伝説の東大入試、4通りで解け。
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- Опубліковано 19 вер 2023
- 東大入試を分析してると複数の解法が考えられる問題が多く、深掘るほど面白いですね。今回は理系数学かつ積分の問題なのに、文系でも解けてしまう良問を用意しました。
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#passlabo
πとlog21の比較を考えてしまった
面白かった。大学1年の数学の範囲になるけど、テーラー展開の偉大さが分かる。
当時の理1受験生です。この問題にも正解して合格しました。私の本番での解き方はもっと文系的で明快でした。
2.71^3 = 19.9 なので 2.71^0.14 > 1.1 を示す、というところまでは同じですが、
2.71^0.14 > 2.71^0.125 = ((2.71^0.5)^0.5)^0.5 = √√√2.71 > 1.1 これを示します
両辺を2乗して √√2.71 > 1.21
再度両辺を2乗して √2.71 > 1.46
もう一度両辺を2乗して 2.71 > 2.13
以上、証明終了。世界一明快で簡単な回答だと思います。0.125 が 1/8 ということに目をつけた近似ですね。
本番では一瞬で解けて、手前味噌ですが実にかっこいい解き方にテンションがあがってましたｗ
これはかっこいいな
すごい
テーラー展開臭いことすればできるんですねー。勉強になります！
e^xのマクローリン展開や、logx/xの増減表などを使って、ゴリゴリ計算して示しました。
log3の7の近似値も求めて使いました。
ゲルフォントの定数って名前がついてるものが21より大きいことを示せって問題。多分いろいろな参考書が想定解としている接線近似法そこまで頻出ってわけでもないから(出すときは大体誘導付き)難問扱いされることが多いのかな。いわれてみたらなんだこの程度かって内容の単純さだから悔しくなるタイプの難問。e^π自体は23.1くらいの数だから結構アバウトな評価でも大丈夫なのが救い。
e^π > 21 の両辺対数を取って、π > log(21) を示すのかと思ってしまった
log(21) = log(e^3 × 21 /e^3) = 3 + log[21/e^3] から
log(21) < 3 + log[21/(2.7)^3] < 3 + log(1.07)
ここで、log(1+x) < x (for x ≪ 1) より
log(21) < 3.07 < 3.14 < π 的な。
私も、その方法で解きました
ネイピア数の定義から考えると(1+10/1)^10がeより小さいのは明らかだから、
e^π>e^3*e^0.1>2.7^3*(1.1^10)^0.1>21
のようにしても良さげ？
両辺の対数取って1/xの積分使って面積比較、だと思いました。
自分が受験生だったときは不等式の意味をちゃんと理解していなかったんだなって思います。
"マイナスかけたら逆向きになる"だけであとは方程式と同じみたいな認識だったというか。。。
大人になった後でもいろいろ気づかさせてくれるいいチャンネルだね。
あと解き方を一つだけじゃなくて別の解き方も示してくれるのもgood!
解き方なんてきちんと理にかなっているいればいくらでも存在しても良いというのも,数学の面白いところだね♪
1.1の10乗までは辿り着いたんですが、その後電卓使ってしまいました……
二項定理便利ですね
自分で解いたときは解4だったなあ 傾きとか面積近似は一回やらんと思いつきにくいよね
みんなハイ完やってみて！
これいっぱい出てくる
確かにe^(0.14)は指数が0に近いからマクローリン展開で良好な近似ができるって発想があればかなり楽になったなー。
めんどくさい計算を長々としてしまった。
10:25 この記述の仕方よくない。
頭痛が痛いみたいになってる
e^π>23を示せという問題になると, eは2.718, πは3.14のレベルまで正確に出さないと厳しいですね.
無理数の無理数乗の値の評価は、文系（数Ⅱまで）では近い有理数の有理数乗の値を二項定理など用いて計算して行うのでしょう。
そのときに、指数が正で底が1より大きいとき、x>yならばa^x>a^y、a>bならばa^x>b^xであることは「原理」として扱うようです。
文系ではeはそもそも扱われないですが、Σ1/n! で定義していれば、項を増やすと増加するので、e>2+17/24が分かり、(2+17/24)^3>19.8が計算で示せます。
π>3+1/8なので、2+17/24>(1+1/9)^8を二項定理を利用して示し、e^π>(2+17/24)^(3+1/8)>19.8×10/9=22が微積分ぬきで示せると思います。
指数関数の微分ができれば、a^x も x^a も一次導関数が正なので単調増加、と言えるのは当然じゃないかな？
と一瞬思ったけど、指数関数の微分って数Ⅱではやらないんでしたね。
逆に範囲外の内容を「原理」ってしちゃっていいのか…。
ちなみにe^π-π=19.999...でほぼ整数になる
これって指数×三角関数の積分結果として帰着した不等式でしたっけ。過去問でやった気がするがこんな短かったっけ
マクローリン展開の不等式xの6乗まで作ってときましたw
解4のギリギリ感好き
この問題、受験生時代に過去問分析してるときは全く気付かなかったけど
「21世紀はいい（e）こと一杯(π)」というメッセージを込めて
出題したんだとその後どこかで聞いて、なるほど！と。
下からは有名でもうみんな知ってると思うけど、上からの評価もできるようになって欲しいね
πとeそれぞれの近似値の上振りを求めて最大で21以上かどうかで答えになるはずなんやけどな
πは2005年のあれでいけるけどeの近似値が2.713以上になるのがわかれば21以上やし
2.62以下になれば21以下
いっつも｢パスラボの整数丸｣に聞こえる
標準問題精講でやった！
どうも例の筋が暗躍しているので、日本語多めで小噺を一つ
乗客「うわ～緊張するわ～俺今日飛行機に乗るの初めてなんだ～」
機長「大丈夫ですよ。私も操縦するの初めてですから」
計算のめちゃくちゃ得意な人向け。これなら小学生でも解ける人いるはず。
両方8乗する
e^8π > 2.7^25 = 3^75/10^25
21^8 = 3^8*7^8
両方3^8で割ると 3^67/10^25 と 7^8 の比較となる。
3^67/10^25 > 80^16*3^3/10^25 = 2^48*3^3/10^9 > 1000^4*2^8*3^3/10^9 = 2^8*3^3*10^3 = 6912000
7^8 < 50^4 = 6250000 < 6912000
証明問題でeが2.71...とか πが3.14... であることを導出なしにいきなり使っていいのか気になりました。
元々の問題では近似値が与えられておりましたので使っています！
e は与えられなくても lim(1+1/n)^n の n を適当な値代入してやればそれより大きいのは示せるけど、π の値を与えられず導出しないといけないなら大変すぎますね。
内接する正n角形の辺の和より円周は大きいことを使えば 3.1 より大きいことくらいは示せそうだけど、それだけで別の問題にできるくらいの重さ。
@@passlaboじゃあ近似値が与えられてなかったら頑張って導出しないといけないってことですか？
ChatGPT 3.5先生に教えていただきました。
e^π と 21 どちらが大きいですか。
y＝logx/x で増減表とグラフ書いて求めてもいいの？
1.1^10は強引に計算しても良さそうですね。
第5の解法。スマホからの投稿につき大雑把に。
e^π>2.71^3.14>2.7^3.125=2.7^3×2.7^0.125=19.683×2.7^(1/8)=Aとおく。
さらに2.7^(1/8)=Bとおく。
ここでB=(√2.7^2)^(1/8)=√2.7^(1/4)>2.6896^(1/4)=1.64^(1/4)
=(√1.64^2)^(1/4)=√1.64^(1/2)>1.6384^(1/2)=1.28^(1/2)
=√1.28>√1.2769=1.13よりB>1.13
よってA=19.683×B>19.683×1.13=22.24179>21だから、e^πは21より大きい。
すごい。1.64²≲2.7、1.28²≲1.64という評価法はあらかじめ頭に入れておかないと使えないですね。
私自身、(2⁷)²=16384という整数形は当然のように知っていましたけど、×10⁻² した形での利用ははじめて見ました。
解４の2項展開のところ, 1+1+0.45+0.12+0.021+.... 6項め以上の6項を5項めの値で上回らせて6倍すると2.7より
大きくなってしまうようですが，ちゃんと隣同士の項比較をすると前の項より0.45以下と分かるので0.5倍x6＝3倍で済みOK．もしかしたら4項めの値から等比級数で上回らせられるかも(やってないので不明)．
2.7の1/2乗の1/2乗の1/2乗を計算して解いたなぁ
展開して5次位まで雑に計算したら21超えるな〜ってなったけど、大学入試だとあかんのかね
𝑒=𝑙𝑖𝑚[𝑛→∞]{(1+1/𝑛)^𝑛}なので、動画内では
𝑙𝑖𝑚[𝑛→∞]{(1+1/𝑛)^𝑛}>(1+1/10)^10
を遠回りに示しているだけに思ってしまいますね。
やるとしたら𝑦=(1+1/𝑥)^𝑥 が𝑥>0で単調増加であることを示すくらいかと。
ただ、確かに文系の人向けと言ったら二項定理で示すしかないかもしれないです。
ちなみに私は解1(に1番近い方法)で解きました。
最後の二項定理の係数がだんだん小さくなるのって、そんなに自明なんですかね。
ちょっと不安になった。
自明ではありませんね。全く別の証明が必要になってきます。
素直に第6項目を計算すればあとは減少することが自明に言えるので、動画内で最初に説明した評価方法で
2.591+0.00252*5=2.6036
となって、2.7を超えることはありませんでした。
@@user-rf9dn1iz8b 返信、解説ありがとうございます！理解できました。
ln21=ln3+ln7=＜ln3+ln7.2＜ln3+lne²=2+ln3
ln（（1+x）/（1-x））=2（x+x³/3+x^5/5+……）
（1+x）/（1-x）=3，x=0.5
ln3≈2（0.5+0.125/3+0.03125/5）≈1.096
∴π＞ln21
∴e^π＞21
最後はちゃんと二項係数計算して評価した方がイイと思われ〜🥰
0.021×6 では大雑把すぎ。
1+1+0.45+0.12
ここまで二項展開で出てくる組み合わせ総数2^10=1024のうち
1+10+45+120=176を使っているわけだから、残りは
1024-176=848
これを使って
(1+(1/10))^10
こっちの方がイイかな…。
パスカルの三角で 1.1^5=1.61051 はすぐ出るから、
1.1^10=(1.1^5)^2
頭のいい人は発想力が違うんだなと思った次第・・
そもそもπが3より大きいとか証明が必要なのでは？π＞3.14が既知というのは前提条件なの？示されてないけど。eについても同様。
1999年第6問見れば分かるけど書いてあるんだよ。
8:55あたり 不正確かつ真逆のテロップになってますね．
「1.14で計算してもいいけど1.1で計算しても21より大きくな『る』」
と言っているハズ
eのπ乗は23くらいの実数なのにそれをi乗すると-1になる不思議
E>2.71,Pi>3.14
E^Pi>22.8836>21
って考えて動画開いたけど合ってるかしら（見てない）
「e^π＞23」の高難易度版の証明でもよかろうか。
ネイピア数は下10桁、円周率は下100桁暗記しているワイ高みの見物。そんなの覚えてどうするの？とはもう言わせない。
ふなひとはち...
鮒一鉢...
覚え方＜ネイピア数＜wikipedia より
e=2.71、π=3.14という数値は問題文に指示もないのに勝手に使っていいんですか？
解１の接線 おもしろいね でも自分ならもっと違う解き方するとおもう
大学入試でテイラー展開するのってどうなんだろう・・・とは思う
記述でやっていいかどうか怪しいけど少なくとも検算とか予測とかには良いのでは？
3ln22=ln10648=4ln10+ln1.0648
∵ e^7＞2.7^7＞1046＞10^3
∴ 3ln10＜7， ln10＜7/3
∵ x→0，x/（1+x）＜ln（1+x）＜x
∴ ln1.0648 ＜0.0648
∴ 3ln22＜ 28/3 +0.0648
∴ ln22 ＜28/9 +0.0216 ＜ 3.14＜π
∴ e^π ＞22 ＞21
e^(iπ)なら脊椎反射で-1と答えられる自信ならあるけどな…
pi>e^(pi-2)を示せ
という問題を解いてほしいす
常用対数表の整数の部分は受験生なら覚えるものという言説をみたことがあるのですが覚えてても出題者から提示されてない場合は使ったらどこまで減点されるでしょうか?試しに常用対数表見ながらやってみたら正答と言えるかは自信ないですが結構楽だったもので気になりました。
本題から離れますが常用対数を使う方針でやって最後にpi>3.05でやろうとしたら失敗しました。
常用対数表の整数部分って、全部ゼロじゃないのかな？
覚えた？？
@@MISOKUSO 失礼しました。真数が整数の部分(log2 log3 log5 log7)のことです。
∵e^3＞20；e^4＞50
∴e^7＞1000=10³；
∵21³=9261＜10000=10^4
∴21^9＜10^12
∴9ln21＜ln10^12=ln(10³)^4＜4lne^7=28＜9π
∴π＞ln21
∴e^π＞21
0.021以降が、0.021以下になる説明はいらないのですか？
1/10^nは減少するけど、10Caは増加するから、なんとも…
直感的にはわかりますよ。けど、なんかモヤが、高一なんで、難しい説明はわかりませんが、有識者さん教えてください
おなじことおもいましたよ。
10個だから全部かいてもよいし、この場合に限って言えば10Cnのnがn+1になっても倍率は(10以下)/(10以下)、せいぜい10倍だから、1/10が一つ増えるの考えて、全部それ以下なんでしょうけど。
10Caは10C5が一番でかいからね。
@@oku13
なるほどです！
ありがとうございます！
10Caと10Ca+1で最大値探すやつですね！
もと数字大好きの文系にジジイですが、Taylor展開を持ち出す必要はないのですね。大学入試の問題だからな。
なんでe^π＞21を示したい時に
平均値の定理にπと3を当てはめてみようってなるんですか？
3がどっから出てくるのか知りたいです
πより小さい最大の整数だから、3でやることによって不等式の小さい部分が最大の整数になるから解きやすいっていう感じだと思います
早大理工卒です解２が一番しっくり来たかも。
早大理工卒です←要らない
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細かく切りきざまれ理解よりさきぱやに流れる動画
直ぐに消される式
動画の途中で書いているので誤解があったら申し訳ありませんが
序盤でヨビノリに慣れてしまった僕はとてつもなく一部の人向けに思えてみるに耐えない
知識の乏しい人や忘れかけてる人も分かりやすくしていただけたら数学を好きになるかも知れないが
好きな人が作って好きな人が見てる
スタッフに数学が苦手な(一般的に)人をいれてみてはいかがでしゃうか？
まずはご自身の動画再生、視聴回数、コメント数からの分析をなさっては？
文系はe知らんねん
1秒で解いた
これ昔くぁないが解説してたよね
とてもゴリ押し
π>3.125=25/8
(e^π)^8(20*7)^5=20^5*7^5
=32*10^5*7*49^2=32*10^5*7*(50^2-2*50+1)
>32*10^5*7*(50^2-2*50)
=16*10^7*7*(50-2)
=16*10^7*7*48
=16*10^7*7*3*16
=21*2^8*10^7
=(16+5)*2^8*10^7
=2^12*10^7+5*2^8*10^7
=2^12*10^7+2^8*10^8
=2^12*10^7+(20^2)^4=2^12*10^7+(400)^4=
>2^12*10^7+(80)^4=2^12*10^7+(2^3*10)^4
=2^12*10^7+2^12*10^4
>21^8
e^π>e^3.125>21