【こんな難問を小学生が解いてしまう】算数オリンピックの図形の良問のヒラメキで頭をフル回転させよう【小学生が解く算数】
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- Опубліковано 14 кві 2024
- 【 難易度：★★★☆☆ 】
1998年のジュニア算数オリンピックトライアルの問題です。
▼重要な解法ポイント
(1) ステップ1: 問題の前提条件を確認しましょう。大きな正三角形ABCの中に円が内接しており、円の中心Oを頂点とする小さな正三角形ODEがあります。小さな正三角形ODEの面積が10平方cmと与えられています。
(2) ステップ2: 正三角形ABCと正三角形ODEの関係を理解するために、補助線を引いて考えます。円に内接している点を結ぶと、円の中心から円周上の点に引いた線は半径になります。これにより、円の中心から円周上の接点に引いた線が半径であることが分かります。
(3) ステップ3: 正三角形ABCの各頂点から円の中心へ線を引くと、円の接点であることから直角になることが分かります。これにより、正三角形ABCの各頂点から引いた線と円周上の接点を結んだ線が半径であることが分かります。
(4) ステップ4: 正三角形ABCの内部にできる小さな三角形AFH、BGI、CJKがすべて正三角形であることを確認します。これらの正三角形は、全て同じ長さの辺を持ち、したがって面積も等しいことが分かります。
(5) ステップ5: 正三角形ABCは、これらの小さな正三角形が4つ集まった形になっていることを理解します。つまり、正三角形ABCの面積は、小さな正三角形の面積の4倍になります。
(6) ステップ6: 正六角形を考えることで、正三角形ODEと正三角形AFHの関係を見つけます。正六角形は、正三角形ODEの2倍の面積を持ちます。したがって、正三角形ODEの面積が10平方cmであることから、正三角形AFHの面積は30平方cmとなります。
(7) ステップ7: 最終的に、正三角形ABCの面積は、小さな正三角形AFHの面積の4倍であるため、30cm x 4 = 120平方cmと求めることができます。
(8) ステップ8: このようにして、正三角形ABCの面積を求めることができました。補助線を引いて、関係性を見つけることが重要です。正三角形ODEの面積から始めて、正三角形ABCの面積を導き出すことができました。
（この概要欄はAIによって生成されています）
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#中学受験 #算数 #図形
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マツダのロータリーエンジンだ🚗
シーケンシャルターボ13Bだな。120馬力は非力だな。
他の方もおっしゃっている通り、三角形AOFは30度60度90度の三角形なので、線分OAと線分OFの長さの比は2:1。
弧FHと線分AOの交点は線分AOの中点だとわかり、
三角形AOFは三角形ODEの2つ分の面積だとわかる。
難しい言い方ですみません←
円の中心点からそれぞれ接点、頂点に補助線を引けば合同な直角三角形が6つできる
この直角三角形は、30°60°90°の直角三角形で
高さが面積10㎠の正三角形の一辺の高さとなり、また斜辺はその2倍になるので
面積は20㎠、それが6個＝120㎠
（ちょっと誤解を招く書き方だったので修正しました）
OからAB・BCに引いた垂線で出来る二等辺三角形（動画だと△OFG）が小さい正三角形と同じ面積なので、3倍して△FGH、さらに4倍して△ABCのような手順で考えました
小△の辺を青(=半径)、高さを赤とすると
真ん中から斜め上120°に大△への垂線が青
真ん中から大△の頂点までが青の2倍つまり大△の高さは青の3倍
↑↑の着地点から真ん中の縦線までが赤つまり大△のてーへんは赤の4倍
∴12倍
麻の葉模様の一部を描いていけば面積の関係性が導ける……
正六角形を作らなくてもその手前までで十分。
△FGHを作り中心OからF,G,Hに補助線を引くところまでは同じ。
さらに中心OからFG,GH,FHに垂線を下ろすと△FGHの中に△ODEの半分と合同(斜辺=半径で30°,60°,90°)の直角三角形が6つできる。
△ODEの半分=5㎝^2
△FGH=△ODEの半分×6=30㎝^2
△ABC=△FGH×4=120㎝^2
△AOHが30°60°90°の直角二等辺三角形になりところから考えました。√を使えばAHの長さから答えを出すこともできますが、AOがOHの長さの2倍になることから、隣辺比の考え方から△AOHは△ODEの2倍の面積であることがわかります。そして△ABCは△AOH6個分なので、△ODEの面積を12倍した120cm2が答えとなりました。
算数を使わなければ、円の半径をRとすると小さい正三角形=10より
(√3/4)R²=10
赤の正三角形は
3√3R²になるから赤は
3×40=120