【難易度C】整数問題の良問に挑戦！（重要２パターン）
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- Опубліковано 8 вер 2024
- 大学への数学 C問題の整数問題（Goto整数）
２パターンで解けと言ったら解けますか？
整数問題の奥深さがわかる良問です。
（2020年 東京女子大学）
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一次合同方程式の特殊解を x=-4,y=2 と選んだから x/y=-2 となり解の 1 つ
(11k-4)/(-4k+2) から -2 を引くことで (11k-4)/(-4k+2)-(-2)=3k(-4k+2) と綺麗な式に変形できた
x/y が整数となるのは -2 の付近にあることを前提にするすれば
|3k(-4k+2)|=0 または |3k(-4k+2)|≧1 で絞り込めた
ｘ/ｙが整数なので、ｘをｙの倍数Ｋｙとおき、式を4Ｋｙ+11ｙ＝6としてｙでくくると、ｙ（4Ｋ+11）＝6となる。
かけて6となる整数はｙ×Ｋ＝6×1、3×2、2×3、1×6 と -6×-1、-3×-2、-2×-3、-1×-6だが、4Ｋ+11は奇数となるので、
ｙ×Ｋ＝6×1、2×3、-6×-1、-2×-3に絞り込まれる。さらに4Ｋ+11が整数を満たすのは2×3、-6×-1となり、ｙ＝2，-6となる。
よって、（ｘ、ｙ）＝（-4、2）、（18、-6）
このほうが計算ミス少なそう
僕もこれで解きました！
y≠0より4x/y+11=6/y
x/yが整数⇒4x/y+11が整数
⇒6/yが整数
つまりy=±1,±2,±3,±6が必要条件
このうち、6/y-11が4の倍数となるのはy=2,-6のみであり、
4x/y+11=6/y⇔x/y=3/(2y)-11/4
にそれぞれ代入するとx/y=-2,-3となり満たしている。
よって(x,y)=(-4,2),(8,-6)
のみであり、
↑ここから先が分からなかった....
追記わかりました
x/y をｍとすると（４m＋１１）×（2ｋ+1）＝3となり、 2ｋ+1＝1 3 -1 -3 のいずれかとなります。そのうちｍが整数となる場合は -2 -3 としました。 前半 11ｙ≡6（mod4）から 3ｙ≡6（mod4） 3 と4が互いに素であるため ｙ≡2（mod4）が使えるようになってきました。mod だんだんわかってきました。(笑)
4x+11y=6を変形してx=(-11y+6)/4として
x/y=(-11y+6)/(4y)これを整数aと置くと
a=(-11y+6)/(4y)変形してy=6/(4a+11)
yは整数であることから4a+11は6の約数となる
6の約数をdと置くとd=4a+11となり変形すると
a=(d-11)/4となりaが整数であることから
dは最低限奇数(本当はd-11は4の倍数だが偶数であることのみで絞り込み)
である必要があるので
6の約数のうち「-3,-1,1,3」の四つを調べればいいことになる。
d=-3の時
a=(-3-11)/4=(-14)/4=-(7/2)
aが整数でないのでNG
d=-1の時
a=(-1-11)/4=(-12)/4=-3
y=6/(4*(-3)+11)=6/(-12+11)=6/(-1)=-6
x/y=aより、x/(-6)=-3 => x=18
d=1の時
a=(1-11)/4=(-10)/4=-(5/2)
aが整数でないのでNG
d=3の時
a=(3-11)/4=(-8)/4=-2
y=6/(4*(-2)+11)=6/(-8+11)=6/3=2
x/y=aより、x/2=-2 => x=-4
ans.(x,y)=(18,-6),(-4,2)
kの式で置くよりわかりやすいかと
ポイントはxの式で置くことにより
x/yが計算しやすいことかなあと。
いつも卓越した発想に感動しながら楽しんで見させて戴いています。
（リタイヤ組ですので受験生の皆さんには申し訳ありませんが、楽しみだけで数学を学び直しています）
今回の課題ですが、2行目のｘ＝-4、ｙ＝２→ｏｋ はやはりアタマが良過ぎ？ます。
自分はもっと低空飛行で ｘ／ｙ＝ｍ（ｍ：整数）⇒ｘ＝ｍｙ からスタートし、
ｙ（４ｍ＋１１）＝６ｘ１，３ｘ２，２ｘ３，・・・ー３ｘ－２，ー２Xー３、ー１Xー６
として、ｍが整数になる条件を見つける愚直な方法で解きました。
それはそれとして、すばる先生の２通り目として書かれた３行目から５行目の引き算から求める方法は
大変参考になりました。
これからも楽しませていただきますのでよろしく！
与条件からyはゼロでない
両辺をyで割ってyに整数値代入でおしまい
素直にやるとx/y=k(kは整数)とおくよね。
んで、xを消去して
(4k+11)y=6で積の形ができて、4k+11もyも整数だから、とりあえずyの可能性は8通りしかないんで、このくらいなら全数検索しても答えまでいくかな？って思った。
勿論、4k+11≡-1(mod 4)使えば秒殺に近くなるが。
mとおいて分母を払って因数分解もどき
全体をyで割れば一瞬ちゃう？6の約数のプラマイ
僕もその解法で解きました！
確かにそれなら一瞬かと思いますが、y≠0を明確にしないといけないのでは？
@@user-ux1hw8fk7v 問題がx/yなんだからy≠0は自明じゃね
@@Rabbi_Finance いらないよ
この解き方がよく分からない。説明してくれる人いますか？
題意を満たすためには、x=ky(kは整数)となることである。
とすると、
y(4k+11)=6
4k+11は奇数であることを考えると、
(y,4k+11)=(±6,±1),(±2,±3)(複号同順)
⇔(y,k)=(-6,-3),(2,-2)(残りはkが整数でない)
⇔(x,y)=(18,-6),(-4,2)
最初見た時思いついた解法
↑普通こう解かん…かな？
同じくです
y=0ではxが整数にならないことを確認して、両辺をyで割ってみました！！
左辺が整数ならば、右辺も整数。
整数解のひとつx=18,y=-6(互除法で出した)を使って解いていったら、動画の7:50〜にあたる箇所で分子にkが出てきて、手が止まってしまいました。整数解のチョイスを間違えているのでしょうか…？
12:55のとき整数の部分-3にした方が分子のの係数が1でやりやすそうって思う。もちろんマイナスつくけど整数だからあんまり気にしなくていいし
私はx/yをkについてのグラフを書いて答えを出しましたが、却って難しい解き方だったと思います。=mとおいて、因数分解するのが一番簡単かなと思います。
うちの先生は割り落としって言ってました笑
y=0のときx/yを満たさいのでy≠0
両辺をyで割って式をまとめると
x/y＝6-11y/4y ①
①をk(整数)と置くと、
y＝6/4k+11
yは整数より、4k+11が6の約数になる場合を考えると
k＝-2,-3
よって
(x,y)＝(-4,2)(8,-6)
やったー！できた、！！😆
自分はx/y=tとおいてx=tyを与式に代入した後yでくくって因数分解8通り(実質4通り)計算で解きました。こういう問題って解法沢山あって面白いですね。
27日目！分数が整数になる条件の問題何回かやってるはずなのに、なかなか身につかない💦この動画とかパスラボをもう一度みて復習します。
学んだ知識は活用しないといけないですね！！
x/y=kと置いて、(4k+11)y=6からy=±1,±2,±3,±6を考える派でした。
ところで14:20頃から音量が小さくなっています。カットが入った瞬間なので、機材側よりも編集時の問題のように思います。
すでにいろいろ解法がでていて、いまさらですが。
動画の解法１で、(11k-4)/(-4k+2)=mから、分母払って因数分解するという「よくある変形」で
(4m+1)(2k-1)=3 ってなりますので、ここからも求められます。分数式のまま考えるよりは楽かと思いました。
解法2の絶対値のところが理解できないです😖
4x + 11y =6 を変形して 11y = 2(3 - 2x)、これより2x = 3 - 11k, y=2kとおける。x/y=a (aは整数)とすると, (3-11k )/ 4k = a, 整理してk(4a+11)=3これであとは4択でいけた！
最初の変形を特殊解使った変形じゃなくてこっちにした方が分母が簡単な形だから楽だった
東北大学もとんぺーって呼ばれてるから違和感なかった
x/y=nと置いて、x=ynを与式に代入してyでくくると
y(4n+11)=6となって、
4n+11=±1,±2,±3,±6のうちnが整数になるのは
4n+11=-1,3のときで、
その時n=-3,-2で、それぞれy=-6,2で、それぞれx=18,-4なので
(x, y)=(18,-6),(-4,2)
コメント見ないで書いてますが、恐らく同様のコメント多数かな。
確かに、x=ky,y≠0から、4k+11にmod4かけて解いたのです、が。
今回の解き方は、=6 じゃなかったらどうする？という汎用性を上げた解き方だったのかな？と愚考します。
例えば =162 とかだと、約数沢山あるからどうする？とか。
両辺をyで割って、6/yが整数にならなければならないのでyは6の約数、という回答はすでに出てますが、つけくわえるなら、与式が(偶数)+11y=(偶数)になっているのでyが偶数 と分かるのでy=±1,±3の場合は考える必要はないです。
問題の意図を汲み取ってないしスマートではないけど、
4x+11y=6…①において、y=0とするとx=3/2で整数とならないためy≠0としてもよい。
①の両辺をyで割って
4x/y+11=6/y
∴x/y=(6/y-11)/4
x/y∈Zとなる為には(6/y-11)/4∈Zを満たすy∈Zが存在する事が必要である。
y∈Zより6/y∈ Zとなるのはy=±1,±2,±3,±6
あとは愚直に代入してx/yとxが整数になるものを列挙すれば答えかな
動画1個目の解法の方が個人的には好きだけど
備忘録70V" 〖 別解 〗 文字はすべて整数とする。
【 与式 ⇔ 4・( x－7 )＝ 11・( －y－2 ) 】 4 と 11 は互いに素だから、
x－7＝ 11k, －y－2 ＝ 4k ⇔ x＝ 11k＋7, y＝ －4k－2 ･･･①
x／y ＝ (11k＋7)／(－4k－2) ＝ ℓ ⇔ 4kℓ ＋11k ＋2ℓ ＋7＝ 0
〖 双曲形の不定方程式 〗: ⇔ ( 2k＋1 )( 4ℓ＋11 )＝ －3 これより、
( 2k＋1, 4ℓ＋11 )＝ ( －1, 3 ), ( 1, －3 ), ( －3, 1 ), ( 3, －1 )
適するものは、 ( k, ℓ )＝ (－1, －2 ), ( 1, －3 ) ∴ k＝ －1, 1
①に代入して、 ( x, y )＝ ( －4, 2 ), ( 18, －6 ) ■
yで割れば良さそうとか思ったけど、そん時先見えてなくて、どっかで詰まったら嫌だなぁってことで2個目の正規ルート取った。
2通りというのは、
①一般解or②両辺yで割って必要条件から考える
のことだと思ったんですけど①をさらに2つの解法に分解してるんですね
はいきたきもちぇーー
難かCというくだらないワードが頭に浮かんだ自分を殴りたい。
絶対値が１以上か0の理由が分かりません。誰か教えてください
整数になるには0 or ±自然数なんでそれを絶対値を使って包括的に考えてるだけですよ〜
絶対値は0以上だからね
途中から音小さくなってますよ（編集ミス？）
なってないよ？
格子点に落とし込んで考えたりできますかね、、、🤔
なんか歯切れが悪かったなあ
グラフ書いてやったわ
煽りから入ってて草
c問なんにそこまでむずくなくね