Красивая геометрия ★ Супер ЖЕСТЬ ★ Задача для продвинутых
Вставка
- Опубліковано 6 бер 2021
- 3 млн просмотров • Таблица умножения боль...
@arinablog наш семейный канал
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Telegram: t.me/volkov_telegram
Группа ВК: volkovvalery
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Каждую из сторон выпуклого четырехугольника с площадью 45, разделили отрезками с концами на противоположных сторонах, как показано на рисунке, на три равные части. Найдите площадь внутреннего четырехугольника.
Вот это действительно сложная задача . Никогда не задумывался об таком факте , который доказывается в видео. Спасибо за интересную задачу
Это действительно очень сложная задача .Я продвинулся .Вот это жесть Молодец Валерий .
Спасибо за подробное решение задачи,
Звучит как не для моих мозгов, но я все равно посмотрю)
Спасибо, за разбор тяжелой задачи, побольше таких, тяжело в учении легко в бою. 👍👍👍👍👍👍👏👏👏👏👌👌👌
Вот это действительно задача, вот это действительно геометрия!
Выглядит интересно
Площадь кратна 9
Фигуру поделили на 9 частей
Так и хочется взять и просто поделить площадь на количество получившихся кусков
Верно. Интуитивно сделал то-же самое. Но перед этим доказал, что полусуммы площадей примыкающих четырехугольников равны его площади(разделите четырехугольник на симметричное количество частей(9,16,25,36) - будет то-же самое!).)))
Но само доказательство интересное, хотя и достаточно громоздкое.
@@Rashadrus проблема в том, что я не решал
Я просто заметил эту тонкость
Сделал предположение
И оказалось что оно верно
@@kislyak_andrei Я тоже примерно так подходил и заметил то, что автор детализировал и объяснял: тут подобие арифметической прогрессии (высота линейно растёт), а выделенная область - её средний член, равный 5 (1+2+...8+9=45).
Да, действительно, нетривиальная задача. Одназначно лайк за нее.
Ученик 3 класса разделив данную фигуру (равную 45) на 9 ( частей) решил эту задачу гораздо быстрее)))) ... ☝Вот к чему приводит обладание многими знаниями! - к затягиванию решеенияя!)))
Так это не правильное ,ничем не обоснованное решение
@@stepansamankov7129 с точки зрения школьников если ответ верный значит всë окей!) ...ведь конечный результат совпадает а значит любая ведическая форма решения сгодится))... Такое было на егэ года два три назад когда в 12 номере на макс мин просто приравнивали часть функции к 0 а не искали производную и ответ совпадал)))
@@user-qk5zi9lt4r Дело в том, что на профильном ЕГЭ лишь на первые 12 простых заданий нужно дать исключительно ответ (без предоставления решения). Задачу в данном видео простой не назвать. То бишь, такая задача никогда не оказалась бы среди тех первых 12 упражнений ЕГЭ, в которых необходим только лишь ответ, но не решение.
Если же, скажем, в прошлые годы кому-то бы так "повезло", что эта задача оказалась бы на позиции № 16 ЕГЭ (планиметрия), то за правильный ответ на неё (без решения) ученик получил бы НОЛЬ баллов. Правильный ответ может же быть и интуитивно ясен (этого недостаточно, - требуется доказательство), также можно сделать верное предположение (или угадать ответ в конце концов).
Посему, с точки зрения школьников "если ответ верный значит всë окей..", ну такой подход (к содержательным математическим задачам) может сыграть злую шутку, - как на ЕГЭ, так и в целом, при занятиях математикой.
Но, надо сказать, я не встречал школьников с таким подходом, ну скажем так среди тех, кто пишет профильный ЕГЭ по математике.
@@IgorGusev28 всë это так... такие ученики часто бывают).. Просто вам не попадались
Прям экзотика какая-то
Отличное объяснение!
Тут решение простое. Так как речь идет, понятно, не об абсолютном исчислении площадей, а об отношении площадей, то применим аффинное преобразование к большому 4-х уголоьнику - отобразим его в квадрат. Тогда отношения площадей и отношения трёх точек на прямой останутся теми же. В случае квадрата ОЧЕВИДНО, что площадь среднего квадратика в 9 раз меньше площади исходного 4угольника. Исходя из свойств аффинного преобразования, то же самое верно и для исходной фигуры. Отсюда, искомая площадь в 9 раз меньше, чем 45.
Если честно, 9 квадратиков в прямоугольнике, площадь равнятся одной девятой! Изюминка!
😂
Да, но тут же не прямоугольник
Площади всех маленьких четырёхугольников все разные, и только площадь среднего из них оказалась равна 1/9 от площади большого.
@@ValeryVolkov просто стороны внутреннего четырёхугольника также относятся друг к другу как и стороны исходного четырёхугольника , другие же не будут так подобны
@@ValeryVolkov Большое спасибо вам! Задача олимпиадная :)
Красивая задачка. Спасибо!
Гармонично. Да.
Валерий,рассказывайте,пожалуйста,как сложные задачи решать,на подобие этой?Какие приёмы есть?Очень хочется как Вы уметь решать задачи!
Наподобие
Спасибо .Классная задача, классное решение.
Очень интересно и понятно рассказываете, благодарю вас, подсела на ваши задачки.
Для вывода средней высоты применима теорема Фалеса
Моя любимая и очень удобная во многих случаях.
тут ни одной параллельной прямой нет ))))
@@dcas7806 а высоты опущенные на общую сторону не параллельны? Да к тому же точки из которых они опущены образуют равные о резки на прямой - _чистый Фалес!_ ;-)))
@@user-we9bb3sp6p я думал ты про исходные отрезки, а не высоты ;)
@@dcas7806 да я тоже изначально, самостоятельно поикидывал как быприменить... даже интуитивно мог дать ответ что 1/9. Но не складывалась "картина маслом"
Громоздьё букв запутывает
Класс!
Хорошая задача. На неё даже смотреть приятно )
👍👍👍
у меня одного есть ощущение, что фигура НЕ плоская, а похожа на лист ИЗОГНУТОЙ бумаги ??...
предвосхищая вопрос -- не пил ещё, а дурь не употребляю в принципе.
👍
Утверждение о том, что h2 - средняя линия трапеции с основаниями h1 и h3, на мой взгляд следовало подробнее раскрыть, ведь сразу неочевидно, почему она обязана попасть в середину нижней боковой стороны этой трапеции. Так что приходится обращаться к теореме Фалеса, откуда и следует равенство отрезков между высотами.
Действительно "жесть"! Такую задачку по телефону не объяснить а иногда друзья звонят что бы я помог их детям а то и внукам решить задание по геометрии или алгебре.
ГДЗ ж есть)
Я б не так доказывал.
Если стороны DC и AB параллельны, то доказательство очевидно.
Если DC не параллельно AB, пусть Q - точка пересечения соответствующих прямых. Тогда получим треугольник. Не умоляя общности, пусть треугольник BQC. В нем ВС поделена на три равные части => и площади частей равны (высота общая). Но для треугольника QAD можно сказать тоже самое. А тогда по свойству аддитивности площади, получим, что площади нужных четырёхугольников равны.
интуитивно хочется сказать что 1/9 от 45 т.к. не дано дополнительной информации по углам. но это не чесно.
Валерий, из-за вашей фразы "как обычно перед просмотром..." вы теряете много просмотров (к сожалению).
Да навряд ли теряет. Кто не смог сам, будет смотреть, кто смог, будет смотреть, чтобы проверить себя. Кто и не собирался думать, просто смотрит дальше. Как то так.
@@lilukat5311 у меня уже пачка видео висит... интересно самому решить, но пока вот не получается.
Уже по рисунку видно, что в центре четырёхугольник не подобен внешнему, так что формула 45/(k^2), где k - коэффициент сжатия не подойдёт. Интуиция подсказывает её использовать, но это неверно в этой задаче. Вернее, формула верна, но не из-за подобия фигур. Думаю, если делить так стороны на 5 частей то в центре будет 1/25.
Интересно... а а общем случае тоже верно? Если разделить выпуклый четырёхугольник на 2n+1 полосок, через деление противоположных сторон на 2n+1 равных отрезков, то площадь полоски посередине равна площадь четырёхугольника делить на 2n+1...
Как обычно - толково и логично! Спасибо! Для комментаторов - задачи подобного рода не сложные. Они (т.е. задачи) - на умение видеть искомое и применять мат. аппарат ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО на каждом этапе решения.
Решение понял, но повторить не смогу, не очевидно достраивание треугольников, долго думал бы, пока не начал проводить линии, лайк поставил, спасибо за контент uwu
А я для наглядности превратил сторону AD с её отрезками в точку.
И ,без сложных доказательств ,чисто практически ,если образующая поверхность искривляется (пишу упрощенно ) без точек экстремума ( перегиб ,мах , мin , излом - переход отрезка прямой в отрезок кривой ,точка разрыва ,неопределенности ) - длина отрезков сохраняются . Мне просто это известно из матанализа ,и не только . Меняется лишь площадь проекции на другую плоскость . А ,вообще - лайк, как всегда и благодарность от поклонницы канала .
Задача элементарная если думать 3х мерно. Утверждение 1: есть две фигуры на плоскости. Отношение их площадей сохраниться при любой проекции этой плоскости на другую. Утверждение 2: указанную фигуру можно получить проекцией квадрата или прямоугольника. Дальше сразу получаем ответ 5.
вообще, налицо изменение угла зрения на плоскую фигуру. плоский квадрат, на который в 3-мерном пространстве мы смотрим перпендикулярно, выглядит как квадрат, если мы сместим "камеру" (позицию наблюдателя), то увидим трапециевидные искажения (привет файнридер). при этом, очевидно что площади частей этого квадрата (или иного прямоугольника) находятся в некоторой зависимости от позиции наблюдателя. конкретную формулу такой зависимости тоже можно вывести, если позаморачиваться.
такая задача наверняка решалась создателями 3D движков
ничего не понял, но лайк поставлю
Аналогично
так как указана только площадь, значит либо решение не зависит от соотношения сторон и углов между ними, либо данных для решения недостаточно. А если решение не зависит от соотношения сторон и углов, то можно рассмотреть частный случай: ABCD - квадрат. А так как автор канала как честный человек не станет нам предлагать задачи без решения, то очевидно что ответ 5 ))
Подобие внутреннего 4-хугольника сразу очевидно. Если k -- коэффициент подобия, то лин. размеры подобных объектов соотносятся как k, площади -- как k^2, объемы -- как k^3. Самое сложное -- это привести строгое доказательство подобия внутреннего 4-хугольника. Хотя не так уж это сложно.
Тупенькая задача в одну строчку, чему все удивляются? Проводим средние линии в большом четырехугольнике, они же будут содержать средние линии внутреннего четырехугольника, через свойство сечения отрезков в равных долях получаем, что площади отличаются в 9 раз по формуле площади четырехугольника через произведение средних линий на косинус (угол общий).
Хорошая задача.
Само собой,ее можно обобщить.
Если стороны разделить не на 3,а на любое нечётное число равных отрезков,то площадь центрального четырехугольника будет равна 1/n^2.
Где n-число частей.
решение представлено самым оптимальным вариантом
Сразу было интуитивно понятно, что площадь центральной части будет 1/9 от общей, но вот доказать так и не смог :) Смотрел решение и почти до конца не знал, как оно закончится. Отличная задача!
Я только проснулся. И думаю, 5.....
Великолепная задача и чертёж провокатор!!! Задача для школьников, а там "выпуклый многоугольник" - это не совсем выпуклая поверхность, но большие учёные могли этого не знать. Красивейшая планиметрическая задача. Задача свидетельница отменного математического вкуса! Браво!
То чувство, когда сразу же решил, взглянув на рисунок.
Похоже, что АB, FG, MP и DC пересекутся в одной точке (если они изначально не параллельны), как и прямые, идущие в другом направлении. Возможно, это что-то даст, но не факт )
Переход от первой строки ко второй на 2:27 не очень очевиден. Пришлось посидеть подумать почему так.
объясните этот переход, пожалуйста. (где площадь ENK равна одной трети сумме площадей трех треугольников)
@@user-tx3yn2ue5g Для простоты буду обозначать площади треугольников по их именам.
По первой строке видео изначально имеем: ENK = (AHE+KCB)/2 | x2
2*ENK = AHE+KCB | +ENK
3*ENK = AHE+KCB+ENK | /3
Получаем то что и записано во второй строке видео: ENK = (AHE+KCB+ENK)/3
@@purity_one Спасибо, я тоже тупанул и не мог понять, почему так)))
Можно доказать, что если "боковые" стороны выпуклого 4хУг-ка и отрезок соединяющий середины "оснований" удлинить в одну сторону на 100%, то новые точки будут лежать на одной прямой и образуют равные отрезки. Потом поделить FG на 3 равных отрезка и достроить конструкцию до третьего этажа, где разбиение совпадет с первоначальным. Диагонали центрального маленького 4хУг-ка параллельны диагоналям большого. Поэтому пересекаются под одним углом и отношение площадей равно отношению произведений диагоналей.
Вообще, удивительный факт, что внутренние секущие делятся друг другом на равные отрезки. Совсем не очевидный для меня. Чтобы сбить со следа, можно было поделить стороны на большее количество частей.
Да тут задача скорее не найти, а доказать.
Ответ либо зависит от формы ABCD, либо не зависит. Если зависит, то жопа. Если не зависит, то в качестве ABCD возьмем квадрат и элементарно. По сути, доказываем, что ответ не зависит от формы ABCD
Кстати отличное доказательство) Так как данных для исключения квадрата недостаточно, то ответ для частной формы абсд является ответом для общей) Думаю препод от такого офигеет, но и возразить не сможет ничего.
Задача уровня ММО, как мне кажется
Хорошая задачка, подкину еще одну зубодробительную задачку: Дан треугольник ABC с углом ABC=20 градусов и ВАС=80 градусов. На стороне ВС от вершины В отмерили расстояние основания АС, обозначим ее точкой D. (D лежит между В и С) Необходимо найти угол ADC.
А решение не подкинете?)
Илья, добрый вечер! Конечно. Треугольник ABC равнобедренный с углами 20, 80 и 80. Дополнительное построение - это равносторонний треугольник ABE, где EA пересекает сторону BC. Треугольники ABD и AEC раны по двум сторонам и углу между ними 20 градусов. Треугольник BCE тоже равнобедренный, с углами 40, 70,70. Значит угол AEC = BAD = 10 градусам. угол ADC = BAD + BAC = 30 градусам. Есть еще другое решение, но это мне кажется более изящным.
@@EvgeniyZhurov Благодарю. Сидел над ней несколько часов, и сдался в итоге)
@@boykissermaths Ничего, я 4 дня ее решал. у меня есть еще несколько хороших задач, Вот например: Дан произвольный треугольник, на двух сторонах внешним образом построили квадраты. Соединили середину 3й стороны с пересечениями диагоналей квадратов. Необходимо доказать, что получившиеся отрезки равны. Удачи :)
У меня 10 марта полуфинальный тур олимпиады по математике,я смотрю это видео и теперь начинаю думать,что у меня возникнут некоторые трудности
Мы знаем, что четырёхугольник равен 1/3, а теперь попробуем доказать!
Мне кажется, что FG и MP это должны быть биссектрисами треугольника достроенного на сторонах DC и АВ, и тоже вроде как кажется получается и с HE и NK и мне кажется углы A, B,E вроде как равны (но это не точно, ни на что не претендую).
Подсвечиваете треугольники, четырехугольники о которых говорите.
Внутренний же подобен большому, коэффициент подобия 1/3, значит площадь будет (1/3)^2*S=45*1/9=5
Он ему не подобен. Углы будут совпадать только если это прямоугольник, во всех остальных случаях углы будут отличаться.
@@EvgeniyZhurov подобен, соответствующие стороны соотносятся как 1 к 3
@@user-of6hd5gv5p Можно предоставить строгое доказательство? Потому что это не так.
приведу доказательство того, что это не так. Если бы четырехугольник был бы подобен, то углы внутреннего четырехугольника были бы равны углам внешнего четырехугольника. Например угол ABC должен быть равен углу RTO. Оттолкнусь от того как нарисовано на рисунке. Угол АВС меньше угла TGP, а угол TGP меньше угла RTO, следовательно угол RTO больше угла АВС. Так что получается, что при произвольном четырехугольнике Ваше утверждение неверно.
@@EvgeniyZhurov вы опираетесь на рисунок? Вот скажите, если у вас есть выпуклый четырехугольник, с известными сторонами, то известны ли у него углы? Или же если вы все стороны этого четырехугольника переведёте, к примеру из сантиметров в миллиметров у вас углы поменяются?
Интуитивно понимаешь, что если линейные размеры объекта изменяются кратно, то его площадь изменяется кратно квадрату кратности. То есть площадь центрального 4-х угольника равна 1/3*1/3=1/9, то есть 45/9=5
Ответ: 5
Решение пока не смотрел.
Теперь не сплю, а думаю о площади MDHS...
Явно только центральный подобен. Остальные только зная углы можно найти)
А! Мой мозг видит только 3-мерное изображение))
Геометрическая задача на рассуждение
Них*я не понял. Но очень интересно
Поставил минус, т.к. вместо математических действий стоило б начинать с предпосылок и поисков путей решения.
ахахах я в уме просто разделил 45 на 9 и даже не думал что это правильный ответ
45:9=5
Ничо не понял, но интересно.
я угадал ответ
Мдааа... Для продвинутых значит.... Мой мозг не готов к геометрии
А теперь решим эту задачу методами конформных отображений и проективной геометрии :)
кстати да
Зато у меня 112 комментарий
так как прямоугольник который в центре равен среднему значению как по горизонтали так и по вертикали, то смело можно было делить 45 на 9
я это решил в уме за пару секунд
Очень длинное обьяснение.
Если площадь abcd возможно записать одной формулой, то вывести площядь искомого четырехугольника это две строчки в решении.
Очень плохое видео, нет чёткости!.