【ヒラメキのセンスが問われる良問】解けそうで解けない図形【中学受験の算数】
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- Опубліковано 22 чер 2023
- 【 難易度：★★☆☆☆ 】
2021年の岩田中学の入試問題です。
▼重要な解法ポイント
①何となく何から手をつけたら良いか分からない時には角度に記号をつけていきましょう。まずはこれをクリアできると同じ形の図形がたくさん見つかるはずです。
②求める面積部分と、左下の3cmと4cmの辺で直角を挟むような直角三角形の関係性を紐解きましょう。この求める面積部分が直角三角形の面積に対してどれほどの大きさなのかがわかるともう答えは近くです。
③全体の大きい直角三角形と3cmと4cmの辺で直角を挟むような直角三角形の面積の大きさの比率を考えるとあとは簡単ですね。
同じ形の図形と長方形と長方形の半分の面積の三角形についての理解ができているとかなり気持ちよく解ける問題だったのではないでしょうか。
同じ形の図形というヒントからどこまで解法を持っていけるのかがキーになる問題でした。
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#中学受験 #算数 #図形
3つの三角形は全て辺の比が3：4：5ですから長方形のたてと横の長さはすぐわかります。この問題は暗算で面積がでます。
ぱっと見で「斜辺は5」から考えると計算がやたらめんどくさくなる罠ですね。
上の三角形をスライドして右下の三角形にくっつけて、全体から底辺4高さ3の三角形2個分を引いて解きました。
長方形の長いほうの線、三角形の斜辺の部分を斜辺に沿って右下にずらすと、底辺 4cm 高さ 3cm の平行四辺形に等積変形できるので、4x3=12。
斜線部以外の３つの直角三角形を、3㎝、4cmの辺で合わせると斜線部と同じ長方形が作れるので、斜線部の面積は全体の半分と求めました。
数学を学んだ後に算数を教えるのって難しいんですよねぇ〜。
底辺の4cmから垂直に斜辺まで補助線。
左辺の3cmから底辺と平行に斜辺まで補助線。
求める斜めの長方形が3分割された。
分割で出来た右の三角形を平行移動で左辺まで。
分割で出来た上の三角形を底辺まで下ろす。
求める面積は高さ3cmｘ底辺4cmの長方形12平方。
大きい直角三角形を２つ重ね合わせると8cmX6cm、面積48平方cmの長方形になる。
その中に3cmX4cm、面積6平方cmの三角形が4つ入っていて
それを長方形の面積から引くと24平方cmの長方形が大きい長方形の中に残る。
求める長方形の面積はその半分なので、12平方cmになる。
全体の三角形と左下の白い部分の三角形に注目して
同じ大きさと形の図形を作っていくと長方形の面積がどのような状態なのかが一目瞭然ですね
底辺と高さの同じ長方形と三角形の面積の関係性にも注目できるのでこの解法も気づきたかったです
長方形の下側の長辺から全体の三角形の直角の頂点に向けて垂線を引くと、左下の三角形は長方形を挟んだ左上の三角形と右下の三角形と全く同じ形に二分する事が出来るので、白い部分の面積は左下の三角形を2倍したものになると分かるので、後は全体の面積から白い部分の面積を引けばよいと考えました。
○＋✕=90度で斜線部分以外の三角形が相似であることがわかる。ただ左下の三角形は斜辺以外の2辺の長さがわかっているのに対し、上と右の三角形は斜辺の長さしかわからないので、このままだと相似比がわからない。ここで一瞬迷いましたが、わかっている辺の長さを全て斜辺にすれば相似比が求められるとひらめき、左下の直角から長方形に向けて垂線を引きました。すると斜辺3cmの合同な三角形2つと斜辺4cmの合同な三角形2つができました。そこから斜線部分以外の面積が12cmとわかるので、全体の面積24cmから12cmを引いた12cmが答えとなりました。
いろいろな解法がある問題は面白いですね。
左上の三角形を右下へスライドさせると…、あら不思議、3×4の直角三角形がもう一つ出来ましたよ。
相似比により左下の直角三角形は全体の面積の1/4、それがもう一つ出来たから合わせて全体の1/2
つまり残った長方形の面積も全体の面積の半分となるので8×6÷2÷2で12㎠となりました。
全体の大きな直角三角形の直角から斜辺に垂線を下ろして考えました。そしてその垂線の足から左辺と底辺の中点にもそれぞれ補助線を引きます。そうすると斜辺が3cmの直角三角形4つと斜辺が4cmの直角三角形4つができます。赤色の長方形部分はこの直角三角形が2つずつなので全体の半分としました。
まだ知らない解法がたくさんありました。それらを覚えながら解説を見てたので、覚えてどんどん答えが見えてきて気持ち良かったです。
嬉しいコメントをいただき、ありがとうございます！大変励みになります。
同じ補助線を引いて解きました。
色々な解法のある問題ですね。
長方形の中に三角形を作った時、その面積が元の長方形の半分になるという考え方が大変参考になりました。ありがとうございました。
小学生で三平方の定理の証明するような問題が多く出題されてるところから、小学生で三平方の定理を学習させればいいのではないのかなと思いました
コメントをいただきありがとうございます。
確かに三平方の定理を証明するような問題も中学受験では出題されていますね。
私も学習指導要領に盛り込んだら良いのになと思うこともありますが、全ての辺の長さがわかっている直角三角形の面積を求める問題を小学6年生の学力テストで出題したところ、約半数が間違えてしまうという現実もあるので、まずは取りこぼしのない教育カリキュラムを目指しているのかなと思ったりもします。
なんか面倒くさいことやってますが、上の小さい三角形を長方形に沿って右下へスライドさせてやれば、一瞬で解けます。6×8÷2−(3×4÷2)×2
左上の小さな三角形の直角を挟む長い方の辺と右下の中くらいの三角形の直角を挟む短い方の辺をくっつけると左下の大きな三角形と同じになるので、1/2*6*8 - 2*(1/2*3*4)=12。
コメントをいただきありがとうございます。
図形を移動させる方法の最終形態としては実は長方形の中に全ての直角三角形がパズル的に敷き詰めることができるので、全体の半分になることがわかったりします！
おいらもこの方法で解いた。長方形の各辺で3つの三角形を折りたたむと長方形と同じになるでも良いけど、角度や相似だとかの動画の解説よりは簡単で解りやすいと思うのだが。
私もこの方法で解きました。全体の面積から、４ｃｍ、３ｃｍの直角三角形２個分を引いた値が回答となります。
図全体を回転させて斜辺を底辺にし垂線を下ろすと、対応する辺の比から直角三角形３×４の斜辺の位置は大きい三角形の半分の高さ。
長方形と直角三角形３×４は底辺と高さが同じなので、直角三角形３×４の２個分が長方形の面積となり A.12㎠。
折りたたんで同じ長方形ができて面積半分の三角形があって・・・解けました！
三平方の定理知ってると345の法則使っちゃいますね。長方形の長いほうは345の法則で5㎝。短いほうは、3㎝が斜辺の三角形で、相似なので5:3=4:xで計算してx=2.4㎝
5×2.4=12㎠
と計算しました。
図形と拡大縮小は小学校の範囲内なんでしたっけ?
大きい三角形は小さい三角形の各辺を2倍、面積を、4倍に拡大した物だと分かれば
求める長方形の長辺＝小さい三角形の斜辺＝大きな三角形の斜辺の1/2倍の長さなので
あとは面積比だけで長方形＝小さな三角形の面積の2倍だとは求められますけども。
三角形から長方形の面積を求める発想がスゴい！
この解法は思いつかんかった。なるほどですね。賢い。
嬉しいコメントをありがとうございます！！
中学受験する人は345の法則位は知ってると思いますよ。
三角形の面積は8×6÷2=24cm²
三角形の右上の辺の長さは345の法則により5+5=10cm
よって右上の辺を底辺としたとき高さは24÷10×2=4.8cm
長方形の短い方の辺の長さは4.8÷2=2.4cm
長い方の辺は345の法則より5cmになるので長方形の面積は2.4×5=12と求めれます。
これが一番早い方法だと思います
左上の斜辺３ｃｍの三角形を一番下の頂点を中心として180度回転させる。
３ｃｍの斜辺が一致するから左下の三角形の３ｃｍとぴったりになる。
同様に右端の斜辺４ｃｍの三角形も、地位版左の頂点を中心に－１８０度回転させる。
４ｃｍの斜辺が一致するから左下の三角形の４ｃｍとぴったり合わさる。
これで求める赤い三角形と同じ長方形が出来上がる。この長方形は３ｃｍ×４ｃｍの三角形の２倍。
底辺４高さ３の直角三角形と合同な三角形を３個作ります。長方形の面積は底辺４高さ３の三角形の倍の面積とわかるので４×３＝12になりました。
３：４：５と５：１２：１３は直角三角形になる。は中学受験でも使って良いので、長方形の長辺は5cm、右側の4cmが３：４：５の５に相当するので長方形の短辺は2.4cm。
左上の三角形の面積を㋐、右下の三角形㋑、左下の三角形は㋐+㋑になっています。大きな三角形は６×８÷２＝24ｃｍ2 ㋐+㋑＝3×4÷2＝6ｃｍ2
四角形の面積は24－（㋐+㋐+㋑+㋑）＝24-12＝12ｃｍ2である
他の方もしていますが、直角から斜辺に向かって垂線を下ろします。
全ての三角形は相似なので、同じ長さの辺をまとめれば、全ての三角形を四角形の中に折り込めることが分かります。
よって大きな三角形の面積の半分、12㎠です。
他には、底辺の中点を中心にして、右下の三角形を回転させて左下の三角形の下にくっつけます。
左辺の中点も中心にして、左上の三角形も回転させて左下の三角形の左にくっつけます。
同じ長さの辺同士をまとめると、長方形の半分が求める面積と分かります。
他には、全ての三角形が3:4:5なので、右下の三角形が2.4 : 3.2 : 4と分かるので2.4×5でも出ますね。
これ
全体の三角形から左下の三角形を引くと台形になります。その台形は、上底：下底＝1：2なので、長方形はその台形の1.5分の1となるので、（24－6）÷1．5で出しました。
動画見る前に解けました。同じ大きさで同じ形の三角形が２つありました。三角形全体の面積24㎠から12㎠を差し引いて答えは12㎠です。
解けたと言うのは動画見る前が当たり前でしょ？
動画見た後じゃ解けたと言わないし（笑）
せっかくなので、基本に忠実な考え方の解法です。
左下と直角から大きな直角三角形の斜辺まで垂線を引くと、大きな直角三角形の短辺の中点と長辺の中点を結んだ線によって2等分されます。つまり大きな直角三角形の斜辺を底辺とすると、長方形と左下の小さな直角三角形は高さが同じで、底辺の長さが同じです。長方形の面積は底辺×高さ、三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、この長方形の面積は左下の小さな直角三角形の倍の面積となり、3×4=12㎠です。
角度を○✕と置いて、相似な図形を見つけて
長さの比で求めるのかな？と思うが手が止まる
う～ん・・・ 3：4=4：a で
各辺の中点から平行な垂線を下ろし三角形を・・・
あ、、、4×3÷2×2=12！
瞬殺問題でしたね
方程式や三平方の定理、合同・相似という言葉を使わずに 、小学校までの解像度で解くのすごい。それでいて解法がエレガント。知っていることはナシにできない。この問いなら3:4:5は、すぐ使っちゃいたくなる。
この解説なら、小学生がひとりで家庭学習できますね！
三平方の定理でゴリ押したらすぐ解けたけど、小学生はこんな工夫して解かないといけないのか…そりゃ賢くなるわな
全く同じ解き方でした
補助線引いた後は合同な三角形も出来るので平行四辺形を求めるという考え方でもよさそうですね
コメントをいただきありがとうございます。
おっしゃるように図形の面積をどのように捉えるのかという部分においては等積移動をすることによって平行四辺形の面積を求めるということにもできますね！
3cmと4cmの斜辺をyとおくと、左上の斜辺が3cmの三角形の辺の比が、3:4:yになることより、長方形のもう一辺の長さは、3かけ4/yと求められる。
よって、長方形の面積はｙかける３かけ4/yで12平方センチ。
四角形の中に三角形がある場合は等積変形から四角形の半分になると説明したら早くないですか？
上の3cmの小さい3角形を斜め平行移動して、右下の4cmの3角形に合体させると、底辺4cmと高さ3cmの直角3角形になるので、底辺8cm×高さ6cmの3角形から、底辺4cm×高さ3cmの3角形2個分を引いて計算しました。あってるかな⁉️🙄
私なら左上の三角形を右下の三角形にがっちゃんこしちゃう
コメントをいただきありがとうございます。
その方法もありますね。
最終形態としては実は長方形の中に全ての直角三角形がパズル的に敷き詰めることができるので、全体の半分になることがわかったりします！
求める□の長い辺は三平方の定理で5
短い辺（高さ）をhとすると、上の小さい△は相似比から、h:3=4:5 よって h=12/5
よって求める□は12/5×5=12
斜辺を線対称にして8cm×6cmの長方形を作る。(48㎤)4cm×3cmの三角形が四方に四つできるので(24㎤)それを引いて2で割る。
左上と右下の三角形の面積は異なる
実際に面積比は9:16
3と4から斜辺は５
右下の三角形と相似で比は5:4
長方形の面積は 5*3*4/5=12 と私ならこう教えます。
三平方の定理がわかれば直ぐわかるけど、それ以前に「白い三角形の部分を赤い四角形に向かって折りこめばぴったり重なるから、赤い四角形の面積は大きな三角形の半分」と直感的にわかる問題ですね
これって平行四辺形に変形させて3×4＝12って解いちゃダメですか？
左下の三角形の頂点から長方形に向けて垂線を引いて、3×4の直角三角形を２分割すると、この三角形が左上の三角形と右下の三角形を合わせたものである事に気づけるのでは？
あとは全体の直角三角形の面積から３×4の直角三角形の面積の２つ分を引いて求めました
改めて…勉強になりました！
息子に教育します。
全体三角の直角の点から斜線に向けて、四角に平行な線を引く。
左右に合同な三角形が2つずつ出来る。
左右に分かれた四角を二つに割るとこれも合同であると気づくので、四角は総面積の半分とわかる。そのため24÷2で12。
私は単純で、直観的に、全体から白い部分を引いて求めた。
①大きな白い三角形の面積は、（3+3）×（4+4）÷2＝24cm2。
②赤い部分を除いた小さい三角形の3つを合体させると長方形になるので、3×4＝12cm2。
③24－12＝12cm2。
斜線のところは長方形ってヒントがあるんだから向かい合う辺が並行、内角は全て90°っていう条件を使えばもっと簡単に解けるのでは？
面積を求める四角形の各辺を中心に、3つの小さい三角形をパタンと折り返すとピッタリ重なるから、面積は大きい三角形の半分になる。
説明のあるように、補助線を引いて出来た三角形と下にある他の三角形との合同に持ち込む、そしてその合同に持ち込まれた他の三角形と合同の三角形を更に長方形の中に作る。
この長方形の中の三角形面積(4×3×1/2=6)を、等積変形から2倍すれば長方形の面積12が出る。
しかし、三平方の定理というか有名な3:4:5は周知の事実として、相似比を使い解答した方がはるかに早く出せる。
4×3/5(縦)×5(横)=12
全部3:4:5の直角三角形。相似比で全ての辺の長さが出るので、長方形は5×12/5。したがって12cm^２
上と右の小さな直角三角形2つをそのままくっつけると左下の直角三角形と合同になりますね
ここに気付くだけでしちめんどくさい相似形の計算は無用になります。
「長方形がでかい直角三角形の半分」であることに直感的に気付く様になればどの様にでも解けます。
長方形の縦は5cm。相似を使って長方形の横は2.4cm。5×2.4=12。
3,4,5の直角三角形は使用禁止ですか？
コメントをいただきありがとうございます。
特に問題を解く上では禁止な解法はなくても良いと思いますが、数学的な定理を算数で解決すると面白い景色が見えてくるので、様々な切り口で捉えることができると良いなと考えております！
斜辺以外が3:4の直角三角形の斜辺が5になるって証明なしで使っていいんでしたっけ？
算数レベルで解こうとしたら、次のステップで解きました。
1.まず目についたのは高さ6cm、底辺8cmの直角三角形だったので、3:4:5の直角三角形であることを確認する。
2.斜線部分の長方形の長辺は、左下の底辺4cm、高さ3cmの三角形の斜辺になる。1.で3:4:5の直角三角形だと確認しているので、長方形の長辺の長さは5cmになる。
3.左上の斜辺3cmの三角形の一辺は長方形の短辺である。角度の相似から3:4:5の「5」が3cmで、求めたい短辺は「4」に当たるので、短辺の長さは3cm×4/5になる。後の計算の都合で式は計算しない。
4.2.と3.で求める長方形は、長辺が5cm、短辺が3cm×4/5なので求める面積は
5cm×3cm×4/5=12cm^2
となる。
3:4:5の直角三角形の長さの関係を証明なしで使って良いならこれが最短かと思いました。
強引に解こうと思えば解けるけど、マナビスクエアの解法見たくて視聴してしまう
6x8÷2-3x4÷2
等積変形にしたら、すぐにわかりそう
ほかの動画よりわかりやすい
わからない人のこと考えてるからですね
嬉しいコメント有難うございます！
大変励みになります！！
右の斜辺長４と上の斜辺長３の三角形を左下に寄せると斜辺長５の三角形に重なるのね。
斜辺長５と４と３の三つを斜線部に折り込むと斜線部が埋まるので、「全体の面積の半分」でもいいわけか。
簡単です
方法はいろいろありますが、
12平方cmがすぐに出ます
答えは12なの分かるけど小学生への説明どうしよう、、、と悩む問題でした
3 4 5の法則を教えていいのか悩みます
求める面積が、大きな直角三角形の半分だとわかりました！スッキリ😊
この図形は直角以外の角をどんな角度にしても、中心の四角形に対し、残りの三辺の三角形が折りたためます。
だから、答案用紙を使って折り紙をすれば、大きな三角形の面積の半分が問いの四角形の面積だという答えが導けます。
左辺の中央に水平の補助線を引き、底辺の中央に垂直の補助線を引く。すると問題の長方形の中に3cmx4cmの三角形、その右に左上と合同の三角形、長方形の上部には、右下と合同の三角形が含まれている事が判る。つまり、問題の長方形は大きい三角形の2分の1の面積である。 したがって、長方形の面積は大きい三角形の面積：6cmx8cmｘ（1/2）=24c㎡の半分、即ち12c㎡。
小さい直角三角形(縦3cm×横4cm)を斜辺で折り上げる。
直角の角が赤い長方形の長辺の上に来る。
従って、赤い長方形の面積は、小さい直角三角形の二倍で、12cm。
左上の三角形を右下にスライドさせると斜線部の長方形が1辺3高さ4の平行四辺形に変形できて終了
これは3:4:5を使ったがわかりやすくて早くないですか？
長方形の短辺をａ、長辺をｂとします。右下の三角形と左下の三角形は相似なので、
ａ:４=３:ｂ
よって
ａ×ｂ=１２
相似は、小学校では使えないのでしたっけ？
3,4,5の直角三角形で右が相似で4/5倍だから
5×2.4＝12って解きたくなるけど
345で三平方の定理使っちゃってるんでアウトですね
斜辺が5と4と3の相似の直角三角形だから
面積比で考えてしまったなー
三平方の定理を知らなくても解ける、のはわかったけど、安直にできるようになると、こういう基本の事実から構成していく、論理の組み立てがおろそかになってしまう。
三角形が3個見える 左上 A
左下 B 右下 C とすると
Bの面積が A とC 重ねた面積と同じ
三角形全体の面積
そこから 三角形 Bを引き
A＋ Cを引く
赤い部分の面積 三角形全体の面積に対して半分‼️
中学受験の範囲では「知識としての3:4:5」(三平方の定理で導くのではなく)は教えないのでしょうか？ 補助線を引いて答えるべき問題ですが……
3:4:5の三角形だったので。長方形の長い辺が、5cm。相似をを使って短い辺が、12\5となる。5×12\5=12㎠。
長方形の中に残りの三角形３つが収まることが分かれば、大きな三角形の半分だってことになるのでは？
普通に直角を挟む2線の中点で垂線を引いて斜線部が三角形の半分の面積と判明したら三角形の面積を出して半分にするだけだよね。こんなに難しく得意味がわからなかった。
相似を使って長さを一つ一つ出しました。
解いてから思ったけど、長方形を平行四辺形に等積変形したら簡単に解けそう
ありがとうございます！
タオさん！SuperThanksをいただきありがとうございます！！
こちらこそいつもお世話になってます。
今後もまなびスクエアの授業を洗練すべく精進しますね！
私、左上の三角形をそのまま下へずらし、右下の三角形を左へずらすと、2つ合わせて左下の三角形と一致すると一瞬で見えましたが…パズルのやりすぎかな？
√[3^2+4^2]=√25=5
4×3/5=12/5
5×12/5=12cm^2
難しく考えなくても、左下の三角形に右下と左上の三角形を転がせば、赤の長方形と同じ物ができるから問題の赤部分と白部分が同じ面積だと分かる
後は全体の面積を2で割る、って考えじゃダメなのかな？
他のコメントにあるように、要は6×8の長方形にして求めたほうが簡単で速い。
試験で動画の解答要素を書いていったら時間が足りなくなるし、焦って計算間違えそう笑
中学受験をやってると、直角三角形の性質の一つとして、3:4:5は使いますよね。
斜辺に垂線降ろす補助線が出て来るのを期待したけど無かった
長方形の長い方は5。上の三角形と左下の三角形は相似形なので、上の三角形の長編が３なら、底辺（長方形の短い方）は比率で4*3/5。 長方形の面積は5*4*3/5＝12
と考えました。
もう一つ、三連立方程式から面積は5*ルート5.76となりましたが、ルート5.76＝2.4なので、12になりましたが、これはダメですね。(笑)
直角三角形の辺の比が3:4:5ってことに気がつけば直ぐに長方形の長辺が5ってのが導ける。
次に三角形の相似の理解と比の計算ができれば短辺が12/5ってのもすぐに導けるね。
あとは普通に計算すれば。
この方法は小学生じゃちょっと無理か。
スライドさせれば左下と同じ三角形が作れるから 全体からソレを引けば
実は、もっと簡単に理解可能な図式を得ることができる。
その図は以下のように作図可能だ。見かけ上で出題図と異なるが同じく左下の直角三角形の短辺×長辺の積を示す図式を得る。
左下の直角三角形を斜辺の中心で180度回転する。次に左下の直角三角形を左の短辺にそって上方にその距離だけ移動、同様に左下の直角三角形を下辺の長辺にそって右方にその距離だけ移動する。追加された2つの元の左下の直角三角形に合同な直角三角形でその直角の部分から斜辺に対して垂線を引く。
その結果できあがった長方形は、元の直角三角形の短辺×長辺の積を示すのは明らか。
さて、その図式に対し左下の直角三角形をその斜辺で対称に操作を試みると出題図をえるが、先の作図から長方形内で等積移動があると見なせる。
つまり、比も、三平方の定理も使わず。幾つかの図形の合同のみで積の図式であることを言える。
問題図は、かけ算図として知られている。有名中を受験しようとする小学生に証明なしに先に答え描いて、即座に証明をできる。
直角を含む三角形でできる辺長4、3の長方形と問題の長方形は、同じ面積であることが簡単に証明できる。
補助線は、問題の赤い四角形が大きな直角を含む三角形の下辺から垂直に線を引きその交点とでできる線で区切られた三角形は、問題図の左上のちいさな直角三角形に合同である。
さてそれを解釈すると、赤い長方形は、平行四辺形に等積変形できていることになる。
その平行四辺形は直角を含む三角形でできる辺長4、3の長方形の左辺側を上方の移動変形したものでもあるから同じ面積。従って赤い長方形は、直角を含む三角形でできる辺長4、3の長方形の面積に同じ。
上の三角形と右下の三角形を、それそぞれが長方形の向き合う辺と接している辺で、移動かなんかしてくっ付けてしまうと、左下の三角形と同じものが出来上がるので
ｓ長方形 ＝ ｓデッカイ三角形 － ｓ左下の三角形 ｘ ２ (;^_^A ｵｳﾁｬｸｽｷﾞｶﾅｧ
3*4/2*2=12
なるほど宇宙の謎が解けた
なるほど～
〇×は偉大ですね
簡単、3×4÷2が、この長方形の面積の半分だから、×2でて正解は12
まあ、三角形の辺の比で出せば、
5×2.4=12
とすぐ出るが。
斜線の長方形の右の直角三角形を裏返すと、？の辺と6センチの辺は、平行となる。
そうすると、
10:4=6:？
10？=24
？=2.4
5×2.4=12
中学受験難しい😓
小さな三角形を平行移動させただけで終わった。
345で捉えますよね、大人は・・簡単に・・