше высоты AOD, ... А вообще, - супер.
ДЗ. а) Sтр = (\/S1 + \/S2)², в) Sтр = 18. Основную задачу решил 4-ым способом. С учётом подобия ОД = 2 ОВ и ОА = 2 ОС. Потом по ф-ле Sтреуг = 1/2•a•в•sin c, заменяя ОД и ОА на 2ОВ и 2 ОС соответственно получаю S1 + S2 = 5 S(1) = 5 и для боковых треугольников S3 + S4 = 4 S(1) = 4. Откуда Sтр = 9.
Я нашел 4ый способ: Как и было сказано - треугольники подобны с коэф. 1/2 На основании этого можно выразить формулу трапеции через основание и высоту маленького треугольника ((a+2a)/2) * (3*h1) где h1 это высота маленького треугольника. После раскрытия скобок мы получим, что площадь трапеции = 9*площадей маленького треугольника = 9
ДЗ. Маленький кусочек желтого =х , если соеденить черную точку с левым нижним углом то отсечем от розового кусочек =2 и через диагонали 2*2=х(3+х) , решаем квадратное х=1 (другой корень отрицательный ) оказывается в дз трапеция подобная той что в задаче, все площади в2х больше 2+4+4+8=18!
Площадь треугольника - полуоснование на высоту, трапеции - полусумма оснований на высоту. ah₁/2+bh₂/2=(ah₁+bh₂)/2=(ah₁+bh₂)=(a+b)(h₁+h₂)-(ah₂+bh₁). Держим в уме их знаменатель. Т. е. (ah₂+bh₁)/2 - это площадь оставшейся части трапеции: треугольники с теми же основаниями, но поменявшись высотами. Но тогда, что половина высоты на основание, что половина основания на высоту - разницы нет, от перестановки множителей произведение не изменится. Неужто тупо удвоенная площадь?🤔
Спасибо. Точно не базовая. Я автор учебников и очень хорошо знаю этот вопрос. Школьники таких не решают. В профильном классе человек 5 решат за 15 мин. ВСЕ! Об олимпиадниках речь не идет. Но то, что она ключевая - тут вы правы. Поскольку методы решения, которые я показал, закрывают 30% задач на площади многоугольников.
@@GeometriaValeriyKazakov у нас нет таких историй с олимпиадами, Задачу в 9м классе решают ( ваш восьмой), сейчас, правда, из-за войны сдвинулась в начало десятого . Потом многократно повторяем. Да, на наши 3 ед. ( это далёкие от математики дети) это идёт уже в 11м и с наводящими вопросами.
S1:S2=1:4, отсюда коэффициент подобия BCO к ADO равен 1/2, высота тр-ка ADO равна двум высотам тр-ка ВСО. Но сумма этих двух высот равна высоте трапеции, т.е. высота трапеции равна трём высотам тр-ка ВСО, а половина произведения верхнего основания на высоту трапеции равна 3хS1=3. Аналогично получаем, что половина произведения нижнего основания на высоту равна 1,5хS2=6. Отсюда площадь трапкции равна 6+3=9.
ДЗ-2. Жирная чёрная точка - К. S(ОСК) = х. S(АОК) = S(ВОС) = 2, т. к. каждый из них дополняет ▲АВО до половины пар - мма АВСМ (М - на АD). В 4-ке АВСК 2 × 2 = х(3 + х). х² + 3х - 4 = 0. х = 1. S = 18. Достойное ДЗ.
андрей лучше всех) а я че-то синусами увлекся... ну для начала треуги АВО=ОСD (бабочка)... ну и подобие ВОС и АОD... ВО=y OD=2y CO=x OA=2x... площадь AOD=1/2*2x**2y*sinAOD... OCD=1/2*x*2y*sin(180-AOD)... синусы равны... AOD=2*OCD... как-то так
ДЗ-1 S -- ,,площадь малого, S*K -- площадь большого. Какждая из боковушек =√(S*S*K). Общая площадь =S+S*K+2*√(S*S*K) = S1+S2+2*√(S1*S2) =(√S1+√S2)^2 Ответ: (√S1+√S2)^2
Д/З. В образовавшемся параллелограмме бежевые тр-ки подобны, след-но, короткий синий отрезок (x) относится к длинному синему (y), как короткий красный (а) к длинному красному (b). Но x/y это есть отношение площади маленького бежевого тр-ка (S) к площади зелёного (2), а a/b это отношение площащи зелёного к площади большого бежевого (а его площадь равна S+3), т.е. можно записать: x/y = a/b или S/2 = 2/(S+3). Решая данное квадратное ур-е S^2+3*S-4=0, получим, что площадь маленького бежевого тр-ка S равна 1 (второй корень отрицательный). Ну тогда плащадь розового тр-ка равна (S+3)^2=2*Sроз, откуда Sроз = 8, ну и площадь всей трапеции равна 8+2+4+4=18 кв.ед.
Супер! Вы гигант!
Блестяще! Я свой коммент написал немного раньше, но замучился в изложении решения (маэстро поскупился на буквы на чертеже ДЗ) и просто написал ответ. Но Вы легко преодолели это неудобство при помощи цветов (маэстро на них не скупится никогда). Жаль, что у Вас нет нормального смартфона, и Вам приходится почти одинаково писать действие умножения и возведение в степень (S + 3)² = 2 • Sроз. Но это мелочи, главное - идеи. Успехов!
Обозначим половинку основания зелёного треугольника через a, его высоту - через h. У красного треугольника в силу подобия аналогичные параметры будут 2a и 2h, а у трапеции полусумма оснований - 3a, высота 3h.
И так как ah = 1, то искомая площадь равна 3a•3h = 9.
Да, это классное решение.
a - верхнее основание, b - нижнее основание
h - высота мелкого треугольника, H - высота большого треугольника, S1 - площадь мелкого треугольника BOC, S2 - площадь большого треугольника AOD
S1=ah/2=1, S2=bH/2=4
ah=2, bH=8
S - трапеции
S=(a+b)(h+H)/2=(ah+aH+bh+bH)/2=(2+aH+bh+8)/2=(10+aH+bh)/2
Треугоники BOC и AOD подобны
S2/S1=k^2=4/1 k=2
H/h=k=2
H=2h, h=H/2
Подставляем H и h в формулу
S=(10+aH+bh)/2=(10+a*(2h)+b*(H/2))/2=(10+2*(ah)+(bH)/2)/2=(10+2*2+8/2)2=(10+4+4)/2=9
Второй способ. Зеленое и розовое -- подобные. Высоты и основания 1:2. Зеленое -- одна долька, а желтое -- в два раза больше, т к одно желтое + зеленое в три раза больше зеленого от того, что основание такое же, а высота в три раза больше
Д.З.(2). Р - т.пересечения параллельной к АВ с диагональю ВD. Треугольники СОР и АОВ подобны. Обозначим: S(BOC) = s, S(CPD) = q, S(COP) = x. Коэффициент подобия равен
РО/OB = x/s. S(AOB) = x + q. Отношение площадей подобных треугольников: x/(x + q) = x²/s². Отсюда получим: x = [- q + √(q² + 4s²)]/2. *Если теперь обозначить: q/s = ε,* то после
понятных преобразований можно получить симпатичную формулу для площади трапеции в общем виде: *S(ABCD) = (s/2)∙[4 + (ε + 2)∙(ε + √(ε^2 + 4)].* *_В нашем случае :_*
s = 2, ε = q/s = 3/2 ⟹ S(ABCD) = 18 ! Д.З.(1) Общую формулу давно привёл @adept7474. Она более известна в таком виде : (√S₁ + √S₂)² .
Ну...
Опять гениально.
Больше нечего сказать.
У кого?
@@GeometriaValeriyKazakov у Вас гениальнейшее объяснение пройденного материала.
У меня слов нет, чтоб восхититься этим😁
Знать ничего не хочу -- произведение зеленого и розового равно квадрату одного желтого. 4*1=ж*ж
Желтое =2
Ответ:9
А ЧО сверху 18?
Я, кстати, ожидал, что кто-то из виртуальных детей из ролика таки предложит прийти к формуле площади трапеции, но этим решили заняться только ребята в каментах. А по мне так это как раз тот самый способ, что отличнице мог бы зайти.
А это будет считаться ещё одним способом?
Площадь трапеции h(a+b)/2
Площадь малого треугольника h1*a/2 = 1 откуда h1 = 2/a
Площадь большой треугольника h2*b/2 = 4, откуда h2 = 8/b
h = h1+h2 или 2/а + 8/b
Из подобия треугольников получаем что b = 2a
Тогда площадь трапеции:
(2/a + 8/b) * ((a+b)/2)
Подставляем вместо b = 2a и получаем:
(2/а + 4/а) * (3а/2)
Приводим подобные получаем:
6/а * 3а/2
"а" сократились в итоге осталось 9.
так же решал
Будет!
Решил похоже на первый способ.
У треугольников АВС и АСД одинаковая высота, но основание у АСД в два раза больше, значит и площадь в два раза больше.
Если обозначить площади АВО и СОД как х, то х + 4 = (х + 1) * 2, х = 2, а вся площадь трапеции 4+1+2+2=9
Отлично.
ДЗ-2
Решал надежно и некрасиво, с упором на вычислительность, с целью получить кусочек желтого. Пришел к дикому с^3+8*с^2+11*с-20. Сумма нечётных =12, а четных =-12. с=1 площадь трапеции=18.
Видимо, должны возникать медианы, но я их не нашел ... пока
--------
Нашел покороче, 3/(с+2)=(с+2)/3. Но расписывать не буду. Обозначайте, пожалуйста точки.
Правильно. а ДЗ?
Обозначим высоту зелёного треугольника h, тогда розового 2h. Площадь трапеции S состоит из двух треугольников S(ABC)=1×3=3 и S(ACD)=4×3/2=6, S=3+6=9.
Идея отличная! Лучше, думаю, описать так: высота ABC равна 3h и в 3 раза больше, чем h у BOC, значит, S(ABC)=1*3=3. Высота ACD в 3/2 больше высоты AOD, ... А вообще, - супер.
ДЗ. а) Sтр = (\/S1 + \/S2)², в) Sтр = 18. Основную задачу решил 4-ым способом. С учётом подобия ОД = 2 ОВ и ОА = 2 ОС. Потом по ф-ле Sтреуг = 1/2•a•в•sin c, заменяя ОД и ОА на 2ОВ и 2 ОС соответственно получаю S1 + S2 = 5 S(1) = 5 и для боковых треугольников S3 + S4 = 4 S(1) = 4. Откуда Sтр = 9.
Я нашел 4ый способ:
Как и было сказано - треугольники подобны с коэф. 1/2
На основании этого можно выразить формулу трапеции через основание и высоту маленького треугольника
((a+2a)/2) * (3*h1)
где h1 это высота маленького треугольника.
После раскрытия скобок мы получим, что площадь трапеции = 9*площадей маленького треугольника = 9
Гениально!
ДЗ. Маленький кусочек желтого =х , если соеденить черную точку с левым нижним углом то отсечем от розового кусочек =2 и через диагонали 2*2=х(3+х) , решаем квадратное х=1 (другой корень отрицательный ) оказывается в дз трапеция подобная той что в задаче, все площади в2х больше 2+4+4+8=18!
Отлично.
Площадь треугольника - полуоснование на высоту, трапеции - полусумма оснований на высоту. ah₁/2+bh₂/2=(ah₁+bh₂)/2=(ah₁+bh₂)=(a+b)(h₁+h₂)-(ah₂+bh₁). Держим в уме их знаменатель. Т. е. (ah₂+bh₁)/2 - это площадь оставшейся части трапеции: треугольники с теми же основаниями, но поменявшись высотами. Но тогда, что половина высоты на основание, что половина основания на высоту - разницы нет, от перестановки множителей произведение не изменится. Неужто тупо удвоенная площадь?🤔
Отлично. 4-й!
Почему хороший, все. Это базовая задача на трапецию, без звёздочек. Задолго до тригонометрии.
Спасибо. Точно не базовая. Я автор учебников и очень хорошо знаю этот вопрос. Школьники таких не решают. В профильном классе человек 5 решат за 15 мин. ВСЕ! Об олимпиадниках речь не идет. Но то, что она ключевая - тут вы правы. Поскольку методы решения, которые я показал, закрывают 30% задач на площади многоугольников.
@@GeometriaValeriyKazakov у нас нет таких историй с олимпиадами, Задачу в 9м классе решают ( ваш восьмой), сейчас, правда, из-за войны сдвинулась в начало десятого .
Потом многократно повторяем. Да, на наши 3 ед. ( это далёкие от математики дети) это идёт уже в 11м и с наводящими вопросами.
И , кстати, - я тоже автор учебника
Замечательная задача! Больше всех понравилось решение Кати. Спасибо и поьольше таких задач.
S1:S2=1:4, отсюда коэффициент подобия BCO к ADO равен 1/2, высота тр-ка ADO равна двум высотам тр-ка ВСО. Но сумма этих двух высот равна высоте трапеции, т.е. высота трапеции равна трём высотам тр-ка ВСО, а половина произведения верхнего основания на высоту трапеции равна 3хS1=3. Аналогично получаем, что половина произведения нижнего основания на высоту равна 1,5хS2=6. Отсюда площадь трапкции равна 6+3=9.
ДЗ-2. Жирная чёрная точка - К. S(ОСК) = х. S(АОК) = S(ВОС) = 2, т. к. каждый из них дополняет
▲АВО до половины пар - мма АВСМ (М - на АD). В 4-ке АВСК 2 × 2 = х(3 + х).
х² + 3х - 4 = 0. х = 1. S = 18.
Достойное ДЗ.
Отлично!
восхищаюсь вами
@@lonwyislusty Весьма тронут.
Подобие в песочных часах 1:2 значит и левое и правое "ухо" Чебурашки будет по 2. Ответ 9
Отлично.
ДЗ: S(трап.) = сумме цветных + удвоенное их среднее геометрическое =
= S₁ + S₂ + 2√(S₁S₂) .
Отлиично! А то всем лень! А дети останутся без знаний!
Остался в шаге от красотулечки
@@pojuellavid Это детям для самостоятельной работы.
андрей лучше всех) а я че-то синусами увлекся... ну для начала треуги АВО=ОСD (бабочка)... ну и подобие ВОС и АОD... ВО=y OD=2y CO=x OA=2x... площадь AOD=1/2*2x**2y*sinAOD... OCD=1/2*x*2y*sin(180-AOD)... синусы равны... AOD=2*OCD... как-то так
ДЗ-1
S -- ,,площадь малого, S*K -- площадь большого. Какждая из боковушек =√(S*S*K). Общая площадь =S+S*K+2*√(S*S*K) = S1+S2+2*√(S1*S2) =(√S1+√S2)^2
Ответ: (√S1+√S2)^2
Ну, это не смекалка. Просто знать, Sa^2=Sb*Sc Sabcd=9