Классный инвариант и классное доказательство. Напомнило инвариант параллелограмма, у которого точки касания вписанных в полупараллелограммы (треугольники, отрезаемые диагоналями) окружностей с диагоналями параллелограмма всегда образуют прямоугольник. А, как известно, центр вписанной окружности: это точка пересечения бисссектрис. Интересно, имеют эти две теоремы что-то общее? И если да, можно ли их свести друг к другу?
Довольно сложная идея для доказательства Иногда, конечно, бывает полезно посмотреть на задачу на доказательства сзади чтобы увидеть идею для доказательства Но именно начинать доказательство с того, что просят доказать и прийти к изначальной формулировке - это не самое простое рассуждение А само доказательство построено и впрямь просто
Геометрия это лучшее! Уже давно учусь в универе на физфаке МГУ, и почти вся школьная математика, конечно, уже кажется слишком простой и скучной, но геометрия исколючение, только её всегда смотрю с удовольствием )
Добрый день. Спасибо за видео. Весьма поучительно и достаточно интересно. Красоту математики довольно сложно переоценить. А просьба к вам у меня будет следующая. В сборнике задач Демидовича (издания 1997 года, не позднее), есть интересная задача, в которой нужно разложить в ряд Фурье функцию, заданную интегралом с переменным верхним пределом. Пробовал разные способы, в том числе переходил в комплексную область. Пробовал и "в лоб", но в этом случае была идея поменять порядок интегрирования, иначе там хрен проинтегрируешь. А сама функция следующая: у=int(ln(sqrt(abs(ctg(t/2)))),t=0..x) и разложить ее надо на отрезке от -Pi до Pi. Заранее спасибо. Для справки: sqrt() - квадратный корень, abs() - модуль над выражением.
Если отсортировать видео Бориса, показав сначала самые старые, то он постареет, а если наоборот показать самые новые, то он помолодеет... Борис обратил ход времени!
Есть похожая красивая теорема про тридианы: В произвольном треугольнике из вершин проведены прямые, делящие противоположные стороны на 3 равные части. Тогда 3 точки пересечения образуют правильный треугольник(и более того все 6 точек пересечения образую правильный шестиугольник). Доказательство: Афинным преобразованием переведем исходный треугольник в правильный, а для правильного очевидно. P.S. К сожалению, в теореме Морли такой трюк не прокатит, так как афинное преобразование не сохраняет отношение углов(кажется)
@@NEKKITIS Вы правы! Дико извиняюсь за дезинформацию, перепутал с другим фактом: При том же условии выполняется, что диагонали образованного шестиугольника пересекаются в одной точке!😱
Задался таким вопросом - как в игре аналогичной морскому бою за наименьшее количество ходов найти все скрытые объекты (известно количество объектов и размеры каждого из них)
Борис решил полность изменить все атрибуты внешности, которые присутствуют на аватарке канала. Кажется, известно, что будет в следующей трансформации, ведь остались только очки 🤓
На самом деле, когда мы делаем "обратное построение", то необходимо (на мой взгляд) явно указать, что в исходной задаче решение единственно... иначе, формально, у нас нет оснований утверждать, что мы решили прямую задачу (не соответствующей теоремы)
@@trushinbv , если к правильному треугольнику пристроить..., то получится треугольник с триссектрисами, которые пересекаются в вершинах правильного. Прошу извинить, - температурю и не додумывал формулировку. Возможно я что-то недопонял, но у меня впечатление, что заявленную теорему эта цепь рассуждений не доказывает. Полегчает, - посмотрю ещё. Интересно. И самому полезно, - я же учитель. Кстати, у меня в этом году три стобалльника. Два по математике и один по физике. И ОГЭ мои ученики красиво посдавали, все довольны результатами. Они учатся у меня, я у них и у всех :)
@@user-dazaiosamu но здесь мы доказали прямое утверждение. Мы собрали треугольник подобный исходному, в котором теорема верна. Значит она верна и в исходном треугольнике
@@trushinbv да, но почему мы не могли получить такой треугольник, начиная построение с какого-нибудь другого, не правильного треугольника? В ролике доказано то, что от правильного треугольника есть только одна дорожка - к триссектрисам, но не доказано, что к триссектрисам нельзя прийти откуда-нибудь ещë
Самый последний шаг оставил чувство дискомфорта. Это как с "прямой" и "обратной" теоремами Пифагора: в прямоугольном треугольнике c^2=a^2+b^2 - и: если c^2=a^2+b^2, то треугольник прямоугольный. Второе высказывание - это отдельная теорема, требующая своего доказательства. Здесь ситуация очень такая же: начав с равностороннего треугольника, мы фактически доказали не изначально заявленную теорему, а ей "обратную". И их взаимная эквивалентность прозвучала очень скомкано.
на 3:46 не очень понял, почему мы можем обозначить шесть углов таким образом. Понятно, что сумма углов получается корректной, но разве эти углы не накладывают дополнительные условия (такие-то 6 углов должны быть равны 60+альфа , 60+бетта... и т.д.)?
Здравствуйте, Борис. Решаю задачи прошлых лет с олимпиады "Воробьевы горы". Наткнулся на следующую задачу ". Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по 60◦ . Найдите угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы.". Помогите решить. Думаю, получится хорошее видео
Здравствуйте Борис Трушин, по моему для любого n мерного выпуклого многогранника верна формула Эйлера V(0)-V(1)+V(2)-V(3)+...+((-1)^(n-1))×V(n-1)=1-(-1)^n где V(k) это количество k мерных границ этого n мерного многогранника.
Вспоминая ваше видео про то, что нельзя использовать тот факт, который мы хотим доказать, при доказательстве его же, я не понимаю, как мы можем использовать правильность этого треугольника... Ведь мы ровно это хотели доказать? И разве не получается, что мы доказали теорему только в одну сторону, что если он правильный, то это трисектрисы? А почему это работает в другую сторону?🤔 Может быть есть такие треугольники, что трисектрисы не образуют правильный треугольник?
@@trushinbv все равно кажется, что мы использовали правильность треугольника... мы же как будто все эти углы посчитали исходя из того, что этот треугольник правильный
@@trushinbv Ну в моем понимании мы можем точно написать, что оставшиеся два угла равны 120+бета+альфа. Но вот когда мы строго их задаем каждый отдельно, то как будто задача решается не в общем виде. То есть мы доказали по сути, но сделали это только для такой системы углов. Как будто область применения сужается. Не знаю как объяснить..
@@deathnote5924 Вы согласны, что таким способом мы нарисовали треугольник с углами три альфа, три бета, три гамма, в котором трисектриссы пересекаясь образуют правильный треугольник?
Анекдот в тему. Поспорили физик, математик и священник, что сильнее, вера или знание. Решили проверить на прыжке с 10-метровой вышки в очень узкий, но глубокий бассейн. Священник помолился, прыгнул и разбился. Физик начертил, измерил, прыгнул и попал точно в бассейн. Математик считал, считал, прыгнул и взлетел над бассейном. Вот что значит знак перепутать! Так же и Борис считает в уме сколько ему лет, и забывает в какую сторону ось возраста)
Вы сказали, что в подобном треугольнике трисектрисы пересекутся точно так же, как в исходном. По хорошему надо тогда сослаться на какую-то теорему, если она вообще есть. Ну или доказать, что это так. Не уверен, что то, что это очевидно, может считаться доказательством.
4:40 оговорка - через точку цэ-штрих
Дескуфизация Бориса Трушина продолжается
Борис решил стареть по арифметической прогрессии, где d < 0
Харош 😁
@solitude_taster
Нееее , мегахарош:D
Супер мега харош.
Ультра мега хорош
да не, просто сегодня ролик записал А Трушин, а до этого был У Трушин..
ЗЫ Хз читали ли подписчики трушина "понедельник начинается в субботу"...
Борис Трушин как хорошее вино - с возрастом становится только лучше
Я не боюсь человека, который умеет решать 1000 разных задач
Я боюсь человека, который одну задачу умеет решать 1000 разными способами
Коммент глубже, чем кажется
© Цитаты великих Брюсов Ли в тех реальностях, где они математики.
Не важно какая у Бориса на данный момент внешность, важно то, что он остался таким же отличным и добрым преподавателем как и раньше)
Обалдеть, как математика меняет людей👍👍👍
Очень интересная теорема. 50 лет назад я учился в школе и мы такую теорему не рассмвтривали. Класс поставил
Реально несложное, а главное красивое док-во. Огромный респект Борису, за то, что снова и снова показывает красоту математики.
С каждым годом все молодее
как же вы помолодели, Борис Викторович, вам очень идет новый образ!❤
Офигеть он поменялся внешнее респект!
Помню смотрел его пять назад
Спасибо Бенджамину Трушину за интересные видео!
Борис, вы прекрасно выглядите, прям на глазах молодеете!
В первый раз вижу автора в этом образе, стильно!
Борис Викторович, огромное Вам спасибо, что выпускаете такую редкую информацию! Чувствуется расширение простора знаний...
Ого, Вы так похудели. Выглядите очень здорово.
А доказательство действительно короткое и интересное, хотя ниразу и не слышала о такой теореме)
Читайте, однако, Википедию, там говорится и про другие варианты Теоремы
Мне нравится прическа! Очень идет
Геометрия, как и всегда, бесподобна! А нам лишь остаётся понять почему так происходит. Браво!
"Пишите, про что ещё рассказать"... Ну что ж, как раз в тему относительно новых фактов планиметрии: теорема и окружность Ламуна!
Борис, содержательно ваше видео как всегда на высоте. Но хотел бы заметить, что вы отлично выглядите. Так держать!
как похудел Борис, Красавчег
Красивое доказательство, от любимого мат. блогера👏
Блестящее доказательство! Спасибо. Получил удовольствие.
Не ожидал такого😳 очень классно
Борис с каждым видео молодеет
Классный инвариант и классное доказательство.
Напомнило инвариант параллелограмма, у которого точки касания вписанных в полупараллелограммы (треугольники, отрезаемые диагоналями) окружностей с диагоналями параллелограмма всегда образуют прямоугольник. А, как известно, центр вписанной окружности: это точка пересечения бисссектрис.
Интересно, имеют эти две теоремы что-то общее? И если да, можно ли их свести друг к другу?
Как всегда, классное видео!
За 2 минуты посмотрели ?
Даже не задумывсешься, что бывают трисектрисы, пока не натыкаешь на вот такую задачу, очень интересно
Довольно сложная идея для доказательства
Иногда, конечно, бывает полезно посмотреть на задачу на доказательства сзади чтобы увидеть идею для доказательства
Но именно начинать доказательство с того, что просят доказать и прийти к изначальной формулировке - это не самое простое рассуждение
А само доказательство построено и впрямь просто
Геометрия это лучшее!
Уже давно учусь в универе на физфаке МГУ, и почти вся школьная математика, конечно, уже кажется слишком простой и скучной, но геометрия исколючение, только её всегда смотрю с удовольствием )
Красавчик, Борис! Математики-душки!
Борис Викторович, Вам очень идёт новый имидж))) Я ученик 2020 года) класс!
Про геометрию очень интересно!
Какой же он красавчик!
красивое доказательство, я бы не догадался.
Красивое)
Класссное объяснение и доказательство
Браво!
Борис постепенно трансформируется из скуфа в альтушку
(Да простят меня все присутствующие за эту шутку :) )
Добрый день. Спасибо за видео. Весьма поучительно и достаточно интересно. Красоту математики довольно сложно переоценить. А просьба к вам у меня будет следующая. В сборнике задач Демидовича (издания 1997 года, не позднее), есть интересная задача, в которой нужно разложить в ряд Фурье функцию, заданную интегралом с переменным верхним пределом. Пробовал разные способы, в том числе переходил в комплексную область. Пробовал и "в лоб", но в этом случае была идея поменять порядок интегрирования, иначе там хрен проинтегрируешь. А сама функция следующая: у=int(ln(sqrt(abs(ctg(t/2)))),t=0..x) и разложить ее надо на отрезке от -Pi до Pi. Заранее спасибо. Для справки: sqrt() - квадратный корень, abs() - модуль над выражением.
Каковы ограничения на x?
abs это модуль?
int - целая часть?
Int скорее всего интеграл
можете сделать видеоурок про матрицы и вызначники, да и в целом про этот раздел, ауенно объясняете, хотелось бы от вас услышать лекцию на эту тему))
Воу, неплохо.Надо видео про инверсию.
классно)))
Если отсортировать видео Бориса, показав сначала самые старые, то он постареет, а если наоборот показать самые новые, то он помолодеет... Борис обратил ход времени!
Боря теперь на 25 лет выглядит, боюсь через ещё 4 года открывать канал
Как красиво и просто, но в жизни не догадаешься до доп. построений)
Ну, никто и не говорит, что это легко придумать. Это придумали через 120 лет )
@@trushinbv в этом есть свой шарм - придумывать оригинальные доказательства известных фактов :)
Есть похожая красивая теорема про тридианы:
В произвольном треугольнике из вершин проведены прямые, делящие противоположные стороны на 3 равные части. Тогда 3 точки пересечения образуют правильный треугольник(и более того все 6 точек пересечения образую правильный шестиугольник).
Доказательство:
Афинным преобразованием переведем исходный треугольник в правильный, а для правильного очевидно.
P.S. К сожалению, в теореме Морли такой трюк не прокатит, так как афинное преобразование не сохраняет отношение углов(кажется)
Проверил в GeoGebra вообще не сходится, получается треугольник подобный исходному, но никак не правильный
@@NEKKITIS Вы правы! Дико извиняюсь за дезинформацию, перепутал с другим фактом:
При том же условии выполняется, что диагонали образованного шестиугольника пересекаются в одной точке!😱
Кстати это точка является точкой пересечения медиан исходного треугольника и вершины шестиугольника лежат на медианах
Браво, Борис., теперь у нас одинаковые прически-это добрый знак в математике))))))))
Такой получился сегодня математический досуг. Привет Гарднеру.
Здорово выглядишь, проделал хорошую работу над собой! Спасибо за контент.
Борис, вы кажется худеете. Хорошеете
Задался таким вопросом - как в игре аналогичной морскому бою за наименьшее количество ходов найти все скрытые объекты (известно количество объектов и размеры каждого из них)
Сорри но надо сказать - внешний вид супер
настоящий математик
Подросток какой-то. Вы реально думаете, что я повелся? Верните Бориса!
Причёска непривычная.
Наконец-то Борис стал выглядить нормально!
О, у вас новый стайл, так лучше
Борис решил полность изменить все атрибуты внешности, которые присутствуют на аватарке канала. Кажется, известно, что будет в следующей трансформации, ведь остались только очки 🤓
Я пробовал линзы. Мне не понравилось (
@@trushinbv операцию можно сделать, сейчас они не дорогие)
Сам делал
комментаторы будто в закрытыми глазами ролик смотрели
То есть доказали обратную теорему, после чего заодно оказалось, что верна и "прямая".
Капец помолодел, даже голос помолодел немного, заметили??
Я не знал, что трисектрисы существуют. Или хотя бы, что у них есть какой-то смысл. 😮
Красиво, но 60 градусов при "пририсовке" надо вычислить👍
Уверяли, что будет радикально черный цвет.
Не, должен был быть фиолетовый )
Хорошая отсылка.
Математика омолаживает)
Ох уж этот знаменитый метод доказательства, начинающийся со слов, заметим, что, если... )
Ну, это нормально для решения, которое нашли через 120 лет )
Это же не задача из олимпиады с таким авторским решением
На самом деле, когда мы делаем "обратное построение", то необходимо (на мой взгляд) явно указать, что в исходной задаче решение единственно... иначе, формально, у нас нет оснований утверждать, что мы решили прямую задачу (не соответствующей теоремы)
Ну, то что трисектриссы однозначно определены, вроде бы, очевидно
@@trushinbv да, но точек их пересечений 6, например.
@@iGeen7но теорема именно про «соседние» триссектрисы.
Я думаю, что это доказательство теоремы, обратной теореме Морли.
А как вы сформулируете обратную теорему?
@@trushinbv , если к правильному треугольнику пристроить..., то получится треугольник с триссектрисами, которые пересекаются в вершинах правильного.
Прошу извинить, - температурю и не додумывал формулировку.
Возможно я что-то недопонял, но у меня впечатление, что заявленную теорему эта цепь рассуждений не доказывает.
Полегчает, - посмотрю ещё. Интересно. И самому полезно, - я же учитель.
Кстати, у меня в этом году три стобалльника. Два по математике и один по физике. И ОГЭ мои ученики красиво посдавали, все довольны результатами.
Они учатся у меня, я у них и у всех :)
Да, тоже интересует верность обратных рассуждений. Бывает же так, что в одну сторону работает, а в другую - уже нет
@@user-dazaiosamu но здесь мы доказали прямое утверждение. Мы собрали треугольник подобный исходному, в котором теорема верна. Значит она верна и в исходном треугольнике
@@trushinbv да, но почему мы не могли получить такой треугольник, начиная построение с какого-нибудь другого, не правильного треугольника? В ролике доказано то, что от правильного треугольника есть только одна дорожка - к триссектрисам, но не доказано, что к триссектрисам нельзя прийти откуда-нибудь ещë
Чем то похож на доказательство по Джону Конвею
Да, у Конвея первый шаг такой же
@@trushinbv рад что ответил мне сам Борис Трушин
99% - идея Конвея...а не первый шаг..
Я не понял про предпосылку , что в дорисованных треугольниках углы равны 60+∝ или 60+гамма. С чего такое предположение?
это не предположение, мы с такими углами треугольники сами строим
Самый последний шаг оставил чувство дискомфорта. Это как с "прямой" и "обратной" теоремами Пифагора: в прямоугольном треугольнике c^2=a^2+b^2 - и: если c^2=a^2+b^2, то треугольник прямоугольный. Второе высказывание - это отдельная теорема, требующая своего доказательства. Здесь ситуация очень такая же: начав с равностороннего треугольника, мы фактически доказали не изначально заявленную теорему, а ей "обратную". И их взаимная эквивалентность прозвучала очень скомкано.
на 3:46 не очень понял, почему мы можем обозначить шесть углов таким образом. Понятно, что сумма углов получается корректной, но разве эти углы не накладывают дополнительные условия (такие-то 6 углов должны быть равны 60+альфа , 60+бетта... и т.д.)?
Так мы же сами решили построить такую картинку, и в итоге получили треугольник подобный исходному
Если теорема такая же симпатичная, как причёска, то...
Здравствуйте, Борис. Решаю задачи прошлых лет с олимпиады "Воробьевы горы". Наткнулся на следующую задачу ". Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является
образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по 60◦
. Найдите угол между двумя образующими, по которым
пересекаются эти конусы.". Помогите решить. Думаю, получится хорошее видео
БВ нас переиграл, он не стал делать видео про инверсию, вместо этого он инверсировал свое старение и показывает на личном примере что такое инверсия
я почему вы не разбирали в этом году вариант егэ 2024 основная волна?
Сдавал ЕГЭ в 23 году.. щас смотрю вас и не узнаю
😅
Как сравнить скорость роста невычислимых функций?
Считаю это читерством!😅
99% - идея Конвея...а не первый шаг..
Здравствуйте Борис Трушин, по моему для любого n мерного выпуклого многогранника верна формула Эйлера V(0)-V(1)+V(2)-V(3)+...+((-1)^(n-1))×V(n-1)=1-(-1)^n где V(k) это количество k мерных границ этого n мерного многогранника.
здравствуйте, вы можете доказать, что число TREE(3) намного больше числа Грэма? или это просто от балды так сказали?
Фигасе, модный какой.
А можно ссылку на статейку? 👉👈
Можете, пожалуйста, рассказать про доказательство теоремы котангенсов?
Вспоминая ваше видео про то, что нельзя использовать тот факт, который мы хотим доказать, при доказательстве его же, я не понимаю, как мы можем использовать правильность этого треугольника... Ведь мы ровно это хотели доказать?
И разве не получается, что мы доказали теорему только в одну сторону, что если он правильный, то это трисектрисы? А почему это работает в другую сторону?🤔
Может быть есть такие треугольники, что трисектрисы не образуют правильный треугольник?
Мы собрали треугольник подобный исходному, в котором теорема верна. Значит она верна и в исходном треугольнике
@@trushinbv все равно кажется, что мы использовали правильность треугольника... мы же как будто все эти углы посчитали исходя из того, что этот треугольник правильный
А если допустим угол будет не 60+a, а даже меньше чем а?
Мы же сами именно так построили эти треугольники
@@trushinbv я просто немного не понимаю чем обоснована допустимость этого действия, реально для меня революционный подход к решению.
@@deathnote5924какого именно действия?
@@trushinbv Ну в моем понимании мы можем точно написать, что оставшиеся два угла равны 120+бета+альфа. Но вот когда мы строго их задаем каждый отдельно, то как будто задача решается не в общем виде. То есть мы доказали по сути, но сделали это только для такой системы углов. Как будто область применения сужается. Не знаю как объяснить..
@@deathnote5924 Вы согласны, что таким способом мы нарисовали треугольник с углами три альфа, три бета, три гамма, в котором трисектриссы пересекаясь образуют правильный треугольник?
Осталось, что бы на ДВИ в МГУ попалась задача про док-во этой теоремы, и я не полузря смотрел.
Анекдот в тему. Поспорили физик, математик и священник, что сильнее, вера или знание. Решили проверить на прыжке с 10-метровой вышки в очень узкий, но глубокий бассейн. Священник помолился, прыгнул и разбился. Физик начертил, измерил, прыгнул и попал точно в бассейн. Математик считал, считал, прыгнул и взлетел над бассейном. Вот что значит знак перепутать! Так же и Борис считает в уме сколько ему лет, и забывает в какую сторону ось возраста)
Боря, поделись рецептом похудения🎉
Писал в твиттере пару недель назад )
Я не совсем уверен что док-во полное. По построению углы в дополнительном треугольнике (4:05) γ+60 и β+60, а по теореме не дано что углы именно такие.
Мы собрали треугольник подобный исходному, в котором теорема верна. Значит она верна и в исходном треугольнике
@@trushinbv да, точно. Трисекция единственна.
У меня тоже есть теорема: "То4ки пересечения второй и четвертой гексасектрис смежных углов треугольника являются вершинами правильного треугольника"
Вы сказали, что в подобном треугольнике трисектрисы пересекутся точно так же, как в исходном. По хорошему надо тогда сослаться на какую-то теорему, если она вообще есть. Ну или доказать, что это так. Не уверен, что то, что это очевидно, может считаться доказательством.
Можно сказать «сделаем преобразование подобия, которое переводит один треугольник в другой»
Круто! Жаль трисекция не возможна геометрически точно (
Красиво притянуто за уши,ну а если убрать условие при построении угол+60, тогда все будет не так красиво😰
Тогда вы не докажите теорему )
Нефор
Нормис
а был скуфом
Осталось доказать, что если внутренний треугольник не является правильном, то вся последующая цепь рассуждений войдет в противоречие.
Зачем? )
Мы показали, что у треугольника, подобного исходному трисектриссы пересекаются как надо. Значит, и у исходного так
Аплодирую, наконец причёску стрёмную исправил, да ты же Гигачад так-то, а выглядел стрёмно ппц до сих пор
Больше похоже на обратную теорему Морли, когда при заданном равностороннем треугольнике нужно доказать, что ∠А=3α; ∠В=3β; ∠С=3ɣ.