Das Konstruktionsprinzip bei der Permanenzreihe, welche die 0 als Basis hat, würde - wenn man es analog zur Permanenzreihe aller anderen Zahlen anwendet - eine Division durch 0 beinhalten. Die ist bekanntlich nicht erlaubt. Also kann man dieses Prinzip im Fall der 0 nicht anwenden. Wenn man keine allgemeingültige Alternative für die Begründung der Permanenzreihe findet, fällt das Argument aus der zweiten Spalte weg und 0^1 wäre demnach 1.
Einerseits lädt ihr Video zum Mitdenken ein und andererseits machen Sie das als Dozent wirklich gut. Strahlen Ruhe, Geduld und enormes Interesse aus. Gefällt mir, obwohl ich Angewandte Informatik studiere und mathematisch interessiert bin.
Ungeachtet dessen, dass man es unterschiedlich definieren kann, gibt der Exponent ja die Anzahl der Faktoren an. Und in jeder Multiplikation gibt es ja auch den Faktor 1. Insofern spricht schon viel dafür, dass bei 0⁰ kein Faktor 0 auftaucht und deshalb der Faktor 1 im Ergebnis übrig bleibt.
Der Ausdruck (Null hoch Null) ist in der Mathematik umstritten. In vielen Kontexten wird 0000 als undefiniert betrachtet, weil es sowohl aus der Sicht der Potenzierung als auch der Grenzwertbetrachtung zu Widersprüchen führen kann. Allerdings gibt es auch Bereiche, in denen 0000 den Wert 1 zugewiesen bekommt, insbesondere in der Kombinatorik und bei bestimmten mathematischen Definitionen, da es in diesen Kontexten sinnvoll ist, die leere Menge als einen Weg zu betrachten. In der Praxis hängt die Interpretation also oft vom Kontext ab.
Es ist meistens angenehmer, es als 1 zu definieren. Wenn man polynome aufschreibt und deren Auswertungen, müsste man sonst extra aufpassen, dass man x = 0 als Sonderfall hat. Oder man sieht x^0 als das leere Produkt an, das ist nach Definition immer 1. Ich finde, es vereinfacht Sachen, aber du hast natürlich Recht, dass das nicht allgemein so definiert ist
Ich hätte hier mal eine Überlegung, die m.E. eindeutig für 0^0 = 1 spricht. Und zwar: x^y bedeutet in natürliche Sprache übersetzt: "mein Term enthät y mal den Faktor x", Die Aussage "mein Term enhält null mal den Faktor 2" trifft auf den Term 4*3 zu, da die 2 ja tatsächlich null mal enthalten ist. Ich kann diese Null-Aussage wiederrum in mathematische Symbolik übersetzen und Term anfügen, es folgt daher 4*3=4*3*2^0, also 2^0 = 1. Beide Seiten der Gleichung lassen sich eindeutig durch die Aussage "mein Term besteht aus 0 mal den Faktor 2, einmal den Faktor 4 und einmal den Faktor 3" beschreiben. Das lässt sich auch auf 0^0 anwenden. Die Aussage "mein Term besteht aus 0 mal den Faktor 0, einmal den Faktor 4 und einmal den Faktor 3" bedeutet 4*3*0^0, bedeutet aber nach der vorherigen Argumentation genauso 4*3, somit gilt 4*3*0^0 = 4*3, ergo 0^0=1.
Schönes Video. Aber auch seltsam, vor fünf Jahren fand ich Mathe furchtbar und hätte mir niemals sowas angeschaut und heute schaue ich mir sowas an, weil es mich wirklich interessiert. Schon spannend, wie sich Dinge verändern und ich frage mich, wie es wäre, wenn man dieses Interesse schon eher gehabt hätte, beispielsweise in der fünften Klasse oder wenigstens im Abitur.
Das haben wir damals (vor 100 Jahren) schon während meiner HTL-Zeit im Mathe-Unterricht diskutiert - wir wollten ja unsere Mathe-Prof aushebeln 😅 Er hat das sehr ähnlich erklärt - Mathe ist nicht absolut, man muss definieren wenn man nicht wirklich zu einem einem logischen Ergebnis kommt.
Die Argumentation in der mittleren Permanenzreihe hinkt. Warum den Exponenten nicht weiter absenken, damit müsste nach der Argumentation 0 exp -1 ebenfalls 0 sein. 0 exp-1 ist aber 1/0 und das ist nicht Null. Die erste Permanenzreihe kann man einfacher haben. Allgemein gilt: a exp x / a exp x ist 1 da Zähler und Nenner gleich sind. a exp x im Nenner ist aber a exp -x wenn im Zähler stehend, also a exp x mal a exp -x. x-x ist 0. Also ist a exp 0 gleich 1. Egal welches a. Und egal welches x.
Ich erinnere mich in einer Klassenarbeit vor Jahren einfach mal einen Spass erlaubt. Wir sollten eine Kurvendiskussion durchführen mit irgendeiner unspektakulären Funktion 3. Grades in der Form ax^3 + bx^2 + cx + d. Da man für die Unterschiedlichen Ermittlungen von Extrema, Wendestellen, die Richtungen der Wendestellen etc. die Ableitungen immer wieder = 0 setzen muss, und die Zahl 0 einfach immer wieder vorkommen wird, hab ich einfach als aller ersten Schritt die Variable x geändert indem ich gesagt habe "Lasse x = O sein", einfach weil ichs kann 😅. War das ein Salat an 0-en und O's. Meine Lehrerin meinte sie musste das 5 mal kontrollieren um sicherzustellen, das auch die Rechenwege gepasst hat. Ich hab die Aufgabe gelöst, aber einen Punkt hat mir die Lehrerin abgezogen wegen ihren Nerven😅. Sie hat es mit Humor genommen, aber auch unter die Aufgabe geschrieben "Bitte mach das nie wieder". In der nächsten Klassenarbeit schrieb dann meine Lehrerin in die Aufgabenstellung, dass wir O nicht als Variable benutzen dürfen 😅
@@Thomas-w8p4q In meinem Alltag kam es schon oft vor. Mathematik wird nicht im Hinblick auf bestimmte Anwendungen im Alltag betrieben, aber es ergeben sich daraus immer wieder wichtige und unverzichtbare Anwendungen. Die Lösung jedes scheinbar unwichtigen Problems kann zu wichtigen Erkenntnissen führen.
In der Geschichte haben die Menschen lange gebraucht, die 0 zu erfinden (demnächst gibt es ein Video dazu), aber nichtsdestotrotz war das eine sehr nützliche Erfindung!
Ich betrachte 0 als "nichts". Und mit "nichts" kann man sonstwas anstellen, es kann nur nichts dabei rauskommen. Ich finde, hier fehlt einfach nur die entsprechende Formel... Anders gesagt scheint 0 ein Problem an sich zu sein!
Nein, hat damit überhaupt nichts zu tun. Hier geht es nicht um die Widerspruchsfreiheit irgendwelcher Systeme, sondern lediglich um die mögliche Ausführbarkeit bestimmter Operationen.
In Mathematikersprache: betrachtet man die Funktion f(x) = x^x für x > 0 aus den reellen Zahlen und möchte sie für x = 0 stetig ergänzen, so muss man den Wert für 0^0 mit 1 definieren. Oder: die o.g. Funktion strebt gegen 1 für x gegen 0. Interessanterweise hat diese Funktion aber nicht ihr Minimum bei 0. Kann übrigens jeder mal mit einem Taschenrechner überprüfen, was herauskommt, wenn man ganz kleine Zahlen hoch sich selbst eingibt. Nur bei 0 selbst streikt der Rechner.
Die Funktion x^x ist aber für reelle Zahlen kleiner als 0 nicht stetig, weil nicht definiert, sondern nur für reelle Zahlen größer als 0. Wenn die Funktion aber in der Epsilon-Umgebung von 0 nicht definiert ist, kann sie auch nicht durch ergänzen von f(0)=1 an der Stelle 0 stetig sein.
@@felixstuber8046 Die Funktion ist aber in ihrem Definitionsbereich (x >= 0) stetig. Ich habe keine Aussage gefunden, dass Funktionen mit einem linksgeschlossenen Definitionsbereich grundsätzlich nicht stetig sind am linken Rand. Die Epsilon-Umgebung kann ja auch nur vollständig im Definitionsbereich liegen, die negativen Zahlen liegen nicht im Defintionsbereich. P.S.: Auf Studyhelp wird explizit auf die Problematik des abgeschlossenen Intervalls im Definitionsbereich eingegangen: "Die beiden anderen Funktionswerte müssen nicht definiert sein (z.B. am Rand eines abgeschlossenen Intervalls des Definitionsbereichs)." D.h. es reicht für die Stetigkeit die einseitige Grenzwertbetrachtung, wenn beispielsweise die andere Seite gar nicht definiert ist: "Daraus ergibt sich, dass Funktionen in isolierten Punkten automatisch stetig sind .". Der isolierte Punkt ist der Extremfall, da gibt es von beiden Seiten keinen "Grenzwert". Das dortige Beispiel ist ansonsten nahezu identisch mit dem Fall hier. Die Aussage dort lautet: die Funktion f(x) = x ^ 1/2 (Wurzel aus x) für den Defintionsbereich [0;unendlich) ist stetig im Punkt x = 0 mit f(x) = 0. Das ist exakt das gleiche Konstrukt, die Funktion ist für negative reelle Zahlen nicht definiert, dennoch im Nullpunkt stetig.
@@felixstuber8046 Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, stellt sich die Frage nach Stetigkeit oder Unstetigkeit nicht. Die Aussage, dass eine Funktion an einer nicht definierten Stelle unstetig ist, ist also falsch.
@@berndkru Seine Idee war ja, die Funktion an dieser Stelle zu definieren und so eine stetige Funktion zu erhalten. Beispielsweise hat die Funktion f(x) = (x²-1)/(x+1) an der Stelle -1 auch eine Definitionslücke und ist dort dementsprechend unstetig. Die Funktion g(x) = {-2 für x = -1; (x²-1)/(x+1) sonst} hat hingegen keine Definitionslücken und ist stetig für alle x aus den reellen Zahlen. Seine Idee war es jetzt etwas ähnliches für die Funktion x^x zu machen.
@@rhalleballe Die Funktion wäre dann rechtsseitig stetig. Man könnte aber den Definitions- und Wertebereich auch auf die komplexen Zahlen erweitern, dann ist es nicht mehr so eindeutig, wie man die Erweiterung durchführen kann. Ich meine mich zu erinnern, dass es dazu mal ein Video von Numberphile gab, in dem das thematisiert wurde.
Wenn die Mathematik die Wissenschaft der Muster und Strukturen ist, bedeutet das dann, dass sie im Grunde immer Aussagen über Analogien macht? Damit meine ich, dass sich z.B. rechnen mit Birnen analog zum Rechnen mit Wassermelonen oder Steinen oder ... verhält. Dazu hätte ich noch eine weitere Frage: Gibt es so etwas wie ein Verzeichnis der Struktur- bzw. Mustertypen der Mathematik. Die Permanzreihe kennen wir ja schon. Welche Muster/Strukturen gibt es noch? Ist das Verzeichnis, sofern es eins gibt, abgeschlossen oder offen? Anders ausgedrückt: Ist die Zahl der Muster endlich oder unendlich?
Strukturen in der Mathematik sind über Axiome definiert, in denen festgelegt wird, welche Eigenschaften die Elemente dieser Struktur haben. Nehmen wir z.B. die Vektorräume. Dort sind Vektoren zusammen mit ihren Eigenschaften, möglichen Rechenoperation usw. definiert. Ein Vektor muss aber nicht unbedingt das sein, man man sich als geometrischen Vektor vorstellt. Das ist lediglich ein spezifisches Modell eines Vektorraumes. Auch die Menge der Polynome lässt sich als Vektorraum auffassen, das ist ein anderes Modell eines Vektorraumes. Es kommt immer nur darauf an, ob eine vorliegende Struktur die Axiome eines Vektorraum erfüllt, dadurch werden die Elemente dieser Struktur zu Vektoren. Zu der letzten Frage: Die Menge der in der Mathematik definierten Strukturen ist sicher endlich. Gruppen, Körper, Ringe und Mengen z.B. sind sicher Strukturen, mit denen ein Student der Mathematik sehr schnell in Berührung kommt. Jeder Professor in der Forschung ist frei, neue Strukturen zu definieren und zu erforschen, daher gibt es sicher kein abgeschlossenes Verzeichnis.
Ich möchte ergänzen: du hast viele algebraische Strukturen aufgezählt. Muster und Strukturen zeigen sich schon in kleineren Situationen, etwa wenn ich eine Zahlenfolge habe wie 1,2,4,8,16,... Auch hier gibt es ein Muster!
Was ist denn 5 ^ 4 dividiert durch 5 ^ 2 ? (5 * 5 * 5 * 5) / (5 * 5) ... da kann ich 2 5en rauskürzen, es bleibt 5 ^ 2. => (x ^ y) / x ^ z = x ^ (y-z). => 5 ^ 0 = 5 ^ 3 / 5 ^ 3 = 1, weil eine Zahl dividiert durch sich selbst ist 1. Diese Überlegung auf 0 ^ 0 angewendet : 0 ^ 0 wäre dann zB sowas wie 0 ^ 3 / 0 ^ 3. 0 * 0 * 0 = 0. 0 / 0 ... Upsiiii, wir landen in einer Division durch 0.
Wir wissen doch aus dem Video, warum man nicht durch 0 teilen darf und dass das Ergebnis undefiniert ist. Dem nach wäre die Mitte grundsätzlich falsch und auf Grund dessen auch links bzgl 0 . Aber ja, der menschliche Verstand sagt, klingt logisch und plausibel und dem nach kann es nicht falsch sein kann
Grundsätzlich falsch ist keines von beiden. Die Argumentation in der Mitte ist: Für alle n>0 gilt 0^n=0. Das wird als Analogie fortgesetzt für n=0, also 0^0=0. Die Argumentation links ist: Für alle Zahlen x≠0 gilt x^0=1. Das wird als Analogie fortgesetzt für x=0, also 0^0=1. Durch 0 geteilt wurde dabei in keinem Fall.
Eigentlich wäre es für mich der Logik wegen "richtiger", dass ein Ergebnis von einer Multiplikation mit 0 immer 0 ergibt. Egal welche andere Zahl ich mit der Zahl 0 multipliziere, das Ergenbis muss kleiner 1 sein und größer >-1.
@@berndkruJaja stimmt schon. Letztlich kommt es darauf an, entlang welcher Trajektorie man im x^y-Diagramm die beiden Variablen x und y gegen 0 schickt.
Könnte man eine Fourierreihenentwicklung von x^0 machen? Nach dem Video kann man ja annehmen, dass 0^0 nicht unendlich ist. Da würde vermutlich rauskommen, dass 0^0 = 1 ist.
Das Problem ist, dass einerseits lim x^x=1 ist, wenn x->0 geht. Andererseits ist lim 0^x = 0, wenn x->0 geht. Egal wie ich es definiere - es führt immer zu einem Widerspruch. Das ist der Grund, weshalb CAS-Systeme 0^0 als undefiniert ausweisen.
So hab ich das noch nie betrachtet....cool und sehr interessant! Da tut sich die Frage auf: gibt es da noch mehr solcher "Unbestimmtheiten" in der Mathematik? Das würde mich jetzt wirklich interessieren!🤔 Vielen Dank vorab für einen Hinweis!😃
Klar gibt es die. Löse mal 1 + x = x nach x auf. Kommt was echt Paradoxes raus. Selbst mit komplexen Zahlen kommst du da auf nichts vernünftiges. Wenn du dich mit Analysis etwas auskennst, gibt es das Gabriels Horn. Ein Kegel der Innen ein bestimmtes Volumen hat, die Fläche der äußeren Mantelung des Kegels aber unendlich groß ist. Mit anderen Worten: Würdest du in diesen Kegel Farbe gießen, würdest du sehen wie er voll wird, während wenn du ihn von außen streichen würdest, würdest du niemals fertig werden. Es gibt das Hilbert Hotel mit unendlichen Gästen und Räumen. Dazu hat Christian Spannagel auch schon Videos aufgenommen. Nicht wirklich ein Paradox, aber auf jeden Fall ein komischer Fakt ist dass das Ergebnis von i^i eine Reele Zahl ist. i ist die Imaginäre Zahl welche als Wurzel aus -1 definiert ist. Hierfür gibt es nämlich keine Reele Lösung. i ist also eine Zahl welche in unserem physischen Universum nicht existiert. Ich kann 5 Stifte haben, ich kann 1/2 Stifte haben, ich kann pi Stifte haben, ich kann -5 Stifte haben, was bedeutet ich schulde 5 Stifte, ich kann aber nicht i Stifte haben. Die Tatsache also das bei i hoch i, zwei imaginäre Zahlen, ein Reeles Ergebnis rauskommt, ist faszinierend. Da kommt etwa 0,21 raus. Also ja, Paradoxe und faszinierende Ergebnisse kommen in der Mathematik immer wieder vor.
@@LS-Moto Puuuh, das muss ich erst mal geistig sacken lassen....nein, hätt ich nicht gedacht, dass es da soo viele beispiele gibt! 1000 Dank für deine ausführliche Antwort, die gleichzeitig "Inspiration" für mich sein wird🙄🤔😜 Die anderen Beispiele, die du aufgeführt hast, guck ich mir noch genauer an, aber kann man bei deinem ersten Beispiel nicht einfach "zwingend logisch" sagen, eine Gleichung mit nur einer Variablen und wo auf jeder Seite der Gleichung dieselbe Variable steht, ist nicht definiert, immer unlösbar bzw. ist nur lösbar, wenn man statt "=" das Ungleichheitszeichen verwendet?! Beste Grüße
Wenn man die Gegenüberstellung der drei Varianten überblickt, dann fällt auf, dass die Zuordnungen beim zweiten Fall (also Null hoch Null gleich Null) nicht funktionieren würden, da Division durch Null nicht zulässig ist. Also kann gemäß dieser Erklärung im Video nur 1 richtig sein
@@wollek4941Nein, ohne Widerspruch lässt sich 0 nicht durch 0 teilen. Sie das ein paar Tage alte Video dazu auf diesem Kanal und die zugehörigen Kommentare.
herrlich, danke ! So - mit einem solchen Gedankenspiel der besten Denkschule, der Mathematik, den Tag zu beginnen: Perfekt! Nun, die Einlassungen zur Quantenphysik sind hier treffend und Funktionen, Reihen mit Null (0) bekommen mit dieser oft Unstetigkeiten oder in der EDV "flippt ein Bit" und führt zum "Ende der Vernunft". ;-) .
Aber die mittlere Reihe passt dann nicht. 2 hoch 3 sind 3 Zweier, die multipliziert werden. 2 hoch 2 sind 2 Zweier, die multipliziert werden. 2 hoch 1 ist ein Zweier. Also in der Mitte ist immer ein Zweier weniger Also müste doch bei 2 hoch null kein Zweier in der Mitte stehen. Das Ergebnis wäre doch dann 0 🤔🥴
Vielen Dank für die Antwort. Ich glaube, mein Gehirnknoten besteht darin, das aus Null, das ich als mit "nichts" assoziiere irgend etwas Zählbares erwachsen kann. Mit diesem Denken konnte ich dem Thema "nicht durch Null teilen können" folgen. Hier aber nicht mehr. So ist mir bspw nicht klar, wie man eine Permanentreihe mit der Potenzierung von Null überhaupt erstellen, bzw. aus "hoch Null" zurückrechnen kann, wenn man nicht durch Null teilen kann. Was wäre die Umkehrrechnung von Null hoch Null? Entschuldige die wahrscheinlich aus sicht eines Mathematikers wahrscheinlich etwas naiven Fragen.
Da hamwa den Salat. Und weil der liebe Gott auch nicht wusste, was 0^0 ergibt, hat er mal rumprobiert und ZACK!!!! Urknall! Aus 0 wird 1. Von wegen Mathematik hat keinen täglichen Nutzen :)
0^0=1 erscheint mir seltsam. Wäre das korrekt, dann wäre 0^0 eine reelle Zahl und nicht negativ. Damit müsste man die Gleichung logarithmieren können, also log(0^0) = log(1). Jetzt ist aber log(0^0)=0*log(0)=0*(-unendlich) und damit ein unbestimmter Ausdruck. Die rechte Setie der Gleichung ist einfach log(1)=0. Entweder habe ich hier etwas fundamental nicht verstanden (kann sein....:-) oder da passt was nicht. mfg.
Jede Festlegung von 0^0 führt zu einem Widerspruch. Wenn man es für bestimmte Zwecke dennoch tun, dann nur, weil man für bestimmte Funktionen keine Ausnahmeregelungen treffen will und die möglichen Widersprüche in Kauf nimmt.
Aus informationstechnischer und physikalischer Sicht würde ich 0 hoch 0 = 0 sagen. Es ist ein Zustand von Nichts. Für mich also nichts unbestimmtes, aber auch erst Recht nicht 1, da 1 eine Menge an Energie enthält!
Ganz ehrlich: wenn ich 5 oder 12 oder 42 null Male multipliziere kommt auch null raus und nicht eins. Also mit der Argumentation wäre jede beliebige Basis zu null verdammt. Ergibt Sinn und zugleich keinen Sinn
Bei Minute 4 : Es wird immer mit einer 2 weniger multipliziert. Also bei 2^1 wird schon nicht mehr multipliziert. Bzw ist die Darstellung falsch. Richtig logisch wäre : 2^3 = 1*2*2*2 2^2= 1*2*2 2^1 = 1*2 LOGISCHERWEISE gilt bei 2^0 dann 2^0 = 1* 0 wieder wird mit einer 2 weniger multipliziert. Und das ist 0 . ---- Hier wird wieder mit 2 verschiedenen Logiken betrachtet. Links wird die logische Festlegung gemacht das man mit kleiner werdendem Exponaten immer mit einer 2 weniger multipliziert wird . Gleichzeitig wird eine logische Folge im Ergebnis gesucht. Beide werden nun verwendet um eine logische Lösung für 2^0 zu suchen. Also 2 völlig unterschiedliche logische Reihen sollen vereint werden. Abgesehen davon kann man es umgekehrt betrachten: Man definiert nicht x^0 = 1 sondern man definiert das man 1 als x^0 schreiben darf , wobei x nicht 0 sein darf. Das wäre aber nur interessant für die Potenzgesetze. Nette spielerei ohne nutzen für den Alltag, auser zum Zeitvertreib 🙃 Lg
Das Konstruktionsprinzip bei der Permanenzreihe, welche die 0 als Basis hat, würde - wenn man es analog zur Permanenzreihe aller anderen Zahlen anwendet - eine Division durch 0 beinhalten. Die ist bekanntlich nicht erlaubt. Also kann man dieses Prinzip im Fall der 0 nicht anwenden.
Wenn man keine allgemeingültige Alternative für die Begründung der Permanenzreihe findet, fällt das Argument aus der zweiten Spalte weg und 0^1 wäre demnach 1.
Es gibt andere Prinzipien, die zur 0 führen, z.B. lim 0^x = 0 für x->0.
Einerseits lädt ihr Video zum Mitdenken ein und andererseits machen Sie das als Dozent wirklich gut. Strahlen Ruhe, Geduld und enormes Interesse aus. Gefällt mir, obwohl ich Angewandte Informatik studiere und mathematisch interessiert bin.
Danke 🙏😊
Ungeachtet dessen, dass man es unterschiedlich definieren kann, gibt der Exponent ja die Anzahl der Faktoren an. Und in jeder Multiplikation gibt es ja auch den Faktor 1. Insofern spricht schon viel dafür, dass bei 0⁰ kein Faktor 0 auftaucht und deshalb der Faktor 1 im Ergebnis übrig bleibt.
Siehe mein Kommentar von gerade eben.
anhänger der präastronautik behaupten dass multiplikationen mit 0 immer 0 ergeben
Der Ausdruck (Null hoch Null) ist in der Mathematik umstritten. In vielen Kontexten wird 0000 als undefiniert betrachtet, weil es sowohl aus der Sicht der Potenzierung als auch der Grenzwertbetrachtung zu Widersprüchen führen kann.
Allerdings gibt es auch Bereiche, in denen 0000 den Wert 1 zugewiesen bekommt, insbesondere in der Kombinatorik und bei bestimmten mathematischen Definitionen, da es in diesen Kontexten sinnvoll ist, die leere Menge als einen Weg zu betrachten.
In der Praxis hängt die Interpretation also oft vom Kontext ab.
Es ist meistens angenehmer, es als 1 zu definieren. Wenn man polynome aufschreibt und deren Auswertungen, müsste man sonst extra aufpassen, dass man x = 0 als Sonderfall hat. Oder man sieht x^0 als das leere Produkt an, das ist nach Definition immer 1. Ich finde, es vereinfacht Sachen, aber du hast natürlich Recht, dass das nicht allgemein so definiert ist
😄
Also könnte man auch durch 0^0 teilen, wenn man 0^0 = 1 definiert???
Da spricht nichts dagegen
Ich hätte hier mal eine Überlegung, die m.E. eindeutig für 0^0 = 1 spricht. Und zwar: x^y bedeutet in natürliche Sprache übersetzt: "mein Term enthät y mal den Faktor x",
Die Aussage "mein Term enhält null mal den Faktor 2" trifft auf den Term 4*3 zu, da die 2 ja tatsächlich null mal enthalten ist. Ich kann diese Null-Aussage wiederrum in mathematische Symbolik übersetzen und Term
anfügen, es folgt daher 4*3=4*3*2^0, also 2^0 = 1. Beide Seiten der Gleichung lassen sich eindeutig durch die Aussage "mein Term besteht aus 0 mal den Faktor 2, einmal den Faktor 4 und einmal den Faktor 3"
beschreiben. Das lässt sich auch auf 0^0 anwenden. Die Aussage "mein Term besteht aus 0 mal den Faktor 0, einmal den Faktor 4 und einmal den Faktor 3" bedeutet 4*3*0^0, bedeutet aber nach der vorherigen Argumentation
genauso 4*3, somit gilt 4*3*0^0 = 4*3, ergo 0^0=1.
Das ist eine interessante Argumentation!
Schönes Video. Aber auch seltsam, vor fünf Jahren fand ich Mathe furchtbar und hätte mir niemals sowas angeschaut und heute schaue ich mir sowas an, weil es mich wirklich interessiert. Schon spannend, wie sich Dinge verändern und ich frage mich, wie es wäre, wenn man dieses Interesse schon eher gehabt hätte, beispielsweise in der fünften Klasse oder wenigstens im Abitur.
Aber wie man so schön sagt: es ist niemals zu zeitig etwas zu lernen, aber auch nur selten zu spät.
Und deswegen muss Mathematikunterricht so gestaltet sein, dass er das Interesse weckt!
Aber sehr gut erkärt - chapeau bas
Das haben wir damals (vor 100 Jahren) schon während meiner HTL-Zeit im Mathe-Unterricht diskutiert - wir wollten ja unsere Mathe-Prof aushebeln 😅
Er hat das sehr ähnlich erklärt - Mathe ist nicht absolut, man muss definieren wenn man nicht wirklich zu einem einem logischen Ergebnis kommt.
🙏
Die Haare gingen, die Weisheit bleibt ..... 👍
Gottseidank!
Die Argumentation in der mittleren Permanenzreihe hinkt. Warum den Exponenten nicht weiter absenken, damit müsste nach der Argumentation 0 exp -1 ebenfalls 0 sein. 0 exp-1 ist aber 1/0 und das ist nicht Null.
Die erste Permanenzreihe kann man einfacher haben. Allgemein gilt: a exp x / a exp x ist 1 da Zähler und Nenner gleich sind. a exp x im Nenner ist aber a exp -x wenn im Zähler stehend, also a exp x mal a exp -x. x-x ist 0. Also ist a exp 0 gleich 1. Egal welches a. Und egal welches x.
Ich erinnere mich in einer Klassenarbeit vor Jahren einfach mal einen Spass erlaubt. Wir sollten eine Kurvendiskussion durchführen mit irgendeiner unspektakulären Funktion 3. Grades in der Form ax^3 + bx^2 + cx + d. Da man für die Unterschiedlichen Ermittlungen von Extrema, Wendestellen, die Richtungen der Wendestellen etc. die Ableitungen immer wieder = 0 setzen muss, und die Zahl 0 einfach immer wieder vorkommen wird, hab ich einfach als aller ersten Schritt die Variable x geändert indem ich gesagt habe "Lasse x = O sein", einfach weil ichs kann 😅. War das ein Salat an 0-en und O's. Meine Lehrerin meinte sie musste das 5 mal kontrollieren um sicherzustellen, das auch die Rechenwege gepasst hat. Ich hab die Aufgabe gelöst, aber einen Punkt hat mir die Lehrerin abgezogen wegen ihren Nerven😅. Sie hat es mit Humor genommen, aber auch unter die Aufgabe geschrieben "Bitte mach das nie wieder". In der nächsten Klassenarbeit schrieb dann meine Lehrerin in die Aufgabenstellung, dass wir O nicht als Variable benutzen dürfen 😅
Wenn ich im Alltag drüber stolpere, dass es einen sinnvollen Wert annehmen muss, dann ist meistens 1 die Wahl, da es ein leeres Produkt ist.
Kleine Frage: wo genau im Alltag ( Zähneputzen, Einkauf, Autofahren...)
braucht man 0^0 ?
Bei mir kam es in 50 Jahren nicht im Alltag vor 🙂
LG
@@Thomas-w8p4q In meinem Alltag kam es schon oft vor. Mathematik wird nicht im Hinblick auf bestimmte Anwendungen im Alltag betrieben, aber es ergeben sich daraus immer wieder wichtige und unverzichtbare Anwendungen. Die Lösung jedes scheinbar unwichtigen Problems kann zu wichtigen Erkenntnissen führen.
Ich würde ja mit 2^1 beginnen 😅
Man könnte sich ja in der Mitte treffen. Wenn einmal 0^0=1 und einmal 0^0=0 ist, dann wäre die Mitte 0,5 bzw 1/2 😅
Um auch die schlechteste aller Möglichkeiten zu nennen ;-)
@berndkru 😅👍
Wir haben aber 2 Argumente für 0⁰=1 und nur 1 Argument für 0⁰=0 gefunden. Die Lösung sollte also 2/3 sein.
@@felixstuber8046 die Argumente müssen vlt. auch qualitativ bewertet werden 🤔
Wie wäre es mit einer Grenzwertbetrachtung?
lim x^0, x->0 oder lim 0^x, x->o oder vielleicht ( e^(ln 1/x))^1/x, x-> oo.😀
Und was kommt jeweils raus?
... deshalb diskutiert man ja auch, ob Null überhaubt eine Zahl ist. Nicht überall gibt es eine Null...
In der Geschichte haben die Menschen lange gebraucht, die 0 zu erfinden (demnächst gibt es ein Video dazu), aber nichtsdestotrotz war das eine sehr nützliche Erfindung!
Ich dachte mir schon dass hier zwei Rechengesetze kollidieren.
Bäm!
Ich betrachte 0 als "nichts". Und mit "nichts" kann man sonstwas anstellen, es kann nur nichts dabei rauskommen. Ich finde, hier fehlt einfach nur die entsprechende Formel...
Anders gesagt scheint 0 ein Problem an sich zu sein!
Definitiv!
Ich nehme in solchen Fällen einfach den Mittelwert. 0^0= (0+1):2= 0,5
Mich würde mal interessieren: Ist das Problem ein Beweis für Gödel's Zweiten Unvollständigkeitssatz?
Nein, hat damit überhaupt nichts zu tun. Hier geht es nicht um die Widerspruchsfreiheit irgendwelcher Systeme, sondern lediglich um die mögliche Ausführbarkeit bestimmter Operationen.
In Mathematikersprache: betrachtet man die Funktion f(x) = x^x für x > 0 aus den reellen Zahlen und möchte sie für x = 0 stetig ergänzen, so muss man den Wert für 0^0 mit 1 definieren. Oder: die o.g. Funktion strebt gegen 1 für x gegen 0. Interessanterweise hat diese Funktion aber nicht ihr Minimum bei 0. Kann übrigens jeder mal mit einem Taschenrechner überprüfen, was herauskommt, wenn man ganz kleine Zahlen hoch sich selbst eingibt. Nur bei 0 selbst streikt der Rechner.
Die Funktion x^x ist aber für reelle Zahlen kleiner als 0 nicht stetig, weil nicht definiert, sondern nur für reelle Zahlen größer als 0. Wenn die Funktion aber in der Epsilon-Umgebung von 0 nicht definiert ist, kann sie auch nicht durch ergänzen von f(0)=1 an der Stelle 0 stetig sein.
@@felixstuber8046 Die Funktion ist aber in ihrem Definitionsbereich (x >= 0) stetig. Ich habe keine Aussage gefunden, dass Funktionen mit einem linksgeschlossenen Definitionsbereich grundsätzlich nicht stetig sind am linken Rand. Die Epsilon-Umgebung kann ja auch nur vollständig im Definitionsbereich liegen, die negativen Zahlen liegen nicht im Defintionsbereich.
P.S.: Auf Studyhelp wird explizit auf die Problematik des abgeschlossenen Intervalls im Definitionsbereich eingegangen: "Die beiden anderen Funktionswerte müssen nicht definiert sein (z.B. am Rand eines abgeschlossenen Intervalls des Definitionsbereichs)."
D.h. es reicht für die Stetigkeit die einseitige Grenzwertbetrachtung, wenn beispielsweise die andere Seite gar nicht definiert ist: "Daraus ergibt sich, dass Funktionen in isolierten Punkten automatisch stetig sind .". Der isolierte Punkt ist der Extremfall, da gibt es von beiden Seiten keinen "Grenzwert". Das dortige Beispiel ist ansonsten nahezu identisch mit dem Fall hier. Die Aussage dort lautet: die Funktion f(x) = x ^ 1/2 (Wurzel aus x) für den Defintionsbereich [0;unendlich) ist stetig im Punkt x = 0 mit f(x) = 0. Das ist exakt das gleiche Konstrukt, die Funktion ist für negative reelle Zahlen nicht definiert, dennoch im Nullpunkt stetig.
@@felixstuber8046 Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, stellt sich die Frage nach Stetigkeit oder Unstetigkeit nicht. Die Aussage, dass eine Funktion an einer nicht definierten Stelle unstetig ist, ist also falsch.
@@berndkru
Seine Idee war ja, die Funktion an dieser Stelle zu definieren und so eine stetige Funktion zu erhalten. Beispielsweise hat die Funktion f(x) = (x²-1)/(x+1) an der Stelle -1 auch eine Definitionslücke und ist dort dementsprechend unstetig. Die Funktion g(x) = {-2 für x = -1; (x²-1)/(x+1) sonst} hat hingegen keine Definitionslücken und ist stetig für alle x aus den reellen Zahlen.
Seine Idee war es jetzt etwas ähnliches für die Funktion x^x zu machen.
@@rhalleballe
Die Funktion wäre dann rechtsseitig stetig. Man könnte aber den Definitions- und Wertebereich auch auf die komplexen Zahlen erweitern, dann ist es nicht mehr so eindeutig, wie man die Erweiterung durchführen kann. Ich meine mich zu erinnern, dass es dazu mal ein Video von Numberphile gab, in dem das thematisiert wurde.
Wenn die Mathematik die Wissenschaft der Muster und Strukturen ist, bedeutet das dann, dass sie im Grunde immer Aussagen über Analogien macht?
Damit meine ich, dass sich z.B. rechnen mit Birnen analog zum Rechnen mit Wassermelonen oder Steinen oder ... verhält.
Dazu hätte ich noch eine weitere Frage: Gibt es so etwas wie ein Verzeichnis der Struktur- bzw. Mustertypen der Mathematik. Die Permanzreihe kennen wir ja schon. Welche Muster/Strukturen gibt es noch? Ist das Verzeichnis, sofern es eins gibt, abgeschlossen oder offen? Anders ausgedrückt: Ist die Zahl der Muster endlich oder unendlich?
Strukturen in der Mathematik sind über Axiome definiert, in denen festgelegt wird, welche Eigenschaften die Elemente dieser Struktur haben. Nehmen wir z.B. die Vektorräume. Dort sind Vektoren zusammen mit ihren Eigenschaften, möglichen Rechenoperation usw. definiert. Ein Vektor muss aber nicht unbedingt das sein, man man sich als geometrischen Vektor vorstellt. Das ist lediglich ein spezifisches Modell eines Vektorraumes. Auch die Menge der Polynome lässt sich als Vektorraum auffassen, das ist ein anderes Modell eines Vektorraumes. Es kommt immer nur darauf an, ob eine vorliegende Struktur die Axiome eines Vektorraum erfüllt, dadurch werden die Elemente dieser Struktur zu Vektoren. Zu der letzten Frage: Die Menge der in der Mathematik definierten Strukturen ist sicher endlich. Gruppen, Körper, Ringe und Mengen z.B. sind sicher Strukturen, mit denen ein Student der Mathematik sehr schnell in Berührung kommt. Jeder Professor in der Forschung ist frei, neue Strukturen zu definieren und zu erforschen, daher gibt es sicher kein abgeschlossenes Verzeichnis.
@@berndkru Vielen Dank für die umfangreiche Antwort.
Ich möchte ergänzen: du hast viele algebraische Strukturen aufgezählt. Muster und Strukturen zeigen sich schon in kleineren Situationen, etwa wenn ich eine Zahlenfolge habe wie 1,2,4,8,16,... Auch hier gibt es ein Muster!
was für ein Aufwand, wo die Antwort doch bereits bekannt ist.
42 dp.
Schöne Herleitung :-)
Was ist denn 5 ^ 4 dividiert durch 5 ^ 2 ?
(5 * 5 * 5 * 5) / (5 * 5) ... da kann ich 2 5en rauskürzen, es bleibt 5 ^ 2. => (x ^ y) / x ^ z = x ^ (y-z).
=> 5 ^ 0 = 5 ^ 3 / 5 ^ 3 = 1, weil eine Zahl dividiert durch sich selbst ist 1.
Diese Überlegung auf 0 ^ 0 angewendet :
0 ^ 0 wäre dann zB sowas wie 0 ^ 3 / 0 ^ 3. 0 * 0 * 0 = 0. 0 / 0 ... Upsiiii, wir landen in einer Division durch 0.
Wir wissen doch aus dem Video, warum man nicht durch 0 teilen darf und dass das Ergebnis undefiniert ist. Dem nach wäre die Mitte grundsätzlich falsch und auf Grund dessen auch links bzgl 0 .
Aber ja, der menschliche Verstand sagt, klingt logisch und plausibel und dem nach kann es nicht falsch sein kann
Grundsätzlich falsch ist keines von beiden.
Die Argumentation in der Mitte ist: Für alle n>0 gilt 0^n=0. Das wird als Analogie fortgesetzt für n=0, also 0^0=0.
Die Argumentation links ist: Für alle Zahlen x≠0 gilt x^0=1. Das wird als Analogie fortgesetzt für x=0, also 0^0=1.
Durch 0 geteilt wurde dabei in keinem Fall.
Eigentlich wäre es für mich der Logik wegen "richtiger", dass ein Ergebnis von einer Multiplikation mit 0 immer 0 ergibt. Egal welche andere Zahl ich mit der Zahl 0 multipliziere, das Ergenbis muss kleiner 1 sein und größer >-1.
Die Multiplikation von 0 mit einer Zahl ergibt immer 0. Hier wird aber 0 mit 1/0 multipliziert, die keine Zahl ist.
Laut Knödner kann ein solches Element niemals den Quotienten 1 annehmen ,ergo ergibt sich 0
Wenn man es als Grenzwert x->0 der Funktion x^x auffasst, müsste es gegen 1 gehen (einfach mal x^x mit Wolfram Alpha plotten).
Das ist ja nur die eine Seite: Wenn man es als Grenzwert von 0^x für x->0 auffasst, dann geht es gegen 0. Deshalb gibt es keinen definierten Wert.
@@berndkruJaja stimmt schon. Letztlich kommt es darauf an, entlang welcher Trajektorie man im x^y-Diagramm die beiden Variablen x und y gegen 0 schickt.
Könnte man eine Fourierreihenentwicklung von x^0 machen? Nach dem Video kann man ja annehmen, dass 0^0 nicht unendlich ist. Da würde vermutlich rauskommen, dass 0^0 = 1 ist.
Das Problem ist, dass einerseits lim x^x=1 ist, wenn x->0 geht. Andererseits ist lim 0^x = 0, wenn x->0 geht. Egal wie ich es definiere - es führt immer zu einem Widerspruch. Das ist der Grund, weshalb CAS-Systeme 0^0 als undefiniert ausweisen.
👍👍
So hab ich das noch nie betrachtet....cool und sehr interessant! Da tut sich die Frage auf: gibt es da noch mehr solcher "Unbestimmtheiten" in der Mathematik? Das würde mich jetzt wirklich interessieren!🤔 Vielen Dank vorab für einen Hinweis!😃
Klar gibt es die. Löse mal 1 + x = x nach x auf. Kommt was echt Paradoxes raus. Selbst mit komplexen Zahlen kommst du da auf nichts vernünftiges.
Wenn du dich mit Analysis etwas auskennst, gibt es das Gabriels Horn. Ein Kegel der Innen ein bestimmtes Volumen hat, die Fläche der äußeren Mantelung des Kegels aber unendlich groß ist. Mit anderen Worten: Würdest du in diesen Kegel Farbe gießen, würdest du sehen wie er voll wird, während wenn du ihn von außen streichen würdest, würdest du niemals fertig werden.
Es gibt das Hilbert Hotel mit unendlichen Gästen und Räumen. Dazu hat Christian Spannagel auch schon Videos aufgenommen.
Nicht wirklich ein Paradox, aber auf jeden Fall ein komischer Fakt ist dass das Ergebnis von i^i eine Reele Zahl ist. i ist die Imaginäre Zahl welche als Wurzel aus -1 definiert ist. Hierfür gibt es nämlich keine Reele Lösung. i ist also eine Zahl welche in unserem physischen Universum nicht existiert. Ich kann 5 Stifte haben, ich kann 1/2 Stifte haben, ich kann pi Stifte haben, ich kann -5 Stifte haben, was bedeutet ich schulde 5 Stifte, ich kann aber nicht i Stifte haben. Die Tatsache also das bei i hoch i, zwei imaginäre Zahlen, ein Reeles Ergebnis rauskommt, ist faszinierend. Da kommt etwa 0,21 raus.
Also ja, Paradoxe und faszinierende Ergebnisse kommen in der Mathematik immer wieder vor.
Da gibt es mehrere: 0/0, oo/oo, 0*oo, oo - oo, 1^oo, oo^0 - "oo" steht für Unendlich.
@@LS-Moto 1+x=x hat keine Lösung, ganz simpel.
@@LS-Moto Puuuh, das muss ich erst mal geistig sacken lassen....nein, hätt ich nicht gedacht, dass es da soo viele beispiele gibt! 1000 Dank für deine ausführliche Antwort, die gleichzeitig "Inspiration" für mich sein wird🙄🤔😜 Die anderen Beispiele, die du aufgeführt hast, guck ich mir noch genauer an, aber kann man bei deinem ersten Beispiel nicht einfach "zwingend logisch" sagen, eine Gleichung mit nur einer Variablen und wo auf jeder Seite der Gleichung dieselbe Variable steht, ist nicht definiert, immer unlösbar bzw. ist nur lösbar, wenn man statt "=" das Ungleichheitszeichen verwendet?! Beste Grüße
@@berndkru Ja, weil 1=0 rauskommt.
Wenn man die Gegenüberstellung der drei Varianten überblickt, dann fällt auf, dass die Zuordnungen beim zweiten Fall (also Null hoch Null gleich Null) nicht funktionieren würden, da Division durch Null nicht zulässig ist.
Also kann gemäß dieser Erklärung im Video nur 1 richtig sein
@@ericpman Man kann aber Null durch null teilen ohne Widerspruch. In allen anderen Fällen ist es nicht definiert, weil es zu Widersprüchen führt.
@@wollek4941Nein, ohne Widerspruch lässt sich 0 nicht durch 0 teilen. Sie das ein paar Tage alte Video dazu auf diesem Kanal und die zugehörigen Kommentare.
Durch Null teilt man erst bei negativen Exponenten!
herrlich, danke ! So - mit einem solchen Gedankenspiel der besten Denkschule, der Mathematik, den Tag zu beginnen: Perfekt!
Nun, die Einlassungen zur Quantenphysik sind hier treffend und Funktionen, Reihen mit Null (0) bekommen mit dieser oft Unstetigkeiten oder in der EDV "flippt ein Bit" und führt zum "Ende der Vernunft". ;-) .
Aber die mittlere Reihe passt dann nicht.
2 hoch 3 sind 3 Zweier, die multipliziert werden.
2 hoch 2 sind 2 Zweier, die multipliziert werden.
2 hoch 1 ist ein Zweier. Also in der Mitte ist immer ein Zweier weniger
Also müste doch bei 2 hoch null kein Zweier in der Mitte stehen. Das Ergebnis wäre doch dann 0 🤔🥴
habe ich mich auch gefragt... jedenfalls gemäss der Erklärung, wie Potenz funktioniert.
Ja, und die Struktur der Permanentreihe besagt, dass das nächste Ergebnis immer halb so groß ist wie das vorherige
Vielen Dank für die Antwort. Ich glaube, mein Gehirnknoten besteht darin, das aus Null, das ich als mit "nichts" assoziiere irgend etwas Zählbares erwachsen kann. Mit diesem Denken konnte ich dem Thema "nicht durch Null teilen können" folgen. Hier aber nicht mehr. So ist mir bspw nicht klar, wie man eine Permanentreihe mit der Potenzierung von Null überhaupt erstellen, bzw. aus "hoch Null" zurückrechnen kann, wenn man nicht durch Null teilen kann. Was wäre die Umkehrrechnung von Null hoch Null? Entschuldige die wahrscheinlich aus sicht eines Mathematikers wahrscheinlich etwas naiven Fragen.
Da hamwa den Salat. Und weil der liebe Gott auch nicht wusste, was 0^0 ergibt, hat er mal rumprobiert und ZACK!!!! Urknall! Aus 0 wird 1.
Von wegen Mathematik hat keinen täglichen Nutzen :)
Hut ab! So muss es gewesen sein! 👍
Super Vortrag, bis auf die Stelle, wo von Mahtematiker*innen gesprochen wird.
du armer
Oh man.
1
0
0^0=1 erscheint mir seltsam. Wäre das korrekt, dann wäre 0^0 eine reelle Zahl und nicht negativ. Damit müsste man die Gleichung logarithmieren können, also log(0^0) = log(1). Jetzt ist aber log(0^0)=0*log(0)=0*(-unendlich) und damit ein unbestimmter Ausdruck. Die rechte Setie der Gleichung ist einfach log(1)=0. Entweder habe ich hier etwas fundamental nicht verstanden (kann sein....:-) oder da passt was nicht. mfg.
Jede Festlegung von 0^0 führt zu einem Widerspruch. Wenn man es für bestimmte Zwecke dennoch tun, dann nur, weil man für bestimmte Funktionen keine Ausnahmeregelungen treffen will und die möglichen Widersprüche in Kauf nimmt.
Was nicht passt, ist der Schritt log(0^0) = 0 * log(0).
Das Gesetz log(a^b) =b*log(a) gilt eben nur für a>0.
Aus informationstechnischer und physikalischer Sicht würde ich 0 hoch 0 = 0 sagen. Es ist ein Zustand von Nichts. Für mich also nichts unbestimmtes, aber auch erst Recht nicht 1, da 1 eine Menge an Energie enthält!
Glücklicherweise ist das keine mathematische Sicht ;-)
Ganz ehrlich: wenn ich 5 oder 12 oder 42 null Male multipliziere kommt auch null raus und nicht eins. Also mit der Argumentation wäre jede beliebige Basis zu null verdammt. Ergibt Sinn und zugleich keinen Sinn
Und den Faktor 1 in jeder Multiplikation haben wir vergessen?
1 ist jedenfalls nicht nix.
Bei Minute 4 :
Es wird immer mit einer 2 weniger multipliziert.
Also bei 2^1 wird schon nicht mehr multipliziert.
Bzw ist die Darstellung falsch. Richtig logisch wäre :
2^3 = 1*2*2*2
2^2= 1*2*2
2^1 = 1*2
LOGISCHERWEISE gilt bei 2^0 dann
2^0 = 1* 0
wieder wird mit einer 2 weniger multipliziert.
Und das ist 0 .
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Hier wird wieder mit 2 verschiedenen Logiken betrachtet.
Links wird die logische Festlegung gemacht das man mit kleiner werdendem Exponaten immer mit einer 2 weniger multipliziert wird .
Gleichzeitig wird eine logische Folge im Ergebnis gesucht.
Beide werden nun verwendet um eine logische Lösung für 2^0 zu suchen.
Also 2 völlig unterschiedliche logische Reihen sollen vereint werden.
Abgesehen davon kann man es umgekehrt betrachten:
Man definiert nicht x^0 = 1 sondern man definiert das man 1 als x^0 schreiben darf , wobei x nicht 0 sein darf.
Das wäre aber nur interessant für die Potenzgesetze.
Nette spielerei ohne nutzen für den
Alltag, auser zum Zeitvertreib 🙃
Lg
2⁰ ist einfach nur 1, nicht 1x0. Die Null gibt die Anzahl der Faktoren zur Basis an. Die Basis ist 2, nicht 0.
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