【数学オリンピックに挑戦！】小学生でも解ける解法、思いつく？【中学受験の図形】
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- Опубліковано 22 кві 2023
- 【 難易度：★★★★☆ 】
2001年の日本数学オリンピックの予選問題です。
▼重要な解法ポイント
①まずは正方形で足りなさそうなものを付け足していきましょう。ぱっと見で正方形が9つ見えたらなかなか補助線を引くセンスがあるかもしれません。
②正方形が9つになると、問題の7×8の長方形を拡張して9つの正方形に接するような四角形を作ることができると思います。拡張した四角形を⚪︎+×=90°の関係性で紐解いていくと、拡張してできて四角形が正方形であることが分かるはずです。
③拡張してできた正方形（大正方形）の上の辺と小さい正方形が接している点をA、大正方形の下の辺と小さい正方形が接している点をBとします。ABと同じ線分を大正方形の左右の辺でも同じように作ることができると思います。このことから大正方形の1辺の長さが9cmであることがわかるはずです。
④大正方形のうち、9つの正方形以外の部分が同じ直角三角形4つでできていることに着目して、そのうちの一つの直角三角形と同じ形の図形が直角三角形の中にあることがわかります。どのような長さの比になっているのかを知ることによって、直角三角形の一つの面積を算出することができます。
⑤大正方形の面積は③でわかり、直角三角形1つの面積が④で分かったので、求める部分の面積を算出することができます。
小学生が解くにはかなりタフな問題だったと思いますが、これまでのまなびスクエアでの要素をどんどん使っていくことで解くことができる問題となっていました。
数学オリンピックの問題であるにも関わらず、小学生でも解けるというのはなかなか面白い問題でしたね。
改めて算数が面白いと感じる瞬間でした。
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#中学受験 #算数 #図形
数学オリンピック恐るべし。
それを小学生でもわかる知識で説明した先生は神です。
まなびスクエア史に残る難問（解説に手を焼く意味でも）でしたね。
ヘアスタイル素敵です。髪が艶々で羨ましいです。
ライブおつかれさまでした。
今回は仕事で途中抜けでしたが、次回は最後まで楽しみたいです♪
自分が解いた変な解法を書きます。左上の直角三角形の斜辺に平行な右下の正方形の一辺の三個分の線を上下に延長します。この延長した長さが正方形の一辺の半分だったら全体の長さは正方形一辺の四個分になり一個の辺は２cmに対応します。そして延長した分の長さは正方形の一辺の半分で比は2：1となります。次は左上の直角三角形の斜辺にぶつかってる正方形３個分の線を延長させます。この辺の比も2：1になるので７cmは正方形の辺３個半であり、やはり正方形一辺は２cmに対応します。あとは正方形を長辺２cm短辺１cmの直角三角形４個で囲んで一辺が３cmの正方形を作ります。この面積は９㎠で直角三角形の面積４個分の４㎠を引けば５㎠となります。
解説を聴きながら菅藤先生の誘導に乗って一個ずつ徐々に紐解いていって解けていくのが楽しかったです。
またライブ楽しみにしております！
解くまでに至ってない人にも、あと一歩で届きそうな人にも、普く（ユニバーサル）導かんとする丁寧な説明に感動しました。最後の説明で『数学』なので√(ﾙｰﾄ)が解となる問題の改変にも納得できました。
74才の男性です。丁寧に教えてもらえて‼️
時間なくて内容見られてないんだけど、こんな感じで行けそう?
赤色部分の上側の線を枠まで延長すると左に、
赤色部分の左側の線を枠まで延長すると上下に、同じ△ができる
傾いてる正方形の一辺(左右側)の高さ成分(長い方)と幅成分(短い方)を見ていくと
赤色部分の左側の線より、8㎝=高さ成分(長い方)3コと幅成分(短い方)2コ
赤色部分の上側の線より、7㎝=高さ成分(長い方)3コと幅成分(短い方)1コ
∴幅成分(短い方)1コ=1㎝
さらに高さ成分(長い方)1コ=2㎝
傾いてる正方形の各角から枠と平行な線を正方形内側に向けて引くと
直角の両側がそれぞれ1㎝と2㎝の△が4コと1辺1㎝(=1㎝と2㎝の差分)の正方形ができる
∴正方形の面積は1×2÷2×4+1×1=5㎝
私も全く同じ方法で解きました
動画の最後に気付きました。
菅藤先生が着てるの、まなびスクエアパーカーやん
a+a+b+a+b=8 3a+2b=8
a+a+a+b=7 3a+b=7
a=2 b=1
S=(1+2)^2-4*1/2*1*2=5
素晴らしい問題です！楽しかった。先生のお話とても好きです。
最初に三角形だと思って、どこに補助線を？？正方形を９個にするとは全く思いつかなかったです。
そこで完敗決定でした。
でもそこからは割と閃いたかな。ウはすごい！
算数の面白さが詰まっていると思った。
どう考えても１０分なんて到底無理。
この問題、算数ではなく数学で解いたらどうなるのかも興味ありますね
息抜きに数学をやっていますがこういう図形が苦手で高校の問題をやっていて簡単だと思っています。しかし最近こういう問題も解けるようにしようと解いててとても気が良かったです。数学問題作りの参考になるので作りに戻ります。 では
嬉しいコメントをありがとうございます！
初手の9正方形がまず難しいうえに
最大正方形や3×6三角形の面積もそこそこ難しい。。
でも小６でも解けるはずの幾何学。これ理系大学生でも難しいよ。
こんな具合なら整数比の４辺に接してピッタリ入るんだ、まず作図に感心した
短辺1、長辺2の直角三角形からその斜辺でできる正方形（これを求める「正方形格子」と呼ぶ）を作り、その各辺に対して作り上げた正方形に対してその直角三角形を巡回的に配置して先の正方形を内接する正方形の図を得る。その図は、彼の懐かしい三平方の定理の証明に使う図式の1つでもある
これを拡張して3×3の「正方形格子」の正方形を内接する正方形の図を得るのは容易である。
問題図はその部分図に過ぎないことは容易に理解できるだろう。
さて、その考えに基づいて改めて 動画にある説明の図から、次の3つの正方形を示す。
問題の面積の正方形を内接する正方形。（最後に、問題はこの図に置き換えて解ける。 問題の面積S は S=3＾2－1/2*1*2*4=9-4=5cm2）
その拡張である問題の正方形の2×2の正方形の格子を内接する正方形
問題の正方形の3×3の正方形の格子を内接する正方形
だだし、問題の格子を内接する正方形の一辺は出題図の上辺を延長した一部とする。
問題の正方形の3×3の正方形の格子を内接する正方形の左上の角を原点とする。
ｘ、ｙ座標表記とし、y座標は下向きとする。その座標の組は左上から時計回りに表示
3×3の正方形の格子を内接する正方形の座標点
(0,0) (9,0) (9,9) (0,9)
2×2の正方形の格子を内接する正方形
(1,0) (7,0) (7,6) (1,6)
問題の面積の正方形を内接する正方形。
(2,0) (5,0) (5,3) (2,3)
出題図の 問題の面積の正方形の格子を部分的に内蔵する長方形は次の通り。
(1,0) (8,0) (8,8) (1,8)
自分自身の返信となります。
この問題は、次の問題のコロラリーである。
面積が1の正方形の5つを十字状に辺をそろえて並べたとき、中心の正方形からみて隣り合う正方形の同じ側を結んでできる正方形の面積は 元の正方形の5つで十字状に並べた面積に同じであることを証明せよ。
二度目の自己返信です。
動画の説明と逆に問題図を縮小して問題の面積の正方形の2×2の正方形を内接する正方形を作成する。問題図の長方形を下辺側を2、右辺側を1減らす。
そうすると6cm×6cmの正方形ができており、問題の面積の格子1つを右角に補足するだけで問題の面積の正方形の2×2の正方形が内接していることが解る。
出題図の左上角にある短辺・長辺比1／2の直角三角形（短辺2、長辺4であることが容易に言える）を用いて先の正方形を正方形に内接するように作る。
その結果、6＾2=1/2＊2＊4＊4＋4X 4X=20 X＝5 よって求める面積は5ｃｍ2
問題の図の拡張や小区域で考えることは 後に示す式が成り立つことである。
記号で示すと、Nは正の整数で、問題の正方形の面積SのN×Nの格子を内接する正方形を考えることである。
そこでは、次ようにその関係とSの面積が明らかになる。
(N+2N)^2=1/2*N*2N*4+N^2*S
N^2*(1+2)^2=N^2*(4+S)
(1+2)^2=4+S ∴S=9-4=5
これは 無理だわｗ
算数オリンピックでなくて、数学オリンピックの予選と最初に紹介されましたので、高校までの知識で解くことにしました。
T字型の4つの正方形の左上に5つ目の正方形が乗った図形をもとに考えました。
まず3つの正方形でできた長方形の対角線が水平になり、左右2箇所の角が幅が7cmの縦2本の線に接している状態を考えます。下の正方形の角は下の水平線に接しています。5個目の正方形の右上の角と左上の角との高さの差を求めてみます。
5つの正方形が傾く角度をαとすると、
tanα=1/3 sinα=1/√10
正方形の一辺の長さをａとすると、5個目の正方形の上の左右の角の高さの差は
長方形の対角線の長さが
√10a= 7
を用いて
a sinα=7/√10×1/√10
=0.7
となり、7cmと8cmとの差 1cmにあと 0.3cm届かない。そこで、さらに角度θだけ回転させます。すると、上の5つ目の正方形の左右の角の高さの差は
a sin(α+θ)= 1
また
a=7/√10cosθ
sin(α+θ)=sinαcosθ+cosαsinθ
sinα=1/√10 cosα=3/√10
であるから、これらを代入します。
7/10cosθ(1/√10×cosθ+3/√10×sinθ)= 1
21sinθ=3cosθ
tanθ=1/7
ここで、公式を用いて
cosθの二乗=1/(1+tanθの二乗)
= 1/(1+1/49)
=49/50
cosθ=7/5×1/√2
よって
a=7/√10×5√2/7
=√5
よって、正方形の面積は5cm2となりました。
なるほど、正方形の面積を求めよとなると、算数を用いる方法をさぐることになりますね😊
ちなみに、追加で回転する角度θは、約8.2度でした。
高校までの知識使っていいならもっと簡単に解けます
７センチと見た
7cmと8cmとの関係に着目すれば、上の辺7cmが左に
1cm伸びて8cmになることに気づく
相似比1対3の2つの直角三角形が見つかり
大きい直角三角形の上の一辺が3cmになる
最大の正方形の一辺が
7cm+1cm+1cm=9cm
9cm-3cm=6cm
これは大きい直角三角形の他の直角をはさむ一辺
3cm6cmの直角三角形が4個
9×9-2×3×6=45
45÷9=5
で面積がでました
最後の方の１．５倍の説明不要じゃない？ 途中でウの３倍って説明してるし
余談が少し長すぎる、もう少し簡潔に