PASSLABO『素数は無限個証明』が間違ってたので数学ゼミスタイルで論破します

[@passlabo]

ありがとうございます！動画の論理に飛躍がありましたね。その旨を固定コメントに残していたのですが、やはり動画だけをみてしまうと誤解を招く要素が多いため、一度非公開にさせていただきました。
ご指摘の説明もわかりやすかったです。勉強になりました！
(また訂正の動画もどこかで出そうと思います)

[@tamashii_olympic]

ブランドに甘んじず、絶えず勉強して改善すればええんやで( ◜ᴗ◝)

[@tonnsuke]

本物や😳😳😳😳
固定コメント拝見してなかったです申し訳ない！！
いつも面白い題材を扱っていらっしゃるので本当に参考になります😚

[@山あり谷あり-f6p]

@@ageofz1520 は？

[@めんどーなつ]

@@ageofz1520 どの部分で勝てないと思ってらっしゃるかわからないですけど大学院までの専門性を持つと学問的にどちらが上かということを競うのは非常に難しいですよ。例えるなら、野球選手とサッカー選手を比較してスポーツどっちがうまい？って言ってるようなものですしね。

[@jpntwguy]

@@ageofz1520 論点ズレてるしそもそも離散じゃない

[@xg2164]

サムネとタイトルから「絶対ねちっこい指摘だろ」って思ってたけど、確かに議論すべきところだし何よりめっちゃわかりやすかった

[@tonnsuke]

やったぜ

[@mr.adults2888]

童貞ではなさそうだけど大成しなさそう

[@nokemoyajuu]

考えてみりゃ、確かにそうだな。って感じにストンと腑に落ちる説明で助かります。

[@雪幟ガウタウ]

数学を専門的に学んでない人に対しても理解できるように説明してくれるのありがたい

[@Mega11041104]

数学系youtuberって間違っててコメントで指摘されてもそのまんまとかいくらでもあるから、こういう互いに査読し合う文化が生まれるといいね。

[@りりいる]

数学における「仮定」が、矛盾を示すまでは絶対の法であることが面白いですよねぇ。

[@due1967]

なんのことだろうと思いましたが、その通りですね。この素数の無限個証明は数学がすきだとヌルっと納得してしまいがちだと思いました。Nが素数だろうが素数で無かろうが、仮定としたP1からPn以外の素数が見つかってしまうから矛盾が発生するってことですね。

[@tonnsuke]

めちゃくちゃ本質を理解されてます！！

[@scramble7264]

この流れ自体が研究活動そのもの

[@hatomatsu]

論理的にわかりやすく説明できるのがすごい

[@sikosiko_tinpo_gansha.gansha]

まだ片腕分の余力を残してなおこの強さか…

[@Michaelis773]

ちょっと面白い

[@スペシャルゼウス]

両手でジェスチャーしたらどうなっちまうんだ...

[@宇宙際タイヒミュラー]

ボケてで殿堂入りするタイプの人

[@user-gv8kj4xd2j]

数学極めたシャンクス

[@d1Prczr6b29eM82Y]

能ある鷹は草

[@ヴェるる]

初見です。素晴らしい動画だったので、高評価させて頂きました。何より「否定的な批判」ではなく「本来の意味の批判」をしっかり根拠に基づいて、落ち着いてお話されてるのが素晴らしいと思いました。
言葉だけで在り来りですが、応援してます！

[@ゐゐゐ-h8o]

もしかして今日、全統記述模試受けました？現代文に全く同じテーマが出ていたのです

[@ヴェるる]

@@ゐゐゐ-h8o 受けました！テーマは確かに酷似してますねw
ただ、あの文章も今回も私としては前から感じてた事だったので、とても共感持てました。（とても問題の方も解きやすかったです）

[@shinnnoheiwakazumax7150]

同じことを思ってる人がいた！受験勉強頑張りましょ！

[@どらごん-d2i]

数学科ってやっぱヤベェわ尊敬

[@うんこうたろう]

これは数学科じゃなくても分かるレベルやと思うで。数学科のほんまの頭おかしさをしってほしいｗ

[@eeeokscjtptnt]

僕もその動画みました！
数学科的には、ちょくちょくnとNの表記ミスがあったのも気になりました笑
コレやると教授にめちゃくちゃ怒られるんですよね笑

[@tonnsuke]

それめちゃくちゃ気になりました😂

[@ガネーシャ-d8e]

仮定が、違っていることを証明したいのに証明が終わる前に仮定が違うことを前提とした議論をしようとしているのがおかしいと感じたんですかね。

[@織田信長-x1y]

要約。
パスラボ「2×3×5×7×11×13＋1＝59×509！合成数！」
とんすけ「2～13しか素数が存在しない仮定のもとなのに、59と509という『数』はどこから出てきたんですか？ 反例になってませんよねぇ？」

[@tonnsuke]

正解◎

[@goldenbomber2929]

素数が無限個集まったと仮定すると？
は仮定です

[@goldenbomber2929]

素因数分解の一位性を持ち出すまでもないです。
misleadingを故意に専門家が起こすのはやめましょう🫸

[@tasukuclanel4072]

​@@goldenbomber2929 仮定をもとに矛盾を探すのが背理法の基本だと思うんだけど、どこら辺がミスリーディングなの？

[@kk-lv7ec]

なんの反例か言ってくれるの助かる

[@le1monslime]

凄い分かりやすかったです‼️
以前この動画を見ましたが、普通に納得していました。
5:57で説明されている通り、別の命題での反例だということを認識することが出来ました。
仮定を置く時は、証明の過程で矛盾しないようにしないといけないなと思いました！

[@chachacha00099]

5:05 からの説明クソわかりやすい
感動した

[@かぶとのむし]

なるほど、分かりやすい

[@user-un7ct7ko6r]

要はどこまでいってもPnより大きい素数がありますよ〜って証明なのに、Pnより大きい素数があることを前提にしちゃってるってことか

[@rairaikun1]

N=p1•••pn+1が素数とは限らない例というのは、素数がp1, ... ,pnしかないという仮定を無視したから言えるのであって、この仮定の下ではNは必ず素数で、証明に誤りはない、と。

[@ギシギシ-l4n]

これ裏では結構バカにしてそうという勝手な妄想をしてる笑

[@kleuzjatob]

昔、(n素数階乗-1, n素数階乗+1)で双子素数が無限に作れるのでは？などとツイートして大恥をかいた思い出があります
初めから分かる方にはそんなまさかと思うかもですが、それほど「無限」が誤解しやすい概念なのだと思います
某大の「素数の周期性を発見」が先日話題となった所で本動画を思い出し、書き込みさせていただきました

[@もっちゃん-n8m]

その動画僕も見ました！おかしいと思っていたんですけど、とんすけさんのおかげで自信が持てました〜

[@Robby_SoH]

これめっちゃ引っかかってたから助かる

[@xuxu-d7p]

全部の素数がP1〜Pnに入っているはずなのに、それより大きな素因数が出てくるってことは、全部の素数をかけるってところに矛盾するってこと？(なのか？)

[@むつみ-g5w]

判例がおかしい例すごくわかりやすくて面白かったです！

[@森石-q2v]

反例

[@ポテ伊藤-q3p]

裁判すな

[@Vtuber-ow6tq]

素数が有限個と仮定して、全ての素数の積をNとすると、どの素数を法としても N≡0 、N+1≡1なのでN+1を割り切れる素数は存在しない、つまりN+1は素数であるっていう示し方も見たことある

[@美味しい狐-h5o]

ユークリッドさんのやつやね

[@user_ultimate343]

modで言い換えたかどうかで本質は99%ぐらい同じな気がする

[@Vtuber-ow6tq]

@@user_ultimate343 それは大体そう

[@山田太郎-r5w4d]

同じことmodで表してるだけだからね

[@wfanimus167]

間違いを見つけてきちんと指摘できるの素晴らしい。ただ、
6:33 辺りの発言で えっ？って思ってしまって、
素数の積＋1が素数になるとしたら、今も素数を見つけることに躍起になってるスパコン要らないじゃんって思ってしまいましたね。

[@tonnsuke]

素数は有限個ではないので結局素数にならないんですね😂

[@いんこ博士の手塚治虫封印]

面白かったです！Passlabさんとのとんすけええさんとコラボ実現してほしい。。

[@tonnsuke]

もっとチャンネルを大きくしなければ😲

[@午後のアバ茶]

そのうち「とんすけさんの動画が間違ってたので論破します」って動画をどっかの数学科の教授が挙げて、さらにその人の動画の間違いをフィールズ賞受賞者が指摘して最終的には人工知能が人類オワコンって言い出すんやろうな

[@tonnsuke]

数を持ってる人に論破されたら嬉しいです
登録者が増える🥺

[@acchan3.14]

2×3→素数2個
6×7→素数3個
42×43→素数4個
1806×1807→素数少なくとも5個
……
連続する整数は互いに素だからこれを繰り返したとき新しい素数がどんどん追加されていく。つまり素数は無限個

[@tonnsuke]

うわかしこい

[@沖田研司]

てか、サイダックだよね。引用ちゃんと書かないと。

[@徳山筋肉君]

感動した

[@fukai_moonlight]

N=((p1×p2×…pn)+1)を各psで割っていく時、
左の合成数は必ず割り切れるが、1は絶対に割りきれないので、Nは整数にはならない。従ってNはpnより大きい素数である。
…という、細かいながらに重要な行間が抜けているんですよね。だからこそこの立式に関する仮定を疑う人が現れる。
その行間を埋めるのが、まったく楽しみであり苦しみであると…。数学は面白いですね。

[@トメィトゥハーディ]

命題A:素数は有限個である
命題B:すべての素数の積+1は素数である
A,B共に真理値0なのでA⇒Bは真理値1
よって素数が有限個ならばすべての素数の積+1は素数と言える(①)
しかしここでそう言えるのは命題Aの真理値が0だから
つまり①が言えるのは素数が無限個あるということが既知の場合に限る
(そもそも素数が有限個か無限個かわからないなら命題Aの真理値は判り得ない上仮に真理値が１ならA⇒Bは真理値0)
こう考えると「素数が無限個あることを示せ」というような問題なら①と言って問題ないように思えますけど、
「素数は無限に存在するか？」のような問題文では①は使えないような気がします
そこのところはどうなるのでしょうか
件の動画を肯定する気はないです

[@トメィトゥハーディ]

と考えたけど仮定だからA,Bともに真理値1で進めていいのか？
というより仮定を真理値1で進めないと背理法否定することになりますね
数学わかんないんでよかったら教えてください

[@tonnsuke]

命題Aが成り立たないことを示すため、Aが成り立つと仮定して矛盾を導くので、Bは言えます。

[@sakuranotane0327]

こういう議論を面倒くさいと思わず、突き詰めて考えられる人が数学に向いてるのかな

[@SS-kv2cw]

久しぶりに数学って面白いなあと思いました。子供の頃、友達が見つけて来た問題を皆で解きあったことを思い出しました。こういうのがあるから才能ゼロなのに数学関係の本買っちゃうんですよ。でも引き続き動画たのしみにしてます。

[@tonnsuke]

面白い・楽しいと思えるのは立派な才能ですよ😙

[@lo_xl]

短髪でフィジカル強そうだとそれだけで説得力爆上がりするなぁ。

[@tonnsuke]

フィジカルの説得力はわらう

[@user-bd3qt8qb6p]

間違いない

[@空かえる]

すごいわかりやすい説明でした。
先にとんすけさんのを動画を観てからパスラボさんの動画を観たのですが、高校生は勢いで流されてしまう感じでしたねw
数学の動画がUA-camで見られて、こうやって見比べたりできるのが本当に楽しくて良い時代になったなーと思っております。
わんこらチャンネルのかずにゃんさんも難関大の数学を解いたり（解かなかったりしてるので）していてお気に入りのチャンネルです。今日も楽しくて勉強になる動画をありがとうございます😊

[@tonnsuke]

かずにゃんさんのふにゅ考え方はとても好きです🥴
数学も日常的にやっていて面白いチャンネルですね

[@i.3452]

この動画のおかげでこの証明の理解が出来ました！ありがとうございます！

[@alacran3832]

おそらくパスラボさんは2通りの証明がごっちゃになっているのだと思います。
1. 背理法
素数を有限個だと仮定すると、それらの積に1を加えた数Nが素数ということになる。しかし、これは最初の仮定に矛盾。
2.ユークリッドの証明(背理法ではない)
任意の有限個の素数からなるリストを考える。このとき、Nは素数orそのリストにない素数を因数にもつ合成数のいずれかになるため、リストにない素数の存在を示すことができる。
2つ目の証明において、Nが素数とは限らず、リストにない素数を因数にもつ合成数の可能性がある、ということを具体的に示したものが、動画中に例として挙げられていた30031です。1つ目の証明ではこの議論を必要としません。

[@tonnsuke]

あ、いまストンと理解できました
そういうことだったのかああ！
天才か？

[@当たり前だろ]

@@tonnsuke ありがとよ

[@山田太郎-r5w4d]

k個の素数を用いて
K＝P1P2...Pk+1が素数になるとは限らないよってことをその前に仮定したnを使ってそのまま説明したから、本人にはそのつもりが無かったけど話全体で考えたらおかしくなっちゃっただけでしょ

[@upiupi6172]

「NはPnより大きい素数であるか、Pnより大きい素数Pn’が存在する。よって仮定に反する。」とすれば正しい。
現実に具体的な例で考えてしまう（素数を有限個と仮定した世界で最後まで考えることができない）と、こうなるというだけではないでしょうか。
ところで、上記のように証明したとすると数学的には間違いなのでしょうか？それともスマートではない（Pn’が存在するというくだりが蛇足）だけなのでしょうか。

[@alacran3832]

@@upiupi6172
背理法による証明でNをどう見るかには他のコメント欄でも述べられているようにさまざまな見解があるように思います。
「存在する素数で割れないのだからNは素数」なのか「存在する素数より大きな素数で割れるかも」なのか、どちらにせよ矛盾は導けます。(自分も最初のコメントでは前者を主張していました)
ただ背理法の論理としては
NはPnより大きいのだから仮定より素数ではない→しかし存在する素数のどれでも割り切れない→矛盾
として、Pnより大きい素数が存在すると断言しない方がスッキリしますね。
ちなみに「素数積+1が素数とは限らない」話は、そもそもはユークリッドの証明においてリストにない素数を具体的に1つ見つけてくるときに必要な話であり、証明の本質に関わる話ではないと思います。

[@yukiigarashi9578]

同じやり方で昔ユークリッドの素数は無限にあることの証明は間違ってる！と俺にドヤってきたやつおったなぁ。いや素数がこれだけしかないって言ってるのにそれらで割り切れない数が出てきてる時点で別の素数が存在することになって矛盾するから無限個ないとおかしいやろって話なんやけど。背理法って現実には成り立つことを否定して矛盾を導くものだからそこでその仮定ブレさせたらあかんわな。

[@ひろゆきの嘘ひろゆきを論破する動]

これは表現の問題なんですよ
N = 1 + ∏pi
としたとき、
「Nは最大の素数pnより大きいので合成数だが、どの素数でも割り切れないので矛盾」
といえば、Nが合成数であることを前提にして証明もできるわけです

[@tonnsuke]

それが一番目に示したやつですね😚
その書き方なら完璧ですねええ！
どの素数でも割り切れない→Nが素数→矛盾
とすると意見両取りですね😙

[@MultiYUUHI]

あーこれが一番いいな

[@RYO-wd2cp]

@@tonnsuke
Nはどの素数でも割り切れない⇒Nは素数
にも少し論理飛躍があるような気がするのですが、どのように素数の定義を満たすことを示すのでしょうか。
ご教示いただけますと幸いです。

[@世界-t5x]

それは元のパスラボさんの動画のように実際に反例を出して
どの素数でも割り切れない→Nが素数
を示すんじゃないの？
動画の趣旨は、仮定の厳密さが足りてないって指摘だと思うからロジック自体は正しいんだと思いますよ

[@RYO-wd2cp]

@@世界-t5x
パスラボさんの主張はむしろ
どの素数で割り切れなくても素数とは限らない
ということであって、
どの素数でも割り切れない⇒素数
という主張とは真逆のことです。
この動画の趣旨は、この点においてパスラボさんのロジックが誤りであるという指摘だと思います。

[@gunhasirac]

この定番中の定番の定理の証明にこんなに議論できるのは素直に感心した

[@チーズ中毒]

Pnを最大の素数と仮定してP=P1*…*Pnとする時、PはPnの次の素数ではないということを注意すれば理解しやすいかもしれないですね
高校生の時めちゃでか素数を作ろうと張り切って素数をかけまくり+1しても無意味だったのは言うまでもない

[@tk-c5v]

細かいところまで、しっかりと動画を見ているなと感じました。
細かくとも自明とは言えない主張に然るべきタイミングでツッコミを入れられるのは実に数学科らしい。
ぼくも初めてこの証明見た時(10年以上前)は、Nが素数or p1,・・・,pn 以外の素数の倍数となる　で、納得してしまいましたが、確かに背理法の仮定からNは素数と言えますね！
ぼくも一度、PASSLABOさんの九州大学数学科からの挑戦状の動画(Σ1/n!=e の動画　いまはない？)で解答の不備を指摘したことあります(それは九大の数学科がわるい)がPASSLABOさんのような有名なyoutuberに顔出しでツッコめるのは、なかなか勇気がありますよ💡
東大医学部相手にここまでツッコめるなんて、立命館大学入学からだいぶ立派になれたと思いますよ！

[@tonnsuke]

やっぱり卒研とか研究で数学者先生から鬼のように突っ込まれたのでそこで鍛えられましたかね😚
PASSLABOさんめちゃくちゃ大手なので突っ込み過ぎたらぼろかすに言われそうで怖かったですがそんなことなかったですね
さすが王者の風格って感じですね😂

[@shigena99]

PASSLABO『素数は無限個証明』は何かの本で同じような証明があったのを記憶している。
その時もふーん、そうなんだと思っただけで自分の浅はかさに気がついてませんでした。
論理的な証明じゃないことを教えてくれたとんすけさんに感謝です。
間違っていたことを素直に認めるのは自分は頭が良いと思っている人ほど難しいことなんですね。

[@rhyme69]

予備校講師にもこんな感じでバッサリ行ってほしい。受験数学に一石を投じて！

[@カカロット-q8v]

受験数学とは違くね。数学の魅力は教えてくれるけど

[@4n4s4x4]

長方形を書きます
縦に線をひいて2分の1にして左側を塗りつぶします
上から3分の1のところに横線をひいて塗りつぶされていない部分の面積を
さっき塗りつぶした部分の横に置いて塗りつぶします
次に5分の1、7分の1、11分の1、13分の1‥と繰り返していっても
素数が無限であることが証明されているのでこの長方形を塗りつぶすことは出来ません
というかそもそも塗りつぶせません
もし2×3×5×7×...+1が素数だとすると大きい素数は全部この式で表されることになってしまいます
と考えました　ユークリッドが+1ではなく-1にしていたら別の世界線があったような気がします

[@fukai_moonlight]

幾何的な説明は直感的で興味深いですが、それはすこし議論がずれますね。
素数の無限性によるというよりは、無限和の収束の話題になると思います。もちろん途中で素数の無限性は用いますが。

[@4n4s4x4]

@@fukai_moonlight wikiを見て言っているだけだろうと思われるのが嫌だから2×3×5×7×...+1が素数でない可能性があると思ったプロセスを書きました。証明に関しては「2,3,5,7..とNが互いに素」の一言で片付くと思います。😊

[@ブランク-j9n]

とんすけさんの動画楽しく見させていただいています！頑張ってください！

[@tonnsuke]

ありがとんすけ🐶

[@Minty_HAL]

マジで数学科のセミナーはこのレベルの厳密さで突っ込まれるのか……

[@Constitutional_Carry]

いい加減なこと言ったら「え？ほんと？じゃ証明して」と言われる

[@ポンポン俳句]

@@Constitutional_Carry こっわ笑

[@Constitutional_Carry]

@@ポンポン俳句 でも指導教員の先生は数学者なので、正しいこと(実は突っ込まれたくない)を言ってそのとき先生がたまたますぐ分からなかっただけのときは、少し理由を説明(苦し紛れ)し始めたくらいで「あー分かった分かった」と勝手に自己解決してくれて、「ふー助かった😅」ってなるまでがセットです

[@Tomohiko_JPN_1868]

オッサンですが 小さい素数を使った場合、
　素数の合成数+1 が 素数にならない「場合がある」って
初めて知りました、大きい素数で割れちまう事があるんですね。
試しに 高1レベルの知識 で演習問題 出してみた。
●問い 1.
・A, m は 自然数である。
自然数 A が5以上の素数である時、
(A+1)(A-1) =24m となることを示せ。
●問い2.
・Pn はn番目の素数で、 n は非常に大きい自然数だとする。
・K = [P1*P2*P3...*Pn] +1　　とする。
　　　この時、問い1 の結果を用いて、K が素数である事を示せ。
追記: (あ、ごめん。 問い2 は 問い1 を使ったら余計に解けへんわ。問題が悪いイイイ)

[@kkkk-ox5kt]

問2は未解決問題ですね。
どこかにこのような問題が載っているのですか？
もしそうであれば、教えていただけると幸いです。

[@aaa-o1o6y]

僕も素数を順番にかけて＋1したものは絶対素数になると思ってたのでならないこともあるって知った時は驚きました笑

[@tonnsuke]

本当に！
ぼくもそこびっくりでした

[@蓬生よもぎ]

「全ての」素数を掛けておかないと成り立たないというのは僕も初知りでした

[@_safari4476]

この操作で得られる素数にはユークリッド素数という名前がついていますね
一覧を見ればすぐ分かりますが、かなり早い段階で素数ではない数が現れます

[@焼肉定食-c8v]

それで絶対に素数になるのだったら大きい素数を見つけるプロジェクトはこんなに難航してないでしょうね...

[@焼肉定食-c8v]

いやそんなことはないか　素数ってだけでその間に素数がないとは言ってないから

[@K.K-z3u]

5:30 それまでの説明なんとなくしか分かってなかったけど、ここから聞いてやっと納得できた文系です

[@はると-y5w]

素数が有限個しかないって仮定して、それをP1からPnとしてるってことは、Pnより大きな素因数なんてあるはずがないような気がします。私もとんすけさんに賛成です。

[@tonnsuke]

それはそうなんですよね😂😂

[@norn5415]

いやほんとにこれなんだよなww

[@dghbyhdsughds]

これやね

[@agemono11111]

いいぞ面白いぞ
俺には内容はよく分からんが、こういう議論は支持します

[@yumago42]

中学生でも少し勉強してれば分かる程度で説明してくれるのほんとありがたいです！

[@ワッシュー]

いや、私でも全く理解不能なので、平均的な中学生には到底理解できないと思います。
あなたから見たら私はかなり馬鹿ですが、そんな私でも数検準１級は持っていますので、普通の中学生には数学力では負けないと思います。あなたが優秀過ぎるのでそういう錯覚をしているんだと思います。

[@Ippann0987]

@@ワッシュー つまり何が言いたいんだJK

[@ワシ-x2l]

@@ワッシュー 数件準一級持っててすごい！すごいぞ修三！！

[@ppp312]

ワシ
漢字くらい間違えんな。数検

[@ワシ-x2l]

@@ppp312 数検準一級持っててすごい！すごいぞ修三！！！！

[@サトウカンセイ]

すごく、わかりやすい！！

[@benenota162]

素朴な証明と思っていましたが、ある方は「nは素数P1,P2・・・,Pnのどれとも等しくないので、素数ではない。しかし、どのPiでも割りきれない。これは素因数分解の存在に矛盾する」とされていました。nは素数である、素数でない、どちらの展開でも証明は可能であるということでしょうか。

[@tonnsuke]

可能ですがどちらにせよ矛盾がでるという形ですね😙

[@みなと-u2z]

最初の仮定に自ら矛盾した例を挙げちゃってるんですね…
自分もパスラボさんと同じ思考してしまっていたので、とても参考になりました！！

[@kiyokiyo7574]

こんにちわ、貴重なお話ありがとうございます。
私は工学部卒なので数学基礎論は履修していませんのでよろしくお願いします。
★　お話の中で「素数は無限個存在する」とおっしゃってますが、他の数学者の方もよく「無限個」という言葉をお使いになるのですが、そこが少し気になるのです。
というのも無限というのは、１０個、２０個のように数えるいわゆる「数」とは別個の概念のような気がしていまして？
「数に類する概念だが、数とは若干異なる」のような？！
ただ「素数は無限個存在する」のように、もう既に数学の中にこの「数とは異なる概念」を「数」のように導入している以上は『無限大の素数』のような概念も併せて導入するのが自然ではないのかな？のように思うんですね？！
他にも「無限大の偶数、無限大の奇数、無限大の自然数」等もそうなのですが・・・・
lim (n⇒∞) 2n = ∞ lim (n⇒∞) 2n+1 = ∞ lim (n⇒∞) n = ∞ 　 lim (n⇒∞) Pn = ∞
のような極限は全て無限大なのですが、これらをそれぞれ異なる性質を持つ ∞という風に解釈して、
「偶数であるという数学的性質を保持したまま、大きさのみを無限大に飛ばす」
「奇数であるという数学的性質を保持したまま、大きさのみを無限大に飛ばす」
「自然数であるという数学的性質を保持したまま、大きさのみを無限大に飛ばす」
「素数であるという数学的性質を保持したまま、大きさのみを無限大に飛ばす」
のような操作になりますか？！
★　「こうする事で何か面白い事が始まるの？」というのは例えば
①　lim (n⇒∞) Pn = ∞
のように無限大の素数が定義されましたので、
②　lim (n⇒∞) 2・3・4・・・・・n = ∞
つまり「無限大の素数砂漠の最初の数」が定義できるようになり、従って「無限大の素数砂漠が存在する」となります。
上の①と②の中にある「n」は同じ自然数なので、つまりは自然数の無限大の領域には「無限個の素数」と「無限大の素数砂漠」が同居している事になります＾＾
一見して矛盾しているかのように思われますが・・・
③　自然数の集合の濃度はℵ0
④　素数の集合の濃度はℵ0
⑤　無限大の素数砂漠の中に含まれる自然数の集合の濃度はℵ0
ℵ0 + ℵ0 = ℵ0
という規則があり、濃度がℵ0の任意の集合でこの演算規則は成り立ちますから・・・
④と⑤は矛盾なく③の中に共存できます（無限集合なので、有限集合とは異なり直感的には不可思議な現象が起こる）
★★　確かに「無限大の素数」のような概念を認めずに「任意の素数は有限の値を持つ」のように「無限番目の素数」を考えない立場だと
必然的に「素数砂漠も常に有限である」という結論になるのですが、無限を考えないというのはあまり面白味がないので、
この際ですから、「無限番目の無限大の素数 lim (n⇒∞) Pn = ∞ 」を定義し、「 lim (n⇒∞) 2・3・4・・・・・n = ∞ 」から始まる「無限大の素数砂漠」
こういうものも定義したらどうでしょうか？
★　この他にも、もっと面白い数学的な操作が可能になると思います。
★　Δy/Δx = 1/3 という比（数学的な性質）を保持したまま、両変数を無限小なる概念に圧縮する操作もありますしね？！　 微分係数など：δy/δx = 1/3

[@chocolatecornetnothermitcr6159]

「無限個存在する」というのは、例えば次で定義できます。
定義1
命題φ(x)を満たす要素xが無限個存在するとは、{x:φ(x)}の任意の有限部分集合Aに対してx∉Aかつφ(x)を満たすxが存在することをいう。
あるいは:
定義1'
命題φ(x)を満たす要素xが無限個存在するとは、{x:φ(x)}が有限集合でないことをいう。

[@chocolatecornetnothermitcr6159]

無限は数のように捉えることもできます。例えば、測度論という分野では∞に対して形式的に次のように約束することがあります:
・任意の実数aに対して∞±a=a±∞=∞
・任意の実数aに対して
∞×a=a×∞=∞ (a>0)
∞×a=a×∞=-∞ (a

[@donkeysong]

NはP1〜Pnで割り切れないとなった時点で「NはPnより大きな素数である」または「NはPnより大きな２つ以上の素因数をもつ」ことになり、これはどちらも「素数は有限個」とした仮定に矛盾する、というのではダメでしょうか？
パスラボさんの反例がおかしいのは分かりますが、矛盾を導く過程で「Nが素数となる」の可能性しか考えなくてもいいのがよくわかりません。「有限個と仮定したんだからPnより大きな素因数なんて持つはずがない」というのであれば「Nが素数なんてことあるはずがない」とも言えると思っていて、矛盾する根拠として片方しか考えないのは、論理として不足してるように感じます。詳しい方、教えていただけると助かります。

[@tonnsuke]

結局言ってるのは合成数でも素数の場合でも矛盾するよねってことですよね
いいと思いますよ🥳

[@むぎやまだ]

私もそこまで詳しくないので厳密さという点ではちょっと間違っているかもしれません。ただ大枠としては次のようなことになると思います。ダメでしょうか？の回答としてはいいと思います。ただ、素数は有限個とした仮定に矛盾ではなく素数がn個ということに矛盾の方が正確かと思います。片方しか考えないのはどうなのかという点については確かに両方を考える必要があるでしょう。後ろの方に言及しない限り素数であるとは言えないと思います。ただしそれは「2以上ある数以下のすべての素数積＋１」の性質を使うならという話になります。動画でいきなり素数であると言っているのは上記の性質使っているのではありません。2以上の自然数Mに関してM未満のすべての素数で割り切れなければMは素数であるというのが成り立っています。これは動画では素因数分解の一意性に関係していると言及されています。こちらを使えばすぐに素数であると言えるのだと思います。

[@novelright]

Nは合成数のはずだが、p1からpnのいずれもNの素因数にならないが正しいね

[@tonnsuke]

Nは仮定から合成数ですが、同じく仮定から素数になって、そこでも矛盾が生じるのが面白いですね😚

[@豆大福-v6m]

難癖動画なのかな？と思って開いたら途中からなんでそうなった？という説明始めててそりゃ突っ込まれるってなった

[@エターナルチキン-l6w]

普通にユークリッドの証明におかしい点は無かったんだね

[@123いつみ]

仮定をした世界の中にしっかり入り込んで証明するのが数学科らしくていいですね
どうも自分の中の常識の世界の中で物事を見てしまうと、世界が狭まってしまう感じがします
これは数学だけではなく、どんな学問でも共通ですけどね

[@杏-c6h]

3:40の話をする上で、暗黙的に素数を小さい順に漏れなく並べたように言っているけど、今回の証明だけだとPnより小さい素因数がそもそも含まれてないケースもあるため、P1〜Pnを厳密に定義してないのがそもそもの問題のようにも見える
{Pk}(k=1〜n)は全て素数、単調増加かつ、P1=2,Pk

[@tonnsuke]

小さい順に並べて全部あつめたことにしましょう😚

[@かわぐろ]

パスラボさんが最初に素数の個数をn個だと仮定しているので、P1~Pnが全ての素数を表していることは明白です。
その仮定に対してn+1個目の素数が存在するから矛盾がある、と言う証明なのでP1~Pnの増減は関係ないはずです

[@杏-c6h]

@@かわぐろ 青文字の「NはP1〜Pnより大きな素因数を持つ」という点で考えていて、その新たな素因数P’がP1〜Pnより大きくなるような条件としてP1〜Pnが隙間なく定義されてる必要があるので便宜上、Pkの値を定める際に単調増加として扱っただけなので、n個全ての素数に漏れなく対応できてるなら増減は確かに関係ないですね。

[@かわぐろ]

@杏　パスラボさんは最初「n個の有限な素数」と仮定していて、途中からその仮定を全部忘れて話している
それに対してとんすけさんは「n個の有限な素数」というパスラボさんの仮定に則って話をしている
杏さんは2人の視点の違いに違和感を感じた、ていうことですよね

[@みなとも-c3m]

その動画みて、その部分ずっと気になってたんです！！！解決してくれてありがとうございますm(*_ _)m
素数はとても面白いですよね〜！私自身も学生の身ながら素数にハマってしまって日々、色々考えています！w
ですが、考えれば考えるほど、難しいです
リーマン素数階段や、オイラーのζ関数の無限積表示など…あれほんとに人間業とは思えません！

[@tortandt]

「素数が有限と仮定した場合、全ての素数の積に1を足した物は、それより全ての素数より大きい素数を素因数に持つか素数になるので矛盾する」って事ですよね

[@ねこねぎ-j2l]

数学科の人がうちの会社の企画会議のプレゼン聞いたら発狂しそう・・・次第で数億円が翌月から動き出すんですけど、論理性が全くない。

[@k0z0n3]

還暦過ぎで全くの文系の私でも理解できました。とてもわかりやすいです。

[@ホスホジエステル結合]

P1〜Pnより大きい素因数を持つかもしれないっていうならその時点で有限個のPnより大きい素数出とるやんと思った

[@tonnsuke]

すごくただしい

[@yusukem]

仮定として素数が有限個で、その全てを1~Pnと置いているので、その中に含まれていない素数（例えば未知の素数Px）が1*P1*P2*…*Pn+1の値の中に入っていたら、それで仮定が矛盾していることになりますからね！UP主の主張は正しいです！！！
私が気になったのは、背理法で今回のように未知のPxが出て来てしまう場合、その証明が間違っていると言われるケースってあるのでしょうか？

[@tonnsuke]

ないです！
最大値って仮定したけどこれより大きい値でてきちゃったテヘみたいな背理法もあるので😙

[@yusukem]

@@tonnsuke ありがとうございます！！！

[@KF-dz9vy]

何度もゼミで詰められて黒板の前で冷や汗かきながら長考したトラウマ思い出してしまった

[@tonnsuke]

？？？「それは何でですか？」
？？？「それ嘘ですよね？」

[@pinopino7502]

最後の指摘、個人的に今までの違和感が拭えた気がしてスッキリした

[@sendai-shimin]

これはユークリッドの証明方法を背理法と勘違いしたがゆえの誤りでしょうか。
ユークリッドの方法には「素数が有限個であると仮定すると矛盾が生じる」というくだりは書いていません。
それまで得られている中で任意の個数をピックアップして考える（全部使う必要はない）ですよね。
動画の例だと、
・30031が素数であるなら、30031が新しい素数として得られる。
・30031が素数でないなら、30031を割り切る素数が新しく得られる。
いずれの場合もこれまで得られていたのとは別な素数が得られ、
次はそれも含めた中から任意の個数を使ってこれを繰り返すことで素数は無限に得られるというだけの話ですね。

[@sendai-shimin]

@Brr
例えば、途中で出てきた31とか211も新しい素数なんですね。
ぶっちゃけポケモンと一緒で、2と3と5しかゲットしてないところに31をゲットして、
「31が新しく素数図鑑に登録されます！」ってなる感じです。
30031だと「59と509が登録されます！」です。
ところが問題の動画だと59も509も既知の素数として語られているので、
ポケモンに置き換えると「ゲットしてないのに説明が表示される図鑑」という矛盾が発生し、
これが「59も509もいつゲットしたの？」という形で論理の飛躍に繋がっていると思われます。

[@Iceflower1104]

3:35 この時点で自分じゃ「いや素数がPnまでしか無い前提なんだからその青文字こそが矛盾を表してるやんけw」て思っちゃったけど、
しっかり「論理の飛躍」という部分に焦点をあてて指摘している投稿主さん流石です
そういえば「2から連続する素数p1,p2,…pnを全てかけたのに1を足したものは素数である」てのが嘘数学botであったの覚えてます

[@tonnsuke]

その嘘数学ボットのつぶやきはパスラボさんの反例を見たときにはじめて嘘だと気が付きました😂

[@光蜂こうはち]

この証明は結局、「素数が無限にあること」しか言ってないのであって、「既存の素数から新しい素数を生成する方法」ではないという事ですね。

[@tonnsuke]

そうですね！

[@oxmlo]

違います。

[@oxmlo]

@@tonnsuke 違います。

[@とーき-l9e]

@@oxmlo あってます

[@かわぐろ]

@oxmlo 光蜂さんのコメントは面白いなって思ってたんですが、どこがどう違うのか教えてくれませんか？

[@poypoyh4413]

私がはじめて背理法を知ったのはこの証明でした。
私も数学科首席でしたが、こういうキッチリ考える感覚は久々で、懐かしくて楽しかったです。

[@笹倉の主]

バケモンおった

[@user-su8ir3mn1e]

数学科首席はやばいな

[@SadisticRyoBand]

数学科主席ってかっこいいわ

[@NA-dd4qv]

失礼かもしれないけど、例えばFランの数学科主席だとしてもすごいの？

[@h_ch_ch_ch_ch_ch_ch_ch_ch_ch_c]

@@NA-dd4qv すごい

[@31_10asu]

やっぱり餅は餅屋なんだと改めて思いました！

[@ichigoitigo-production]

互いに高めあう✨👏✨

[@tonnsuke]

excelsior！

[@iryuu3asada]

あー、5：07ぐらいまでみてやっとこの人の主張が理解できた。我々が使う素数って言葉の定義と、証明の途中で使った仮定した素数がごっちゃになっちゃってるよね。ってことか。
頭痛くなるわ😂😂😂

[@_a8902]

二周してやっと理解できたｗｗ
数学が論理的思考の礎になるってのはこういう証明の話になるとなお著しいと感じた。

[@user-sadioshimane]

数学苦手な俺達
パスラボの動画→へぇなるほど
数学科の動画→へぇなるほど

[@おりおん-f1z]

分かりやすすぎ！

[@北澤健生]

なるほど、大切なのは、素数が有限個（n個）だと仮定した上で「全ての素数」を小さい順に掛けたものに1を足した数Nは、素因数分解の一意性」から新しい素数が出来てしまい矛盾、ということですね。
ここで質問ですが、
「一部の素数」ではダメで「全部の素数」ということまで（背理法のための）仮定なんでしょうか？「素数が有限個」という仮定だけではダメなんですよね。
なんで「一部の素数」だとバスラボさんの反例がでちゃうのか、そこが気になるのですが、、、

[@tbeturan9887]

「全部の素数で割れない数は素数」という論法を使いたいので、全部の素数で割れない確実な数として全素数積+1を使う。ちなみに全素数積-1でも可。
逆に言えば一部の素数の積+1だと、使われていない素数で割れてしまう可能性があって、その実例が2×3×5×7×11×13+1=59×509=30031

[@北澤健生]

@@tbeturan9887
ありがとうございます。
なるほど、そういう反例があるのですね。
勉強になりました。

[@げろっぴー-b1x]

パスラボは英語の誤訳も多すぎる...
参考書を参考にしてるのに、解説がその劣化になるの酷すぎる。

[@tonnsuke]

言語は難しいので許してあげて😨

[@げろっぴー-b1x]

@@tonnsuke 生徒でもパスラボ見てる子たまにいるので英語講師としては気になってしまいます笑

[@eggmanx100]

Pnが最大の素数という前提だからPnより明らかに大きいNは合成数でなければならない。しかし、Pn以下のいずれの素数もNの約数ではない。するとNはPnより大きい素数を約数に持つこととなりPnが最大の素数という前提と矛盾。でよいのでは？

[@むぎやまだ]

パスラボ氏の証明をちょっと変えてみた。
まず次の命題Aをあらかじめ証明しておく。「ある素数p(>=2)以下のすべての素数の積に１を加えた数は、素数であるかpより大きい素因数のみをもつ合成数である。」
素数が小さい順にp_1からp_nまでのn個しかないと仮定する。ここでp_n以下の全ての素数の積に１を加えた数Nは、仮定より[p_1からp_nまでのn個の素数の積＋１]となるが、命題AによりNは素数であるか、p_nより大きい素因数をもつ合成数となる。Nはp_nよりは大きいのでいずれにしてもp_nより大きい素数が存在することとなり仮定に矛盾する。したがって素数は有限個ではなく無数に存在する。
なお、命題Aはあらかじめ証明しておくとしましたが、仮定したあとに示してもいいです。仮定したからといってその仮定を推論に使う義務はないからです。その辺を勘違いしているコメントが多数認められるのが気になります。もちろん何がわかりやすいかというのは議論の余地はあります。

[@ハム山ハム太郎]

素数が無限にある証明の一部だから2、3、5、7、11で割り切れないことで素数証明は十分。これが要約。

[@azu_6498]

皆さんを「みなさん」ではなく「みんなさん」というの好き

[@tonnsuke]

帰国子女がばれる🤭

[@nanakadog]

1:40 モヤモヤしてたのでたすかる。「あれ？言えるよな？まあええか。うん。いややっぱ言えるよな？」と思ってました。笑い。
5:10 ゼミ目線ってなんやねん！って感じだけど、こういう厳密さは大事よな。素数がこれだけしかないと仮定してるからね。こういう非常識な仮定を置く所が高等数学、ピュアマスですわ。😊

[@Komezoo]

PASSLABOの話の元ネタは、有限個の素数から新たな素数を作る形での証明ですね。
元ネタの古代の証明はこんな感じだったと思います。「素数をN個見つけた」→「ぜんぶかけて+1した数はそのN個は素因数ではない」→「自身が素数か、もとのN個以外の素因数を持つ（ここで自身が素数でない可能性の言及が必要）」→「N+1個目の素数が見付かったので素数は無限」
ここで前提が「有限個と仮定して全て持ってくる」にすり替わっているのでおかしくなっていたんだと思います。

[@tonnsuke]

ほほお
そういう流れがあったんですね😚

[@ああ-g7f2s]

元動画流石に例と仮定との違いに気付いてなかったらやばい

[@user-hj2gt7ri4h]

とんすけさん雰囲気変わった？
なんか男性的なカッコよさが増した気がする。髪型かな？

[@tonnsuke]

髪型キメキメです😚

[@cafe_rumba]

指摘先の動画がチャンネルから消えてるように見えるのは目の錯覚だろうか…。

[@くるくる-x3b]

ここのコメ欄の上の方に理由かいてありますよー

[@ロンドン遊び]

元動画知らなくてこの動画観てますが、結果どちらも推せるチャンネルですね。
とんすけさんの論点を整理された説明はいつもながら最高です。
パスラボさんの動画も、結果的に間違えていますが、紹介している知識は為になると思います。

[@ガンジス竹中]

やべえええ博士課程の時、解析のTAで修士の宿題採点してた時の気持ちがよみがえるうううううううううう
こういう論理の飛躍が一番めんどくさいんだよな、俺が間違っているんじゃないかってなって頭おかしなるで

[@tonnsuke]

あとから文句言われたときのためにおかしいかしょを覚えておかないといけないのも辛い🥵

[@ガンジス竹中]

@@tonnsuke
刺されないように、毎回反例を用意してました（笑）

[@sindy4337]

そうか。あの動画見てて感じた違和感はこれだったのか。
スッキリしました。ありがとうございますm(*_ _)m

[@corokasu]

「Nが素数でないこと」からの逆向きの推論を順向きの推論に使ってしまってますね

[@user-yp1xp7xt6m]

完璧な議論すぎ。気持ちええ