【解けたら上位1%】不等式の３大解法を紹介します。
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- Опубліковано 25 лип 2021
- a,b,cが実数の時に使える証明です！
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方針2が愚直に解くやり方と思っていた。
コーシー・シュワルツの不等式がパっと見たときに思い浮かんだのでうれしい！！
コーシーシュワルツ！！！受験生時代は覚えてたけど、大学生になってたらいつの間にか忘れてたな…
am-gm
Lagrange
文字固定で2変数関数
コーシーシュワルツ
点と平面の距離
f(x)＝x²でJensen
見た瞬間当たり前だろって思ってしまう問題って解くの難しいですね
球と平面の共有点条件やf(x)=x^2の凸性を使っても解けますね。
コーシー・シュワルツより先に斉次化が思い浮かんで，
a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3 と変形してみたら (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0 が出てきたので証明終
これも中々速い気がする
1/3=1/3(a+b+c)²だから、示すべき不等式の項が全部2次になってあとは平方完成するだけかな
多分これが一番早いと思う
a,b,cをデータにおける数値と考える。
a+b+c=1⇔(a+b+c)/3=1/3…① ↑データの平均値
a^2+b^2+c^2は各数値の平方
(a^2+b^2+c^2)/3…②は平方平均値
ここでデータの分散Vについて
V=②－①^2かつ分散は0以上より
V=(a^2+b^2+c^2)/3-1/9＞=0
⇔a^2+b^2+c^2＞=1/3
が示された。
コーシーシュワルツが一番最初に浮かびました。ほんとに秒です。
すごくいい動画！！
私文志望だから1乗の方が平面、2乗をkと置いて原点中心の球、kが最小となる時は接する時、原点→接点のベクトルと平面のベクトルは垂直、つまり平面の法線ベクトルと並行、つまり(t,t,t) 、これが全部足して1、tは1/3って解いた。私文なので深いことは聞かないでください
面と原点との距離がまず思い浮かびました。平方完成は最終手段。
文系なのでおとなしく因数分解します😂
コーシーシュワルツってそういう意味なのか！覚えやすくなった！
邪道だけど
(a-1/3)^2+(b-1/3)^2+(c-1/3)^2≧0
で解いた
3次方程式の判別式でも解けそうだけどめちゃくちゃごちゃごちゃしそう
ab+bc+caの不等式評価は初見でしたが、コーシーの解法は浮かんでよかったです。
相加・相乗とコーシーシュワルツしか思いつかんかった
対偶をとってもできないかな？
対称式の問題と思ったから対称性使って解きました
私もそうしようとしましたが、おそらく2乗するのできちんとした不等式評価ができないと思います
ベクトルに似てるかもしれんけど、
空間図形思い浮かべたらガチで2秒じゃね。ちょうど球に面が接してるかんじで
2パターンのみ、もうちょい頑張りやす
ラグランジュで最小値出すのでもいけるな
1文字消去からの1文字固定
皆さんが言ってる平面と点との距離ってのは
平面ax+by+cz=0と点(1,1,1)との距離を比べればa,b,cによって変わる距離の最大値が√3になる
っていうことであってますか？
いや、abc座標で考えた時の、原点(0,0,0)と平面a+b+c=1上の点(a,b,c)との距離だと思いますよ
原点から平面に垂線を下したときの距離が1/√3であり、図形的に考えると明らかにこの時に最小になります。
√(a^2+b^2+c^2)≧1/√3より題意は示されます。
2で解きました
真っ先にコーシーシュワルツが出てきた
コーシーしか浮かばなくて逆にほかの解法思いつかなかったから一回初心にかえります
同じく。引き出しを増やしてくれる解説はやはりありがたいです
始めて知るのばっかでした
コーシーシュワルツ秒
コーシーシュワルツってこういう時に使うんや
相加相乗平均で一瞬
このコーシシュワルツから、積分系のシュワルツの不等式も導出できますか？
シュヴァルツの不等式は内積の不等式で内積の定義（高校のよりも一般化した）から簡単に証明できます。また二次関数の判別式から示すのもあります。
コーシーシュワルツはまじでベクトルで出せるようにした方がいい、ほんまにどこが2乗とか不等号の向きとか忘れる
コーシーシュワルツの不等式ってめっちゃ聞いたことあるけど、なんか食わず嫌いしてたんですよ、、、
ベクトルで証明したらこんなに簡単なんですね！！
コーシーシュワルツの不等式って教科書では発展的な内容やけんマークじゃなく筆記の場合はベクトル部分を残した方がええって聞いた
7:11 a>0、b>0 の条件無くていいの？と思ったのですが、a+b≧2√āƃ のようなルートがでてこないから必要ないということでしょうか？
おっしゃる通り、相加相乗平均の関係式にはa,bが0以上が必要です
コーシーシュワルツの不等式って大学で扱ったときに初めてベクトルを使ってることを知った。
青チャートのベクトルの章の練習問題かEXに乗ってるよ
複数の解法がある問題ってこんなに楽しいのか
コーシーシュワルツをベクトルで捉えることについて、内積が負の値を取るときって二乗したら同値性が崩れてしまう気がするのですがどうでしょうか。
-1
cosθに絶対値を付けてみてはどうでしょうか
範囲は0以上1以下になりますが、正の値に限定しつつ不等式の成立は保ったままの状態を作れそうですが
f(x)＝x²でJensenの不等式を使いました
これって…
a≦b≦cと設定すると3c≧1⇒c≧1/3 よってa+b+1/3≧1⇒a+b≧2/3 2b≧2/3⇒b≧1/3 a+1/3≧2/3⇒a≧1/3
すなわちa^2+b^2+c^2≧(1/3)^2+(1/3)^2+(1/3)^2=1/3 これはa≦b≦cのa,b,cの順序を変えても成立する。 (証明終)
というような解法でも良いのでしょうか？？
間違いです
ハンバーガー戦法はありですか？
ベクトルか点と平面の距離だなあ
コーシーシュワルツは使用後等号条件確認しなくていいんですか？
今回の場合は等号成立条件を確認する必要はないと思います。≧の意味は「>または=」が成り立つことであり、>を証明すれば「>または=」を証明したことになるからです。極端なことを言えば、x^2≧-1を示せ。と問われたら(こんな意地悪な問題を作る人はいないでしょうが)x^2>0を示しますよね。因みに、最小値を求めよ。と問われたら等号成立の確認が必要です。x^2≧-1が示されたからといってx^2=-1を満たすxが存在するとは限らないからです。(もちろんこの例では存在しません)
見たことあるーこの問題、できーない
1文字消去とコーシーと原点と平面の距離であがり😁と思ってたら甘かった。勉強になりました
コシシュワしか分からんかった
3通りでできました。
相加相乗等その他裏ワザあり
初見で、３文字の相加相乗平均で行こうとしたから、解法２でした。
追記:鈴木貫太郎さんの４文字の方で勉強しました。
コーシーシュワルツの不等式。勉強します。
これもやって欲しいです。
X＋Y＋2Z＝1の時、X^2+Y^2+Z^2の最小値を求めよ(河野玄斗さん参照)
①と③が思いついたけど、②だけ思いつかなかった
イェンゼンの不等式が使えないかな？？
イェンゼンの不等式なら2,3行でいけるね
49日目！(自分用)
点と平面との距離で瞬殺ですね。。。
解法2が思いつかなかった。
備忘録60G" ⑴ 【1文字減】→ ( 独立2変数の最小値 ) ≧ 1/3 を示す。■
⑵ 【2次の同次式】 条件式 ⇔ 1＝ ( a＋b＋c )² で次数統一する。
a²＋b²＋c² －1／3 ＝ a²＋b²＋c² － ( a＋b＋c )²／3
＝ 1/3・{ 2a²＋2b²＋2c² －2・( ab＋bc＋ca ) }
＝ 1/3・{ ( a－b )²＋( b－c )²＋( c－a )² } ≧ 0 ■
⑶ 【コーシーシュワルツの不等式】→ Magic Bullet ■
これは見た瞬間コーシー・シュワルツ不等式使うよな
愚直だけ思いつかんかったwww
1文字消したあと対称式に持ち込んで実数条件から不等式に持ち込むのでやった
1文字固定のノリで偏微分しちゃダメなのかな。偏微分とは言わずに
a+b+c=1のとき、a^2+b^2+c^2の最小値を求める。
このとき、cが負であることを許可するとそのぶんaやbは正で大きくできるので、c≧0としてよい。(同じ理由から、a≧0やb≧0も要請され、実際に考えるのは各文字が0以上1以下の場合だけ。)
このとき、cを定数と見てa,bを動かすと
a+b=1-c=k(定数)なので、
a^2+b^2=a^2+(k-a)^2=2a^2-2ka+k^2
=2(a-k/2)^2+k^2/4≧k^2/4
で、等号成立はa=k/2、つまりa=bのとき。
そして条件式はa,b,cに関して対称だから、どの一文字を定数と見ても、動かす残りの2文字が等しい場合に最小となる。
つまり、a=b=c(=1/3)の時が全体の最小となる。このとき、a^2+b^2+c^2=1/3となり、示された。
これ以外分かりませんが、その代わり何変数の2乗和でも原理的には使える論法かと思います。
コーシーシュワルツの公式習った記憶ないんですけど他にもいません？
僕も学校では教えてくれませんでした😅
教科書には載ってなかったけど、配られた参考書に載ってました
ですよね！でも知っといたら使える公式ですね(*^^*)
@@bourbon7076 結構コシシュワの証明とかも問題で出ることあるから覚えといて損なし!
@@user-gr9ht7fm6n そうなんですね！ありがとうございます！
これって三項間の相加相乗はせこいかな？www
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コーシーシュワルツ使わないといけない問題なんて見たことない
上位1‰
コーシー・シュワルツが1秒で見えたのでそれで終わり。
だからさ、いつから上位1%とかの数学マニアの趣味数学チャンネルになったの？
今の時期40％〜50%が解ける問題をコツコツ積み上げた方が最後の伸びが変わってくると思うよ。
人によって勉強方の向き不向きがあるから受験生の視聴者達はそこらを考慮してこのチャンネル活用した方がいいかもね…。
3つの解法が分かれば1%ってだけでは？
それにこのチャンネルが難関大志望者向けであること考えれば現時点でこれは方法問わず解けるとは別にそこまでのレベルじゃない気がします。
そう。この問題自体に上位1％な要素は何もないからな。
@@smbspoon-me-baby 僕は正直コーシーシュワルツしか思いつきませんでした。典型解法が出来ないのは解けてないのと同じ....😭