整数問題の史上最高傑作【１つのミスが命取り】
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- Опубліковано 18 тра 2020
- 入試問題のレベルを超えた？史上最高傑作。
完全オリジナルの整数問題をご用意しました。
これまでのPASSLABOの整数問題を
見ている人ならぜひ解けて欲しいです。
でも落とし穴には十分注意して欲しい。
１つのミスが、命取りになりますからね。
今年の京都大学で出そうな問題ですよね。
ぜひ友達にも教えてあげてください！
P.S.今日のパスチャレの答えはこちら
note.com/pfsbr123/n/n74d0e639...
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一緒に動画で朝活しよう
整数問題って難しいけど解けるとめっちゃ嬉しいし楽しくなるよね
しかも解が分数にはなり得ないという神問題
よっしゃあ！
99%の一般人だ
サムネが３乗になってたので変更しました。元のサムネはTwitterにて🎓
twitter.com/passlabo_study/status/1262905401479028736?s=21
「a^3+b^3+c^3=292を
満たす自然数は存在しない」
↑この証明もぜひトライしてみて
（解法②と③を使います）
【動画を最後まで見た方へ】
（ネタバレ注意）
↓
↓
↓
またmod4だけを使いましたが
もう少し簡単に解く方法があります。
ヒントはa^2+b^2+c^2=73のところ
別解を思いついた方やリクエストはコメントに載せてください！
mod3使ってa‘b’c‘のうち二つが3の倍数ってわかりますね！とりあえずa’b‘が3の倍数だとして9(a”^2+b”^2)=73-c’^2っていう式ができて73-c’^2が9の倍数になるのはc‘が1の時だけですね！あとは動画とおんなじような流れでできますね！
3乗の方は292じゃなくてもっと大きい数字だったら解けるかわかりませんが、292の場合はa≧b≧cと仮定してaが6か5の時だけ調べればいいのでそんなに難しくないですね
題意と異なる別解0,6,16があります。
a,b,cは自然数ではなく正の整数としたほうが良いのではないでしょうか。
つまらないキズで出題の価値を下げるのはもったいないです。
また、いきなりmod4を持ちだすのはいささか出唐突感があります。
偶奇性よりa,b,cは偶数,偶数,偶数 or 偶数,奇数,奇数は自明ですが
「変数が３つ以下だから」mod2ではなくmod４を用いることにより
上手に偶数,奇数,奇数の可能性を消せることを説明しないと
リスナーは意味も分からずただ解法丸暗記することになりかねません
備忘録"70V 2周目【 文字は すべて自然数とする。 a²＋b²＋c²＝ 4･73 ･･･① 】
mod4 の合同式を使うと、自然数 n は、 n☰ 0, 1, 2, －1 で それぞれ、 n²☰ 0, 1, 0, 1 ( 2種 )
これより、 ①を満たすものは、 ( a, b, c )☰ ( 0, 0, 0 ) だから、 ( a, b, c )＝ ( 2p, 2q, 2r )
と表せる。 ①に代入して、p²＋q²＋r²＝ 73 ･･･② 対称性により、p ≦ q ≦ r ･･･③ としてよい。
②より、 0＋0＋r² ≦ 73 ≦ r²＋r²＋r² だから、 73/3 ≦ r² ≦ 73 これより、r＝ 5, 6, 7, 8
ここからは シラミツブシで ( ⅰ ) r＝ 5 のとき、 p²＋q²＝ 48 これに p²＝ 1, 4, 9, 16
を順に代入して、 適さない。 ( ⅱ ) r＝ 6 のとき、 p²＋q²＝ 37 これより ( p, q )＝ ( 1, 6 )
( ⅲ ) r＝ 7, 8 のとき、⑴と同様に適さない。 以上より、 ( p, q, r )＝ ( 1, 6, 6 ) ⇔
( a, b, c )＝ ( 2, 12, 12 ) ･･･☆ ③の条件を除いて、☆の並び替えの 3組が求めるもの■
整数問題って答えが整数なところが好き
当たり前だけどすごい分かる
なお数列とベクトル
うつくしい
@@buyoyonbuiyon えぐい内分とかわけわからん比が出た時暴れたくなる。でも、麻薬な所で最終的に綺麗な数字がスポッと出たらひょー
@@buyoyonbuiyon B無くなりさえしたら数学最強なってたわ
解説分かりやすくて好きになりました
a,b,c の最大値をcとするとcは等号含めて17から10になり、全部あたったら2、12、12が出ました。PASSLABOの整数問題やって、初めて自分で答えが出たので、嬉しいです。
合同式の大切さが分かる問題
私は1≦a≦b≦c≦17とおいてゴリ押しました。
左側に1〜17までの2乗を書いておいて、c=17のとき、c=16のとき…としました。
このとき、a^2+b^2+c^2≦3c^2より、292÷3=91…2から10≦c≦17と分かるので、これが大問1つ25分近くかけて良いとすれば(動画内の解法が頭に入っていなかったので)、8パターンくらいならゴリ押した方が良いなと感じました。
「c=15のとき、すなわちa^2+b^2=67のとき」みたいにやっていっても、次に大きいbがa^2+b^2≦2b^2なので右辺の67と67÷2=33…1より6≦b≦8を調べれば良かったり、bがcを超えないことに気をつけてやれば案外調べないといけない範囲は絞られました。
以下解答につきネタバレ注意
で、対称性に注意して最後に(2,12,12)(12,2,12)(12,12,2)としました。
私は計算がクソ遅いので15分以上かかりましたが、25分もかかりませんでした。本番だったら「あ、問題で差が出そう」と勘付くと思います。ゴリ押せるか否かは最初の検討で分かるので、綺麗な解法が浮かばないから諦めるじゃなくて、時には気持ちのごり押しで完答(まで行けなくても途中点)をもぎ取って欲しいなと思います。
勿論、この動画見た方は、こんなごり押しよりはpasslaboさんの鮮やかな解答・思考法で挑まれることをお勧めします笑
勉強になりました。ありがとうございました。
とてもためになる動画、ありがとうございます！！
mod4に注目する解法は思いつきませんでした。
はじめに「a≧b≧cとしても一般性は失われない」としたうえで、a＝17,16,15,14,13,12,11,10と絞り込んで愚直に解きました。
答え合っていたから嬉しかったけど、PASSLABOさんの合同式を使って解いているのがとても鮮やかに映りました！！
こういう解法を思いつくかどうかが模試で(3)まで完答できる人と(2)どまりの人の差なのかなと感じました。
なんか数学オリンピックの入門編みたいな問題で良問ですね。
MODを使った整数の問題範囲は脱ゆとりで復活したところで、
受験生も教師もなかなか良問を見つけるのが難しいですが、これはナイスなオリ問です。
1%の人しか解けない問題が「良い」問題っていう感じ方の意識の高さたるや
今日も分かりやすかったです！！私は受験生のだったとき、整数苦手でした・・・
サムねが3乗になっているのですが、２乗が正しいですよね？
毎日パスラボ見てたらすぐに方針浮かぶようになってめっちゃ嬉しい
今回も神回！！
a≦b≦cとしても一般性は保たれる。この時、a^2+b^2+c^2＝292≦3c^2であり、10≦c≦17 なので、場合分けして、a≦bを使って解きました。
なんでcの下限が10になるんですか？
@@aaatheee7364
たしかに。
上記の不等式では10以上とは出てきませんね。
おそらく9以上かと。
@@aaatheee7364
c^2 ≧292/3=97.3... だからc=9ならまだ81でしょ？∴ c≧10 同様にしてa≦9もわかる
すばらしいです！感動しました！
最初の式の段階でmod3で考えると
a.b.cのうち2つは3の倍数と絞れて、mod4で出る条件と合わせると
a.b.cのうち2つは6の倍数という条件が得られます。
a.b.cは17以下なのでa.b.cのうち2つは6か12って絞れて計算が楽になります。
できればそれ以降の計算の流れを教えて欲しいです。
2つは6の倍数なのなんで？
必ず1つは6の倍数なのは分かったんですけど
今日も賢くなった。ありがとうございます。
PASSLABOさん達のおかげで自力で解けました！！
これからもよろしくお願いします！！
ただ予備の後にあげてくれてありがとう
a'^2+b'^2+c'^2=73 の時点でmod 3を取ると(b',c')=(3,3), (3,6), (6,6)になってmod 4より楽。
私もそうやりました。
同じことが書いてあったので自分のコメントは消しました。
最初に法を3にしたワイ無事死亡
とある廃人
73=3×24+1≡1(mod3)
平方数を3で割った時の余りは0か1だから、a',b',c'のうち2つは余り0、1つは余り1だとわかる
コメ主様のやり方だとa'≡1(mod3)と仮定してb'あるいはc'は3,6のいずれかとできるからではないでしょうか？
自分もそうやった。
めちゃくちゃ面白かった
ありがとうございます
今年からはあいだまんがよくしゃべるようになったから急激に好感度上がった
僕この前数検準2級受けてきたんですけど、これの2020バージョンが出ました。僕は4で割った505の時点でゴリ押しました。キレイな解き方分からなくて考えてた時にこれ見つけてめっちゃ感動しました！ありがとうございます。
すごく難しいけど解けると楽しい
それが数学
これは分かりやすい！出来た気になるのが怖い笑
PASSLABOの他の問題で平方数はmod3,4に注目するっていうの覚えてたから今回はノーヒントで解けた！嬉しい～！
中1の知識でいけた！
a b c < 18
とわかる。(18×18=324)
292=4×73
だから
a^2÷4+b^2÷4+c^2÷4=73
になるということ。
この時
a b c の二乗は4の倍数でなければならないため a b cは偶数とわかる。
1〜17までの偶数は
2 4 6 8 10 12 14 16
そしてそれぞれの数の二乗を4で割った数は
1 4 9 16 25 36 49 64
この数の和で73を作るには
36+36+1
しかない。
36は12の二乗を4で割ったもの、
1 は 2の二乗を4で割ったもの。
よってa b c は
12,12,2
になる。
12^2+12^2+2^2=292
たまたまなぜかおすすめ出てきて見たけど、mod、、、合同式、、懐かしい、、、ってなった。笑笑
なんとか理解が追いついて終わった時はめっちゃ気持ちよかった。解説上手です🌟
A²+B²+C²=73⇔(A+B+C)²≧73+2(AB+BC+CA)とcauchy-schwarzの不等式とA≧B≧Cという大小関係を置いて、対称性を使って解けました！！
素晴らしい良問だと思います
[受験生へ] 今回のような問題では、mod 4 の他にmod 3 と mod 5 の情報も最初に手に入れておくとさらに時間短縮できるから、よかったら覚えておいてね。(塾講師5年目より)
[mod 3]
整数の2乗を3で割った余りが0 or 1しかないことを利用する。
292≡1 (mod 3) より、3数は3で割った余りが(0,0,1)ということになる。つまり、3数のうち2数は3の倍数であることがわかる。
[mod 4]
動画の通り
[mod 5]
整数の2乗を5で割った余りが0 or 1 or 4しかないことを利用する。
292≡2 (mod 5) より、3数を5で割った余りは (0,1,1), (4,4,4)
よって、今回は5の倍数からは何の手掛かりも得られそうにない
a'^2+b'^2+c'^2=73 (☆)
2数は3の倍数なので、(3,3),(3,6),(6,6)の3通りだけ調べればよい
また、今回は余談だが3数のうち最大の数の最小値も求めておくと場合分けが減る。(☆)式でa=b=cと仮定すると、
3a^2=73 ⇔ a^2≒24.33………
ゆえに、3数の最大数は少なくとも5以上であることがいえる。もしaを最大数と仮定して場合分けをするなら、a=8,7,6,5 のみをすればよい
浜村渚の計算ノート
外から失礼します。mod3の部分ですが、３数は３で割った余りが（2,1,1）でも成立するのではないでしょうか。
もし私が間違っているだけならごめんなさい。(__)
@@user-ct1lz4xq6t整数の平方数を3で割るとあまりが0か1しかないので2は含まれないと思います
modの全パターン解説から来ました。時間は掛かりましたが何とか自力で解けました！！
分かりやすい解説ありがとうございます！もっとコンパクトに素早く解けるように頑張ります！
40歳のおっさんでも分かるのは説明の上手、頭の良さが分かります。高校の先生がこれくらいのスキルがあれば数学楽しかったかもな。
自分が数学できないのを高校の先行のせいにしてんの草
@@user-ho1me6xf5r マジレスするけど、コメ主は出来ないとは言ってないぞ？なぜそういう解釈になったのだ？
鄭和 ひねくれすぎ
@@user-wv6xh4hu5k それ数学っぽい。
鄭和 早よ成仏してくれ
確率問題の良問もたくさん紹介してほしいです！
学生の頃こういう問題大好きだったなぁ 初見で解けたけどこれは美しい
まじの傑作すぎる
鈴木貫太郎さんの動画をいつも見てれば2乗とmod3、mod4が相性良いことぐらいわたしからすれば簡単にわかりますね！
①4で割った余りで分類
→a,b,cがすべて偶数と分かる
②4で割った余りで分類
→a',b',c'のうち2つが偶数と分かる
③3で割った余りで分類
→a',b',c'のうち2つが3の倍数と分かる
②③より
a',b',c'のうち少なくとも1つは6の倍数
これで絞る方が簡単
全て偶数だったら②③よりの所は2つは6の倍数って事でいいですか？
一般性が失われない。という一言があるだけでも簡潔性が変わるなぁとこの問題で改めて思いました
mod総まとめの後に見たら結構簡単に解けて感動しました！
数学出来る人は凄いな。
社会人になってからは何でもエクセルで解いてしまう。
もちろん総当りで。
これから毎月、英語と数学のやるべき勉強方法の動画を出して欲しいです！特に夏休み中など...
あっという間の13分でした！
まだ中学生でmodとか習ってなくて分からないところも多かったけど納得できる説明で見ててワクワクしました
高校で習うのが楽しみです
素直に「面白ッ！」ってなりました✨
受験に向けても、この武器が増えてく感じ…堪りません！
塾のバイト始めたばっかなので教え方のお手本としても見させていただいてます！笑
久々に拝見しました、きっと良いDrになられると思いますよー。こんな先生は好かれる。
【１つのミスが命取り】
→サムネ。
このコメもっと伸びろーーー！！
上手い！
うますぎる。
どゆことですか。分からん😭
点P サムネにミスがあった
整数問題を体系化してパターンに落とし込むみたいの現役の頃やったことないから感心した
完全にアドリブと過去の経験から手探りでやってた
めっちゃいい問題
「3つの平方数の和が73」だという段階で，
73≡1(mod3)だから，a,b,cのうち2つだけが3の倍数だと分かる.
ここでa,bを3の倍数だとすると，それぞれの平方は9の倍数.
73−(9＋9)＝55以下で，3の倍数でない，72との差が9の倍数となる平方数は1のみだから，c＝1
以下，c=1を代入し，両辺を9で割り，a,bを求める
という方法なら，場合分けなしで解けます。
高校の範疇だと基本自然数に0が入ることが無いからこの解法でもいいのかな
整数好きだったつもりでしたが今回は解けなかったので悔しかったです。(コメ欄のみなさんは解けてますが。。泣）でも初めて見る解き方に感動しました。これからもいろんなことを吸収していきたいと思います！！なにとぞよろしくお願いします。
3の倍数を使うか4の倍数を使うかで面倒か楽か分かれるから実験の段階で両方とも試した方がいいね！
aの範囲を絞ってからゴリ押しで解いてしまった…
たった16個しか数字ないし、組み合わせ考えればだいぶ減るし、脳死で解けるからそれでも良さそう
自分だったらゴリ押し使う
動画の解法も結局ゴリ押しだし、別にええんちゃう？
@@user-qm1ex2fv1n 逆に範囲絞る方に時間かかりそうだから、総当たりはアリ
私はMODというものを知らなかったので、手探りで式変形をしたらこんな解き方ができました。
まず最初の式を変形して a^2+b^2=292-c^2 という式を作ります。
その式の両辺に2abを足して a^2+b^2+2ab=292-c^2+2ab 左辺を因数分解して (a+b)^2=292-c^2+2ab
両辺を平方根して a+b=√(292-c^2+2ab)…①
また、その式の両辺から2abを引いて a^2+b^2-2ab=292-c^2-2ab 左辺を因数分解して (a-b)^2=292-c^2-2ab
両辺を平方根して a-b=√(292-c^2-2ab)…②
①-②で 2b=√(292-c^2+2ab)-√(292-c^2-2ab)
両辺を2乗して 4b^2=4ab-2√(292-c^2+2ab)(292-c^2-2ab)
両辺を4で割り、移項して ab-b^2=1/2√(292-c^2+2ab)(292-c^2-2ab)
この式に①と②を代入し、左辺を因数分解して b(a-b)=1/2(a+b)(a-b)
両辺を(a-b)で割って b=1/2(a+b)
この式を解くと a=b
これを与式に代入すると 2a^2+c^2=292
移項して c^2=292-2a^2
1≦c≦17 と c=偶数 という絞り込みができたので、cに数を代入していくと a=12,b=12,c=2 という答えが出ました。
動画再生する前に解いてみてて
abcは違う数字じゃなきゃいけないって思い込んで「あ、この組み合わせじゃダメか…」って結局最後まで総当たりして答え出なくて再生したら答え出てた
整数問題やり始めて１週間ですが、PASSLABOの動画のおかげで簡単に解けました！
ありがとうございます
鈴木貫太郎さんがよく使う合同式パターンやな
合同式は組が一意に定まることの論述が難しい印象があります。
しっかり訓練を重ねて、減点されない答案を作ります！
めちゃくちゃ面白かった
貫太郎先生の動画みてたから解けた！
文系だけど、2次試験も考えて合同式は本当に使えるようになりたい！
最近整数に飢えてたので助かります
答えには10分くらいでたどり着いた。良い頭の運動になった🙂
対称性がすぐに思いつけるようにしたい
勉強頑張って戻ったら少し解けるようになった！
292 ≡ 0 (mod 4) だからa,b,cは全て偶数。292 ≡ 1 (mod 3)だからa, b, cのうち2つが3の倍数で1つが≡ 1 (mod 3)と絞り込める。だからa,b,cうち2個は17以下の6の倍数で6か12に絞れる。(6, 6, *) も(6, 12, *)も二乗和が292になる整数解はないが、(12, 12, 2)は二乗和が292になる。だから(a, b, c) = (2, 12, 12), (12, 2, 12), (12, 12, 2)の3通り。
一年遅れて見てます
なんとなーくmod4取って解いたけど、平方数はmod3,4とるっていうしっかりした根拠があるんですね！！
整数問題いいですよね
・今回は平方数を４で割った余りで十分ですが, 8で割った余りが0, 1, 4のみというのも有用ですよね.
・(a',b',c')のところで, 対称性からa'
凝縮してなくなっちゃったらどうするんですかみたいな質問しょうもなさすぎて好きww
整数問題初めてだけど、最初からコツを学べるから逆にラッキーかも！
パスラボのおかげで整数問題得意になった！
やっと休校中こんな朝早く起きれて見れた…
パターン化動画たくさん出して欲しいな
サムネ解こうとして解けなくて再生したら問題文違うじゃん…
11:16 2倍ですね！
a>=b>=cで考える。
18^2=324よりa
10:40あたりからの総当たりは論述でどのように説明すれば良いのでしょうか？
問題用紙とかに総当たりで計算して解答欄には、この式を満たす(b,c)は(_,_)みたいな感じで言い切ればいいと思う
なるほど！ありがとうございます
17の二乗から1個ずつ高速で解いていったら動画終わるまで溶けたけど説明あんまり聞いてなかったからもう1回見ました笑
mod4で4nまたは4n+2の形だとわかる。292を16で割ると余り4。だから4n+2の形をしているのはひとつだけ。これをa=4a´+2 、b=4b´ 、c=4c´とすると、a´^2+b´^2+c´^2+a´=18となる。a´=0～3を考えた。
最後の代入の量がちょっと多いのがネックぽさがある
2回目はmod4よりmod3で考えると3の倍数２つあるから3,3 3,6 6,6代入がいちばん早いかな
平方数で置き換えて簡単に出来れば計算幾らか当てはめれば何とか行ける…
けどこれが絶対間違えないようにっていうのが恐ろしいですね
整数問題詰まったらまた見ます
いきなり出てきて考えてみたら楽しかったし、考え方が広がった
①9^2×3=243,10^2×3=300
一番近くても(10,10,10)か(10,10,9)か…
②a固定しよう→11なら残りの和が171か…どう見ても無理か
③12か？→残りの和が148
あ、(12,12,2)か、結構早かったな
非常に分かりやすい説明だったと思います。ただa’,b’c’,と置いた時にその対称性を利用して、(a’
わかりやすいのはいつもながらですが
今回はいつもより難しいから分かりやすかった
有能すぎ
aが偶数,b,cが奇数のときmod 4としてb^2+c^2≡0となり不適よってa,b,cは全て偶数.a=2x,b=2y,c=2zとおくと,x^2+y^2+z^2=73.x,y,zが全て奇数のときmod 4として3≡1となり不適.よってxが奇数,y,zが偶数としてよい.x=2k+1,y=2l,z=2mとおくと4k^2+4k++4l^2+4m^2=72⇔k^2+k+l^2+m^2=18.これを満たすk,l,mが存在するようなkはk=0のみでこのときl=m=3よってx=1,y=z=6⇔a=2,y=z=12.よって求めるものは(a,b,c)=(2,12,12),(12,2,12),(12,12,2)
a^2+b^2+c^2=73
a^2+b^2+c^2-1=73-1
a^2+b^2+(c-1)(c+1)=72
mod4によりabcどれか一つは奇数でありもう二つは偶数。
abcの対称性よりcを奇数とすると、(c-1)(c+1)は4の倍数 (0も含む)
よってa^2=4α^2 b^2=4β^2 とすると、
α^2+β^2+(c^2-1)/4=18
こうすればα、βの候補を二つに絞れます！
どうでしょうか。
ごめんなさい3つでした…笑
弁明としては、ちょっと試せばすぐに一択になりはするってことですね…
最近 整数習いました、、！
記述ミス無いように頑張る
右辺が73なのでmod3で動画と同様に余りが0.0.1である数の組み合わせしかない。a’=3d, b’=3e, c’=3f±1と置いて代入して整理すると 3d^2+3e^2+3f^2±2f=24 もう一度mod3を考えるとfは3の倍数であるのでf=3gとおき、両辺3で割ると d^2+e^2+9g^2±2g=8 gの条件を満たし9g^2+2gが8より小さいのはg=0 同様に9g^2−2gが8より小さいのはg=1のときのみで d^2+e^2=1or8 これが成り立つのは(d,e)=(2,2)のときのみなので置いた式に代入していくと答えが求まる
1週間前までまっっっっっったく整数問題できなかったのに4時間でまとめた動画みて、毎日解いてたら解けるようになりました！本当に感謝しかないです！おまけに後半の処理はmod3でやった方が早いということも気づけるようになりました！
一応答えはあってたけど賢いやり方ではなく遠回りなやり方だったのでこの問題に出会えてよかった！
この動画を見る前に思いついた解法。a, b, cの間にa ≦ b ≦ cの関係が成り立つように、a, b, cを置き換えて考えると、292 = a^2 + b^2 + c^2 ≦ 3 * c^2になるのでcは10以上の自然数となる。同様にするとaは9以下の自然数となる。また、a = b = 1の場合にcが一番大きな値を取ることができて、この場合であってもc^2 = 292 - 1 - 1 < 18^2だから、10≦c≦17であることまでは分かる。あとはcを10から17まで順番に仮定して、a ≦ bの関係からbが取りうる範囲を絞っていけば(a, b, c) = (2, 12, 12)のときに条件が満たせることが分かる。今回は292という比較的小さい値が出てきたので力技でも簡単に解けることに気がつければ中学生でも解ける内容かな。大学レベルにするにはもっと大きな値にして、手計算では解けないようにしないといけないかな。
パスラボの人達いつもスバルさんの授業受けてるから学力受験期から保ててそう
私はおでんは大根派
“WOD”
a^2 を4で割った余りが必ず0、1であると勝手に言っていいですか？それとも示したほうがいいですか？
数弱なのに何故かおすすめに出てきたのでプログラミングで解きました forの3重ループで総当たりをして速攻で出ました。いい問題をありがとうございます。
292だと1-17までの平方数を書き出して、292から大きいものをc^2として引いていく
292÷2に最も近い144まで調べれば十分である
cよりも大きいa、bは存在しないから
次に大きい数字をbとしてa、bを探していく
289/256/225/196/169には対応するa、bの組は存在しない
144は144と4が存在し、121以下は考慮する必要がない
範囲を絞ればこの解法と手間は大して変わらないし、むしろ簡単だと思いました