✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной
Вставка
- Опубліковано 20 кві 2018
- Как решать кубические уравнения. Формула Кардано
#БотайСоМной 025
Поговорим о том, как решать кубические уравнения, откуда берется формула Кардано, и при чем тут комплексные числа.
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Регулярная помощь (UA-cam): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/ege11b
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/ege1315
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_trushin
Группа "TrushinBV.ru": trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
UA-cam-канал: / trushinbv
Я похоже совершил ошибку, включив это видео в 2 часа ночи)
Пффф, 3 часа ночи и 6 дней до егэ)
@@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53 ну как сдал?
@@zuzu9106 84
@@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53, мне кажется тебе на егэ это не понадобилось
@@marshallmathers5654 ты прав, мне это не помогло. У меня в 15 получилось кубическое уравнение и я в процессе нахождения его корней совершил арифметическую ошибку) каким бы способом я ни решал задачи, моя невнимательность всегда со мной)
Наверное самое лучшее изложение истории этого открытия (достаточно приближенное к тем временам) можно найти в журнале "Квант" №9 1976г. в статье С.Г.Гиндикина "Великое искусство". Стоит прочитать и другие статьи из этого журнала, посвященные решению кубических уравнений (целевая аудитормя журнала - школьники старших классов). Если же ориентироваться на студентов младших курсов, то про геометрическую интерпретацию формул Кардано на комплексной плоскости можно посмотреть сборник "Математическое просвещение" вып.15, 2011г.
Спасибо.
Спасибо
Красиво излаете. Желаю успехов(исправьте неточность).
kvant.mccme.ru/1976/09/p02.htm
ОЧЕНЬ КРУТОЙ РОЛИК!
Наконец то мне стало понятно для чего нужны комплексные числа, спасибо огромное ❤
Спасибо,спасибо и еще раз спасибо! Искренне вам всегда благодарна, вы делаете прекрасное дело !
Борис Викторович, спасибо за всё
Пожалуйста, сделайте видео на тему "Касание двух функций", в 18 ЕГЭ часто встречается, было бы очень полезно разобрать
Это лучший математик!!!
долго не занимался математикой. потратил 3 дня на этот урок
Это очень круто! Большинство бы бросило через 10 минут )
Лайк за Кардано! Ждём для 4-й степени. Спасибо за видео!
Для 4 степени нет общих формул
@@nitroner6572 есть, формула феррари
@@nitroner6572 нет с пятой и выше. На 4 есть метод Феррари
@@user-rq6hk7jm5gНу вообще то есть если считать только некоторые из них и не все симметрия там и все такое
отлично. редкая тема. увлекался когда еще не проходили квадратные. потом сам все вывел без подсказок!
Спасибо огромное, у Вас получается захватить внимание)) . Да комплексные числа и в физике, квантовой химии нужны, но это применение не знал)
@Лол ХП уравнение 6 степени? Если так надо, но не через комп, советую Безу и схему Горнера, почти всегда работает
Ещё некоторые ими мешки с картошкой подвязывают, у них на самом деле много применений
@@kefirwarrior7901 наоборот, безу и горнер почти никогда не работают в прикладных задачах, где коэффициенты уравнения не подобраны специальным образом, заточенным под эти методы
@Ivan ⚛️☮️ никто и не говорит, что в вашей прикладном аспекте нужно находить строгие аналитические решения. уверен, что интегралы и даже значения функций вы тоже находите численными методами, как и решения кубических уравнений
Спасибо!
Борис Викторович, можете разобрать метод неопределённых коэффициентов
Отличное видео! Можете в следующий раз(или когда-нибудь) объяснить ряды Фурье? для этого, правда, сначала придется интегралы и ряды объяснить, наверное.. но все равно было бы очень интересно!
С уважением Александр. Вечный студент.
Очень крутой ролик! Подобного нигде не видел, чтоб прям по честному рассказали да ещё и интересно. Разобрался со всем только к 4 просмотру (каждый раз понимал все больше по чуть-чуть). Спасибо!
у меня два дня ушло хоть как-то самостоятельно разобрать и то путался, кому как...
Очень круто!!!
Теорема Виета для многоразмерных полиномов всё-таки гораздо приятнее в обращении. На часах,кстати, 02:46 ночи. Пора, видимо,смотреть ролик о размножении утконосов...
А я с утконосов начал) и в 3:10 здесь
Вхвххвв откуда такие реки
02:48
У вас ещё и превосходный артистистический талант. Наверное, и в этом вы бы состоялись. И роскошный бас, вероятно даже профундо. Редкое сочетание, на дороге на валяется.
Это самое крутое ваше видео!!!
Класс👍🏻
Очень полезная информация для 8 классника))) Теперь я могу хвастаться перед друзьями! :)
Здравствуйте Борис. Как всегда отличное видео. Но очень сильно не хватает примеров и хорошо бы было расставить все точки над i, т.е. рассмотреть все "хорошие" и "плохие"(не приводимые) случаи.
Расскажите о функциональных уравнениях.
Можешь сделать видео на тему "Касание двух функций".Просто это тема очень часто встречаеться в 18 егэ
Darlingg ! Поддерживаю, было бы замечательно
кек значения равны и производные равны чего тут сложного-то?
Напротив, в ЕГЭ ты практически никогда такого не встретишь. Там специально такие задачи подбираются
Написал 18?
И насчёт "приводимых" и "неприводимых" случаев
Дискриминант равен q^2 + p^3. Если q^2 + p^3 < 0, то случай "неприводимый" и в таком случае получаются три вещественных корня
Если q^2 + p^3 = 0, то один из двух различных вещественных корней кратный
Если q^2 + p^3 > 0, то один корень вещественный, а два других - комплексные
Если q^2 + p^3 < 0, то u^3 = -q ± i*sqrt(-q^2 - p^3) (i*i = -1)
В данном случае p - число заведомо отрицательное (p^3 < -q^2 < 0)
Для извлечения кубического корня приведём u^3 в полярный вид (квадрат модуля комплексного числа равен сумме квадратов вещественной и мнимой частей)
(|u^3|)^2 = |u|^6 = (-q)^2 + (-q^2 - p^3) = -p^3 = (-p)^3 => |u| = ((-p)^3)^(1/6) = sqrt(-p); |u|^2 = u*u_сопряжённое
u^3 = |u^3| * exp(±i*arg(u)) = (-p)^(3/2) * exp(±i*arccos(q / (p*sqrt(-p)))) => u = sqrt(-p) * exp(2i*pi*k/3 ± i*arccos(q / (p*sqrt(-p)))/3)
Таким образом, y = u - p/u = u + (-p) / u = u + |u|^2 / u = u + u_сопряжённое = 2*Re(u) = 2*sqrt(-p)*cos(2*pi*k/3±arccos(q / (p*sqrt(-p)))/3)
y = 2 * sqrt(-p) * cos(2*pi*k/3 ± arccos(q / (p*sqrt(-p)))/3), k - целое число
Так выглядят корни уравнения y^3 + 3py + 2q = 0 в случае p^3 + q^2 < 0 в общем виде
Есть элегантный вывод ф-лы Кардано для приведенного уравнения. В формуле куба суммы (допустим, суммы х + у ) переносим все слагаемые налево, туда где куб суммы. В слагаемых с тройкой выносим за скобку общий множитель 3ху. Получаем, что из куба суммы вычитаются 3ху(х+у) и (х^3 + у^3). Осталось найти х и у такие, что бы 3ху = р (коэффициент при первой степени неизвестной в приведенном уравнении), а х^3 + y^3 = q (свободный член в том же уравнении). Выражаем х через у и р, подставляем во второе равенство, решаем обыкновенное биквадратное уравнение. Фсё.
12:09 узнали ?
Знакомо
@@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53 было?
@@user-jt5tc4ez4s согласны?
Можешь попробовать рассказать о гипотезе Римана, видосов на русском практически нет, которые хоть как-то объясняли что это.
Почитай книгу "Простая одержимость" Джона Дербишира. Четко и понятно (даже для тех, кто не особо знаком с математикой) рассказывает о самой гипотезе, том как ее решали и много другом интересном.
Расскажите как из этого u получаются то 1, 2 и -3. Это интересно.
Ато незавершённый гештальт выходит.
Уравнение можно так решить:
В видео сказано, что u₁³=-q+√(q²+p³) и u₂³=-q-√(q²+p³) причём p=-7/3 и q=3
Из-за того что дискриминанта отрицательная: u₁³=-q+√(-q²-p³)*i и u₂³=-q-√(-q²-p³)*i
Модуль чисел по теореме пифагора: | u₁³|=| u₂³|=√(q²+(-q²-p³)=√-p³
cos(φ)=- q ÷ √-p³ и sin(φ)= √(-q²-p³) ÷ √(-p³)
По формуле Муавра:
=> u₁³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)+i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) и
u₂³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)-i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) причём k любое целое число
=> u₁=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)+i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3)
u₂=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)-i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) k=0,1,2
x= u₁+p/ u₁=...=2*√(-p)*cos((φ+2π*k)/3)
φ=arccos(- q ÷ √-p³)=arccos(-(9*√3)/(7*√7))≈2,5712158436 (в радианах)
x₁=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3)=2
x₂=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(2π)/3)=-3
x₃=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(4π)/3)=1
Да, я пользовался калькуляторам. Но после того, как я решил первый ответ х=2, два остальных можно вычислить и без калкулятора,
если поделить уравнение на х-2 и там выдет квадратное уравнение.
На самом интересном месте останов. А где искать продолжение?
Я вот только одно не понял, в последнем уравнении, которое решено в качестве примера, мы для u^3 нашли два значения, но одному значению x соответствует одно значение u. Соответственно мы нашли два икса. А куда третий то корень делся? И ещё когда подставил в икс найденные значения для u получилась какая то каша кубических корней и мнимых чисел, не пойму как там вообще что-то может преобразоваться до целых чисел, ведь все 3 корня целые
какая - сцуко - красота!
Я сам пробовал решать их. Есть прикладная часть решения этих уравнений. Когда мы описываем электр схему. Т.е. создаем математическую модель схемы. С емкостями и индукдивностями, то происходит накрутка производных - т е. диф ур. или степени уравнения характеристического от этого ДУ. Надо либо решать самой ДУ. Либо решать его харак уравнение с высокой степенью. И вот тут то мы сталкиваемся с этой проблемой. Поиска корней ур-я или разложения по скобочкам х-х0. Я не знаю выйдете ли вы на связь. Есть метод как раз Горнера. Но он только для численных коэффициентов при иксах. Вот а у нас может быть любое мат выражение при иксах.
Хм
Интрига. Буду ждать серий о мистических комплексных числах)
Уравнение можно так решить:
В видео сказано, что u₁³=-q+√(q²+p³) и u₂³=-q-√(q²+p³) причём p=-7/3 и q=3
Из-за того что дискриминанта отрицательная: u₁³=-q+√(-q²-p³)*i и u₂³=-q-√(-q²-p³)*i
Модуль чисел по теореме пифагора: | u₁³|=| u₂³|=√(q²+(-q²-p³)=√-p³
cos(φ)=- q ÷ √-p³ и sin(φ)= √(-q²-p³) ÷ √(-p³)
По формуле Муавра:
=> u₁³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)+i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) и
u₂³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)-i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) причём k любое целое число
=> u₁=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)+i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3)
u₂=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)-i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) k=0,1,2
x= u₁+p/ u₁=...=2*√(-p)*cos((φ+2π*k)/3)
φ=arccos(- q ÷ √-p³)=arccos(-(9*√3)/(7*√7))≈2,5712158436 (в радианах)
x₁=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3)=2
x₂=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(2π)/3)=-3
x₃=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(4π)/3)=1
Да, я пользовался калькуляторам. Но после того, как я решил первый ответ х=2, два остальных можно вычислить и без калкулятора,
если поделить уравнение на х-2 и там выдет квадратное уравнение.
Лучший кликбейт в моей жизни)
это было слишком умно
Борис, прошу прощения, я что-то не понял. Подскажите, пожалуйста, почему на 19:18 от 82 отнимается 27*343? Ведь по формуле «+»? Уже несколько раз пересмотрел видео - не пойму
По формуле D/4=(b/2)²-ac
b=162
a=27
c=343
а меня смущает куб, там ведь 343 делить 27 все в кубе.
Формули рішення кубічних рівнянь Джереламо Кардано надав Тарталья з вимогою ні з ким цими формулами не ділитися. Але Д. Кардано риючись у чиїхось раніш оприлюднених трактатах знайшов ці формули. Тому він ці формули і вніс у свої роботи при цьому порушуючи обіцянку Тартальї. А ще Джереламо Кардано був незвичайною людиною. За свідченнями деяких істориків він убив свого батька, жив зі своєю донькою. Розробляв гороскопи. У відповідності зі своїм гороскопом мав прожити 75 років. І коли це сталося у свій день народження покінчив життя самогубством, щоб довести правильність свого гороскопу. У його роботах викладена конструкція підвісу, який називають кардановий підвіс, а звідси і назва карданний вал який знають майже всі водії.
Теорема безу в помочь почти всегда
Очень интересно узнать откуда береься метод крамера ? Почему он действительно работает? Много действий, но как люди дошли до этого..не понятно... Вот хотелось бы про это узнать.
Да там кстати ничего сложного, возьми некоторую СЛАУ и реши ее в общем виде относительно каждой из переменных, получишь формулу Крамера. Просто надо определитель разглядеть в числители и знаменателе.
синус и косинус угла в 1гр(градус) - это действительная и мнимая часть одного из корней уравнения U^3 = cos(3гр) + i*sin(3гр), причем и косинус и синус 3гр могут быть представлены только через радикалы и арифметику. Но удастся ли показать школьнику, незнакомому с комплексными числами, аналогичное представление синуса и косинуса угла в 1градус? А ведь надо всего лишь решить простое на первый взгляд кубическое уравнение. В Интернете я таких формул не нашел. А Вы что думаете на этот счет? Уравнение решается в радикалах?
да это вынос мозга какой то,даже на 0,5 скорости не улавливаю
По приколу заучил эту формулу и решил кубическое уравнение в 9 классе. Училка была в шоке
Получается необходимость в комплексных числах появилась для решения уравнения третьей степени.
Vanechki 2 Уравнение третьей степени
Введите выше написанное в поиск и будет вам счастье и полный и внятный разбор всего, самый интересный препод...
Возможно, благодаря таким странным чувакам как Кардано, мы не живем в пещерах, а смотрим видосы про математику со своих девайсов
не за скобку, а за знак корня 19:14. Блестяще! Но был бы восторг, если бы до конца было дорешенно...
нарезка из видео - как смысл жизни
Бортс Викторович, а вот скажите, почему корень из -1 извлечь можно, а, допустим логарифм из отрицательного числа взять или же вообще какую-нибудь акультную вещицу похуже: какой-нибудь тангенс(п/2)
по факту и корень из -1 извлечь нельзя, просто он часто появляется, поэтому ему сказали "давайте считать, что это i и пойдем дальше". логарифм нуля тоже можно назвать каким-нибудь f и пойти дальше, но применять его особо будет негде, так зачем это делать
а что плохого в тангенс(п/2)?
Там просто косинус=0
ru.m.wikipedia.org/wiki/Комплексный_логарифм
видосики Творца Стихов, Почему нельзя? Вполне возможно извлечь корень из -1, только он выйдет за пределы поля действительных чисел и будет находиться в комплексной области.
Комплексная область и основывается на корне из -1
8:32 Всё объяснил. Пальцем. Вот он вертится. Всё ясно.
Борис Викторович!
Тайминг 17:00
Если брать k=-7/3,то -3uk действительно становится 7u.Но вот 3k^2/u мало похож на 7k/u.Скорее на 49/3u.Или я что-то упустил?
3k^2/u = 3 (-7/3) k/u = - 7k/u
Одно k же нужно оставить )
Борис Трушин Ой,точно,можно ещё проверить,что все хорошо,подставив k во вторую строку,и получить там -49/3u.Спасибо!
@@trushinbv Тайминг 11:12, я не понял. Вы же сократили везде 3p, но дальше у вас почему то вместо k стоит p. Объясните пожалуйста, возможно я не догоняю.А в 16:00 уже стоит k.
@@ilkinnabiev89 10:45, k=p
👍
Есть немного другой способ прийти к замене y = u - p/u
У нас появилось уравнение y^3 + 3py + 2q = 0
Вспомним формулу куба разности:
(u - v)^3 = u^3 - 3u^2 v + 3 u v^2 - v^3 = u^3 - v^3 - 3uv(u - v)
Таким образом, разность кубов можно представить как куб разности без утроенного произведения возводимых в куб величин и разности, то есть u^3 - v^3 = (u - v)^3 - 3uv(u - v) (то есть, в разности кубов фигурируют лишь куб разности и сама разность, помноженная на тройное произведение самих величин)
Попробуем сделать замену y = u - v в надежде на то, что она поможет
y^3 + 3py + 2q = 0 (u - v)^3 + 3p(u - v) + 2q = 0 u^3 - v^3 + 3(p - uv)(u - v) + 2q = 0
Значит, для избавления от (u - v) надо сделать так, чтобы uv = p. Так получается замена y = u - p/u
Тарталья тоже принимал участие
Никко́ло Тарта́лья (итал. Niccolò Tartaglia, 1499-1557) - итальянский математик-самоучка, инженер фортификационных сооружений.
там много кто принимал участие
@@OnePunchman-jl9fe что значит много? Тарталья нашел доказательство а Кардано выложил его в своей книге. Я это знал еще в школе сорок лет назад
@@Serg63ryba ферро,например,бомбелли...До тартальи много кто находил вещественные корни кубических уравнений, я к тому клонил,вы же это подразумевали,разве нет?И после Тартальи уже бомбелли с виетом нашли комплексные корни
@@OnePunchman-jl9fe в журнале "Квант" №9 1976г. в статье С.Г.Гиндикина "Великое искусство". все хорошо изложено и статья легко находится в интернете. Знали и до Тарталья решения частного случая куб уравнений. Однако это не так интересно как решение задачи о диаметре колодца. Ее возраст до нашей эры и нужно уметь решать уравнение 4 степени
Подстановка Виета
(Виет решал кубические уравнения в этот способ)
21:40 u^3=(-3/2±1/6*sqrt(-3))^3
Если не знаем комплексных чисел можем решать это уравнение тригонометрическими функцями
Хоть и длинное видео, но оно уВас гораздо подробнее, чем у Саватеева.
Уважаемый Борис! Прошу поменять название видео! на "интрига века часть первая!" Где во второй расскажете как получить 1,2,-3! А то интрига бешеная! Получше всяких детективов!
p.s Константин 35лет! Хобби пишу проект(разрабатываю веб-приложение по векторной графики). И именно там пришлось узнать аргумент в кривой безье!
А можно ли вывезти формулу Кардано,не залезая в комплексные числа?
Для вывода формулы комплексные числа не нужны. Они нужны когда пытаешься начать ее использовать )
Самое интересное что Кардано не открывал этот метод, его открыли независимо Дель Феро и Тарталья. От последнего он и узнал метод, но дал обещание не публиковать до тех пор пока Тарталья не напишет книгу, но тот не написал и Кардано опубликовал вместе книге вместе с работой своего ученика Феррари про 4 степень, в книге он по-моему так и написал что не он этот метод нашел, но впоследствии все стали называть этот метод его именем
постоянно в голос со вставок в начале
Борис Викторович, а давайте для 4 степеней сразу может быть
ua-cam.com/video/ahcab7W9eP0/v-deo.html
@@trushinbv ну там суть одна и та же ведь: собираем прибавлением и убавлением элементов более простые уравнения в скобках и со степенью. Ну степень 4 - это апафиоз шизофрении, полнейший косяк расчетов, кубы и то в объемах проще какими-нибудь литрами выразить. Вот ответ на вопрос, как обходиться без уравнения с большой степенью ua-cam.com/video/ecsSmmBY56Q/v-deo.html
@@trushinbv комплексные числа удобны, чтобы не забывать про отрицательные значения после преобразования. То есть, чтобы ориентацию не потерять))
Сделайте урок на тему уравнение из функций. Отличное видео
Что вы имеете в виду?
Будут ли видео про комплексные числа?
Да, ближе к лету, наверно )
уж середина лета, а ролика нет(
ой (
надо записать )
Сам придумал уравнение третьей степени с тремя целыми корнями. Начал решать его по формуле Кардано и когда подошел к нахождению первого корня получил выражение 10/3+2*sqrt(61)/3*cos(1/3*arctg(270*sqrt(3)/91)). Это сумасшествие я смог посчтать только с помощью Maple. Это сумасшествие равно 8. Но вот вопрос, как такие выражение считать без компьютера? Борис, можете и что-нибудь сказать по этому поводу.
Картинка по ссылке disk.yandex.ru/i/JL1nMKVvLPaw4Q
Что-то мне кажется, что мы не увидим перед собой корней 1, 2 и -3, все подставив как надо. А Вы пробовали это сделать?
Все получается там)
Да! Все ахрененно получается
Уравнение можно так решить:
В видео сказано, что u₁³=-q+√(q²+p³) и u₂³=-q-√(q²+p³) причём p=-7/3 и q=3
Из-за того что дискриминанта отрицательная: u₁³=-q+√(-q²-p³)*i и u₂³=-q-√(-q²-p³)*i
Модуль чисел по теореме пифагора: | u₁³|=| u₂³|=√(q²+(-q²-p³)=√-p³
cos(φ)=- q ÷ √-p³ и sin(φ)= √(-q²-p³) ÷ √(-p³)
По формуле Муавра:
=> u₁³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)+i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) и
u₂³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)-i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) причём k любое целое число
=> u₁=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)+i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3)
u₂=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)-i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) k=0,1,2
x= u₁+p/ u₁=...=2*√(-p)*cos((φ+2π*k)/3)
φ=arccos(- q ÷ √-p³)=arccos(-(9*√3)/(7*√7))≈2,5712158436 (в радианах)
x₁=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3)=2
x₂=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(2π)/3)=-3
x₃=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(4π)/3)=1
Да, я пользовался калькуляторам. Но после того, как я решил первый ответ х=2, два остальных можно вычислить и без калкулятора,
если поделить уравнение на х-2 и там выдет квадратное уравнение.
@@timurkodzov718Что-то Вы перемудрили. После того, как вы расписали формулу Муавра, сразу можно было брать арккосинус. Перевод в экспоненциальную форму был ни к чему.
@@user-qj5ld3vy7j Давай разберёмся (сам долго не увлекался этой формулай): формулу Муавра я не для того написал, чтобы взять арккосинус. Арккосинус можно сразу было-бы взять. Но как вы например без формула Муавра будете знать, что угол, который, я вычислил арккосинусам, надо поделить внутри косинуса на 3? Я беру из u³ кубический корень. Если сумму костнуса и синуса не приравнять к экспоненциалу exp(...), как я буду знать, что угол внутри косинуса надо делить на три? Как вы будете знать, что x=u-p/u=sqrt(-p)*cos(...) без экспонециальной формы? (Кстати, помоему у меня опечатка. Я написал x=u+p/u, но надо было написать
x=u-p/u). Хотя может быть к последниму вопросу можно такой трюк применить: (cos(...)+i*sin(...))*(cos(...)-i*sin(...))=cos²(...)+sin²(...)=1. Но как вычислить кубический корень из cos(...)+i*sin(...) без экспоненциальной функции, это я сам не знаю.
Наример
х=1;-1;2
x^3-2*x^2-x+2=0
z=-0.37037037+/-0.577350269i
u=0.666666667+/-0.577350269i
y=1.333333333
x=2
вроде и операции с комплексными числами, а результат действительный)
Так с этого и началась эпоха комплексных чисел! Кардано знал, что у некоторых уравнений точно есть решение, т.е. мы не можем просто сказать "уравнение не имеет решений". Но формула выдавала корни из отрицательных. И Кардано придумал мнимые числа, которые в итоге самоуничтожились и дали верный вещественный ответ.
А это точно можно использовать на ЕГЭ? Я у учителя спросил это, и мне сказали, что нельзя: решат, решения пиисал не школьник т.к. в школьной программе этого нет. Учитель сам эксперт ЕГЭ. Ее правда нельзя использовать?
Это не для ЕГЭ, а для общего развития. В ЕГЭ она не понадобится.
Сделайте пожалуйста видео почему площадь квадрата равна квадрату его стороны🙏 и вообще что такое площадь
Омагад, ты серьезно?
@@Liberty5_3000 а почему нет? На канале есть видео "Почему минус на минус даёт плюс".
@@nemoumbra0 ну просто минус на минус это что-то вроде некого постулата, дающегося без доказательства, а площадь квадрата это вроде очевидная штука
@@Liberty5_3000 Ну уж нет. Ни разу. А что такое вообще "площадь" произвольной фигуры?
@@nemoumbra0 беспонятия какое определение, но оно и не нужно, по сути это то, сколько раз единичный квадратик умещается в фигуре
Почему про схему Горнера не рассказали?
Речь шла о решении любого кубического уравнения, не?
схема Горнера скатывается в молочное царство, когда корни иррациональные)
Кошмар и как Кардано до этого додумался, как получаются такие гении
Как это может решением кубического уравнения если в зависимости от знака +- корня будет два? Как тогда найти третий корень?
ну смотри ты найдешь хотя бы один корень , подели на него и получи квадратное уравнение которое даст тебе ещё 2 корня . Но это при условии что корни действительные и уравнение нормально составлена чтоб ты там при делении никакую бяку не получил
Корень кубический имеет три значения. Вот из подставляешь и получаешь 3 корня)
@@aastapchik8991 Там два кубических корня и две конструкции плюс-минус. Не приведет ли это к 36 корням?
Что за формулу четного коэффициента?
ua-cam.com/video/A69GftSkMQ0/v-deo.html
@@trushinbv спасибо, понял.
Красивое решение. мне понравилось НО у Вас есть небольшая ошибка логического характера: Вы не имеете права делать замену "y=u - k/u" не ставя ограничение и объясню почему. Решая данную подстановку относительно "u" мы получим такой дискриминант y2 + 4k который должен быть больше или равен нулю. Однако про это ограничение Вы забываете когда делаете следующую подстановку 3p=k . Отсюда и ошибка выходит с появлением отрицательного числа под знаком корня (
Вы абсолютно правы. Но если не ставить такие ограничения как раз и приходишь к необходимости введения понятия комплексного числа: ua-cam.com/video/4N1qybcVb1s/v-deo.html
Где-нибудь на канале есть продолжение этого видео, чтобы подробно кубические корни из комплексных чисел брали и нашли в итоге корни 1, 2 и -3?
Это уравнения можно до конца решить, если разбираться в комплексных числах, тригонометрии (сложения суммы углов, как например cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)) и в равенстве e^(ix)=cos(x)+i*sin(x) и.т.д.
@@timurkodzov718 я вот сомневаюсь в этом утверждении. У вас получится выражение типа
(a+ib)^(1/3) + (a-ib)^(1/3).
Что вы будете делать? Представите комплексное число как e^(i*phi)? У вас получатся синусы и косинусы от phi/3, то есть 1/3*arctan(b/a) и что дальше, как это вычислить?
@@koleso1v Уравнение можно так решить:
В видео сказано, что u₁³=-q+√(q²+p³) и u₂³=-q-√(q²+p³) причём p=-7/3 и q=3
Из-за того что дискриминанта отрицательная: u₁³=-q+√(-q²-p³)*i и u₂³=-q-√(-q²-p³)*i
Модуль чисел по теореме пифагора: | u₁³|=| u₂³|=√(q²+(-q²-p³)=√-p³
cos(φ)=- q ÷ √-p³ и sin(φ)= √(-q²-p³) ÷ √(-p³)
По формуле Муавра:
=> u₁³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)+i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) и
u₂³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)-i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) причём k любое целое число
=> u₁=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)+i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3)
u₂=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)-i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) k=0,1,2
x= u₁+p/ u₁=...=2*√(-p)*cos((φ+2π*k)/3)
φ=arccos(- q ÷ √-p³)=arccos(-(9*√3)/(7*√7))≈2,5712158436 (в радианах)
x₁=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3)=2
x₂=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(2π)/3)=-3
x₃=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(4π)/3)=1
Да, я пользовался калькуляторам. Но после того, как я решил первый ответ х=2, два остальных можно вычислить и без калкулятора,
если поделить уравнение на х-2 и там выдет квадратное уравнение.
А как решать многочлены n степени?
4 степень ещё решаемая в общем виде, но 5 уже нет и это доказано
Не понимаю: кубическое уравнение может иметь 3 различных корня, при этом U может принимать 2 значения, Y однозначно определяется от U, X однозначно определяется от Y. По идее, в таком случае уравнение может иметь только 2 корня, не понимаю. Можете объяснить?
Комплексное число имеет ровно три корня третьей степени. Например, единица имеет комплексные корни третьей степени {1, -1/2 + i * sqrt(3)/2, -1/2 - i * sqrt(3)/2}. Поэтому U может принимать 6 значений.
@@unstope Спасибо, я уже разобрался.
Почему основание логарифма должно быть больше 0? Ведь мы можем возвести, например, -2 в квадрат
так принято в научном сообществе, дабы избежать путаницы (ибо там получается противоречие, насколько я знаю, ежели брать в качестве основания логарифма отрицательное число)
логарифм - возрастающая функция. Любой логарифм - это степень какого-то числа и при отрицательном основании будет проблема возведения в дробную степень. Даже просто Log 25 с основанием -5, это 2log 5 с основанием -5. Не существует такого числа чтобы при возведении -5 в это число получилось 5
Посмотрите это -- ua-cam.com/video/9oBMwGcNjUs/v-deo.html
Скорее всего вопросов меньше будет )
Дмитрий Леонов
1. Есть log и Log. В Log уже можно использовать любое комплексное основание и любое комплексное число логарифма.
Доска маловата, а урок годный.
Уважаемый Борис. Смотрю ваши решения. А если вот таким методом решать уравнения более высоких порядков. Т.е. я так понимаю. В самом общем случае. Для кубического ур выделяется полный куб и плюс остаток - число. Для четвертой степени полную сумму в четвертой степени и плюс число. Что не всегда будет. Правильнее выделить полный квадрат потом еще раз полный квадрат. Так чтобы у нас в остатке было число. Ну и так далее. Просто с ростом степени уравнения будет расти громоздкость этих выкладок. И самого результата.
Как по понимаю продолжение следует? То, что знать комплексные числа нужно, это как сказать, что нужно знать преобразование Фурье и Лапласа для решения уравнения Максвелла. Там есть изящные рассуждения, и потому комплексное число - ещё далеко не комплексное, ибо корень из него может внезапно дать реальный результат.
Где можно найти видео где задача решена доконца, как вычислил кубический корень и из мнимой части получились вещественные корни??? Пожалуста??
Это не формула Кардано, а вроде бы называется «подстановка Виета» =)
Формула Кардано делает подстановку y = α + β, такими что
3αβ = -p и α³+β³ = -q. Очевидно, что тогда y = α+β = α - p/(3α), т.е. методы похожи.
У Вас не нужно согласовывать аргументы комплексных α и β, но при p близком к нулю теряется точность вычислений, т.к. u ≈ 0.
22:00 смысл моей жизни окончен
Помогите, мне кажется, там потерян - . Там где u находим и вот это вот страшное долгое выражение
19:49 - прикол
Борис как в вашем случае дорешать этот пример?
Пока что угораю с превьюшки
25 минут спустя
И на таком триггере закончилось видео ?
Решение ради метода- это не вариант. В большинстве случаев легко подобрать корень и разделить многочлены. А так интересно, если делать дома нечего.
При сложении и вычитания сокращать нельзя
Как Шаталов говорил: "Они не сокращаются, они уничтожаются, сокращаются числа в дробях"
Может через СХ.ГОРНЕРА?
Для схемы Горнера нужно сначала угадать корень. А хочется формулу )
@@trushinbv к тому же по схеме хорошо целые корни находить, а они и другими бывают)
@@ins1dehns184, дробные тоже неплохо находятся, но вот с иррациональными уже начинаются проблемы 😉
Так можно через делители свободного коэффициента и потом по схеме Горнера
А если нет целых корней? )
И разве мы не приходим опять к кубическому уравнению, пытаясь решить задачу типа "U в кубе = комплексное число ?"
Неа, мы говорим, что, если t = r*exp(-iф + 2пN), то
г = r^1/3 * exp(-iф/3 + 2пN/3),
Но согласно формуле мы получаем 2 корня, а 3-ий где?
На самом деле нет, корень кубический в комплексных числах имеет 3 разных значения.
К сожалению во многих видео показываются школьные варианты решения уравнений высшего порядка. Но когда коэфф заранее подогнаны под гладкий ответ и решение. Но так не интересно.
строчка позет вниз, по психологии это значит заниженная самооценка
Уравнения любой степени решаются с любой точностью на компьютерах?
Ты ввел 2q, но не факт что оно чётное, q может быть и дробное. Тогда как ты тогда применил эту формулу к чёрному коэффициенту?
Ну если вдруг 2q = ¾, то q = ⅜. В чем проблема?
В каком возрасте этому учатся?
С 8 лет
Лол а в этот раз я понял уры
Борис: давайте посчитаем 7 в кубе
я: блин, знал, но забыл.
мой мозг: слыш, чертила, я те щас всеку, забыл он, 343 же!