【数学オリンピック1983年】 数オリはこんな問題が多いですよね
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- Опубліковано 19 вер 2024
- こんにちは！マルチーズ先生です。数オリの典型的な問題ですかね。
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師 マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。
数オリの人はようこんな問題作ったな。なんか作り方の定石があるのだろうか。綺麗に1/xと示せるのがすごい。
定石通り(？)、f(x)の単射性(≒狭義単調減少)を示してから解きました。設定が単純なので、頭の中で解けました。
不動点x,yを元の式に入れるとf(xy)=yxよりxyも不動点になるから、動画の方法と合わせて不動点の集合は乗法で群になると言えますね。自分はこの方面から不動点の数列x_n(→∞)を作りました。
数学オリンピックは、整数, 初等幾何, 数え上げ, 関数方程式の4分野しか出題されないイメージがある。
他のたくさんの分野からも出題すれば良いのに。
動画5:00付近で、1より大きい不動点は無い事は既に証明済みなのだから
a1なので以降の説明は不要な気がする。
分かりやすさを優先したのでは？
自分は、2回繰り返してくれたことでスムーズに理解できました。
はへえ……
任意のx,yに対して....の仮定で
x,yをひっくり返してf(f(xf(y)))=xf(y)となりこれはつまりf^2(x)=x（2回適用するともとに戻る関数）であること
は導けてこれになりそうなf(x)って0かxか1/xしかないよなくらいは考えれたけどそれしかないことを証明するのは難しかった……
分からへんなぁ。
不動点を初めて知ったw