【正答率7.5％】シンプルな良問（千葉大）
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- Опубліковано 21 жов 2024
- 30!の0の個数はよくある問題ですが、それに派生した本問です。
考え方の「核」を押さえれば、素因数分解して求められた良問です。
改めてチャートレベルの解法暗記の大切さを教えてくれた問題でした。
（1クラス40人のうち3人しか正解できなかったみたいです）
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「末尾に0がいくつ続くでしょうか？」という問題と結びつけられるかがポイントですね
ガウス記号連続がどうのってところで出てきたけどここで活躍するとは思わんかった
後半の解き方キレイ～
初見で出て来たらこんなでかい数を素因数分解しようと思わないからこの動画結構タメになった
無茶苦茶分かりやすく説明してるからやってる事我と近いのに凄い遠回りに感じちゃう
因数5は7個あるが全て1-9の数の因数2と掛けて(ちょうど！)消せるので、残る数の1の位だけ考えればよい。
5の倍数は1*2*3*4*1*6≡4(mod10)、5の倍数以外は(1*3*1*3*7*1*9)*(2*3*4*6*7*8*9)^2≡2(mod10)となるので、掛け算して8。
すげぇ…勉強になりました。
１の位だけ考えるのって意外と楽なんですね。目からウロコ🐟️
文系プラチカに載っていて良問だったので感動した
文系プラチカにありますね、良い問題ですよね
解けました！
中学入試にも似たような問題がありました!👍
前半の考え方はルジャンドルの定理そのもの
非常に重要な考え方
周期性とか考えなくても良いです。2*5を7組外したのと同じ要領で、1の位同士を掛けると1の位が1になる数の組(3*7,3^4,9*9,3*3*9,17*23など)をどんどん外していけば、2^19の1の位8(1024*512なので4*2=8)だけが残る。
ガウス記号もmod10も最終的に使ってないんよな、ただ、この言葉と結びつけることによって問題の整理がしやすくなるし、記憶の引き出しを見つけやすくなる。
全部計算したら動画終わるまでに解けました！
この手の問題は、やっぱり関数電卓か何かで実際にそうなってるということを確認して、感動しとくといいと思う。モチベ上がるし
1〜30において、
素因数2の個数>素因数5の個数=因数10の個数=末尾に並ぶ0の個数
[30÷5]=6
[30÷25]=1
∴6+1=7個
1〜30において、2⁷×5⁷を約分すると
5=5 →1
10=5×2 →1
15=5×3 →素因数3が残る
20=5×2² →1
25=5² →1
30=5×2×3 →素因数3が残る
8=2³ →1
1の位だけ乗算したいので、
1〜10≡1〜0 (mod10)
11〜20≡1〜0 (mod10)
21〜30≡1〜0 (mod10)より
30!の代わりに、(10!)³を考えればよい。
すなわち、
{10!÷(5×10)}³÷8×3×3 の
1の位を考えればよい。
∵
・5の倍数を約分しているので、10!÷(5×10)
・素因数3が2個残っていたので、×3×3
・8を一度約分しているので、÷8
計算すると、
{10!÷(5×10)}³×3×3÷8
=(2×3×4×6×7×8×9)³÷2³×9
=(3×4×6×7×8×9)³×9
=(12×42×72)³×9
≡(2×2×2)³×9 (mod10)
=8³×9
=512×9
≡2×9 (mod10)
=18
≡8 (mod10)
∴下から8桁目に8が現れる。
自分の解き方を書いてみると無駄が多いし、他人に解き方を伝えるのは大変ですね…
一見難しそうに見えてこれ教科書レベルの解法なんだよね…
解けました。気持ちよかったです。
めちゃくちゃ分かりやすかった😆✨
コメントに中学生の方がいたので中学の範囲でも分かりやすそうな形で解こうとすると３*７＝２１と９*９＝８１で4^3*6^3*8^3*9の1の位と同じになって２と３の累乗の形で表せるので2^12*3^5となり1の位の周期性を考えると6＊3で１８となり8と出てきますね考え方的にはmodと変わりませんが多少中学の範囲でも分かりやすくはなるかと...
mod10をしながら、1の位だけ30まで掛ける力技ではダメなんでしょうかw 1桁目が1と0の時は計算する必要が無いので、九九を24回、１分かからない。これやると3以降で10桁ごとに繰り返していることもわかる。
???12*5 = ????60
???22*5 = ????10
???12*15 = ?????80
???22*15 = ?????30
なので機械的にmod10するのは不味いと思った。
プラチカで先週解いて復習がてらに解いて一応はできたけど、この問題プラチカでは誘導ついてて誘導って大事だなと思った
高校受験をするちゅ学生です
数学の授業でもこのような整数問題がありなかなか理解するのが難しかったですが、
この動画のおかげで？が消えまちた
ありがとうございます
中学生でも分かるようにしてくれているのありがたいです！
いい問題出しますね千葉大！
数学好きなんでチャンネル登録させて頂きました
自分でxの1桁目を返す関数f(x)とかを設定すると楽ですね
30くらいだったら2と5のペアで割ったやつ地道に書き出してやった方が答え求める時間かからないなこれw
それ思った
すごく楽しそうに説明されるのでこっちまで楽しくなってきてしまいます
9分の1で正答率7.5%なのなんかすごい(こなみ
えぇ..
先週プラチカで解きました！
これ誘導ないとすぐには解法出てこないですね💦
もうプラチカやってるのか、ちゃんと基礎固めしたか？一橋1回生より
@@osafa3036 ありがとうございます。青チャートは4周しました。プラチカについては3問に1問くらい分からないものもありますが、思ったよりできると感じます。ですが、確かに基礎固めはどのくらいで十分なのかよく分からないので詳しくアドバイス頂けたら幸いです。
@@Cohaku3 共テ数学でできれば8〜9割安定して、駿台記述とかは6〜7割なら良きかな、プラチカでそれくらいコンスタントに出来てるなら大丈夫そうだね、どこ志望かにもよるけど基礎の徹底で後からの伸び率も変わってくるから、苦手分野だけでも1対1対応数学で潰しておくのもあり。この1年間大変だと思うけど頑張ってな！💪
@@osafa3036 返信ありがとうございます💦
共テ模試は合わせてちょうど８割くらいでした、1Aは1体1もやってみようと思います！
これからも、より頑張ります！ありがとうございました🙇
解けたのうれしい！
ちょっとまって高校1年で全然習ってない知識のやつを分かりやすく説明してるのすご
めっちゃ分かりやすくて理解できる
勉強になるわー
凄いわかりやすい
タイトルでこの解き方しかねえけど泥臭すぎねえ？ って疑問に思ってきたら正解だった。
絶対どっかで計算ミスしそう・・・、すげえな
わかりやすい！
やってみる前は難しそうだったけど、今まで習ったことを組み合わせただけだった
この問題好き
1の位求める時はmod10か、覚えたぞ〜✌️
ある数字が２で何回割り切れるかという問題は何回もやったことあったが、それを素因数分解に使えることを初めて知った。
2か4か6か8になるってことまでは分かってた…
0~9になることまでは分かった
@@Akita_ken2236 さすがに0は草
一の位だけの掛け算で良い理由をどう書けばいいか分からなかったけど、mod10があったのね。
(10a+b)(10c+d)を展開すると、一の位は㏅の一の位と等しいのでって書けばいいと思います。
「奇数にはならんやろうから、2.4.6.8の中から一個選べば25%で当たる！！」
確かにw
普通にいい問題
これってゴリ押しで計算してもいいんですか？やっぱ数学的じゃないから大した点数つかないですかね？
意外と気合いなんだなあ
5の倍数だけ抜いて他は mod10 で潰せば計算が楽そう。・・・と思ったけれど5を潰すのに2を持っていかれるので充分な量の2の倍数を抜き出しておかないとあかんな。
f(30!)
= f( 2*5*10 * 12*15*20 * 22*25*30 * (1*3*4*6*7*8*9)^3)
= f( 10*10 * 180*20 * 550*30 * (12 * 42 * 72)^3)
= f( 8*2*5*3 * (2*2*2)^3)
=f( 24 * (64*8))
=f( 4 * (4*8) )
=f( 4 * 2 )
めっちゃ良問やん。
算数（くふうしてけいさんしましょう）レベルぼく
「5^7を因数に持っているから30!を10^7で割ることを考える。
この操作は30の階乗に出てくる数のうち5,10,15,16,20,25,30を1,1,3,1,2,1,3に置き換えれば良い
残った数の1桁目のみ注目して
(1×２×３×４×７×８×９)^3×(6^2)×3×2×3
=(6×56×36)^3×6^2×6×3・・・（１）
1の位が6の数をいくつかけても1の位は６なので、（１）式の１の位の数字は6×3の1の位の数字と等しいため答えは８」
【ガウス記号知らなくても】
一の位が２と５と０のものだけ除いて、一の位だけかければ１８回の一桁の掛け算で解けそうですね。
1の位で判断して消すんじゃなく全体で2と5のペアを消すのではないでしょうか。そこから1の位の掛け算
5と15と25に16をかけて、3が残る。
3と7は1になって9と9で1だから残るは、
9と3と20と30と偶数-16
2468も248も4だから4が3つで4
9 3 2 3 4 で8
で解きました。解答用紙に説明するのは難しそう
この問題に関して言えば(9，8，7，6，5，4，3，2)を順に隣の数字をかけてさらにその1の位の数をかけて(0の場合は10の位をかける)ってことを繰り返して最後に3乗すれば求まるな (9×8＝7「2」、7×6＝4「2」、6×5＝「3」0、3×2＝「6」、2×2×3×6＝7「2」、2³＝8)
というか論理的な解法の仕方が分からなかったから算数的に解くしかなかった
答えあっててよかったぜ
もっと簡単に言えば9～2を順にかけてその1の位の数を3乗した数の1の位ってことやね
これ、偶然当たってるだけで正解からかなり遠いと思う。
＞6×5＝「3」0
16*16=2「4」0
26*25= 6「5」0
だから。
1の位だけ知りたいなら10の位以上は無視してよいことに気付けるかが問題ですね
パスラボの数学で珍しく正解した問題
一の位が8と5と1と0を除いた数の掛け算をしました
1×2×3×4=24
１の位だけ考えて
4×6=24
(5の時だけ一旦無視)
4×7=28
8×8=64
4×9=36
５を無視したら1～9と11～19、21～29の一つ目の数は同じだから
6×6=36
6×6=36
で一つ目の数字は6
無視した10、20、30を考えて
6×2×3=36
無視した5、15、25を考える。５は明らかにどこかの2とくっついて10になるから考えなくて良い。素因数分解すると15の3×5の3しか計算する必要がない。
6×3=18
よって0以外で最初に来る数字は8
見てすぐに「計算簡単だろ」と思ってやってみた。
誰か穴があったら指摘して欲しい。解いた自分じゃ気づかなかったりするから
「5は明らかに〜」の部分に違和感がある
5を掛ける対象が偶数だったとしても、その最初に現れる0でない数字は変わる
例えば10!に対して問題文と同じ事を問われたとしたら、本来の答えは8だが5を考えなかった場合6が答えになる
@@ラルトス-g8h なるほど。確かに。
ちょっと再考してみます。
@@ラルトス-g8h
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10の0の次に来る数字を考えると2*5は10になって無視できる。よって
3*4*6*7*8*9
=12*42*72
→2*2*2
=8
11*12**13*14*15*16*17*18*19*20を考える。
15*20=3*100なので1の位のみを考えると
1*2*3*4*3*6*7*8*9*
=6*12*42*72
→6*2*2*2
=48
21*22*23*24*25*26*27*28*29*30を考える。
24*25=6*100なので同様に
1*2*3*6*6*7*8*9*3
=6*36*56*27
→6*6*6*7
=36*42
→6*2
=12
8*8*2
=64*2
→8
よって答えは8
これなら大丈夫のはず
面白い！
これとまったく同じ問題が筑駒で出てます。
中学受験恐ろしや…
初見では1から9のうち2と5以外をかけた一の位の3乗すればいけると思い暗算して計算ミスで爆死しました
髪型変えた？
一の位だけでやったけど2になった僕は数学向いてない
追記
(1*2*5*10*)3*4*6*7*8*9の最初の数字が8だから
11~20も21~30も同じだろうと思って３乗して2になったんだけど
なんでこの方法だと違うん?
(2,5),10,(12,15),20,(22,25),30で0が６しか作れないやんて思ったら25から2つ0が作れるから0は全部で7つなのね
30!なのは25で引っ掛けたい意図があるんだろうな
@@zz-nd8suなるほど！よくわかりました
確かに25の存在を忘れてました...
ありがとうございます！
なるほど。自分と全く同じこと考えてる人とそれを解説してくれる人がいて助かりました。初見、紙なしで速攻解けた。ってイキってました。
ドッキリ派なんですね。僕はびっくり派です
駿台模試でやられたけど1の位は周期的に変化するので〜は減点されるらしいです…
なぜですか？
関数f(x)が周期αであるときf(x)=f(x+α)が成立することを書くべきってことですかね？
@@詩島剛-z7o 書き方はいろいろあると思いますが論理的に間違ってないので正しく書けば減点されるのはおかしいですね
@@詩島剛-z7o
そういう事です。
周期的に変化する根拠を書かないとダメみたいです(まあそりゃそうですが)
@@数学太郎
「一の位は周期的に変化するので〜」
が減点されるのは、さも定理のように記述する上のような書き方ではまずいという事ですね。
めっちゃ検算したくなるけど脳筋全かけ算する以外にその方法が思いつかないというね
mod10とか2年半ぶりに聞いて完全に初見だと思いました！思い出させてくれてありがとうございます！
すごい
10(2*5)を全て省いた数字の一の位だけで乗算すればいけるかな〜と直感的に思ってやったら正解して草
4:37
なぜ、⚪︎の数が2の素因数個になるのですか？
わかる人が居たら教えてください。
(中学生3年生です)
初見ならとりあえず2と5の約数の個数を調べるところから考えそう。後はゴリ押すかもしれない
基本を理解していて、それを利用して【創意工夫】をさせる事を強いる良い問題です😃b
更に、数学の本質である【楽をするための苦労は厭わないw】という本音が透けてみえてて草。
かなり強引に解いてみました。
5の倍数のみ5で割った数字を下1桁として、1の位をかけ算していき、5の倍数の数だけ2で割る。
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10のうち1を消し、2と5と10をセットで消す、3と7をかけると下1桁1だからセットで消す
4×6×8×9の下1桁は8。これを①とする。
11から20を掛け算する場合は、①の8に2×3を掛けた数字の下1桁。
15が5×3、20が10×2だから。8×2×3の下1桁は8。
21から30の場合、①の8を÷2して×3した数。
25が5×5だから10の階乗より2とのセットが1つ多く、30が10×3なので。
0以外で初めて出る数は2。
8×8×2の下1桁8が30の階乗で1番最初に出る0以外の数。
9!だけすれば答え求められると考えて、計算した結果答え合ってたんですけど、これはたまたまですか？
誰か教えていただけると嬉しいです。必要があれば自分の考え方も説明します
たまたまかな。
???12*5 = ????60
???22*5 = ????10
???12*15 = ?????80
???22*15 = ?????30
挙動が変わる。
一の位が3*7、9*9になるペアを消していけば2*19だけが残りますね
こんな感じの問題どっかの中学入試でもあった気がする
あっれ？0取っ払った1桁目なんだから、1～30までの1桁目を掛け合わせた数の0取っ払った1桁目になって、最終的に9！^3×6の1桁目になるハズなんだけどなぁ…。どこで計算間違えたんだろう？
というか、高校で習わないmodありきで問題出されると困るなぁ…。
ガウス記号とかMODとか覚えてないから記述になった途端出来なくなる笑
今回の場合特に関数であるわけでもないんだから､「割って少数切り捨て」って言うだけもいいと思うんだが…
わざわざ「ガウス記号使う」って言うことで大したことない問題も難しく聞こえてしまうと思うし､使わなくても「30÷4=7.5
よろしければそのけたの次のけたも求めてください！
ガウス記号は世界的には床関数(floor function)と呼ばれるのでガウス記号を知らなかったとしても不思議ではない。その際は大変心苦しい限りだがもう諦めるしかないよね…。悲劇は突如訪れる。
別にこの問題に限っては覚えてなくとも解けるとは思うけどね…
基本ないと解けない問題はガウス記号の説明入るだろうし
@@tortoise266 よくネタにマジレス楽しいかと言う人がいるがツッコミが用意されたカタルシスしか与えないのに対してマジレスって実は楽しい。それは時に人生において一服の清涼剤となるだろう
@@nanakadog
そもそもこれネタレスのつもりだったん？
俺ギャグセンスがないからどのへんで笑い取ろうとしたか教えてくれんか
@@tortoise266 まずありえない話なので明らかにネタだがね。そこから皮肉を読み取るか喜劇を読み取るか虚無を読み取るか。それは共感の問題であってギャグセンスの問題ではないね。たぶんね。笑い。元ネタって言葉があるように、元の流れというのがある。元の流れのどこを参照し何に暗に言及したのか。それを想像してみるのもまた楽しいし、その楽しむ感覚は学習事項を記憶する時にも役立つだろう。笑い。
@@nanakadog
何をもってありえない話としてるのかがわからんのだが
難しい言葉使いたがってるようにしか見えんからもっとわかりやすく書いてくれないか
答案を論述的に書くのが面倒そう。数式だけでいいのでしょうか？
だめですよ
答案として論述的に書くにはどうしたら良いのでしょうか？
何かの問題で「１０進法の540!を計算し、それを５進法で表した。その時末尾には０がいくつ続くか」という問題があった。これも動画をもとに工夫したら解けた。
ちなみに１０進法の状態で素因数分解をして動画のように５の指数を数えて解きました。
明らかに偶数なので答えだけなら4択
どうやってmod使うのを言葉にしたらいいんだろう
ガウス記号って「条件を満たす全ての整数」でしたっけ…
n-1≦x
懐かしい解いたことある
数学自信ニキは何分くらいで解いちゃうの？
私はきちんとした記述をせずに計算用紙で答えだけ求めるという形で3分ほどで求められました。
これって1の位だけ見たら1~10までの数が3回かけられているって考えると、3×4×6×7×8×9の1の位の数を3回掛けた数の1の位になるやん。
0以外の最下位桁を計算したいので、5と10は1になりますが、15は3に、20と30は2と3になるのでは。25は5が2回なので、2を一つ追加で吸収して最下位桁は1に。
数学選択で私文だけど解けた、千葉大いけるかな()
1の位は全部同じだから、１～10の積をmod10で考えて、最後3乗すればいいかと思ったけど、間違えたかな？
1*10 2*5 3*7 （ここまで同じ） 4*6＝4(mod10)、8*9=2(mod10) だから、
8(mod10）の3乗で2(mod10)かと思ったけど これで何がダメかが分からない…
同じように考えて詰まったけど、15,20,25,30が1~10の積の時とは同じように扱えないからだと思う
あくまで0にならない最初の数だから、10は1に変換できるけど、20は2に、15は3に変換されるって感じで
1~10 →8(mod10)
11~20 →8(1~10と同じ)*3(15の分)*2(20の分)=8(mod10)
21~30 →8(1~10と同じ)/2(25から出る5の分の補正)*3(30の分)=2(mod10)
ということで、
8*8*2=8(mod10)
自分も楽な方法だと思ったけど、思ったより考慮することが多かった…
@@fttf157 丁寧に解説をありがとうございます！めっちゃスッキリしました！自分の方法の、行けるところダメだったところのご指摘、心から感謝です！！
この動画見た時点で今後所見で出ないってことだけ言わせて欲しい
ああ。。あの考え方ガウス記号というのか……（中学受験生）
割と中受の考え方ですね(*^^*)
俺馬鹿だから常用対数使うかと思った…
え、でも出来んことはないよね
常用対数は桁数とかおおまかな情報を知るのは向いてるけど、こういう数字の中身を問うのは無理数同士の比較になっちゃうから辛そう
10！で下の桁から0の次に出てくる数が8
11から20掛けても、21から30掛けても8になるから
8の3乗で下1桁出すと2になるんだけど
どこかミスってる？分からん
＞21から30掛けても8になるから
これが間違い。
1..10 → xxx28800
11..20 → xxxxx72800
21..30 → xxxxxxxx32000 ここだけ25が混ざってるせいで様子が違う。
義務教育しか終わってないから2と5の塊ができるら0か5で0は違うから5だと思った。
穴埋めだったらもっと正解率上がると思うな
論述が思いつかなかった
1から30までかけるから
1×2×3×4×5×6×7×8×9=362880だから8じゃないの？
1-9 で考えるときは，掛けて10になる2,5,10 を別扱いすればよかった。
1～10= 2*5 *10 *( (1*3*4*6*7*8*9) mod 10) = 100* 8
11～20= 12*15 *20 *( (11*13*14*16*17*18*19) mod 10) = 3600 * 8
21～30= 22*25*30 *( (21*23*24*26*27*28*29) mod 10) = 16500* 8
100*3600*16500= 100*1800*33000 ( 0を取り除いてからmod 10 =4)なので， 4*8*8 *8 mod 10 =８が得られる。
31の30乗÷２で計算だァ！ って思ったけど人間レベルじゃなかった
問：１～９のどれ？
ランダムで答えても11.1%で正解。正答率がそれを下回る7.5%なのは納得いかない。
（真面目につっこむと、１～９の答えをランダムで当ててもそれは正答ではない。記述問題なので。）
筆記じゃないから、勘でやれば正答率より高いね