整数の超基礎問題、解ける？（千葉大 医）
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- Опубліковано 9 вер 2021
- PASSLABOの視聴者さんにとっては
これくらいはもう基礎問題ですよね？
(2)は3^n=k^2-40です！
ちなみに解説はこちら
至高の整数問題【大学への数学 最難Dランク】
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整数問題の全パターン解説はこちら
• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
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初手、因数分解かmod３かで迷いました。
平方数ではないのでmod３では当たり前の情報しか出ないんですね。
やはり因数分解は強かった。
解りやすいです❗
3を法とするとk^3+1について
k≡1 × k≡2 ○ k≡3 ×だと分かるから、
k=3m+2 (mは0以上の整数)と表せる
与式にこれを代入すると
3^n=(3m-2)^3+1
因数分解して整理すると
(右辺)=9(m+1)(3m^2+3m+1)となり、3m^2+3m+1はm≧1のとき3^0以上の整数乗で表せず、不適
したがって、m=0すなわちk=2のとき
(右辺)=9となりn=2で成立
よって、(n,k)=(2,2)
指数法則の発展ですね‼️
やった！できた！
1:00 first takeの、さくちゃん、きっかけ良かった
整数はまだまだ初学者ですが...
すばるさんの式変形を見ながらなんとなく
3^b-1＝1 しかなさそうだなと思えました
k+1が3の倍数のとき、k^2-k+1が3の倍数であるが9の倍数にはならないことを示せば、あとは流れ作業
mod4で場合分けしたら一瞬で求まりました！やはりパスラボおかげで問題を見た時に瞬時に手が動くようになりました！
どのような考えでmod4で考えようってなったんですか、、！教えて欲しいです
@@kanametatsuya3^n≡(-1)^n (mod3)になってnの偶奇が絞れそ〜みたいな？
k³+1 = (k+1)(k²-k+1) の因数分解を使わない（気付かなかった）解法です。穴があったら指摘お願いします。
(補題)：m≧2, R, z （全て正整数）について3^m -1 = R³ * 2^z が成立するなら、zは3の倍数であり、正整数sが存在して3^m -1 = s³ と表せる
(証明)：
m≧2より等式の(左辺) ≡ 8 mod 9である。
R³≡0,1,8 mod 9 に注意すると、(右辺) ≡ 8 mod 9が成立するには
R≡1 mod 3 かつ z≡3 mod 6 または
R≡2 mod 3 かつ z≡0 mod 6 が必要。（細かい計算は省略）
どちらの場合でもzは3の倍数。よってz = 3tとなる正整数tが存在し、s = R * 2^tが題意を満たす（s³ = R³ * 2^z = 3^m - 1が成立する）■
(問の解答)
与式：3ⁿ = k³+1 に対して、k=P * 2^x (xはゼロ以上の整数、Pは2を素因数に含まない正整数)と表す。
（解法の方針としてはnが2のべき乗であることを示し、n=2¹以外で解を持たないことを示す）
まずnは偶数である。
∵ mod4で考えると等式の(左辺)≡1,3 で(右辺)≡0,1,2 mod 4であり、等式成立するのは1 mod 4の場合のみ。この時3ⁿ≡1 mod 4 ⇔ nが偶数
よってm=n/2を用いて与式を書き直すと
3^(2m) = k³+1 ⇔ (3^m + 1)(3^m - 1) = k³ = P³ * 2^(3x) ……(A)
ここで式(A)の左辺2項：3^m+1, 3^m-1 は差が2の正整数であることに注意すると、2項は2よりも大きな公約数を持たない、即ちP³に含まれる素因数(Pの構成定義より2よりも大きい)は全て、各素数毎に2項のどちらか片方のみに存在することが分かる。即ち、正整数Q, R, y, zを用いて
3^m + 1 = Q³ * 2^y
かつ
3^m - 1 = R³ * 2^z ……(B) が成立する。
ここでQ, R, y, zはk³ = P³ * 2^(3x) = Q³ * R³ * 2^(y+z), P = Q * R (Q,Rは2を素因数に持たず互いに素), 3x = y+z (y,z≧0) を満たすもの。
この時、式(B)に対してm≧2なら補題が適用出来てzは3の倍数であり、z=3tとなる正整数tを用いて
3^m = (R * 2^t)³ + 1 と表せる。
これは問の与式を満たす解：(n, k = Q³ * R³ * 2^(y+z))に対して、解の第1項がnの½倍になった「小さな解」：(m=n₂=n/2, k₂=R * 2^t) が存在して3^n₂ = k₂³+1……(C)を満たすことを意味する。（解の第2項k₂も(C)を満たすので元の解kより小さな整数である）
また、問の与式：3ⁿ = k³+1についてnが偶数であることを示したのと同様に式(Ｃ)をmod4で考えることでn₂も偶数であることが分かる。
この操作が繰り返せなくなるのは補題が適用出来なくなる時、即ちm≧2が成立せずm=1となる時。
m=1即ちn=2における解は(n=2, k=2：3²=2³+1)であり、これよりも「小さな解」は作れない。
小さな解を得る操作は、(n=n₁, k=k₁)→(n₂=n/2, k₂)→(n₃=n₂/2, k₃)→‥‥→(2, 2)という解の列を得るもので、帰納的に解(n, k)においてnは全て2のベキ乗であることが分かる。
一方でn=2²において3⁴=k³+1を満たすk=∛80=2∛10は無理数であり、整数解は無い。これによって、さらに大きなn=2^u, u≧2において3ⁿ = k³+1は整数解を持たないことが帰納的に分かり、問の与式は(n=2, k=2)が唯一解である。 ■
コメント失礼します。
３^2a-3^a+1+3=3^b
を3で割ろうとするモチベーション(きっかけ)を教えて欲しいです。
3^n-1を因数分解しちゃいました笑
はなからkをmod3で分類してもイクイクー
これ本当に有名問題。
与式からk=3m-1形(m≧1)
k³+1=(k+1)(k²-k+1)=(3m)(9m²-9m+3)
(9m²-9m+3)は3で割れて9で割れない数なので3ª(a≧2)とはならず3確定。
よってm=1,k=2,n=2 というのが最短かな？
それが最短だと思います。
指数の条件を考えるより、そちらの形のほうがわかりやすく感じます。
素晴らしいですね！
すみません、3mが9で割れないというのは示さなくてもいいのでしょうか？
未熟なもので、よかったら教えてもらえませんか？
@@kens4302 3mが9で割れないことを示す必要は無いです。
この解き方で3mに対しての(必要)条件を検討するのは意味が無いと思っています。
どちらかというと、十分性の確認対象になる部分です。
(9m²-9m+3)の方からm=1以外に考えられないということが導けるので、
あとは
①m=1(必要条件ということに注意！)を代入したときに、3m=3となり3ⁿ形になっていることを示すか
②m=1からk=2,n=2(必要条件！)を出して、それが元の式を満たすかどうか十分性の確認を行う
ということになるかと思います。
最初のコメントは流れのみの記述で少し雑に書いていますが、①②の十分性の記述を行わないと間違いなく減点対象になりますね。
@@study_math ありがとうございます！
理解できました！
実験したら、k＝3以上で全て成り立たないと予想できたので帰納法で示そうかと思ったがnot＝で帰納法ってできるのかな？帰納法と背理法の併用も考えたがそんな問題あるのかな？
無限降下法とか使えないかな？
自分は因数同士の大小関係と最大公約数が1,3になることから絞りました〜
Chebyshev多項式 整数 むずいの出すよね千葉医 今年の最後とけんくて30点差で落ちた
因数分解した因数2つを3の累乗と3にするんですよね？
k≧3のときは、bの値は矛盾を導くってことですか？心優しい方教えて下さい！
最初の実験でk=2を調べて、k≧3で成立しなそうという予想が立てられるのでk≧3として矛盾を導き背理法より必要条件を絞ってます
K+1=3^aと置いて、Kが正の整数だからK+1>=2なんだけどK=1の時成り立たないのは自明だからK=2の時から考えてあげて、K+1=3^a>=3だからa>=1と分かる。
したがって3^2a-1,3^aが3の倍数だから（以下略）
まとめると宇佐美さんの説明はK≧3の時矛盾を導くっていうより、b≧2はあり得ないよねーって方の背理法だと思います。
途中の説明のK≧3すなわち3^a>4では成り立たなそうだよねってのは今回の解説ではあくまで予想の段階で終わっていて論証には利用されてないです。
間違ってたら申し訳ないです（逃）
3ⁿ=k²-40のやつとまるまる一緒のやり方でできた！
k³+1=(k+1)(k²-k+1)=3^n
k,n∈Nより、k+1とk²-k+1はどちらも素因数を3しかもたない。
k+1≡2(mod3),k²-k+1≡2(mod3)より
k+1=k²-k+1⇔k(k-2)=0 ∴k=2(∵k∈N)
したがって与式を満たすkはk=2のみであり、そのときのnの値は2。
よって(k,n)=(2,2)
n.kどちらも2の倍数の時しか成り立たないというのがmod4で分かるため、文字で置き換えた後、因数分解をして、右辺=
(2l+1)(4l²-2l+1）とすると、2l+1が3のs乗となる時のlを漸化式で表すと、2l+1が3のs乗かつ4l²-2l+1が3のt乗となるのはl=1のときしか存在しないため、成り立つのはn=2
k=2のとき。という証明で解きました
これグラフ書いたら一個しか共有点なくて、k=2,n=2としたらダメなんですか？
ｎとｋ独立で動けるからダメでしょ。
3^nを定数と見て定数分離と同じ方法でいける気がする。
@@user-vm5yr7dm6k でもnの値によって変わってくるのでやっぱダメじゃないですか？
@@user-wi6nq9ew8k
やっぱそうなんですかね
まだ数学の厳密な部分は分からなくて
でも感覚的にこういうのがわかると方針が立てやすくなるかもしれないですね
中3でも解けました〜(結構時間かかったけど)
すべてで一個しかない時不安になる…
解なしだとさらにビビる…w
死ぬほど解いた問題
3^n=3l(lは自然数)と最初においた方が早く解けます
a.bって整数でおいてる？
非負整数かと
いと
これはmodで解けませんか？
mod4で調べるとｎは偶数と分かるので、ｎ=２ℓとして因数分解して計算したら、ｎとｋは2になりました💡
@@user-gr6wm5xl6w 因数分解から分からなくなった笑2lで置いてからどうするんだ？？
違和感…
ろ
どこが超基礎やねん笑
それな