【ヒラメキが気持ち良すぎる算数オリンピックの図形】12度という角度の秘密にあなたは気が付く？【小学生が解く図形】
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- Опубліковано 28 кві 2024
- 【 難易度：★★★☆☆ 】
1995年の算数オリンピックファイナルの問題です。
▼重要な解法ポイント
(1) ステップ1: 問題の前提条件を確認しましょう。与えられた角度を見て、足し算をしていきます。例えば、12度と36度を足すと48度になります。
(2) ステップ2: 2等辺三角形を見つけましょう。48度の角度が2つあることから、その対辺が等しい2等辺三角形があることがわかります。
(3) ステップ3: 三角形の内角の和が180度であることを利用して、足りない角度を計算します。例えば、36度と72度がわかっている三角形では、残りの角度は72度になります。
(4) ステップ4: さらに角度を計算していきます。48度が2つあるところから、残りの角度を求めると84度になります。これにより、他の角度も計算できるようになります。
(5) ステップ5: 与えられた角度が12の倍数であることに注目しましょう。これにより、60度が重要な角度であることが示唆されます。
(6) ステップ6: 60度を作るために、48度の角度に12度を足してみましょう。これにより、新しい線を引くことで60度の角を作ることができます。
(7) ステップ7: 正三角形を作るために、60度の角を持つ2等辺三角形を考えます。この三角形の底辺を2等分する線を引くと、正三角形ができます。
(8) ステップ8: 正三角形の性質を利用して、垂線を下ろすことで、等しい長さの辺を持つ図形ができることを理解しましょう。
(9) ステップ9: 2等辺三角形の頂点から垂線を下ろすと、対応する辺が等しい長さになることを利用します。
(10) ステップ10: 垂線を下ろした点が、底辺を2等分する点であることを確認します。これにより、垂線が同じ点を通ることがわかります。
(11) ステップ11: 2つの垂線が同じ点を通ることから、その点を通る線が三角形の辺を2等分することがわかります。
(12) ステップ12: 最後に、求めたい角度が30度であることを確認します。これは、60度の角を持つ正三角形の頂点から垂線を下ろしたときにできる30度の角に対応しています。
以上のステップを踏むことで、問題の角度を求めることができます。
（この概要欄はAIによって生成されています）
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#中学受験 #算数 #図形
別解
四角形を左上の点から左回りにABCDと置く
前提条件よりそれぞれの角度を求めると△ABC、△DBCはそれぞれ二等辺三角形だとわかる
三角形ABDをコピーしてBDとBCが重なるように置くと∠ACA’＝60°（48+12）となり、AC＝A’CであるからAA’に補助線を引くと△AA'Cは正三角形となる
またAB＝AA'でもあるから△ABA'も二等辺三角形であり、頂角が24°（84－60）であるから
底角は78°となるので、∠ADB＝30°（78-12+36）
同じ長さの部分を上手く利用するとよさそうです
同じ長さの辺を確認してから
求める角度と12°を含む三角形を一番長い辺を軸にひっくり返し、48°・48°・84°の二等辺三角形の下にくっつけます
こうすると60°を含む二等辺三角形(正三角形)と24°・78°・78°の二等辺三角形を新しく作図することができます
そして二等辺三角形の78°の部分は48°と？の角度で構成されているので？は30°と求まります
なんか、二等辺三角形がたくさん出てくるし、同じ長さの辺もたくさん出てくるし、砂時計形とか使うのかなとか、辺の比を出せたらわかるのかなとか、そういう考えに頭が支配されて、そこひっくり返すのは全然思いつきませんでした
なんかわかりそうな見た目のくせに、かなり難しい問題でした…
これはキツい。外に十二単衣の愛人をつくる光る君にはなれない。
最後の角度を求めるところは
AD共通、AB=AC、DB=DCで
△ABD≡△ACDより∠BAD=∠CAD
∠BAC=60°より？=30°でいいと思います。
me too
ラングレーの問題？
面白い問題でした。ありがとうございます！メンバー限定ライブも楽しみにしてます！！
こちらこそいつも応援ありがとうございます！！
xを求めよ、という形式だとどこから手をつけるか迷うが、x=30°であることを示せ、という形式なら慣れている人にとってはそこまで難しくはない問題
四角形を左上の点からA,B,C,Dとする。
もし∠ADB=30°だとするならば、△ADBの外心Eを取ったときに△AEBは正三角形になる。（この性質はこの手の問題で頻出です）
このようにして取った点Eを含めた図形の性質を調査してみると、いろいろなことがわかり、角度的な整合性も取れていることが分かる。
あとは証明するだけ
以下、別解
△ABEが正三角形になるように点Eを取る。（ただし、点C側に取るものとする）
このとき、
BE=BA
∠EBD=∠ABC
BD=BC
より、△EBD≡△ABC
よって、ED=AC
これより、Eを中心とする円弧状に３点A,B,Dが乗ることがわかり、円周角の定理より、
x=60°/2=30°
図の書き方が悪かったのか、AとDが重なりませんでした。やはり図形は難しいと実感しました。
①=12°
⑤=60°
⑮=180°
と隅っこにメモしたうえで、全部の角度を①表記に書き換えたら、分かりやすくなるのではなかろうか。
私もそうしました。
うぅ～、最近サボってるからメチャクソめんどくせぇ問題に見える （－－；）
算術とか算法とかの、手段とかセンスとかって、普段からマメに磨いで置かないと、マジでにぶるわ
まぁ、だからこそ、こーゆーのオモシロいんだけどね