Ich bin ehrlich begeistert von den Videos. Hab per Zufall das Video zu Hasse Diagrammen entdeckt und mich wirklich danach gefragt, wie ich sowohl durch die Schule als auch durch den Anfang des Mathe Studiums ohne die Videos gekommen bin. Danke an dieser Stelle und wahrscheinlich noch an vielen weiteren!
Deine Videos werden mit grad wieder in die Timeline gespült und es freut mich sehr - habe in meinem Informatikstudium immer gerne die alten Videos angeschaut; das erste war zu RSA 😊
Ich liebe diese ikonischen Beweise. Die machen das direkt Bildhaft und man kann nachvollziehen, warum etwas gilt. Das ist so schön. Wenn das nun noch mehr Leute schauen würden, dann würden alle Mathe verstehen und zu lieben lernen!
Szene aus einem Fernsehkrimi von 1972. Der Kommissar steht vor einer Gruppe von Studenten und fragt: "Was wissen Sie?" Alle zucken gleichgültig die Achseln, nur einer rattert wie aus der Pistole geschossen los: "Die-Summe-der-Kathetenquadrate-ist-gleich-dem-Quadrat-über-der-Hypotenuse!"
Als bildhaft denkender Mensch ich finde diese geomtrischen Dastellungen einfach toll ! 😊😊 , habe noch eine Variante ausprobiert: man könnte die 4 Aussendreiecke auch ins Innerere des C- Quadrats zeichnen / reinklappen Dann wäre 2ab ausgefüllt. In der Mitte verbleibt dann ein kleines Quadrat (a-b)2 , worauf man den Beweis dann auch mit der 2. binomischen Formel lösen kann.
wenn man 3 dreiecke geschickt verschiebt entstehen als rest 2 quadrate und zwar a-quadr, und b-quadr.. z.b. links oben nach rechts unten, links unten nach oben und rechts oben nach links sodass sich jeweils die hypotenusen (ohne h nachdem t...) berühren
Pythagoras! Ja, bei dem Namen kommt Freude auf. Dort, wo ich in jungen Jahren gearbeitet habe, hatten wir einen Ingenieur, der uns zeigte, wie er sich die Verlegung eines Kabels vorstellte: zuerst an Wand a entlang und dann an Wand b. "Das", erläuterte er sehr ernsthaft, "ist ja auch nach Pythagoras der kürzeste Weg." Der zusätzliche Witz war, dass sich unter der Decke ein sogenanntes Flächenrost befand, auf dem die Kabel kreuz und quer verlegt werden konnten. Von da an hieß der Ärmste nur noch Pythagoras.
Nein. Die Hypotenuse ist die Seite eines (in einer Ebene liegenden) rechwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Auch von Katheten spricht man (soweit ich weiß) nur in dieser Situation.
Ich hatte das mal auf eigener Faust heraus bekommen wollen - ich ging damals noch zur Schule (Wir hatten solche Sachen noch gar nicht gehabt, das muss wohl in der 6. Klasse oder früher gewesen sein) und ich hatte mich sehr für Rechnen/Mathematik interessiert. Ich wollte unbedingt mal wissen wie man die lange Seite (Diagonal) eines Dreiecks berechnen konnte. Ich kam aber nicht darauf, also bin ich zum Lehrer gegangen und der hat mir das kurz erklärt, auch das es nur im rechtwinkligen Dreieck gilt. Ich wäre wohl nie darauf gekommen, tja bin halt nicht so gut 🙂
Auf solche Dinge kommt man auch nicht ohne Weiteres. Das bedeutet nicht, dass man nicht gut ist. Man kann doch nicht die Mathematik aus sich heraus selbst entdecken
Woher weiß ich, dass das große Ding überhaupt ein Viereck ist? Ich mein, man muss schon bei der Konstruktion dazusagen, dass man die Dreiecke jeweils um 90° verdreht. 🥸
Die Hypotenusen der vier Exemplare des rechwinkligen Dreiecks kan man immer zu einem Viereck (sogar zu einer Raute) zusammenfügen. Im Video wurde im Wesentlichen gezeigt, dass die Raute genau dann ein Quadrat ist, wenn die benachbarten Katheten (a von einem und b vom nächsten Dreieck) auf einer Geraden liegen.
@WK-5775 Das GENAU DANN WENN seh ich etwas anders. Ich finde, dass ers nur in eine Richtung gezeigt hat, die Hin-Richtung war schon ziemlich implizit. Ist das nicht das Gefährliche an ikonischen Beweisen?
Man weis es weil man es absichtlich als Quadrat (und damit als Viereck) konstruiert hat mit den Seitenlängen (a+b). Das ist nichts per Konstruktion verdreht.
Man könnte einwenden das die Anwendung der binomischen Formel ein algebraischer Beweis ist, kein ikonischer. Ich meine der Beweis den wir seinerzeit hatten sah etwas anders aus. Man könnte doch die vier Dreiecke einfach an den Hypotenusen nach Innen klappen und so das c² vollständig ausfüllen. Überlappungen kann es keine geben weil sich Alpha und Beta zu 90° ergänzen. Oder? Ich bin allerdings nicht sicher wie uns das damals gezeigt wurde, ist 50 Jahre her und ich bevorzuge die algebraische Sicht weil die auch für n Dimensionen gilt und als Muster für den Betrag eines Vektors in kartesischen Koordinaten anschaulich bleibt. ;)
Es gibt Dutzende Beweise des Satzes des Pythagoras - jeder hat da seine Favoriten. Ein "nach innen klappen an den Hypotenusen" führt - wenn ich es richtig verstehe - nicht zum Ziel; jedenfalls wird dadurch c² nicht "vollständig ausgefüllt", denn das würde ja bedeuten, dass c² gleich 4×ab/2 sein müsste, was ja nicht stimmt.
@WK-5775 Stimmt., das geht nicht auf. Es entsteht eine quadratische Lücke (|a-b|)² die nur im Idealfall gleichlanger Katheten schließt. Allerding meine ich zu erinnern die Herleitung wäre rein geometrisch gewesen, ohne Algebra zu bemühen.
@@Merilix2Im ältesten (Korrektur: ca. viertältesten) Kommentar zu diessm Video steht es, wie es m.E. am einfachsten geht. Jener Beweis ist Platz 1 meiner Favoritenliste. Platz 2 ist einer, der mit Scherungen arbeitet. (Durch eine Scherung wird ein Parallelogramm in ein anderes mit gleicher Fläche verformt; besonders interessant ist das, wenn das Parallelogramm am Anfang oder am Ende ein Rechteck oder ein Quadrat ist.) Zur Beschreibung braucht man im gegebenen rechtwinkligen Dreieck die Höhe h, die senkrecht auf der Hypotenuse c steht, bzw. die durch h definierte Gerade g, sowie die Hypotenusenabschnitte p und q ("unterhalb" der Katheten a bzw. b; es gilt also p+q=c.) Man nimmt dann das Quadrat über der Kathete a und schert es parallel zu dieser Kathete zu einem Parallelogramm, dessen eine neue Seite auf der Geraden g liegt und (wie man denn zeigen kann) die Länge c hat. (Das Parallelogramm sieht also aus wie eine Schneedecke der Höhe c auf der Kathete a.) In einem zweiten Schritt schert man dieses Parallelogramm parallel zu g nach unten, so dass ein (auf der Hypotenuse stehedes) Rechteck entsteht mit Höhe c und Breite p. Analog wird aus dem anderen Kathetenquadrat ein Rechteck mit Höhe c und Breite q. Beide Rechtecke sind zusammen genau das (an der Hypotenuse gespiegelte, also nach "innen" zeigende) Hypotenusenquadrat. Also ist a²+b²=c². Man sieht: etwas mehr Aufwand, aber dafür hat man zusätzlich bewiesen, dass a²=pc und b²=qc ist, und aus jeder dieser beiden Beziehungen bekommt man (durch nochmalige Verwendung des Pythagorassatzes) wegen a²=h²+p² bzw. b²=h²+q² und c=p+q den Höhensatz h²=pq.
@WK-5775 Im ältesten Kommentar den ich sehe steht die Frage ob das Mathestudenten sind. Ist das ein Beweis? Es geht aber tatsächlich einfacher. Es gibt Methoden die Kathenquadrate zu zerschneiden und passend ins Hypotenusenquadrat zu legen. (z.B. zwei Schnitte durch das größere Kathedenquadrat parallel und senkrecht zur Hypotenuse durch den Mittelpunkt des Quadrats und anschließender über Kreuz Parallelverschiebung der entstandenen Vierecke. Das kleine Kathedenquadrat passt genau in die Lücke) Die einfachste die uns damals tatsächlich gezeigt wurde (ich erinnere mich) fand ich auf Geogebra. Den Link kann ich leider hier nicht direkt posten, wird gelöscht. Vieleicht hilft /m /S97y2bYE (Es ist schwer das _kurz_ in Worte zu fassen ohne den Kommentar zu überladen.) - die beiden Kathedenquadrate nebeneinander auf der Strecke a+b auftragen - unser Dreieck zweimal nebeneinander einzeichnen so daß die rechten Winkel außen und die jeweilige Kathede senkrecht. - Schnitte entlang den beiden Hypotenusen. - Dreiecke jeweils um 90° um die obere außen liegende Ecke drehen so daß nun das Hypotenusenquadrat entsteht.
@@pharithmetik Ist das nicht Stoff aus dem Grundkurs Mathematik (Gym)? Bitte nicht falsch verstehen. Ich hätte erwartet, das Ansätze, Strategien einfach so batz batz an der Tafel landen. Ich stimme ihnen übrigens bei, das simples Kopfrechnen, überschlagen zum Beruf elementar dazugehören.
@@Old_Man-Maik_Zimmermann Beweise hat man einmal gesehen (5. Klasse oder so?), weis danach das die Sache bewiesen wurde und vergisst den eigentlichen Beweis wieder weil man den dann schlicht nicht mehr braucht. Es braucht dann eine Weile das wieder aus dem Gedächtnis hervorzukramen.
Ich bin ehrlich begeistert von den Videos. Hab per Zufall das Video zu Hasse Diagrammen entdeckt und mich wirklich danach gefragt, wie ich sowohl durch die Schule als auch durch den Anfang des Mathe Studiums ohne die Videos gekommen bin.
Danke an dieser Stelle und wahrscheinlich noch an vielen weiteren!
Danke dir! ☺️
Ein wirkich tolles und gelungenes Video. Danke. Ich mag deine Zusammenarbeit mit Studierenden.
Danke! 😊🙏
Deine Videos werden mit grad wieder in die Timeline gespült und es freut mich sehr - habe in meinem Informatikstudium immer gerne die alten Videos angeschaut; das erste war zu RSA 😊
Das freut mich :)
Ich liebe diese ikonischen Beweise. Die machen das direkt Bildhaft und man kann nachvollziehen, warum etwas gilt. Das ist so schön. Wenn das nun noch mehr Leute schauen würden, dann würden alle Mathe verstehen und zu lieben lernen!
Ja, oder? :)
Das Level der heutigen Abiturienten ist erschreckend. 😮
Szene aus einem Fernsehkrimi von 1972.
Der Kommissar steht vor einer Gruppe von Studenten und fragt: "Was wissen Sie?" Alle zucken gleichgültig die Achseln, nur einer rattert wie aus der Pistole geschossen los: "Die-Summe-der-Kathetenquadrate-ist-gleich-dem-Quadrat-über-der-Hypotenuse!"
Als bildhaft denkender Mensch ich finde diese geomtrischen Dastellungen einfach toll ! 😊😊 , habe noch eine Variante ausprobiert: man könnte die 4 Aussendreiecke auch ins Innerere des C- Quadrats zeichnen / reinklappen Dann wäre 2ab ausgefüllt. In der Mitte verbleibt dann ein kleines Quadrat (a-b)2 , worauf man den Beweis dann auch mit der 2. binomischen Formel lösen kann.
Ja genau, das ist ein anderer sehr bekannter Beweis
wenn man 3 dreiecke geschickt verschiebt entstehen als rest 2 quadrate und zwar a-quadr, und b-quadr.. z.b. links oben nach rechts unten, links unten nach oben und rechts oben nach links sodass sich jeweils die hypotenusen (ohne h nachdem t...) berühren
Pythagoras! Ja, bei dem Namen kommt Freude auf. Dort, wo ich in jungen Jahren gearbeitet habe, hatten wir einen Ingenieur, der uns zeigte, wie er sich die Verlegung eines Kabels vorstellte: zuerst an Wand a entlang und dann an Wand b. "Das", erläuterte er sehr ernsthaft, "ist ja auch nach Pythagoras der kürzeste Weg." Der zusätzliche Witz war, dass sich unter der Decke ein sogenanntes Flächenrost befand, auf dem die Kabel kreuz und quer verlegt werden konnten.
Von da an hieß der Ärmste nur noch Pythagoras.
Die Mathematiker sind die, die die Kabel schräg an der Wand oder der Decke verlegen - oder gleich diagonal durch den Raum.
🤣
Heißt in einem allgemeinen, nicht-rechtwinkligen Dreieck die längste Seite ebenfalls Hypotenuse, und die beiden kürzeren Seiten sind die Katheten?
Nein. Die Hypotenuse ist die Seite eines (in einer Ebene liegenden) rechwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
Auch von Katheten spricht man (soweit ich weiß) nur in dieser Situation.
Nein, diese Begriffe sind nur für rechtwinklige Dreiecke definiert.
Ich hatte das mal auf eigener Faust heraus bekommen wollen - ich ging damals noch zur Schule (Wir hatten solche Sachen noch gar nicht gehabt, das muss wohl in der 6. Klasse oder früher gewesen sein) und ich hatte mich sehr für Rechnen/Mathematik interessiert. Ich wollte unbedingt mal wissen wie man die lange Seite (Diagonal) eines Dreiecks berechnen konnte. Ich kam aber nicht darauf, also bin ich zum Lehrer gegangen und der hat mir das kurz erklärt, auch das es nur im rechtwinkligen Dreieck gilt.
Ich wäre wohl nie darauf gekommen, tja bin halt nicht so gut 🙂
Auf solche Dinge kommt man auch nicht ohne Weiteres. Das bedeutet nicht, dass man nicht gut ist. Man kann doch nicht die Mathematik aus sich heraus selbst entdecken
@@pharithmetik naja, aber einer hat ja schließlich angefangen 😁
👍👍👍
😊
Tolle Ausführungen, auch für Nichtstudierende!
Danke! 🙏
Suuuper!!!
Ich will nur ein wenig klugscheißen 🤪: Eine Hypotenuse gibt es nur im rechtwinkligen Dreieck, das muss man also nicht explizit angeben. 😉
So gesehen... :)
Woher weiß ich, dass das große Ding überhaupt ein Viereck ist? Ich mein, man muss schon bei der Konstruktion dazusagen, dass man die Dreiecke jeweils um 90° verdreht. 🥸
Die Hypotenusen der vier Exemplare des rechwinkligen Dreiecks kan man immer zu einem Viereck (sogar zu einer Raute) zusammenfügen.
Im Video wurde im Wesentlichen gezeigt, dass die Raute genau dann ein Quadrat ist, wenn die benachbarten Katheten (a von einem und b vom nächsten Dreieck) auf einer Geraden liegen.
@WK-5775 Das GENAU DANN WENN seh ich etwas anders. Ich finde, dass ers nur in eine Richtung gezeigt hat, die Hin-Richtung war schon ziemlich implizit.
Ist das nicht das Gefährliche an ikonischen Beweisen?
Man weis es weil man es absichtlich als Quadrat (und damit als Viereck) konstruiert hat mit den Seitenlängen (a+b).
Das ist nichts per Konstruktion verdreht.
Stimmt!
@@pharithmetik Wäre jetzt schön zu wissen, wem genau das STIMMT gilt. 🤣
Warum nicht der Scherbeweis? Der ist vmtl. der "Ikonischste"!
Weil man dazu schon Scherung verstanden haben muss. Hier benötigt man nur Zerlegung
Man könnte einwenden das die Anwendung der binomischen Formel ein algebraischer Beweis ist, kein ikonischer.
Ich meine der Beweis den wir seinerzeit hatten sah etwas anders aus.
Man könnte doch die vier Dreiecke einfach an den Hypotenusen nach Innen klappen und so das c² vollständig ausfüllen.
Überlappungen kann es keine geben weil sich Alpha und Beta zu 90° ergänzen. Oder?
Ich bin allerdings nicht sicher wie uns das damals gezeigt wurde, ist 50 Jahre her und ich bevorzuge die algebraische Sicht weil die auch für n Dimensionen gilt und als Muster für den Betrag eines Vektors in kartesischen Koordinaten anschaulich bleibt. ;)
Ja stimmt, ich hätte es direkt an den Bildern zeigen können.
Es gibt Dutzende Beweise des Satzes des Pythagoras - jeder hat da seine Favoriten.
Ein "nach innen klappen an den Hypotenusen" führt - wenn ich es richtig verstehe - nicht zum Ziel; jedenfalls wird dadurch c² nicht "vollständig ausgefüllt", denn das würde ja bedeuten, dass c² gleich 4×ab/2 sein müsste, was ja nicht stimmt.
@WK-5775 Stimmt., das geht nicht auf.
Es entsteht eine quadratische Lücke (|a-b|)² die nur im Idealfall gleichlanger Katheten schließt.
Allerding meine ich zu erinnern die Herleitung wäre rein geometrisch gewesen, ohne Algebra zu bemühen.
@@Merilix2Im ältesten (Korrektur: ca. viertältesten) Kommentar zu diessm Video steht es, wie es m.E. am einfachsten geht. Jener Beweis ist Platz 1 meiner Favoritenliste.
Platz 2 ist einer, der mit Scherungen arbeitet. (Durch eine Scherung wird ein Parallelogramm in ein anderes mit gleicher Fläche verformt; besonders interessant ist das, wenn das Parallelogramm am Anfang oder am Ende ein Rechteck oder ein Quadrat ist.) Zur Beschreibung braucht man im gegebenen rechtwinkligen Dreieck die Höhe h, die senkrecht auf der Hypotenuse c steht, bzw. die durch h definierte Gerade g, sowie die Hypotenusenabschnitte p und q ("unterhalb" der Katheten a bzw. b; es gilt also p+q=c.) Man nimmt dann das Quadrat über der Kathete a und schert es parallel zu dieser Kathete zu einem Parallelogramm, dessen eine neue Seite auf der Geraden g liegt und (wie man denn zeigen kann) die Länge c hat. (Das Parallelogramm sieht also aus wie eine Schneedecke der Höhe c auf der Kathete a.) In einem zweiten Schritt schert man dieses Parallelogramm parallel zu g nach unten, so dass ein (auf der Hypotenuse stehedes) Rechteck entsteht mit Höhe c und Breite p. Analog wird aus dem anderen Kathetenquadrat ein Rechteck mit Höhe c und Breite q. Beide Rechtecke sind zusammen genau das (an der Hypotenuse gespiegelte, also nach "innen" zeigende) Hypotenusenquadrat. Also ist a²+b²=c².
Man sieht: etwas mehr Aufwand, aber dafür hat man zusätzlich bewiesen, dass a²=pc und b²=qc ist, und aus jeder dieser beiden Beziehungen bekommt man (durch nochmalige Verwendung des Pythagorassatzes) wegen a²=h²+p² bzw. b²=h²+q² und c=p+q den Höhensatz h²=pq.
@WK-5775 Im ältesten Kommentar den ich sehe steht die Frage ob das Mathestudenten sind. Ist das ein Beweis?
Es geht aber tatsächlich einfacher. Es gibt Methoden die Kathenquadrate zu zerschneiden und passend ins Hypotenusenquadrat zu legen.
(z.B. zwei Schnitte durch das größere Kathedenquadrat parallel und senkrecht zur Hypotenuse durch den Mittelpunkt des Quadrats und anschließender über Kreuz Parallelverschiebung der entstandenen Vierecke. Das kleine Kathedenquadrat passt genau in die Lücke)
Die einfachste die uns damals tatsächlich gezeigt wurde (ich erinnere mich) fand ich auf Geogebra.
Den Link kann ich leider hier nicht direkt posten, wird gelöscht.
Vieleicht hilft /m /S97y2bYE
(Es ist schwer das _kurz_ in Worte zu fassen ohne den Kommentar zu überladen.)
- die beiden Kathedenquadrate nebeneinander auf der Strecke a+b auftragen
- unser Dreieck zweimal nebeneinander einzeichnen so daß die rechten Winkel außen und die jeweilige Kathede senkrecht.
- Schnitte entlang den beiden Hypotenusen.
- Dreiecke jeweils um 90° um die obere außen liegende Ecke drehen so daß nun das Hypotenusenquadrat entsteht.
Sind das Mathe Studenten? Oh!
Vermutlich Lehramt, der aufmerksame Zuhörer wäre drauf gekommen.
Ja, wieso?
@@pharithmetik Die Erklärung der Schreibweise von Kathete und Hypotenuse klang verdächtig.
@@pharithmetik Ist das nicht Stoff aus dem Grundkurs Mathematik (Gym)? Bitte nicht falsch verstehen. Ich hätte erwartet, das Ansätze, Strategien einfach so batz batz an der Tafel landen. Ich stimme ihnen übrigens bei, das simples Kopfrechnen, überschlagen zum Beruf elementar dazugehören.
@@Old_Man-Maik_Zimmermann Beweise hat man einmal gesehen (5. Klasse oder so?), weis danach das die Sache bewiesen wurde und vergisst den eigentlichen Beweis wieder weil man den dann schlicht nicht mehr braucht.
Es braucht dann eine Weile das wieder aus dem Gedächtnis hervorzukramen.