【感動の解法はこれだ！】解けたら上位1%の超良問
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- Опубліковано 2 жов 2024
- ３つめの解法は盲点でですが、美しいと思います。
ただ解法だけを無機質に知るのではなく、さまざまな視点や考え方の背景を知っておくと応用が効くはずです。
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備忘録‘’50G【 円分方程式 z⁴＝ －1 ･･･① 】
【 重要定理 】zⁿ＝ α の解は、円を n等分する■
極形式で、 z＝ cosθ＋𝑖 sinθ と表せるから、
① ⇔ cos4θ＋𝑖 sin4θ＝ －1
⇔ 4θ＝ π＋2π・n
⇔ θ＝ π/4 ＋π/2・n ( n＝ 0, 1, 2, 3 )
⇔ z＝( 1 ± 𝑖 )/√2, (－1 ± 𝑖 )/√2 ■
パスラボ、マスラボ見すぎて一番最初に出てきたのが複２次式だった笑
解が一つ分かれば共役な複素数の解に持つので、(x-α)(x-α')で割ってやるという方法もあります。割る多項式はℝ係数なので筆算で案外いけます。
今回の場合はz^2=iの解を含むので、高2でも気合いで求めることが出来れば、少ない計算でなんとかなります。
解法が複数あっていい問題ですね。試験では高3の方法が早いと思います。
複素平面に丸と45度の線を描いて、そこから90度回した点を描いていきます。4回回ると最初に戻るので、視覚的に4つの解で過不足ないこともわかると思います。
例題z^3.6=-1の異なる解の個数を求めよ。というような想像力や理解を問う問題も解けると思います。
複２次式(無理矢理因数分解)の解法も思い浮かんで良かった!!
理系やから 複素数も思い浮かんだけど、逆にz=x＋yi(x、yは実数)って考え方は浮かばんかったな〜...
思いついてもめんどいから嫌だって頭から消すよね
自分のやった解法
解法1
z=r(cosθ+isinθ)
解法2
z^4=-1⇔z^2=±iよりz=a+biとおいて係数比較
(4乗展開するより楽)
解法3
z^4=-1⇒ z^8=1 これは複素数平面で点(1,0)から始まる正八角形の頂点
明らかに点(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)はz^4=-1を満たさないので
残りの4点が答え(おそらくこれが最速かつ美しい)
いいねー
普通にz^8=1はさむ必要なくないか？
@@焼肉定食-c8v １つの頂点が分かりやすい！
@@kaj694 いや、変わらんやろ
@@焼肉定食-c8v -1の偏角はpi
４分の1して，pi/4の単位円周上，
1/sqrt(2)+i/sqrt(2)
って汚くない？
私の勘違いかもしれませんが、復号を使用するならば、
z=(±1±i)/√2（複号任意）
のような表現になる気がします。
この型の因数分解は積分でも使うから触れておいて損はないね
こういうの3通りと言われたときに、それほとんど等価やろ、と言われないくらい、全く異なるアプローチで解いて欲しい。
面白かったです。一番シンプルな解法を見つけてやるぜ！
この問題をみて最初にやった方法がまさかの別視点の裏解放でした笑
ぱっと思いつくのは因数分解か極形式
もう一個はなんだろ
@紙牌 その通りでした👌⭕️
言われてみれば確かに、っていう笑
この置換は計算が🦍になりがちなので、次数が低めの時や、変形がうまくいかない時の最終手段として私は使ってますね✨
自分もそれしか思いつかなかった
因数分解って言葉がでできたときに「うわあああっ」で叫んでしまったw
目からウロコですわ
多分一番簡単な解法
動画の3つはどれも思いつきませんでした😭
|z^4|=1より|z|=1
単位円を書いて４倍して-1になる角度は45゜
正方形を書いたら±(√2±√2i)でおわり
今年高3でしっかり全部の解法ぱっと出てきてよかった！別解については自分で作問したことあったので^_^
複号同順っていう文言の使い方が違う気がします。
自分の大学の入試問題が出てるの嬉しい😆
和と差の積マニアなら閃くかもしれない解法…
すばるさんのおかげで大嫌いだった数学に興味を持つことができて、文系の中ではあるんですが偏差値が65まで辿り着きました。本当に感謝しかありません。
凄いですね！僕もやってやるぞという気持ちになりました。
天才か
裏解法しか出てこなかった、、、
わいもw
me too だから難しいんだね。いろんな視点から見ないといけないから。
z^4=-1
⇔z^2=i
⇔z=√i
iをかけて90°回転なら
√iをかけたら45°回転になると考えられる
複素数平面上1をで45°回転させると
「sin45°+icos45°」になって計算すると
「(1/√2)+i(1/√2)」が得られる
っていう方法はいかがでしょうか。
それだとz^4=-1 の両辺の平方根をとる作業の時にz^2=iじゃなくて z^2=±iになりませんか？
プラマイナスわすれてるよ！
@@priushiroshi3249 ? どゆこと?
@@12ichinimomme30 ？
@@priushiroshi3249 ±(1/√2)±i(1/√2) という感じですかね
さすがにz^4+1の因数分解がパッと出てくるなぁ
複数の解法から一つの答えを見つける。数学って美しいな…
寝起きで頭が冴えていたのか、問題見た瞬間θ＝π/4,3π/4,5π/4,7π/4に点が配置されてるのが見えて秒で答えられた。
そーゆーのってなんですぐわかるんですか？
@@Lucas-sd6wd 複素数の回転を意識するのが大事だと思います。
@@コロンビア-z1f 例えばどんな感じでとかあったら教えていただきたいです😓
@@Lucas-sd6wd ＠１７さんではありませんが
複素平面かじったことがあれば超基本なので見た瞬間に分かります
@@焼肉定食-c8v ありがとうございます
基本から見直してみようと思います
z^4=1の解を45度回転させた位置にある
複素平面に単位円を描いて、４乗して-1になる点を探すというのが、直感的でわかりやすいのでは。
私も同じ考えです。
-1を移行して
z^4 + 1=0
z^4 - i^2=0
(z^2 + i)(z^2 - i)=0
からz^2=±i
でz=√i,-√i,√-i,-√-i
という考え方をしてみましたが、解が√iはまずかったりしますか？
a+biの形で表すのが最も簡単なのではないでしょうか。iの実部が0であることを利用すればドロドロに溶けると思いますよ
@@プーリえオランダ
この答案が合ってるのか合ってないのかを教えてほしいんだと思いますよ
@@あもう-t9p 数値自体は合っていますが、書き方としては一歩足りない、ということを言ったつもりなのです。1/2と3/6は同じ数値ですが、前者のほうが良い書き方だと言える場合が多いです。実際にテスト等で問題として出された場合は、最も簡単な形で表す必要があることが多いので、そういう意味では、解としてはまずいですね。わかりづらくてすみません。
高校数学の教科書で当然のような顔して書いてある 「複素数の積が０ならいずれかは０」 を自明としていいなら (z^2+i)(z^2-i)=0 の形に因数分解して解くのも一つの解法かと。
後は、２つ解法が出て３つ目が出てこなくて困った受験生はこう書くのです。「これはｚの四次方程式だから解は４つ以下だ。そして偶然、そう偶然にも、上になんか２つ解法書いたけどそれを使ったわけじゃなくて偶然にもこの４つの値が解になることを私は見つけたんだ。だからこの方程式の解はこの４つで間違いない」と。
数学と全然関係なくて申し訳ないんだけど、広告が宇佐美のウルトラマンのやつで笑った
中学生ワイ、複素数は知ってるけど高2高３の発想は出てこないのでz⁴+1の形が真っ先に出ました(隙自語)
I was surprised about the last solution. Thank you for making an interesting video.
頭の中で『zの4乗=-1だけど、zの8乗=1になる8つの複素数(正八角形になる頂点)のうち、zの4乗=1になる4つの複素数を除いた残り4つの複素数が答えになるかな？』と思いました。答案はもっとちゃんと書きますが、適当に考える時はこんな感じでやりますかねぇ
以下の問題も解けるようにしておいた方が良い
以下の方程式を複素数範囲で解け
x^2 + 5|x| - 6 = 0（|・|は絶対値記号）
一見簡単そうだが･･･これは数III範囲だろう･･･場合分けが面倒な問題で以外に記述が長くなる
答えは６個出てくる（±1, ±2i, ±3i）
もしアッと驚く解法が見つかったら教えて欲しい
最後の複号同順っているの？
最初に思い付いたのが複素数平面でｒ＝１の円を描いて円周上の４か所の４θ＝πになる座標の値でした
式を使わないといけないのかなぁ？
複素数平面でx^2+y^2=1の円とy=±x
の交点っで求まる
今回は珍しく3つとも解法思いついて嬉しい
これ2乗してzの8乗にしてあげれば複素平面の単位円8等分で、4等分が1が解になるからななめのとこってすると頭の中のイメージで解ける
最近毎日ひとつは見てますまだ初見で自力でとける問題は少ないけれど解説を聞いて毎日かしこくなってるとかんじます
僕は僕は一橋大学に行きたいので数学頑張ってますこれからもお願いします❗
4次方程式の解の公式使って解きました！
普通に３個と言われたらこれしか無いと
思いついた
コメント欄が何言ってるか分からない高校三年生 勉強します
7:18 これ、虚数の概念を学んだ時に「虚数の虚数、すなわち４乗して－１になる数ってどうなるんかな？」って思って計算して結局ｉで表せるって分かった時めっちゃ感動したなぁ……🥰
最後の解法で√2で割る必要はあるのですか？
完全に数弱なんですが、±√iは解にならないのですか...？？
誰か叡智をば...
なりますよ。zに代入して等号が成立するならそれは解です。
√iは複素数で、具体的には(±1/√2)(1+i)です。ちゃんと動画に出てる値と一致していますね。
朧げながら正方形が浮かんできた
裏解法より普通に複素数平面のほうが楽では？
１の8乗根から、±1、±ｉを除いたもの。
２乗するとiか-iになる数。
ひと目複二次式の因数分解が見えました。
4次方程式の解の公式を使いました
高1なので間違ってたら教えて欲しいんですけどz=√iではいけないんですか？
√iの記法は高校数学の範囲では習わないはずです。どのみち√iは開平出来るので、かなりまずいですね😅
√iぐらいなら既知のものとして使って良いだろうということで±√±iを整理しましたね(本質的には3番目の解法と変わりませんが)
高校範囲では複素数のルートは考えちゃいけないらしい。複素数係数で二次方程式の解の公式が使えない理由です。受験では大丈夫そうだけどテストでは減点されてしまうかも
@@大学生のわたあめてんこもり (√iを求める段階で使うが)極形式も相同条件も複素数の根号も使わずにしようとすると、z^2=±iの段階でz^2=iとz^2=-iの2式に天下り的に解を与える(z^2=iは((√2±√2i)/2)^2=iであるからこれらが解である)とかになるんですかね……ｳｰﾝﾒﾝﾄﾞｸｻｲ
@@Zab_n なぜダメだと言っているのかがわかりません。
そして実際に極表示すれば簡単にルートの計算はできるし、二次方程式を解くときには平方完成すれば減点もされないです。
@@大学生のわたあめてんこもり √a(a>0)の定義が「aの平方根のうち正であるもの」
である以上、符号がない虚数に対して平方根を考えるのは難しいからだと思いますね。
@@転生したら父が中山廉人だっ 今回は複素まで考えているので定義が違いますよ
例えば√ー１＝iです
手癖で複号同順って書きたくなる気持ちはわかるけどｗ
最後の解答でちょっと気になる点があります。せっかく分母が有利化された状態で解が得られたのにあえて分母を無理数にする意義は何でしょうか？ 分母は有利化しないと減点と習ったような気がするのですが。
有理化しないと減点になるとは限らないです。
今回の場合では√2で割ることで解がすっきりするので割ったのかと思います。
@@ringyo_kokoro 解がすっきり？
@@eggmanx100 √2で割る前と割った後だと割った後のほうが綺麗な形になると思いません？
@@ringyo_kokoro 分母にルートがあると美しくない
@@eggmanx100 価値観の違いってやつですね。
うーん懐かしいし美しい。文系で複素平面やった世代だけど、アレのおかげで苦手だったベクトルを全部複素平面に置き換えて力技で解くっていうのを本番まで含めてやることができたのを思い出す。
3:25しがないでやってた
i^2＝-1ということを知っていた小学生の解法
z^2×z^2＝-1
z^2をAと置くと
A^2＝-1
A＝√-1
A＝i
A＝z^2を代入
z^2＝i
z＝√i
複号同順、としなければならない理由がわかりませんでした。
答えだけでよかったら複素数平面上に半径1、中心Oの円書いて後は円周を4等分を頭の中でやれば直接答えだせる
１つの頂点を求めないと．．．
z^2をxとおいてx=±i z^2=i とz^2=-i
とするのはiが√の中に入ってしまうからダメなのですか？
分母をそのままでは、ダメですか。
実数って書いた記憶がないfラン学生です
書かないといけなかったんだ
z^4+1の因数分解は有名やね
最後√２で割る必要ある？
分母は有理数のほうがいいんじゃ
見やすさの問題かな多分
問題に有理化して答えなさいみたいなのが無かったら見やすいのでも良かった気がする
記述なら因数分解が1番ラクそう
複素数でしか解きたくないレベルでクソ簡単なのよな
俺はド・モルガン用に記号すら導入して速攻で解答作ってた
40年前のことだが、私は工業高校だったので
高１の時に高３理系の複素数平面で電気回路の問題を解いていました。
「そのニュースを見た瞬間に言葉を失ったよ」。字幕なら「即凍ったね」かな
今のカリキュラムだと複素数平面は高３でやるのか。
俺の代は高２だったな。
まずは大きさに変換することがげ現実世界ではじゅうようかとおもう
(A^2)^2とふくにじしきとフェラーリこの3つで解いた
極形式パターンしか出てこなかった。
まだまだ頭がかたいなぁ...
√√−1はダメですかね？？
高1で話は全然分かりませんでした笑笑
まだ5月だからかな。虚数って夏休みまでに習わなかったかな？
昨日複素数平面のとこ自習の時に勉強したわ𐤔
脳死で見てたら√iって答えが出た()
z^2=±iとしてから複素数平面を考えて、偏角を半分として解く。
オイラーの公式を使い、1/4乗して解く。
もう一つは？
複素平面と因数分解は思いついたけどなぜかx+yi(x, yは実数)は思いつかなかった
出題者の意図が知りたいところです！
eiπ＝z4。（x＋y）4乗＝−1。z二乗の二乗＝−1。
z^4+1=0
(z^2+i)(z^2-i)=0
z=±√i
で√i=a+biとして解きましたー
複素平面も使えるようになりたいです！
√iって定義されてるんですかね…？
あ、その因数分解も出来た
裏解法と数さんのやつしか思いつかなかった
t=x+1/xって置いてx^4=-1の両辺をx^2で割ったらt^2=2ってなるからt=+-√2
x+1/x=+-√2をそれぞれ求めたら答えが出た
この中で一番手間が掛かるのはz=x+yiと置く解法かな？
高3理系で複素平面を使うとき、もう少し本質的なことを理解した上で使う様にした方が良いと思う。
複素平面上の点z=x+yi
をrとx軸からの角度θを使って、z=r(cosθ+i sinθ)と表すと、
r=√(x^2+y^2)、
x=r cosθ、
y=r sinθ (0
これは高校範囲内ですか？ギリ範囲内ならそれは趣味の部類に当たります。
複素数平面オイラーの公式を使うのであれば本質を知っておいた方が良いと思った次第です。公式丸暗記ではなく、意味を知って使うほうが応用が効くと思います。複素平面でオイラーの公式を扱っている時点ですでに高校数学の範囲をギリギリ超えているような気が致しますがいかがでしょうか？
見たことある問題だったんですが、3つ目の解法だけ思いつきました。
No sé cómo rayos llegué aquí 😅
うんちに量もすごいらしいですよ！
Z=x+yiって置き方初めて知れた
力ずくで複二次式で因数分解して解の公式で解きます。
っていうか、問題見た時点で気付きました！
解なしとか逆に思いつかなかった。。。
学年ごとにわかるのやめてほしい
√i はダメなんですか？
高1で裏解法すると思った
解の公式かな？
高1です。
疑問に思ったのですが、z＝√iじゃダメなんでしょうか？
もしダメなら教えて下さい。
√iでは、どんな複素数であるか分からないし、開平出来る範囲なので、√iのままではまずいですね😅
それに√iの定義は、高校数学の範囲では習わないはずです😅
4√iってダメなんでしたっけ
そうやんいい感じに因数分解できるやん
すみません！
z=√iと直感で考えたのですがこれが違う理由教えてください！
@@per3301√iを2乗したらiじゃない？