Метод частичной замены переменной. Обозначим x^2-5=y (1), где y>=0, тогда y=V(x+5) возводим в квадрат и переносим 5, y^2-5=x (2). Вычтем (2)-(1) y^2-x^2)=x-y, разложим разность квадрата и перенесём всё в одну сторону (y-x)(y+x)+(y-x)=0 или (y-x)(y+x+1)=0. Подставив из (1) y=x^2-5 получим (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность тех же уравнений, Ответы те же.
@@alexxey83 Если нарисовать рисунок, то это становится очевидным. Однако, на рисунке также очевидно существование второго отритцательного корня и вот с ним как раз проблема.
Элементарная подстановка у=√(х+5), у>0 приводит к системе алгебраических уравнений х²=у+5 у²=х+5 Вычитаем одно уравнение из другого получаем х²-у²=у-х Разлагая разность квадратов и выносят за скобку общий множитель (х-у) получаем уравнение (х-у)(х+у+1)=0 которое имеет два независимых решения х=у х=-у-1 Подставляем первое решение в первое уравнение у²-у-5=0 D=21 y=(-1±√21)/2 Отбираем только положительный корень поскольку у>0 х=у=(√21-1)/2 Подставляем второе решение у²+у-4=0 D=17 y=(-1±√17)/2 Опять выбираем только положительный корень у = (√17-1)/2 х= - (√17+1)/2 Решений два: х= (√21-1)/2 х= - (√17+1)/2
Можно увидеть и геометрический смысл. y=х²-5 -- это парабола, смещённая на 5 вниз, y=√(х+5) -- это её левая ветка, повёрнутая на 90 градусов (перестановка осей). Тут наглядно видно ОДЗ, т.е. точки пересечения этих кривых. Далее (или, скорее, наоборот, это было не далее, а даже ранее, чем задача приняла свою финальную форму), можно задаться вопросом, как смещаются точки пересечения этих ветвей в зависимости от величины параметра сдвига, который у Вас взят за t. После чего можно осмысленно придти к более общей задаче через t или через систему, как в комментариях, и получить решение данной конкретной как частного случая
Предложенный метод выглядит подобранным задним числом, когда решения задачи уже известны. Вряд ли его можно будет регулярно применять в других задачах. Я вот сразу увидел как получить разложение в произведение двух квадратных трёхчленов. (x^2-5)^2- 5 = x Мы дважды применяем оператор - возведение в квадрат и затем вычитание пяти. В итоге приходим к тому же, с чего начинали. А что если уже после первого применения этого оператора мы возвращаемся в начало? То есть x^2-5 = x. Тогда очевидно повторное применение ничего снова не изменит. Отсюда имеем первые два корня. Останется разделить уголком многочлен четвёртой степени на многочлен второй степени x^2-x-5. Получим второй многочлен второй степени x^2+x-4, из которого найдём 3-й и 4-й корни.
Задачи по математике не могут быть советскими, православными, япоскими .... Зачем вы пытаетесь привлечь внимание такими дешёми манипуляциями. Оставьте вы уже это в прошлом.Его нет.
@@ВладимирСк-п9п я пытаыслюсь донести, что когда он говорит советская задача, он не относит ее к определенной стране, он просто привык так выражаться, его фраза имеет тот же смысл, что и задача из советского союза
Можно найти один корень используя свойство: если f(x) возрастает, то уравнение f(f(x)) = x имеет те же корни, что и уравнение f(x) = x. В нашем случае это будет уравнение sqrt(x+5) = x. Остальные корни можно найти разделив уравнение 4 степени на x^2-x-5
Построив графики левой и правой части, можно сделать вывод, что эти графики симметричны относительно оси y=x. Вспоминаем, что таким свойством обладают обратные функции. А значит достаточно найти решение уравнения x^2-5 = x или sqrt(x+5) = x. Факт, что оба этих уравнения приводят к одинаковому уравнению, намекает, что мы не ошиблись, сделав вывод, что функции обратны друг другу. Решая квадратное уравнение x^2 - x - 5 = 0, получаем два решения, из которых подходит только положительный
ошиблись конечно, т.к. решений два. Странно, если Вы построили график, чтоб определить обратность функций, неужели Вы не заметили, что точек пересечения две?!! и вторая совсем не лежит на биссектрисе y=x. Ваше предположение верно лишь для монотонных функций, вроде экспоненты и логарифма, или монотонных степенных (очевидно только нечетных степеней). В нашем случае у параболы 2 ветки, а корня квадратного только одна, и левая ветка параболы не является обратной к корню, соответственно не симметрична с ним относительно y=x (думаете не станете спорить). Еще пример графики тангенса и арктангенса, помимо точки (0;0) пересекаются еще в бесконечном множестве точек, так как у тангенса бесконечное число периодически повторяющихся веток, а арктангенса - всего одна
@@meshokshtuka7113 конечно можно, и даже нужно, т.к. доказательство обратности графическим способом это очень странный и не совсем надежный способ доказательства. По классике нужно записать одну из частей как функцию y=f(x)? затем поменять переменные местами, выйдет x=f(y) (это и есть определение обратной функции), а чтоб получить явный вид обратной функции нужно решить уравнение относительно y, получится какая функция y=g(x) , она и будет обратной. Более простой вариант взять какую-то часть нашего уравнения, и подставить ее целиком вместо х в другую часть, вы получите х. Проблема лишь в том, что функции бывают немонотонными (то убывают, то возрастают), что мы и видим в этом случае x^2-5 - парабола, имеющая как известно 2 ветви, и каждое свое значение кроме значения в вершине принимает в 2х точках, поэтому целиком ее использовать как обратную нельзя, нужно выделить интервал монотонности (иначе одному х будет соответствовать 2 значения у), логично что в данном случае выбирают правую ветвь. Поэтому рассуждение о поиске решения только на биссектриссе 1-3го координатных углов ( у=х) НЕВЕРНО. Именно поэтому один из корней был потерян, так как график ф-ции с корнем пересекает обе ветви параболы, но обратной она является только по отношению к правой ветви, левая же ветвь в качетве обратной имеет функцию с корнем взятую с обратным знаком т.е. -корень(х+5), кстати если подставлять левую часть в правую, то Вы получите плюс-минус х, т.к. корень из квадрата равен модулю выражения под знаком квадрата (ленюсь писать формулы с корнями текстом))), эта неопредленность как раз связана с наличием у параболы двух веток
Да можно проще и не возводить в квадрат в начале. Переносим все в левую часть: X^2 - 5 - sqrt(x + 5) = 0 Потом делаем абсолютно нелогичный шаг, а именно прибавляем и вычитаем из левой части x: - x - 5 - sqrt(x + 5) + x^2 + x = 0 Делаем замену t = sqrt(x + 5) и получаем: -t^2 - t + x^2 + x = 0 и решаем относительно t: D = 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 Меняем t обратно и получаем два уравнения: sqrt(x + 5) = -1 -x sqrt(x + 5) = x Возводим их в квадрат и получаем два квадратных уравнения: x^2 + x - 4 = 0 x^2 - x - 5 = 0 Ну а дальше дело техники)
x⁴ - 10x² - x + 20 = 0 раскладывается как (x² + x + a)(x² - x + b) = 0 x⁴ - x³ + bx² + x³ - x² + bx + ax² - ax + ab = 0 x³| -1 + 1 = 0 x²| b - 1 + a = -10 x | b - a = -1 ab = 20 b + a = -9 b - a = -1 2a=-8 a=-4 b=-5 (x² + x - 4)(x² - x - 5) = 0
Формально ОДЗ записано с ошибкой. Там написано что x в квадрате больше 5. Но при этом учитывая правую часть под корнем, получаем что ОДЗ должно быть x больше корня с 5. В данном случае на финальный результат не влияет, но упущение ограничений в ходе решений не очень хорошо.
Уточним. Уравнение : (1) sqrt[u(x) ]=v(x) - равносильно системе : { (2) u(x)=[ v(x) ]^2 ; (3) v(x)>=0 } . При этом , условие : (4) u(x)>=0 - выполняется автоматически для решения системы . А условие (3) необходимо для исключения корней уравнения (5) sqrt[ u(x) ]=-v(x) , которое при возведение в квадрат «передает» свои корни уравнению (2) . {заметим , что ‘-v(x)’ « ничуть не отрицательнее , чем ‘v(x)’ } . Например : (6) sqrt(x+6)=x и (7) sqrt(x+6)=-x . Из двух получающихся корней уравнения (8) x^2-x-6=0 - один : x=3 - корень (6) , другой : x=-2 - корень (7) . С уважением , Лидий
@@ЛидийКлещельский-ь3х Полное ОДЗ x E [-5 ; sqrt(5) ] U [ sqrt(5); бесконечность). Ну а в данном случае допускается промежуток от минус бесконечности к -5, что ошибочно. Я не прав?
Не обязательно. Отрицательный результат - тоже результат. Если один способ не прокатит, можно другим. Это как метод проб и ошибок. Математика - она такая😃
@@КириллБалмасов-ы9д Да, вы правы. Так как располагаешь временем и не влечет за собой ответственность в неправильном ходе решения. В других сферах деятельности может быть недопустимо. Например, опыты стоят времени и денег.
Нет… если бы все решения можно было не решать, просто потому что ты не знаешь что это может быть правильным, то и решения не будет. Разве смысл задачи только в ее ответе?
У меня получилось Х = 2,79. Но я ничего не вычисляла, а просто подставляла цифры. Вначале выяснила, что ответ меньше 3 и больше 2, потом выяснила, что меньше 2,8 и больше 2,7 и в итоге получилось 2,79.
@DarkSoulXD_ Возможно и несколько. Но это долго перебирать надо. Я один ответ нашла, а дальше мне не интересно. Тем более, что моя профессия не связана с вычислением корней. Мне больше приходится вычислять проценты и доли, кратные 1/2.
Всё гораздо проще и не надо ничего никуда возводить, и потом группировать немыслимым образом - это способ для "тугих"! С ОДЗ да тоже косяк. Оно должно быть такое, два промежутка: -5 получаем сис-му: x^2-b=a и a^2-b=x; вычитаем из 1го ур-ия второе получаем следствие из сис-мы: x^2-a^2=-(x-a); Дальше очевидно всё в одну сторону, раскладываем разность квадратов, выносим (x-a), получаем конструкцию вида (x-a)(x+a+1)=0 Отсюда либо x=a т.е. x=sqrt(x+5), либо x=-a-1 т.е. x=-sqrt(x+5)-1. Дальше решаем совокупность стандартным методом, пересекаем с ОДЗ, отсекаем в каждом случае по лишнему корню и вуаля, получаем тот же ответ! Очевидно, что найденные решения уравнения-следствия из полученной нами в рез-те исходной замены сис-мы будут и корнями сис-мы, а значит и исходного ур-ия. Что касается проверки того, нет ли у исходного ур-ия ещё каких то решений помимо найденных двух (а в теории их может быть до 4х т.к., если будем возводить в квадрат получим ур-ия 4й степени), то просто говорим, что справа строго возрастающая и положительная функция т.к. это радикал, а слева парабола, кот. на одной ветви убывает, на другой возрастает => графики функций могут иметь не более 2х точек пересечения или 2х решений для ур-ия, поскольку убывающую ветвь параболы монотонно возрастающая фун-ия с корнем может пересечь лишь раз, а вот возрастающую ветвь тоже не больше раза т.к. квадратичная фун-ия естественно растёт быстрее функции с радикалом! При желании более строго это можно доказать с помощью производных обеих функций и промежуточных значений на различных отрезках монотонности для параболы, хотя это и так очевидно по-моему.
С одз Вы неправы. Возводя в квадрат обе части такого уравнения, мы получаем, что подкоренное выражение равно неотрицательному числу при условии, конечно, что левая часть, в данном случае, неотрицательна. Условие неотрицательности подкоренного выражения лишнее в таких уравнениях.
@@ОльгаЗаварыкина-н4ъ, если бы мы возводили в квадрат, то ДА, но если вы не заметили (надо читать внимательнее, какое решение я предлагал), то данное уравнение возведением в квадрат вменяемыми людьми при помощи школьных методов нерешаемо или решаемо очень громоздко с большой вероятностью ошибки. Поскольку в квадрат мы не возводим и получается, что используется более сложный творческий метод решения, соответственно, ваша стандартная школьная логика поиска ОЗД тут неприменима. Ибо, если вы не учтёте ограничение x>=-5 (для подкоренного выражения), то в предлагаемом алгоритме решения не сможете отсечь посторонние корни, и получите в итоге не верное решение! Т.е. если вы не возводите в квадрат, то и преимуществом уменьшения ограничений по ОДЗ при приравнивании подкоренного выражения к квадрату левой части пользоваться не можете! Вообще тут вопрос философский как понимать что такое ОДЗ. Лично я его понимаю в расширенном виде - не просто, как область допустимых значений аргумента по ограничениям на подкоренные выражения, логарифмы и.т.п., но и как ограничения на аргумент при которых ур-ие в принципе разрешимо, ведь если левая парабола находится в своём "минусовом" коридоре, то и не отрицательному значению под корнем справа она никак не может равняться на этом промежутке! Отсюда в принципе не ошибка учесть все ограничения по ОДЗ, как это сделал я, даже если решать методом возведения частей в квадрат. Может это немного избыточно, но точно не ошибка, поскольку решения мы с таким ОДЗ точно не потеряем и сможем отсечь все лишние.
Именно этим методом , известный и уважаемый Валерий Волков решал именно эту задачу : (0) x^2-5=sqrt(x+5) - несколько лет назад . Уже тогда мною был предложен другой известный метод решения . (жалко не я придумал !😊) . Вводим новую переменную : (1) y=sqrt(x+5) ; (2) y>=0 . Получаем вместо (0) : (3) x^2-5=y . Возводим обе части (1) в квадрат и , после преобразований , получаем : (4) y^2-5=x . Исходное уравнение (0) равносильно системе : (2) ,(3) , (4) . Вычитаем почленно из (4) равенство (3) . Получаем следствие : (5) (y-x)*(y+x)=-(y-x) , которое равносильно объединение двух уравнений : (6) y-x=0 и (7)y+x=-1 . Тогда исходное уравнение (0) равносильно ОБЪЕДИНЕНИЮ ДВУХ СИСТЕМ : { (3) , (6) , (2) } и { (3) , (7) , (2) } . Они легко решаются подстановкой . Получаем Ваш ответ , полученный Вами НУ ОООЧЧЕНЬ остроумным методом. Разумеется ОДЗ написана неправильно : [ 1:34 ], но , в предлагаемом подходе , она вообще не нужна . Равносильность , при возведении в квадрат , обеспечивает условие (2) . В связи с развернувшейся в комментариях полемикой , уточним : как решаются уравнения вида : (8) sqrt[ u(x) ]=v(x) . Чтобы избавиться от корня « хочется» обе части уравнения возвести в квадрат . Получаем : (9) u(x)=[ v(x) ]^2 , которое содержит все корни (8) . При этом , ОДЗ уравнения (8) : u(x)>=0 для корней (9) выполняется автоматически .( на экзамене об этом надо упомянуть !!! ) Но , уравнение (10) : sqrt[ u(x) ]=-v(x) - при возведении обеих частей в квадрат «дает» то же самое уравнение (9) . Чтобы избавиться от этих «лишних корней» ( и именно поэтому !! ) , пишем дополнительное условие : v(x)>=0 . { заметим , что ‘-v(x) ‘ - ничуть не отрицательнее , чем ‘ v(x) ‘ . Пример : (11) sqrt(x+6)=x ; (12) sqrt(x+6)=-x ; после возведения обеих частей в квадрат , получаем уравнение : x+6=x^2 . Один его корень : x1=3 -корень уравнения (11) , другой - x2=-2 - корень уравнения (12) . Вот так . С уважением , Лидий
Спасибо за развернутый комментарий. Элегантное решение! P.S. Автор видео на [ 1:34 ] как раз и написал дополнительное условие (я так понимаю, под ним подразумевается ОДЗ): v(x)>=0, но оставил его "как есть", как и упомянутый Вами Валерий Волков.
Строго говоря, ОДЗ только x+5>=0. Выражение x^2-5 имеет смысл при любом x. Неравенство x^2-5>=0 получено в ходе решения из определения множества значений квадратного корня, и ОДЗ не является. При возведении в квадрат, могли появиться посторонние корни, там необходимо указать x^2>=5. Решение уравнения относительно t=5, позволило перейти от уравнения 4 степени к двум квадратным уравнениям. Спасибо за оригинальный способ. Но это частный случай, дискриминант не обязан быть квадратом какого-то выражения. Можно решить методом неопределённых коэффициентов x^4-10x^2-x+20=(x^2+b1x+c1)(x^2+b2x+c2)= x^4+(b1+b2)x^3+ (b1b2+c1+c2)x^2+(b1c2+b2c1)x+c1c2. Приравняв коэффициенты при соответствующих степенях, получим систему b1+b2=0, b1b2+c1+c2=-10, b1c2+b2c1=-1, c1c2=20, откуда (можно подбором) b1=1, b2=-1, c1=-4, c2=-5. Получили ту же совокупность уравнений x^2+x-4=0 и x^2-x-5=0. Ответы те же.
Там суть в том, что x^2-5 равно квадратному корню какого-то числа. Если я правильно помню, квадратный корень не может быть отрицательным. То-бишь, конечно может быть, но для удобства принято считать, что корень только положительный. В школьных расчетах, так точно.
@@ГеоргийМакаров-г5й Согласен, неравенство x^2-5>=0 должно выполняться, как множество значений квадратного корня. Но это не ОДЗ, ведь функция f(x)=x^2-5 в правой части, без учёта левой, существует всегда. У Валерия Волкова есть ролик про ОДЗ, где это рассматривается подробно.
@@ГеоргийМакаров-г5й Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа √(x^2)=abs(x). Определяется как АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА и никогда не может быть отрицательным! Это вовсе не из соображений удобства, оно здесь ни при чём. Во всех расчетах и всегда.
Одз носит формальный характер. Под корнем не может быть отрицательного и квадратный корень из этого числа не отрицательный. Значит надо эти два условия записать и на время про них забыть
Одз к УРАВНЕНИЮ! Можно присобачить ещё ваше условие, но это лишнее. Ведь оно гарантировано после возведение в квадрат. А вот правая часть нет, а она обязана быть неотрицательной
Если искать выражение x^4 - 10*x^2 - x + 20 в виде произведения квадратных трехчленов (x^2 + ...) (x^2 + ...) с целыми коэффициентами, но несложно получить x^4 - 10*x^2 - x + 20 = (x^2 - x -5)*(x^2 + x -4), откуда находятся все нужные корни.
Возводя в квадрат левую и правую части получаем полином 4-й степени. Представляем полином 4-й степени как произведение полиномов второй степени. Составляем систему уравнений для коэффициентов этих двух полиномов второй степени, решаем её, накодим коэффициенты. После этого получаем два квадратных уравнения, решаем их, получаем четыре корня, отсеиваем лишние по начальному условию.
Совершенно страшное решение у Вас, хотя и правильное. Эта задача проще всего решается введением параметра. Число 5 обозначаем за a, возводим в квадрат по известной схеме, и получаем относительно a квадратное уравнение с отличным дискриминантом и с отбором корней. После обратной замены получаем два квадратных уравнения (уже относительно икс), точно такие же, как у Вас. Ровно в таком виде эта задача есть в учебнике Ткачука (среди 100 задач на засыпку), она была очень давно на вступительном экзамене (устном) в МГУ на факультет ВМК, а также я лично давал её на устном туре олимпиады "Покори Воробьёвы горы!" по математике в Волгограде (выездной тур). Единственный школьник, который справился с ней (его решение было через обратные функции и графики), был нами принят в МГУ без дальнейших экзаменов (поскольку письменный тур он тоже прилично написал).
Какое практическое примение- для расчетов размера участка, вещи, их количества, предположение события и т.п. имеет эта задача и срособ ее решения, и каким обстоятельством, проблемой вызвана необходимость ее решения?
Сделал в правой части квадрат суммы перенес 5 вправо получилось что: х^2= 5+ sqrt(x+5) Добавил не достающие элементы х^2 +х+0,25=0,25 + 2*0,5*sqrt(x+5) +(x+5) И справа и слева получилось квадрат суммы , свернем (х+0,5)^2=(0,5+sqrt(x+5))^2 x+0,5= 0,5 +sqrt(x+5) x= sqrt(x+5) Возводим в квадрат и получаем обычное квадратное уравнение х^2=х+5 х^2-х-5=0 А это уже элементарно решается
Метод вложенной функции. С учётом x^2-5>=0, возведём уравнение в квадрат и перенесём 5, получим (x^2-5)^2-5=x, если f(t)=t^2-5, то получили f(f(x))=x. Пусть f(t)=t, тогда f(f(x))=f(x)=x, то есть x^2-5=x, квадратное уравнение x^2-x-5=0. Разделив многочлен 4 степени получим разложение (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность таких же уравнение, Ответы те же.
Схема Горнера: «Я что, доя вас какая шутка?» Не знаю как в других школах, но у нас о ней в 9-м рассказывали, хотя школа не с математическим уклоном, а химико-биологическим…
Спасибо за хитрую задачу. Аналитически решить не получилось, метод подбора тоже не очень помог. Решила графически: построила графики обеих функций (левой и правой половины уравнения) и они пересеклись в двух точках😀
если построить графики максимально точно, то можно определить примерные значения до десятых. смотря на ответ, можно сказать, что пересечения есть в точке x=~-2,6; x=~2,8.
Можно сделать замену z = (x - 5)^0.5. Тогда получится система из двух уравнений: { x^2-5=z; x=z^2-5 } что эквивалентно {x^2 - 5 - z = 0; z^2 - 5 - x = 0}, вычитаем второе из первого, получаем x^2 - z^2 + x - z = 0, а значит (x-z)(x+z+1)=0. А это значит, что либо x=z, либо z = -x-1. Подставляем в изначальное уравнение x^2 - 5 = z и получаем два квадратных уравнения x^2-x-5=0, что дает ответ (1+21^0.5)/2, тк z>0 и x^2+x-4=0, что дает (1-17^0.5)/2, так как должно выполняться условие z>0 => -x-1>0 => x < -1
Интересная задача. Но, разве нам не нужно было в ОДЗ еще написать, что х+5>=0? То-бишь, что x>=-5. Т.к. если мы не планируем в комплексные числа ударяться - под корнем тоже должно быть не отрицательное число. В теории, ведь, мог быть корень -6 например, который бы в наше ОДЗ подходил, но давал бы под корнем минус единицу.
Вы абсолютно неправы. Повторите и разберитесь в понятии ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. В таких уравнениях, где одна часть корень, а в другой рац. выражение,излишне дополнительное условие. А вот требование рац. части быть больше или равной нулю обязательно! Потрудитесь открыть учебники с темой иррациональные уравнения вида f(x)=✓g(x) и разберитесь.
Мой учебник по профильной математике за 10-11 класс за авторством Алимова говорит, что нужно обозначить, что х>=-5. Тогда, если рассматривать совокупность x>sqrt(5) и x
Идея рассматривать уравнения с точки зрения разных переменных не нова, но рассмотреть число в качестве переменной и относительно нее составить квадратное уранение жто нечто 🤔👍
можно сделать легче: Х²-5=√(х+5) (Х²-5)²=Х+5 Х⁴-10х²-х+20=0 Х²= t, тогда t²-10t-√t+20=0 Домножим каждую часть на t: t³-10t²-t+20t=0 t³-10t²+19t=0 Выносим общий множитель за скобку: t(t²-10t+19)=0 t=0 t²-10t+19=0 D=100-4*19=24 t_1;t_2= (10±√24)/2=5±√6 t_1=5+√6 t_2=5-√6 t=x² x²=0 x²=5-√6 x²=5+√6 X=0 X=±√(5-√6) X=±√(5+√6) Далее, чтобы узнать примерное значение корня считаем на калькуляторе. Ответ:х_1=0; х_2≈±1,60; х_3≈±2,729
Это фактически уравнение вида: f(x) = f^-1(x), где f(x) = x^2-5. Или f(f(x)) = x, правда два корня будут лишние. Т.е. результат функции и результат обратной функции совпадают. Намекает на это то, что если корень обозначить за у, то получится такое же уравнение. Значит х=у=f(x), получаем одно квадратное уравнение, у которого положительный корень подходит. Второе квадратное уравнение получается по аналогу теоремы Виета для многочлена 4-й степени. Там удобно - коэффициент при кубе равен 0 и сумме всех 4-х корней, два из которых знаем. То же с произведением корней. Если другими словами - мы делим многочлен 4-й степени на многочлен 2-й степени столбиком. Остатка нет - значит все правильно. Решаем получившийся многочлен. Т.е. чистая алгебра. Однако признаюсь - когда решал, без читерства с графиками функций не обошлось.
возьмём t = √(x+5). Тогда подставляя в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения, отсюда x =√(x+5) получается квадратное уравнение. Но это решение находит не все корни. Остальные корни можно найти подставив найденые как корни уравнения 4-ой степени
Ну после ОДЗ я для прикидки сделал графики л.ч. и п.ч., откуда видно, что решений ровно два Дальше я просто попробовал сделать замену самой неприятной части t=√(x+5) В итоге вышло уравнение t⁴ -10t² -t +20 =0 Но возведя оригинал в квадрат и перекинув вче влево будет то же самое x⁴ -10x² -x +20 =0 Значит корни у них совпадают, отсюда тоггда есть 2 возможных вывода 1ый x1=√(x1 +5) & x2=√(x2 +5) Тогда они объединяются в одно x=√(x+5), откуда x=(1±√21)/2 2й x1=√(x2+5) & x2=√(x1+5) Откуда у нас либо x1=x2, и снова первый вариант, либо {x1,x2}={(-1+√17)/2;(-1-√17)/2} Ну дальше проверяя корни остаются (1+√21)/2 и (-1-√17)/2 Если я не накосячил, то как-то так
Школа не советская -- решить не удалось. Только смог понять, что ответ меньше 3, но больше 2, ответ 1 и не отрицательный. Приколюху с t ни разу не встречал, спасибо, буду знать, только не знаю где мне это пригодится))
А разве ОДЗ не будет ОДЗ:х>5? Объясните пожалуйста а то не совсем понял почему квадрат икса. Просто как пример когда хотим посчитать корень 49 то выйдет же ±7 тогда почему х^2-5>=0?
Для тех, кого смутило в данном видео выражение, записанное для ОДЗ. ОДЗ представляет собой решение системы 2-х неравенств: x+5>=0 x^2-5>=0 Первое выражение - есть условие существования правой части. Второе выражение - есть условие, при котором уравнение в целом (!!!) имеет смысл. Поясню: арифм. корень четной степени (правая часть) по определению есть выражение неотрицательное. Поэтому левая часть в данном уравнении обязана быть также неотрицательной (хотя она существует при любом значении х).
Ну, действительно, можно заметить, что √(x+5) это ветвь параболы, повернутой на 90 градусов, причем вершина этой параболы (-5 0), а вершина x^2-5 это (0 -5). Очевидно, меняя -5 т.е подставляя другие числа гмт некоторых точек пересечения это прямая x=y. Немного побаловавшись с коэффициентами (подставив не 5, а 1 и 3), получим, что остальные точки должны лежать типа на прямой y=-x-1, да, действительно гмт прямая(не вся), что также несложное замечание, а т.е вместо того, чтобы решать исходную систему, мы просто найдем положительный корень x^2-5=x и отрицательный корень x^2-5=-x-1. Да, если t>1, то задача x^2-t = √(x+t) имеет решения: положительный корень x^2-t=x и отрицательный корень x^2-t=-x-1
делаем замену переменной t = x^2 - 5 если подставить в исходное уравнение, то t = sqrt(sqrt(t + 5) + 5) возводим в квадрат обе части t^2 = sqrt(t + 5) + 5 или t^2 - 5 = sqrt(t+5) т.е. уравнение относительно t принимает исходный вид, как для x Отсюда сразу следует, что t = (+/-) x т.е. мы имеем два квадратных уравнения и дальше как видео
Это задачка наверняка из тех, что давали на олимпиаде. Могла быть у Сканави в группе В. Если не знать никаких задачников, кроме советских, то задача советская. 🙃
Подобные задачи в 90-е печатали в журнале МГУ для школьников. И очень любознательные советские учителя давали их решать обычным постсоветским школьникам. А задачи из обычного школьного учебника это всего лишь на удовлетворительную оценку. Ни на каких олимпиадах такие задачи не решали. Решали в классе обычные школьники. Загляните в современные учебники, не в те что в лицеях а в обычных школах в рамках обычной школьной программы. Складывается впечатление что учебник математики составлен для учеников коррекционных школ.
@@knopochka1304 обычные школьники вряд ли такое решали. Если посмотреть вступительные на матмех тех лет, то там уравнения несильно выше по сложности. Те, кто готовился поступать на технические специальности, да, наверное, решали.
Всё гораздо проще, графики y=x^2-5 и y=корень(x+5) взаимо обратны, а значит одно из решений на прямой y=x x^2-5=x x^2-x-5=0 x=(1+корень(21))/2 (подходит) и x=(1-корень(21))/2 (не подходит так как данный корень по графику больше 0) Далее находим вторую пару корней: x^2-5=корень(x+5) (x^2-5)^2=x+5 x^4-10*x^2-x+20=0 (x^4-10*x^2-x+20)/(x^2-x-5)=x^2+x-4 (деление многочленов проходят в 9 классе) x^2+x-4=0 x=(-1+корень(17))/2 (не подходит так как второй корень по графику меньше нуля) и x=(-1+корень(17))/2 (подходит)
Подобные задачи в 90-е печатали в журнале МГУ для школьников. И очень любознательные советские учителя давали их решать обычным постсоветским школьникам. А задачи из обычного школьного учебника это всего лишь на удовлетворительную оценку. Ни на каких олимпиадах такие задачи не решали. Решали в классе обычные школьники. Загляните в современные учебники, не в те что в лицеях а в обычных школах в рамках обычной школьной программы. Складывается впечатление что учебник математики составлен для учеников коррекционных школ.
В уме решить не получилось, но, нарисовав графики левой и правой частей, я понял, что их пересечение (в силу симметрии) лежит на прямой y = x. Дальше уже дело техники. Горжусь собой, какой я хитрец
у меня получилось более простое решение, возьмём t = √(x+5). Тогда подставляе в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения, отсюда x =√(x+5) получается квадратное уравнение. Но это решение находит не все корни. Остальные корни можно найти подставив найденые как корни уравнения 4-ой степени
В този канал има много умни хора, много съм впечатлена. Математици ли сте, внимавали сте в часовете по математика, или обучението по математика в Русия е на много високо ниво? Интересно ми е да разбера.
Параболы y=x^2-5 и y=sqrt(x+5) симметричны отнoсительно прямой y=x и имеют 4 точки пересечения. Две из них лежат на оси симметрии. Поэтому один корень получаем из квадратного уравнения х=х^2-5 (больший, меньший отбрасываем из-за одз). Возводим исходное уравнение в квадрат, получаем уравнение 4-й степени, делим его на х^2-х-5, получаем х^2+x-4. Из 2-x корней последнего оставляем меньший, другой отбрасываем из-за одз. Все!
Прикольно) не зная математики, подгонять под ответ литературно-художественное решение на основе фантазий)) с ошибками, которые чудесным образом сокращают друг друга))
Охренеть: в универе так не учат. Я первый раз такое решение вижу, зная, что уравнение четвертой степени в таком возрасте не решают, я сдался. Интересно.
Мое мнение по решению задачи. Эта задача решена очень запутана и очень сложно . Обратите внимание водится t , возводятся степени больше значения 4.А какие коффиценты в квадратном уравнении( громадные). Короче , это уравнение решается очень просто за 5 минут графически. Графики строятся легко по 4 точкам. Пересечение графиков в двух точках и есть решение.
В принципе, да, все эти знания и умения для жизни ни разу не пригодились. Пригодились более прикладные что ли знания по бинарной логике, например и физике.
На вскидку: икс должен быть от 2.2 чтобы левая часть была больше нуля. Если взять 2,2 то в левой части будет 0 а в правой около 2,6. Значит надо брать больше 2,2. Ну возьмем 3. Это получится 4 и чуть меньше трех. Левая часть обогнала правую, значит надо взять меньше. Ну возьмем примерно 2.9. Ответ: примерно 2,9. Диапазон: 2,8-2,9 Ответ: примерно 2,79. И ещё отрицательное число. Отрицательное число я то и не учел. Надо было рассматривать икс от -5. А я рассматривал от 2,2 и выше. Диапазон указал неверный.
Cтроим графики ф-ций у1= х^2-5, ОДЗ х-любое и у2=(х+5)^(1/2), ОДЗ х>-5 и х=-5; видим 4-е точки пересечения в ОДЗ х -- значит, существует 4-е решения уравнения у1=у2; поскольку ф-ция у2 обратная по отношению к ф-ции у1, то абсциссы графика у1 перейдут в ординаты графика у2, и наоборот, ординаты первого графика перейдут в абсциссы второго -- воспользуемся этим свойством: найдём координаты точки пересечения графика у1 и прямой у=х, решая простое квадратное уравнение х^2-5=х; отсюда находим первые два корня уравнения у1=у2, а именно х=2,79128..., х=-1,79128... Для определения ещё 2-х корней решаем уравнение х^2-5=-х-1, что даёт х=-2,56155..., х=1,56155... Можно показать, что пересечение любой параболы у1=х^2-const с прямой у=-х-1 даёт координаты точек обратной и прямой функций, пока const
исправление: графики у1 и у2 пересекаются на прямой у=-х-1, пока параметр const>0,75. При уменьшении const в область отрицательных чисел наступает момент, когда параболы у1 и у2 совсем не пересекаются, даже на прямой у=х.
А вот генеальное решение от Chat GTP To solve the equation x^2 - 5 = √(x + 5), we need to isolate the variable x. Let's go through the steps: Step 1: Square both sides of the equation to eliminate the square root: (x^2 - 5)^2 = (√(x + 5))^2 x^4 - 10x^2 + 25 = x + 5 Step 2: Move all terms to one side of the equation: x^4 - 10x^2 - x + 20 = 0 Step 3: This is a quadratic equation in terms of x^2. Let's substitute a variable to simplify it. Let's say u = x^2: u^2 - 10u - x + 20 = 0 Step 4: Solve for u by factoring or using the quadratic formula. In this case, we will use factoring: (u - 5)(u - 4) - x + 20 = 0 Step 5: Expand the equation: u^2 - 9u + 20 - x + 20 = 0 u^2 - 9u + 40 - x = 0 Step 6: Substitute back u = x^2: x^2 - 9x + 40 - x = 0 x^2 - 10x + 40 = 0 Step 7: Solve the quadratic equation by factoring or using the quadratic formula: (x - 4)(x - 10) = 0 Step 8: Set each factor equal to zero and solve for x: x - 4 = 0 or x - 10 = 0 x = 4 or x = 10 Therefore, the solutions to the equation x^2 - 5 = √(x + 5) are x = 4 and x = 10.
Ясен пень, что школьники не могут решить. А должны? Вы, кстати, тоже не дали целочисленного решения. У вас два ответа на одну задачу. Класс! Зачем тогда её решать? Давайте мне быстренько посчитайте квадратный корень из 17 и тот же корень из 21. Куда мы свалимся? В иррациональные числа? Потом придётся пилить в дифференциальное исчисление, строить функции и стреляться. Понапридумывают разной никому не нужной пурги и сидят довольные! От, как мы всех уделали...
Ничего не имею против (на практике недостижимой) абсолютной точности, но эмпирическим методом последовательного приближения эта задача практически решается гораздо проще и без всякого привлечения усех уаших высших математик. С левой стороны явно положительное число, значит х больше корня из 5, начинаем с 2,5 - мало, далее пробуем 3 - много, далее посередине 2,75 - все еще маловато, увеличиваем до 2,8 - уже почти получается, ну а кто хочет может еще погоняться за второй цЫфирью после запятой. И не надо тут без необходимости усложнять простые вещи, а то для каждой подобной задачки придется звать профессора математики.
@@eugenekeybeenМожете, пожалуйста, пояснить, почему корень положительный? Корень из 25 например может же быть плюс/минус 5? Почему в данном случае он заведомо положительный?
Подобная задача решается более просто графически и более наглядно. Строятся графики и береш точки пересечения. Это удобно когда небольшие числа. Для больших чисел можно график упростиь. Переносом запятой на несколько значений например при тысччах( 1000÷÷÷ 1,000)., Получается простой единичный график. Удачи. Приятно вспомнить детство. Графики полезно вводить в обучение они дают визуальную картинку и человеку проще понять что он считает. Интеграл для многих детей вроде сложно, а визуально это площядь кривого квадрата или прямоугольника, кусок круга,овала. Дети на математике должны играть а не мучатся. Картинка пугает ребенка меньше чем формула.
Странный вы человек.Графически вы увидите только две точки пересечения.Так как ответ в области иррациональных чисел о каком ответе идет речь?Или вы собираетесь строить графики на метровой кальке с шагом 0,001?Бред.
@@генаплотников , да, теперь школьники умные и знают, что такое octave/matcad, которому можно получить построить график с шагом 0.001... все, однако, работает...
Координаты x точек пересечения графиков в левой и правой частях. А дальше пишем программу на компе для поиска этих x с требуемой точностью. В качестве бонуса такое более общее решение имеет некоторые возможности модификации левой и правой частей, поэтому лучше приспособлено для решения реальных, а не выдуманных и притянутых за уши, задач.
Графики кстати красиво выглядят, становится очевидным из симметрии почему один корень лежит на y=x, правда пока не могу сообразить почему второй лежит так красиво на y=-x-1
Интересный способ, но подходит конкретно для данного случая. В общем случае в таких уравнениях, если не решать уравнение четвертой степени "в лоб", применяя сложные формулы, нужно увидеть правильную замену t=f(x), чтобы получилось уравнение, не содержащее x, но решаемое более простім способом. Автор предложил оригинальный способ, который чаще усложняет задачу.
Можно проще решить: х^2 - 5 =y x+5 = y^2 , тогда сложим и получим x^2 + x = y^2 + y первое решение x=y из которого следует уравнение x^2 - x - 5 =0, второе решение x^2- y^2 =-{x-y} y= x-1 уравнение x^2 + x - 4=0
А решение то с подводным камнем. Школьник может легко оступиться, рассуждая, что если уравнение по t имеет единственное решение t=5, значит дискриминант его равен нулю. Но тогда ничего не получится.
Как раз этому в школе учат. И это ИМХО очень пагубно сказывается на школьниках. По крайней мере в той части их жизни, которая как-то касается математики или логики. Людей с младых ногтей приучают хитрить и изворачиваться. Нет проблем с уравнениями 4-й степени и ниже. Лодовико (Луиджи) Феррари закрыл вопрос ещё в 16-м веке.
@@ahahahahahahahahahaahahaha на практике - нет. технические и другие практические задачи никогда не порождают уравнения с любовно подобранными коэффициентами. как умственное упражнение, пожалуй, ценность имеет. с этим спорить не буду.
Метод частичной замены переменной. Обозначим x^2-5=y (1), где y>=0, тогда y=V(x+5) возводим в квадрат и переносим 5, y^2-5=x (2). Вычтем (2)-(1) y^2-x^2)=x-y, разложим разность квадрата и перенесём всё в одну сторону (y-x)(y+x)+(y-x)=0 или (y-x)(y+x+1)=0. Подставив из (1) y=x^2-5 получим (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность тех же уравнений, Ответы те же.
😊
Да, такая замена переменной выглядит более правильной математически
Вообще, когда y=f(x), а x = f(y) => будет решение при x = y. Получаем тревиальное уравнение x^2 - 5 = x
Изящно!
@@alexxey83 Если нарисовать рисунок, то это становится очевидным. Однако, на рисунке также очевидно существование второго отритцательного корня и вот с ним как раз проблема.
Элементарная подстановка
у=√(х+5), у>0
приводит к системе алгебраических уравнений
х²=у+5
у²=х+5
Вычитаем одно уравнение из другого получаем
х²-у²=у-х
Разлагая разность квадратов и выносят за скобку общий множитель (х-у) получаем уравнение
(х-у)(х+у+1)=0
которое имеет два независимых решения
х=у
х=-у-1
Подставляем первое решение в первое уравнение
у²-у-5=0
D=21
y=(-1±√21)/2
Отбираем только положительный корень поскольку у>0
х=у=(√21-1)/2
Подставляем второе решение
у²+у-4=0
D=17
y=(-1±√17)/2
Опять выбираем только положительный корень
у = (√17-1)/2
х= - (√17+1)/2
Решений два:
х= (√21-1)/2
х= - (√17+1)/2
Можно увидеть и геометрический смысл. y=х²-5 -- это парабола, смещённая на 5 вниз, y=√(х+5) -- это её левая ветка, повёрнутая на 90 градусов (перестановка осей). Тут наглядно видно ОДЗ, т.е. точки пересечения этих кривых. Далее (или, скорее, наоборот, это было не далее, а даже ранее, чем задача приняла свою финальную форму), можно задаться вопросом, как смещаются точки пересечения этих ветвей в зависимости от величины параметра сдвига, который у Вас взят за t. После чего можно осмысленно придти к более общей задаче через t или через систему, как в комментариях, и получить решение данной конкретной как частного случая
Первым делом увидел. И обязательно нарисовал бы перед тем, как решать. Оно нагляднее.
ОДЗ - это не точки пересечения кривых. Пора бы знать.
@@eduardionovich4425
Конечно, точки пересечения кривых - это сами значения, а видно, в каких областях они лежат
@@dmxumrrk332 , то же самое. Если б стояла задача решить графически, решалось бы в шесть секунд.
@@САМУИЛДАВИДОВИЧ-ы1ону нет, как вы корни в данном случае графически-то найдете?
Предложенный метод выглядит подобранным задним числом, когда решения задачи уже известны. Вряд ли его можно будет регулярно применять в других задачах.
Я вот сразу увидел как получить разложение в произведение двух квадратных трёхчленов.
(x^2-5)^2- 5 = x
Мы дважды применяем оператор - возведение в квадрат и затем вычитание пяти. В итоге приходим к тому же, с чего начинали. А что если уже после первого применения этого оператора мы возвращаемся в начало?
То есть x^2-5 = x. Тогда очевидно повторное применение ничего снова не изменит.
Отсюда имеем первые два корня. Останется разделить уголком многочлен четвёртой степени на многочлен второй степени x^2-x-5. Получим второй многочлен второй степени x^2+x-4, из которого найдём 3-й и 4-й корни.
Задачи по математике не могут быть советскими, православными, япоскими .... Зачем вы пытаетесь привлечь внимание такими дешёми манипуляциями. Оставьте вы уже это в прошлом.Его нет.
Можно было просто сказать, что задача из советского учебника. Поддерживаю
вам придратьслишь бы к словам придраться, от того что человек будет яблоки называть тыблаками, они менее вкусными не станут
@@12ениеЛичности так, а зачем мешать политику в математику?
@@ВладимирСк-п9п потому что политика срёт в математику. Вы не замечаете этого?
@@ВладимирСк-п9п я пытаыслюсь донести, что когда он говорит советская задача, он не относит ее к определенной стране, он просто привык так выражаться, его фраза имеет тот же смысл, что и задача из советского союза
Можно найти один корень используя свойство: если f(x) возрастает, то уравнение f(f(x)) = x имеет те же корни, что и уравнение f(x) = x. В нашем случае это будет уравнение sqrt(x+5) = x. Остальные корни можно найти разделив уравнение 4 степени на x^2-x-5
Беру от фонаря х=4 и подставляю в условие вроде проверки 16-5=√4+5 и 9=√9 мне кажется абсюрт
@@mikola824 16-5 = 11)) 11=v9 ?
Если f(x) убывает, это свойство тоже верно, нет?
Построив графики левой и правой части, можно сделать вывод, что эти графики симметричны относительно оси y=x. Вспоминаем, что таким свойством обладают обратные функции. А значит достаточно найти решение уравнения x^2-5 = x или sqrt(x+5) = x. Факт, что оба этих уравнения приводят к одинаковому уравнению, намекает, что мы не ошиблись, сделав вывод, что функции обратны друг другу. Решая квадратное уравнение x^2 - x - 5 = 0, получаем два решения, из которых подходит только положительный
А как-то аналитически, без графических построений можно обосновать, что уравнение сводится к x²-x-5=0?
ошиблись конечно, т.к. решений два. Странно, если Вы построили график, чтоб определить обратность функций, неужели Вы не заметили, что точек пересечения две?!! и вторая совсем не лежит на биссектрисе y=x. Ваше предположение верно лишь для монотонных функций, вроде экспоненты и логарифма, или монотонных степенных (очевидно только нечетных степеней). В нашем случае у параболы 2 ветки, а корня квадратного только одна, и левая ветка параболы не является обратной к корню, соответственно не симметрична с ним относительно y=x (думаете не станете спорить). Еще пример графики тангенса и арктангенса, помимо точки (0;0) пересекаются еще в бесконечном множестве точек, так как у тангенса бесконечное число периодически повторяющихся веток, а арктангенса - всего одна
@@meshokshtuka7113 конечно можно, и даже нужно, т.к. доказательство обратности графическим способом это очень странный и не совсем надежный способ доказательства. По классике нужно записать одну из частей как функцию y=f(x)? затем поменять переменные местами, выйдет x=f(y) (это и есть определение обратной функции), а чтоб получить явный вид обратной функции нужно решить уравнение относительно y, получится какая функция y=g(x) , она и будет обратной. Более простой вариант взять какую-то часть нашего уравнения, и подставить ее целиком вместо х в другую часть, вы получите х. Проблема лишь в том, что функции бывают немонотонными (то убывают, то возрастают), что мы и видим в этом случае x^2-5 - парабола, имеющая как известно 2 ветви, и каждое свое значение кроме значения в вершине принимает в 2х точках, поэтому целиком ее использовать как обратную нельзя, нужно выделить интервал монотонности (иначе одному х будет соответствовать 2 значения у), логично что в данном случае выбирают правую ветвь. Поэтому рассуждение о поиске решения только на биссектриссе 1-3го координатных углов ( у=х) НЕВЕРНО. Именно поэтому один из корней был потерян, так как график ф-ции с корнем пересекает обе ветви параболы, но обратной она является только по отношению к правой ветви, левая же ветвь в качетве обратной имеет функцию с корнем взятую с обратным знаком т.е. -корень(х+5), кстати если подставлять левую часть в правую, то Вы получите плюс-минус х, т.к. корень из квадрата равен модулю выражения под знаком квадрата (ленюсь писать формулы с корнями текстом))), эта неопредленность как раз связана с наличием у параболы двух веток
да, я тоже так решил где-то за минуту
@@meshokshtuka7113 возьмём t = √(x+5). Тогда подставляе в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения,
Уже и не помню этот способ, но именно тут он сам всплыл в голове, чтение мыслей.
Спасибо, что напомнили
только этот способ далеко не самый простой, эта задача решается проще))) Странно, что у вас сложный способ всплыл)))
Да можно проще и не возводить в квадрат в начале. Переносим все в левую часть:
X^2 - 5 - sqrt(x + 5) = 0
Потом делаем абсолютно нелогичный шаг, а именно прибавляем и вычитаем из левой части x:
- x - 5 - sqrt(x + 5) + x^2 + x = 0
Делаем замену t = sqrt(x + 5) и получаем:
-t^2 - t + x^2 + x = 0
и решаем относительно t:
D = 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2
Меняем t обратно и получаем два уравнения:
sqrt(x + 5) = -1 -x
sqrt(x + 5) = x
Возводим их в квадрат и получаем два квадратных уравнения:
x^2 + x - 4 = 0
x^2 - x - 5 = 0
Ну а дальше дело техники)
x⁴ - 10x² - x + 20 = 0
раскладывается как (x² + x + a)(x² - x + b) = 0
x⁴ - x³ + bx² +
x³ - x² + bx +
ax² - ax + ab = 0
x³| -1 + 1 = 0
x²| b - 1 + a = -10
x | b - a = -1
ab = 20
b + a = -9
b - a = -1
2a=-8
a=-4
b=-5
(x² + x - 4)(x² - x - 5) = 0
Подскажите, откуда взялось -10 в x²| b - 1 + a = -10 и -1 в x | b - a = -1.
В самом начале при x² было -10.
- 10x²
И при x было -1 (как "-x").
@@АлексейСаныч-ц2л Спасибо! А x³| -1 + 1 = 0, потому что x³ вообще не было. Теперь понятно. А как это способ разложения на множители называется?
@@ЕленаИванова-ь5и4ж разложение с помощью неопределённых коэффициентов
Формально ОДЗ записано с ошибкой. Там написано что x в квадрате больше 5. Но при этом учитывая правую часть под корнем, получаем что ОДЗ должно быть x больше корня с 5. В данном случае на финальный результат не влияет, но упущение ограничений в ходе решений не очень хорошо.
Уточним. Уравнение : (1) sqrt[u(x) ]=v(x) - равносильно системе : { (2) u(x)=[ v(x) ]^2 ; (3) v(x)>=0 } . При этом , условие : (4) u(x)>=0 - выполняется автоматически для решения системы . А условие (3) необходимо для исключения корней уравнения (5) sqrt[ u(x) ]=-v(x) , которое при возведение в квадрат «передает» свои корни уравнению (2) . {заметим , что ‘-v(x)’ « ничуть не отрицательнее , чем ‘v(x)’ } . Например : (6) sqrt(x+6)=x и (7) sqrt(x+6)=-x . Из двух получающихся корней уравнения (8) x^2-x-6=0 - один : x=3 - корень (6) , другой : x=-2 - корень (7) . С уважением , Лидий
@@ЛидийКлещельский-ь3х Полное ОДЗ x E [-5 ; sqrt(5) ] U [ sqrt(5); бесконечность). Ну а в данном случае допускается промежуток от минус бесконечности к -5, что ошибочно. Я не прав?
@@ЛидийКлещельский-ь3х sqrt(x +5) добавляет ограничение -> x>= -5.
Или меньше минус корня из 5
х√5
@@СвободныйМатематик Этот вариант не верный, я выше обьяснил почему.
чтобы решать таким образом нужно заранее знать что такой способ решения приведет к правильному ответу.
Не обязательно. Отрицательный результат - тоже результат. Если один способ не прокатит, можно другим. Это как метод проб и ошибок. Математика - она такая😃
@@КириллБалмасов-ы9д Да, вы правы. Так как располагаешь временем и не влечет за собой ответственность в неправильном ходе решения. В других сферах деятельности может быть недопустимо. Например, опыты стоят времени и денег.
Нет… если бы все решения можно было не решать, просто потому что ты не знаешь что это может быть правильным, то и решения не будет. Разве смысл задачи только в ее ответе?
У меня получилось Х = 2,79.
Но я ничего не вычисляла, а просто подставляла цифры. Вначале выяснила, что ответ меньше 3 и больше 2, потом выяснила, что меньше 2,8 и больше 2,7 и в итоге получилось 2,79.
а где отрицательный корень?
тут несколько корней
@DarkSoulXD_
Возможно и несколько. Но это долго перебирать надо. Я один ответ нашла, а дальше мне не интересно. Тем более, что моя профессия не связана с вычислением корней. Мне больше приходится вычислять проценты и доли, кратные 1/2.
Эта задача была для поступления в ВМК лет 20-30 назад. Ещё на форуме мехмата МГУ её решали.
В обычной школе в математическом классе спокойно решали.
Да, узнаю старого друга. Как говорится, если задача для ВМК или для Мехмата, то должна быть "изюминка". Но это должно быть не очень много баллов.
Эта задача сейчас на егэ
Всё гораздо проще и не надо ничего никуда возводить, и потом группировать немыслимым образом - это способ для "тугих"!
С ОДЗ да тоже косяк. Оно должно быть такое, два промежутка: -5 получаем сис-му: x^2-b=a и a^2-b=x; вычитаем из 1го ур-ия второе получаем следствие из сис-мы: x^2-a^2=-(x-a);
Дальше очевидно всё в одну сторону, раскладываем разность квадратов, выносим (x-a), получаем конструкцию вида (x-a)(x+a+1)=0
Отсюда либо x=a т.е. x=sqrt(x+5), либо x=-a-1 т.е. x=-sqrt(x+5)-1. Дальше решаем совокупность стандартным методом, пересекаем с ОДЗ, отсекаем в каждом случае по лишнему корню и вуаля, получаем тот же ответ!
Очевидно, что найденные решения уравнения-следствия из полученной нами в рез-те исходной замены сис-мы будут и корнями сис-мы, а значит и исходного ур-ия. Что касается проверки того, нет ли у исходного ур-ия ещё каких то решений помимо найденных двух (а в теории их может быть до 4х т.к., если будем возводить в квадрат получим ур-ия 4й степени), то просто говорим, что справа строго возрастающая и положительная функция т.к. это радикал, а слева парабола, кот. на одной ветви убывает, на другой возрастает => графики функций могут иметь не более 2х точек пересечения или 2х решений для ур-ия, поскольку убывающую ветвь параболы монотонно возрастающая фун-ия с корнем может пересечь лишь раз, а вот возрастающую ветвь тоже не больше раза т.к. квадратичная фун-ия естественно растёт быстрее функции с радикалом! При желании более строго это можно доказать с помощью производных обеих функций и промежуточных значений на различных отрезках монотонности для параболы, хотя это и так очевидно по-моему.
Класс!
С одз Вы неправы. Возводя в квадрат обе части такого уравнения, мы получаем, что подкоренное выражение равно неотрицательному числу при условии, конечно, что левая часть, в данном случае, неотрицательна. Условие неотрицательности подкоренного выражения лишнее в таких уравнениях.
@@ОльгаЗаварыкина-н4ъ, если бы мы возводили в квадрат, то ДА, но если вы не заметили (надо читать внимательнее, какое решение я предлагал), то данное уравнение возведением в квадрат вменяемыми людьми при помощи школьных методов нерешаемо или решаемо очень громоздко с большой вероятностью ошибки.
Поскольку в квадрат мы не возводим и получается, что используется более сложный творческий метод решения, соответственно, ваша стандартная школьная логика поиска ОЗД тут неприменима. Ибо, если вы не учтёте ограничение x>=-5 (для подкоренного выражения), то в предлагаемом алгоритме решения не сможете отсечь посторонние корни, и получите в итоге не верное решение! Т.е. если вы не возводите в квадрат, то и преимуществом уменьшения ограничений по ОДЗ при приравнивании подкоренного выражения к квадрату левой части пользоваться не можете! Вообще тут вопрос философский как понимать что такое ОДЗ. Лично я его понимаю в расширенном виде - не просто, как область допустимых значений аргумента по ограничениям на подкоренные выражения, логарифмы и.т.п., но и как ограничения на аргумент при которых ур-ие в принципе разрешимо, ведь если левая парабола находится в своём "минусовом" коридоре, то и не отрицательному значению под корнем справа она никак не может равняться на этом промежутке! Отсюда в принципе не ошибка учесть все ограничения по ОДЗ, как это сделал я, даже если решать методом возведения частей в квадрат. Может это немного избыточно, но точно не ошибка, поскольку решения мы с таким ОДЗ точно не потеряем и сможем отсечь все лишние.
Именно этим методом , известный и уважаемый Валерий Волков решал именно эту задачу : (0) x^2-5=sqrt(x+5) - несколько лет назад . Уже тогда мною был предложен другой известный метод решения . (жалко не я придумал !😊) . Вводим новую переменную : (1) y=sqrt(x+5) ; (2) y>=0 . Получаем вместо (0) : (3) x^2-5=y . Возводим обе части (1) в квадрат и , после преобразований , получаем : (4) y^2-5=x . Исходное уравнение (0) равносильно системе : (2) ,(3) , (4) . Вычитаем почленно из (4) равенство (3) . Получаем следствие : (5) (y-x)*(y+x)=-(y-x) , которое равносильно объединение двух уравнений : (6) y-x=0 и (7)y+x=-1 . Тогда исходное уравнение (0) равносильно ОБЪЕДИНЕНИЮ ДВУХ СИСТЕМ : { (3) , (6) , (2) } и { (3) , (7) , (2) } . Они легко решаются подстановкой . Получаем Ваш ответ , полученный Вами НУ ОООЧЧЕНЬ остроумным методом. Разумеется ОДЗ написана неправильно : [ 1:34 ], но , в предлагаемом подходе , она вообще не нужна . Равносильность , при возведении в квадрат , обеспечивает условие (2) . В связи с развернувшейся в комментариях полемикой , уточним : как решаются уравнения вида : (8) sqrt[ u(x) ]=v(x) . Чтобы избавиться от корня « хочется» обе части уравнения возвести в квадрат . Получаем : (9) u(x)=[ v(x) ]^2 , которое содержит все корни (8) . При этом , ОДЗ уравнения (8) : u(x)>=0 для корней (9) выполняется автоматически .( на экзамене об этом надо упомянуть !!! ) Но , уравнение (10) : sqrt[ u(x) ]=-v(x) - при возведении обеих частей в квадрат «дает» то же самое уравнение (9) . Чтобы избавиться от этих «лишних корней» ( и именно поэтому !! ) , пишем дополнительное условие : v(x)>=0 . { заметим , что ‘-v(x) ‘ - ничуть не отрицательнее , чем ‘ v(x) ‘ . Пример : (11) sqrt(x+6)=x ; (12) sqrt(x+6)=-x ; после возведения обеих частей в квадрат , получаем уравнение : x+6=x^2 . Один его корень : x1=3 -корень уравнения (11) , другой - x2=-2 - корень уравнения (12) . Вот так . С уважением , Лидий
Спасибо за развернутый комментарий. Элегантное решение!
P.S. Автор видео на [ 1:34 ] как раз и написал дополнительное условие (я так понимаю, под ним подразумевается ОДЗ): v(x)>=0, но оставил его "как есть", как и упомянутый Вами Валерий Волков.
Вот по этой причине не дают Нобелевские премии Арифметикам, у них на простое решение всегда несколько ещё более сложных решений..
Вместо непонятных вычислений √17 и √21 надо пользоваться оценками сверху/снизу заменив их известными корнями √16 и √25
Да согласен, тоже не понравились эти танцы
Строго говоря, ОДЗ только x+5>=0. Выражение x^2-5 имеет смысл при любом x. Неравенство x^2-5>=0 получено в ходе решения из определения множества значений квадратного корня, и ОДЗ не является. При возведении в квадрат, могли появиться посторонние корни, там необходимо указать x^2>=5. Решение уравнения относительно t=5, позволило перейти от уравнения 4 степени к двум квадратным уравнениям. Спасибо за оригинальный способ. Но это частный случай, дискриминант не обязан быть квадратом какого-то выражения. Можно решить методом неопределённых коэффициентов x^4-10x^2-x+20=(x^2+b1x+c1)(x^2+b2x+c2)= x^4+(b1+b2)x^3+ (b1b2+c1+c2)x^2+(b1c2+b2c1)x+c1c2. Приравняв коэффициенты при соответствующих степенях, получим систему b1+b2=0, b1b2+c1+c2=-10, b1c2+b2c1=-1, c1c2=20, откуда (можно подбором) b1=1, b2=-1, c1=-4, c2=-5. Получили ту же совокупность уравнений x^2+x-4=0 и x^2-x-5=0. Ответы те же.
Там суть в том, что x^2-5 равно квадратному корню какого-то числа. Если я правильно помню, квадратный корень не может быть отрицательным. То-бишь, конечно может быть, но для удобства принято считать, что корень только положительный. В школьных расчетах, так точно.
@@ГеоргийМакаров-г5й Согласен, неравенство x^2-5>=0 должно выполняться, как множество значений квадратного корня. Но это не ОДЗ, ведь функция f(x)=x^2-5 в правой части, без учёта левой, существует всегда. У Валерия Волкова есть ролик про ОДЗ, где это рассматривается подробно.
@@ГеоргийМакаров-г5й Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа √(x^2)=abs(x). Определяется как АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА и никогда не может
быть отрицательным! Это вовсе не из соображений удобства, оно здесь ни при чём. Во всех расчетах и всегда.
Одз носит формальный характер. Под корнем не может быть отрицательного и квадратный корень из этого числа не отрицательный. Значит надо эти два условия записать и на время про них забыть
Одз к УРАВНЕНИЮ! Можно присобачить ещё ваше условие, но это лишнее. Ведь оно гарантировано после возведение в квадрат. А вот правая часть нет, а она обязана быть неотрицательной
Спасибо за интересную задачку.
Если искать выражение x^4 - 10*x^2 - x + 20 в виде произведения квадратных трехчленов (x^2 + ...) (x^2 + ...) с целыми коэффициентами, но несложно получить x^4 - 10*x^2 - x + 20 = (x^2 - x -5)*(x^2 + x -4), откуда находятся все нужные корни.
Оба решения (оригинальная замена и метод частичной замены) - отличные!!
Возводя в квадрат левую и правую части получаем полином 4-й степени. Представляем полином 4-й степени как произведение полиномов второй степени. Составляем систему уравнений для коэффициентов этих двух полиномов второй степени, решаем её, накодим коэффициенты. После этого получаем два квадратных уравнения, решаем их, получаем четыре корня, отсеиваем лишние по начальному условию.
Совершенно страшное решение у Вас, хотя и правильное. Эта задача проще всего решается введением параметра. Число 5 обозначаем за a, возводим в квадрат по известной схеме, и получаем относительно a квадратное уравнение с отличным дискриминантом и с отбором корней. После обратной замены получаем два квадратных уравнения (уже относительно икс), точно такие же, как у Вас.
Ровно в таком виде эта задача есть в учебнике Ткачука (среди 100 задач на засыпку), она была очень давно на вступительном экзамене (устном) в МГУ на факультет ВМК, а также я лично давал её на устном туре олимпиады "Покори Воробьёвы горы!" по математике в Волгограде (выездной тур). Единственный школьник, который справился с ней (его решение было через обратные функции и графики), был нами принят в МГУ без дальнейших экзаменов (поскольку письменный тур он тоже прилично написал).
Какое практическое примение- для расчетов размера участка, вещи, их количества, предположение события и т.п. имеет эта задача и срособ ее решения, и каким обстоятельством, проблемой вызвана необходимость ее решения?
Никакого. А что, должна?:)
Сделал в правой части квадрат суммы перенес 5 вправо получилось что:
х^2= 5+ sqrt(x+5)
Добавил не достающие элементы
х^2 +х+0,25=0,25 + 2*0,5*sqrt(x+5) +(x+5)
И справа и слева получилось квадрат суммы , свернем
(х+0,5)^2=(0,5+sqrt(x+5))^2
x+0,5= 0,5 +sqrt(x+5)
x= sqrt(x+5)
Возводим в квадрат и получаем обычное квадратное уравнение
х^2=х+5
х^2-х-5=0
А это уже элементарно решается
Хорош, я бы не додумался доделать до квадратов сумм! По сути та же хрень с t из видео.
Найти ОДЗ !!! х> или = -5 и одновременно х> =√5 или х
То ли я гуманитарий, то ли просто тупой (скорее всего и то, и другое), но даже под страхом смерти такое я бы не поднял... 😄
Метод вложенной функции. С учётом x^2-5>=0, возведём уравнение в квадрат и перенесём 5, получим (x^2-5)^2-5=x, если f(t)=t^2-5, то получили f(f(x))=x. Пусть f(t)=t, тогда f(f(x))=f(x)=x, то есть x^2-5=x, квадратное уравнение x^2-x-5=0. Разделив многочлен 4 степени получим разложение (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность таких же уравнение, Ответы те же.
Схема Горнера: «Я что, доя вас какая шутка?»
Не знаю как в других школах, но у нас о ней в 9-м рассказывали, хотя школа не с математическим уклоном, а химико-биологическим…
А ничего, что для схемы горнера нужно подобрать один корень хотя бы, а здесь корни -0.5-sqrt(17)/2 и 1/2+sqrt(21)/2
Зря вам ее в химбио давали.она и в матклассах не особо полезна.
@@заводмихельсона наша математичка считает, что любой человек обязан знать всё в математике😅
Спасибо за хитрую задачу. Аналитически решить не получилось, метод подбора тоже не очень помог. Решила графически: построила графики обеих функций (левой и правой половины уравнения) и они пересеклись в двух точках😀
Я начертил графики функций y = x² - 5 и y = √(x + 5). Попались иррациональные корни, неповезло
Легчайше решается графически, и думать нечего
если построить графики максимально точно, то можно определить примерные значения до десятых. смотря на ответ, можно сказать, что пересечения есть в точке x=~-2,6; x=~2,8.
Можно сделать замену z = (x - 5)^0.5. Тогда получится система из двух уравнений: { x^2-5=z; x=z^2-5 } что эквивалентно {x^2 - 5 - z = 0; z^2 - 5 - x = 0}, вычитаем второе из первого, получаем x^2 - z^2 + x - z = 0, а значит (x-z)(x+z+1)=0. А это значит, что либо x=z, либо z = -x-1. Подставляем в изначальное уравнение x^2 - 5 = z и получаем два квадратных уравнения x^2-x-5=0, что дает ответ (1+21^0.5)/2, тк z>0 и x^2+x-4=0, что дает (1-17^0.5)/2, так как должно выполняться условие z>0 => -x-1>0 => x < -1
Мне не припоминается что бы так сложно с выбриками решали такие задачи, уравнения в советской школе. Чушь какая - то.
Интересная задача. Но, разве нам не нужно было в ОДЗ еще написать, что х+5>=0? То-бишь, что x>=-5. Т.к. если мы не планируем в комплексные числа ударяться - под корнем тоже должно быть не отрицательное число.
В теории, ведь, мог быть корень -6 например, который бы в наше ОДЗ подходил, но давал бы под корнем минус единицу.
Вы абсолютно неправы. Повторите и разберитесь в понятии ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. В таких уравнениях, где одна часть корень, а в другой рац. выражение,излишне дополнительное условие. А вот требование рац. части быть больше или равной нулю обязательно! Потрудитесь открыть учебники с темой иррациональные уравнения вида f(x)=✓g(x) и разберитесь.
Мой учебник по профильной математике за 10-11 класс за авторством Алимова говорит, что нужно обозначить, что х>=-5. Тогда, если рассматривать совокупность x>sqrt(5) и x
Идея рассматривать уравнения с точки зрения разных переменных не нова, но рассмотреть число в качестве переменной и относительно нее составить квадратное уранение жто нечто 🤔👍
Один корень сидит между sqrt(5) и троечкой, второй между -sqrt(5) и -3. Дальше лень.
можно сделать легче:
Х²-5=√(х+5)
(Х²-5)²=Х+5
Х⁴-10х²-х+20=0
Х²= t, тогда
t²-10t-√t+20=0
Домножим каждую часть на t:
t³-10t²-t+20t=0
t³-10t²+19t=0
Выносим общий множитель за скобку:
t(t²-10t+19)=0
t=0
t²-10t+19=0
D=100-4*19=24
t_1;t_2= (10±√24)/2=5±√6
t_1=5+√6
t_2=5-√6
t=x²
x²=0
x²=5-√6
x²=5+√6
X=0
X=±√(5-√6)
X=±√(5+√6)
Далее, чтобы узнать примерное значение корня считаем на калькуляторе.
Ответ:х_1=0; х_2≈±1,60; х_3≈±2,729
То есть Вы корень из t домножили на t и получили t...
Наконец -то не бредовая задача с неверным цсловием, а что-то действительно решаемое, да еще и не обычным способом! 👍
Методом неопределённых коэффицентов решается очень просто
Это фактически уравнение вида: f(x) = f^-1(x), где f(x) = x^2-5. Или f(f(x)) = x, правда два корня будут лишние.
Т.е. результат функции и результат обратной функции совпадают. Намекает на это то, что если корень обозначить за у, то получится такое же уравнение. Значит х=у=f(x), получаем одно квадратное уравнение, у которого положительный корень подходит. Второе квадратное уравнение получается по аналогу теоремы Виета для многочлена 4-й степени. Там удобно - коэффициент при кубе равен 0 и сумме всех 4-х корней, два из которых знаем. То же с произведением корней. Если другими словами - мы делим многочлен 4-й степени на многочлен 2-й степени столбиком. Остатка нет - значит все правильно. Решаем получившийся многочлен.
Т.е. чистая алгебра. Однако признаюсь - когда решал, без читерства с графиками функций не обошлось.
возьмём t = √(x+5). Тогда подставляя в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения, отсюда x =√(x+5) получается квадратное уравнение. Но это решение находит не все корни. Остальные корни можно найти подставив найденые как корни уравнения 4-ой степени
Ну после ОДЗ я для прикидки сделал графики л.ч. и п.ч., откуда видно, что решений ровно два
Дальше я просто попробовал сделать замену самой неприятной части t=√(x+5)
В итоге вышло уравнение t⁴ -10t² -t +20 =0
Но возведя оригинал в квадрат и перекинув вче влево будет то же самое
x⁴ -10x² -x +20 =0
Значит корни у них совпадают, отсюда тоггда есть 2 возможных вывода
1ый
x1=√(x1 +5) & x2=√(x2 +5)
Тогда они объединяются в одно x=√(x+5), откуда x=(1±√21)/2
2й
x1=√(x2+5) & x2=√(x1+5)
Откуда у нас либо x1=x2, и снова первый вариант, либо {x1,x2}={(-1+√17)/2;(-1-√17)/2}
Ну дальше проверяя корни остаются (1+√21)/2 и (-1-√17)/2
Если я не накосячил, то как-то так
Второй правильно.
А мне комментарии понравились больше, чем видео😊
Школа не советская -- решить не удалось. Только смог понять, что ответ меньше 3, но больше 2, ответ 1 и не отрицательный.
Приколюху с t ни разу не встречал, спасибо, буду знать, только не знаю где мне это пригодится))
А разве ОДЗ не будет ОДЗ:х>5? Объясните пожалуйста а то не совсем понял почему квадрат икса. Просто как пример когда хотим посчитать корень 49 то выйдет же ±7 тогда почему х^2-5>=0?
Для тех, кого смутило в данном видео выражение, записанное для ОДЗ.
ОДЗ представляет собой решение системы 2-х неравенств:
x+5>=0
x^2-5>=0
Первое выражение - есть условие существования правой части.
Второе выражение - есть условие, при котором уравнение в целом (!!!) имеет смысл. Поясню: арифм. корень четной степени (правая часть) по определению есть выражение неотрицательное. Поэтому левая часть в данном уравнении обязана быть также неотрицательной (хотя она существует при любом значении х).
Этому не учат в школе и правильно делают.
какие же все в комментариях умные.я восхищена
Ну, действительно, можно заметить, что √(x+5) это ветвь параболы, повернутой на 90 градусов, причем вершина этой параболы (-5 0), а вершина x^2-5 это (0 -5). Очевидно, меняя -5 т.е подставляя другие числа гмт некоторых точек пересечения это прямая x=y. Немного побаловавшись с коэффициентами (подставив не 5, а 1 и 3), получим, что остальные точки должны лежать типа на прямой y=-x-1, да, действительно гмт прямая(не вся), что также несложное замечание, а т.е вместо того, чтобы решать исходную систему, мы просто найдем положительный корень x^2-5=x и отрицательный корень x^2-5=-x-1. Да, если t>1, то задача x^2-t = √(x+t) имеет решения: положительный корень x^2-t=x и отрицательный корень x^2-t=-x-1
делаем замену переменной t = x^2 - 5
если подставить в исходное уравнение, то
t = sqrt(sqrt(t + 5) + 5)
возводим в квадрат обе части
t^2 = sqrt(t + 5) + 5 или
t^2 - 5 = sqrt(t+5)
т.е. уравнение относительно t принимает исходный вид, как для x
Отсюда сразу следует, что
t = (+/-) x
т.е. мы имеем два квадратных уравнения и дальше как видео
Это задачка наверняка из тех, что давали на олимпиаде. Могла быть у Сканави в группе В.
Если не знать никаких задачников, кроме советских, то задача советская. 🙃
Для олимпиада все-таки простовата
Подобные задачи в 90-е печатали в журнале МГУ для школьников. И очень любознательные советские учителя давали их решать обычным постсоветским школьникам. А задачи из обычного школьного учебника это всего лишь на удовлетворительную оценку. Ни на каких олимпиадах такие задачи не решали. Решали в классе обычные школьники. Загляните в современные учебники, не в те что в лицеях а в обычных школах в рамках обычной школьной программы. Складывается впечатление что учебник математики составлен для учеников коррекционных школ.
@@knopochka1304 обычные школьники вряд ли такое решали. Если посмотреть вступительные на матмех тех лет, то там уравнения несильно выше по сложности. Те, кто готовился поступать на технические специальности, да, наверное, решали.
@@knopochka1304журнал МГУ это что?
Посмотри как решал такие уравнения Андрей Щетников!
Не надо делать нелогичные замены.
Графический метод наглядный и логичный!
Графический метод неточен. Он лишь может дать подсказку в решении. Математика - это не живопись
Корни обратных функций, если их приравнять, лежат на прямых у=х и у=-х. Только отбрасываем y
У советских школьников проблем с решением задачек быть не могло по определению(МА подтвердит))
ХАХПХПХПХАХАХАХХ ШАРИШЬ))))))))
Славные были времена :) помню, в 68-ом году сдавал вступительные в яйцеклетку матери. Там и встретил впервые данную задачу.
@@Резерв-и6т АХАХАХАХАХ
Поздновато познакомился, однако)
🤣👍🏼
Эх, детство было , когда-то решал их как семечки😊
А в каком учебнике Вы нашли такую задачу?
Всё гораздо проще, графики y=x^2-5 и y=корень(x+5) взаимо обратны, а значит одно из решений на прямой y=x
x^2-5=x
x^2-x-5=0
x=(1+корень(21))/2 (подходит) и x=(1-корень(21))/2 (не подходит так как данный корень по графику больше 0)
Далее находим вторую пару корней:
x^2-5=корень(x+5)
(x^2-5)^2=x+5
x^4-10*x^2-x+20=0
(x^4-10*x^2-x+20)/(x^2-x-5)=x^2+x-4 (деление многочленов проходят в 9 классе)
x^2+x-4=0
x=(-1+корень(17))/2 (не подходит так как второй корень по графику меньше нуля) и x=(-1+корень(17))/2 (подходит)
В школе таких задач не решали, если это конечно, не специальная математическая школа. Уровень сложности вполне для вступительного экзамена в МГУ.
Подобные задачи в 90-е печатали в журнале МГУ для школьников. И очень любознательные советские учителя давали их решать обычным постсоветским школьникам. А задачи из обычного школьного учебника это всего лишь на удовлетворительную оценку. Ни на каких олимпиадах такие задачи не решали. Решали в классе обычные школьники. Загляните в современные учебники, не в те что в лицеях а в обычных школах в рамках обычной школьной программы. Складывается впечатление что учебник математики составлен для учеников коррекционных школ.
Спасибо, интересно, но хорошо бы проверить, хотя, конечно, это можно сделать и самостоятельно 🙂
В уме решить не получилось, но, нарисовав графики левой и правой частей, я понял, что их пересечение (в силу симметрии) лежит на прямой y = x. Дальше уже дело техники. Горжусь собой, какой я хитрец
Необычно , но красиво!
у меня получилось более простое решение, возьмём t = √(x+5). Тогда подставляе в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения, отсюда x =√(x+5) получается квадратное уравнение. Но это решение находит не все корни. Остальные корни можно найти подставив найденые как корни уравнения 4-ой степени
Да это же легко, вторая часть ЕГЭ профиля. Часто подобное встречается
3:42
Отуда взялись четвёрки у вас?
У куда делись t?
В този канал има много умни хора, много съм впечатлена. Математици ли сте, внимавали сте в часовете по математика, или обучението по математика в Русия е на много високо ниво? Интересно ми е да разбера.
прямо очень сильное заявление "ни один современный школьник решить не может"
Решил методом подбора👌)
Параболы y=x^2-5 и y=sqrt(x+5) симметричны отнoсительно прямой y=x и имеют 4 точки пересечения. Две из них лежат на оси симметрии. Поэтому один корень получаем из квадратного уравнения х=х^2-5 (больший, меньший отбрасываем из-за одз).
Возводим исходное уравнение в квадрат, получаем уравнение 4-й степени, делим его на х^2-х-5, получаем х^2+x-4. Из 2-x корней последнего оставляем меньший, другой отбрасываем из-за одз. Все!
Проверка корней постановкой примерных значений это конечно да
Слава богу, этому в школе реально не учат!
Он проверяет на попадание в интервал. Точности в 1 знак после запятой достаточно.
Ещё додуматься нужно, что именно 5 принимать за t.
Прикольно) не зная математики, подгонять под ответ литературно-художественное решение на основе фантазий)) с ошибками, которые чудесным образом сокращают друг друга))
Бля, лучше и не скажешь ))))))))))))))))))))))))))
Охренеть: в универе так не учат. Я первый раз такое решение вижу, зная, что уравнение четвертой степени в таком возрасте не решают, я сдался. Интересно.
Решил за 5 минут. Кто Сканави в свое время прорешал, тот сможет
Решаем квадратное уравнение относительно пяти… И все получится 😅
Здравствуйте, почему бы нк разложить по формуле квадратов и сократить правую часть?
По формуле разности квадратов получится (x - корень 5) (x + корень 5), а в правой части под корнем выражение x+5
Сокращать уравнения на выражения, содержащие неизвестное - фигóвая идея. Даже если оно сокращается.
потрясающая задача!
Мое мнение по решению задачи. Эта задача решена очень запутана и очень сложно . Обратите внимание водится t , возводятся степени больше значения 4.А какие коффиценты в квадратном уравнении( громадные). Короче , это уравнение решается очень просто за 5 минут графически. Графики строятся легко по 4 точкам. Пересечение графиков в двух точках и есть решение.
Решал в школе и щелкал как орешки. Прошло 25 лет случайно открыл видео и осознал, что это бесполезные знания
В принципе, да, все эти знания и умения для жизни ни разу не пригодились. Пригодились более прикладные что ли знания по бинарной логике, например и физике.
На вскидку: икс должен быть от 2.2 чтобы левая часть была больше нуля. Если взять 2,2 то в левой части будет 0 а в правой около 2,6. Значит надо брать больше 2,2. Ну возьмем 3. Это получится 4 и чуть меньше трех.
Левая часть обогнала правую, значит надо взять меньше. Ну возьмем примерно 2.9.
Ответ: примерно 2,9.
Диапазон: 2,8-2,9
Ответ: примерно 2,79. И ещё отрицательное число.
Отрицательное число я то и не учел. Надо было рассматривать икс от -5. А я рассматривал от 2,2 и выше. Диапазон указал неверный.
Cтроим графики ф-ций у1= х^2-5, ОДЗ х-любое и у2=(х+5)^(1/2), ОДЗ х>-5 и х=-5; видим 4-е точки пересечения в ОДЗ х -- значит, существует 4-е решения уравнения у1=у2; поскольку ф-ция у2 обратная по отношению к ф-ции у1, то абсциссы графика у1 перейдут в ординаты графика у2, и наоборот,
ординаты первого графика перейдут в абсциссы второго -- воспользуемся этим свойством: найдём координаты точки пересечения графика у1 и прямой у=х, решая простое квадратное уравнение х^2-5=х;
отсюда находим первые два корня уравнения у1=у2, а именно х=2,79128..., х=-1,79128... Для определения ещё 2-х корней решаем уравнение х^2-5=-х-1, что даёт х=-2,56155..., х=1,56155... Можно показать, что пересечение любой параболы у1=х^2-const с прямой у=-х-1 даёт координаты точек обратной и прямой функций, пока const
исправление: графики у1 и у2 пересекаются на прямой у=-х-1, пока параметр const>0,75. При уменьшении const в область отрицательных чисел наступает момент, когда параболы у1 и у2 совсем не пересекаются, даже на прямой у=х.
А вот генеальное решение от Chat GTP
To solve the equation x^2 - 5 = √(x + 5), we need to isolate the variable x. Let's go through the steps:
Step 1: Square both sides of the equation to eliminate the square root:
(x^2 - 5)^2 = (√(x + 5))^2
x^4 - 10x^2 + 25 = x + 5
Step 2: Move all terms to one side of the equation:
x^4 - 10x^2 - x + 20 = 0
Step 3: This is a quadratic equation in terms of x^2. Let's substitute a variable to simplify it. Let's say u = x^2:
u^2 - 10u - x + 20 = 0
Step 4: Solve for u by factoring or using the quadratic formula. In this case, we will use factoring:
(u - 5)(u - 4) - x + 20 = 0
Step 5: Expand the equation:
u^2 - 9u + 20 - x + 20 = 0
u^2 - 9u + 40 - x = 0
Step 6: Substitute back u = x^2:
x^2 - 9x + 40 - x = 0
x^2 - 10x + 40 = 0
Step 7: Solve the quadratic equation by factoring or using the quadratic formula:
(x - 4)(x - 10) = 0
Step 8: Set each factor equal to zero and solve for x:
x - 4 = 0 or x - 10 = 0
x = 4 or x = 10
Therefore, the solutions to the equation x^2 - 5 = √(x + 5) are x = 4 and x = 10.
Как может чему-то учить человек, который не знает, что такое ОДЗ для уравнения и делает ошибки в оформлении решения?!!!
2:18 Гениально! 👌
Ясен пень, что школьники не могут решить. А должны?
Вы, кстати, тоже не дали целочисленного решения. У вас два ответа на одну задачу. Класс! Зачем тогда её решать?
Давайте мне быстренько посчитайте квадратный корень из 17 и тот же корень из 21. Куда мы свалимся? В иррациональные числа? Потом придётся пилить в дифференциальное исчисление, строить функции и стреляться.
Понапридумывают разной никому не нужной пурги и сидят довольные! От, как мы всех уделали...
Ничего не имею против (на практике недостижимой) абсолютной точности, но эмпирическим методом последовательного приближения эта задача практически решается гораздо проще и без всякого привлечения усех уаших высших математик.
С левой стороны явно положительное число, значит х больше корня из 5, начинаем с 2,5 - мало, далее пробуем 3 - много, далее посередине 2,75 - все еще маловато, увеличиваем до 2,8 - уже почти получается, ну а кто хочет может еще погоняться за второй цЫфирью после запятой.
И не надо тут без необходимости усложнять простые вещи, а то для каждой подобной задачки придется звать профессора математики.
Ужас,сразу ошибка , в определении ОДЗ .Под корнем х+5 больше или равно нулю. Почему х возвели в квадрат.
Ужас. Сразу понятно что плохо с логикой. Это равенство, если корень положительный, то и то чему он равен, левая часть, также положительная или 0
@@eugenekeybeenМожете, пожалуйста, пояснить, почему корень положительный? Корень из 25 например может же быть плюс/минус 5? Почему в данном случае он заведомо положительный?
Потрясающее решение в системе координат (x, t)!
Подобная задача решается более просто графически и более наглядно. Строятся графики и береш точки пересечения. Это удобно когда небольшие числа. Для больших чисел можно график упростиь. Переносом запятой на несколько значений например при тысччах( 1000÷÷÷ 1,000)., Получается простой единичный график. Удачи. Приятно вспомнить детство. Графики полезно вводить в обучение они дают визуальную картинку и человеку проще понять что он считает. Интеграл для многих детей вроде сложно, а визуально это площядь кривого квадрата или прямоугольника, кусок круга,овала. Дети на математике должны играть а не мучатся. Картинка пугает ребенка меньше чем формула.
Странный вы человек.Графически вы увидите только две точки пересечения.Так как ответ в области иррациональных чисел о каком ответе идет речь?Или вы собираетесь строить графики на метровой кальке с шагом 0,001?Бред.
@@генаплотников график рисуется не для точного значания , а для наглядноси правил ного решения.
@@генаплотников , да, теперь школьники умные и знают, что такое octave/matcad, которому можно получить построить график с шагом 0.001... все, однако, работает...
видите просят не графическую
Что-то я не помню в школе таких закидонов на олимпиадах
"Явно что-то больше или меньше 5" - это пздц конечно. Нам за такое сразу пару ставили. Нет, чтобы по-человечески сделать и сделать точную оценку.
Всё уравнение возвести в квадрат. После нахождения x y наоборот под корень результат. Так меня учили думать и не парится с корнями!
Координаты x точек пересечения графиков в левой и правой частях. А дальше пишем программу на компе для поиска этих x с требуемой точностью. В качестве бонуса такое более общее решение имеет некоторые возможности модификации левой и правой частей, поэтому лучше приспособлено для решения реальных, а не выдуманных и притянутых за уши, задач.
Графики кстати красиво выглядят, становится очевидным из симметрии почему один корень лежит на y=x, правда пока не могу сообразить почему второй лежит так красиво на y=-x-1
Интересный способ, но подходит конкретно для данного случая. В общем случае в таких уравнениях, если не решать уравнение четвертой степени "в лоб", применяя сложные формулы, нужно увидеть правильную замену t=f(x), чтобы получилось уравнение, не содержащее x, но решаемое более простім способом. Автор предложил оригинальный способ, который чаще усложняет задачу.
Если это для школьников, то объяснение решения совершенно неудовлетворительное
Можно проще решить: х^2 - 5 =y x+5 = y^2 , тогда сложим и получим x^2 + x = y^2 + y первое решение x=y
из которого следует уравнение x^2 - x - 5 =0, второе решение x^2- y^2 =-{x-y} y= x-1 уравнение x^2 + x - 4=0
А решение то с подводным камнем. Школьник может легко оступиться, рассуждая, что если уравнение по t имеет единственное решение t=5, значит дискриминант его равен нулю. Но тогда ничего не получится.
ну вообще подкоренное выражение не должно быть отрицательным
т.е x>= -5 и x>=√5, т.е x>=√5
Как раз этому в школе учат. И это ИМХО очень пагубно сказывается на школьниках. По крайней мере в той части их жизни, которая как-то касается математики или логики. Людей с младых ногтей приучают хитрить и изворачиваться. Нет проблем с уравнениями 4-й степени и ниже. Лодовико (Луиджи) Феррари закрыл вопрос ещё в 16-м веке.
Ну удачи решать корни из отриц. чисел
Это ведь наоборот важно, уметь решать уравнение разными способами, а не только по шаблону
@@ahahahahahahahahahaahahaha
на практике - нет. технические и другие практические задачи никогда не порождают уравнения с любовно подобранными коэффициентами.
как умственное упражнение, пожалуй, ценность имеет. с этим спорить не буду.
@@СвободныйМатематик
процесс давно автоматизирован вообще-то...
Господи, что за бред.
может пропрбовать графики этих функций соствить и посмотреть, где у них пересечения?