【初見でどう解く？】思考力を鍛える整数問題
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- Опубліковано 21 жов 2024
- リクエストが多かった整数問題。
思考力が必要な整数問題でしたね！
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九大目指してるけど整数問題よくでるし、こういうの誘導で出てきそう…参考になりまふ🙇♂️🙇♂️
九大！頑張って！
@@la-Michaelkawaii ありがとうございます😭
すごく分かりやすい説明、ありがとうございます
別解
与式は2^(2m) 5^m / ((1+3^n)(1-3^n))となり、分母が2と5以外の素因数を持つと与式は整数にならないので
3^n - 1 = 2^a 5^b (i)
3^n + 1 = 2^c 5^d (ii)
とおける。(ii)から(i)を引くと
2^c 5^d - 2^a 5^b = 2 (iii)
(iii)で左辺二項の最大公約数は2の約数になるのでa、cの最小値は1以下で、b、dの最小値は0。
さらに(iii)でa = c = 0とすると5^d - 5^b = 2となり矛盾するし、a、cのどちらか一方のみ0とすると5のべき乗が2の倍数となり矛盾。なのでa、cのどちらも0ではない。なのでa、cの最小値は1。
従って次の4通りを考えればよい。
(a, b) = (1, 0) (iv)
(a, d) = (1, 0) (v)
(c, b) = (1, 0) (vi)
(c, d) = (1, 0) (vii)
(iv)では(i)よりn = 1となり、c = 2、d = 0とすれば(ii)も成り立つ。
(v)では(ii)をmod 3で考えるとcが偶数となり、c = 2kとすると(ii)は3^n = (2^k + 1)(2^k - 1)。3のべき乗で差が2となるものは3と1のみなので右辺は3 x 1となりn = 1で(iv)と同じケースとなる。
(vi)では(ii)をmod 4で考えるとnが偶数となり、n = 2mとすると(i)は(3^m + 1)(3^m - 1) = 2^a。2のべき乗で差が2となるのは4と2のみなので左辺は4 x 2となりm = 1となりn = 2。a = 3、d = 1とすると(i)と(ii)が成り立つ。
(vii)では(ii)よりn = 0となるが(i)が成り立たなくなり矛盾するのでこのケースはない。
以上よりnは1または2。2と5の因数の数をみるといずれの場合もmは2以上であるとき与式は割り切れる。
指数を^使わなくても書けるようにしてほしいよなあ。UA-cam
これ昨日動画のサムネだけみて今日学校で考えてやっと解けたわ
待ってこれ解けたのどれくらいすごいん？テンション上がってきた
1-9^nを(1-9)(〜〜)の因数分解は思いつかんかったから普通に1-9^nを9^-1にしてもこの場合は問題ないとして、mod5,4だけ使ってとけた
12:10から？
整数になるためには1+9^kの因数が2だけにならないといけない、という所までは理解できたけど、mod4の所、なんでa(1+9^k=2^aのやつ)が1になったりkが1になるのかがよく分からないです...
そもそもkは偶数っていう前提があるんじゃないんですか？
9^n-1が，2と5のべき乗の積「2^a * 5^b」で構成されるｎを探せばよい．
(3^n+1)(3^n-1)に因数分解できるから，2^k * 5^ℓと2^(a-k) * 5^(b-ℓ) とに分けて，方程式立てました．
次数の大小の場合分けが面倒ですが，出ました．
2019年９月の大学への数学月刊誌の学力コンテスト⑤ですね。
nが偶数の時の証明で無限降下法ってつかえますか
超良問ですねこれ
答えはわかったのですが、n≧3で1-9^nが必ず2と5と異なる素因数を持つということが示せず、でした。背理法や帰納法を試みましたが、具体的に示すのが有効でしたね。
(ⅰ)は動画と同様。
(ⅱ)
kが偶数よりk=2sとすると9^n - 1=81^(2s) - 1
81 ≡ -1(mod41)より9^n - 1 ≡ (-1)^2s - 1 = 0 (mod41)
よって 9^n - 1 が41で割り切れるから不適
41が出てきた理由
9^n - 1 がnが大きい時に 2,5 以外の素因数を持つことを示したいから9^n - 1 ≡ 0 (mod p) すなわち 9^n ≡ 1(mod p)となるような素数を考えたら良さそう
→81 =82(2×41) - 1だからpを41としたらいい感じな気がする
→でも -1 だとまだちょっと絞りきれない
→あ、k が偶数だから-1でも問題ないか
9:39 の1以外ありえないという所よく分からないのですが何故ですか？
1+9+·····9^(n-1)は項の数が奇数個あり、奇数を奇数回足したら全体として奇数。
下のmod5の式から5の倍数でないため(1+9+·····9^(n-1))はn≧3の奇数では5の倍数でも偶数でもないため不適。正直n≧3と言っている時点で()内が1であると言う必要無いと思いますが…
1-9^nが２^a また5^bのどちらかをみたすときに20^mを割り切ることができる。nが奇数の時はMOD5で1-9^nが5の倍数でないことが確認できる。よって2^aでなければならない。このときに（1＋9＋9^2＋〜）は奇数であるのでn＝1のときしか成り立たない。
これでどうでしょう！？
mod4は新発見
学コンで見たことある！！
13:25
これk=0では？
nは自然数だから、kも自然数となるので
k=1だと思います
@@y.-_-.y
でも、左辺は10なのに右辺は2になってますよ？
やはり(イ)の場合は全てのkで不適であるとするべきでは？
@@kiichiokada9973 確かにそうですね...
kが自然数で、1＋9^k=2を満たすkは存在しないので(イ)の場合は全て不適ですね
@司ちゃん
mod4の話はaの値を特定するために使われただけであって、あそこが≡で結ばれているわけではありません
mod4で2ということは条件を含めると、k≠1(3≦n)では「2×(5以外の奇数)になる」(偶数かけたら4の倍数だから)となり、5以外の奇数を持つことから元の式が整数になり得ない。
帰納法を使ったら、一応解けました
これ何やってるか分かんなかったわ。整数の性質勉強せんとな〜
実験って解答用紙に残していいですか？
残さない方が良いです。問題によっては、推測と捉えられることがあります。
@@都太郎-i3l なるほど、ありがとうございます！
1-9^nを見たら(1-3^n)(1+3^n)にしちゃいそう
それでもいけますよ
結局、mod4で考えようという発想は、どうして生まれたのですか？
やっぱ余りって指数にかなり強えな
割り切れればいいんだから、m=⭕️じゃなくて、m>=⭕️になるんじゃね？
8のmod5は3やのに、
nが奇数のときのmod5が2になるのは、分からぬ
n=1の話を持ち込んでいるのだとしたら、-8のmod5は3ではないことは理解していますでしょうか？
なんか知らんけど広告のやつでアンハサウェイ見たから動画見なくていいや
レベル75のアークメイジ持ってる人いますか？
どうやったらこんな問題思いつくのだろうか。
出来なかった(T_T)
うおおおおお整数おもしれええええええ
これ自力でできる気がしない
mod4は出てこなかったぜ
悔し🥺
コメント早い人動画見てな誘う
誤字ったわ、
見てな誘う→見てなさそう
とか言って2コメなの草
@@わらびもち-b2s なお1コメの人が書いた内容見て言った模様（）
@@ゑちゅいおp
なんかごめんね
@@_axly8487 いちおめです！
おk
最近整数問題に殺されたから、昼飯の時に見ようと思う
正解率0はありえへんてぇ、1分13秒で解けたで。
まぁ降水確率だって５％以下は四捨五入で０%になるから…
にしてもこれ解けるのすげーな
私なんか途中で詰まって諦めてしまったわ
素直に尊敬します
@@_axly8487 おけおけおー
なんか、ありがとう！！
うぽつ
秒で(0,0)は思いついたけどそこまでだったな…
大学行ってからやらなくなったからな…