【超難問方程式】 奇跡の置換でスマートに解こう！
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- Опубліковано 19 вер 2024
- こんにちは！マルチーズ先生です。うまく置換してスマートに解きましょう。
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師 マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。
どの分野でもそうですが、一見突拍子もない置換でもちゃんと考えられたものになってるんだなぁとあらためて思いました。
試行錯誤があるのでしょうね。
置換の方法は思いつかないけど、1+8000xが平方数になるxを考えて、最初に思いついたのが1+8000x=(1+4000)^2。
その場合のx=2001で、検証すると丁度答えになる。
これはセンスが良いですね。「答えがあるとしたらこうだろう」という逆算の発想も良いと思います。
途中で２乗するという非同値変形を行って必要条件だけで計算しているのだから、他の条件から排除されなかったx=2001も元の方程式の解になっているのか十分条件の確認が必要なのでは?
x+y=-1999 の場合には、x+y≧(-1/8000)+(1/2) となり矛盾ですね。
有難うございます。それで判断したほうが早いですね。
置換しないでそのまま解けましたよ〜ん😊
y=xx-x-1000 ..(1)
y=1000*{(1+8000x)^(1/2)} ..(2)
(1)と(2)の共有点のx座標が答え。(2)はほとんどy軸みたいなものですが、原点にごく近いところから出発して第１象限上に凸なので、(1)と１点で交わると予想できます。
yを消去して両辺２乗した式がこちら。
x(xxx-2xx-1999x-7999998000)=0
x=0は明らかに解ではないので３次方程式の実数解が答え。
xxx-2xx-1999x-7999998000=0 ..(3)
この定数項について、
799999800=2⁴×3×5³×23×29×1999.
xが大きければ-2xxや-1999xは全体から見るとほとんど無視できる大きさになるはずなので、
xxx-7999998000=0
の実数解に近い数が(3)の実数解。
799998000^(1/3)≒2000
と上の素因数分解からx=2001を見つけました。
(x-2001)(xx+1999x+3998000)=0.
２次方程式の方は実数解ないですね✌️
答えのあたりをつけるセンスが素晴らしい！
よ〜んてなんやねん
Trial2で定数項が消えてTrial3で定数項が残ってる⁉︎
と思ったら1:25のところで1000(y+1)とすべきを1000(y-1)になってる
スミマセン、ミスりました。。。
与式を変形して x^2₋x₌x(x₋1)₌1000(1₊8000x)^1/2₊1000₌1000{(1₊8000x)^1/2₊1} ①
①式よりx又はx₋1₌a×1000になるとする。
x₌a×1000の場合、8000x₊1₌8a×10^6₊1となりこの数値は平方根を持たない。
例：1001^2₌1002001のようになり先頭の数値と1の間がすべて0にはならない。
よってx₌a×1000の場合は成立しない。
従ってx₋1₌a×1000が成立することになりx(x₋1)₌(a^2×10^3₊a)×10^3 ②
1000{(1₊8000x)^1/2₊1}₌10^3{(8a×10^6₊1)^1/2₊1} ③
aの値を絞りこむため(8a×10^6₊1)^1/2は(8a×10^6)^1/2にかなりの近似値になるので
a^2×10^3₊a₌√8a×10^3₊1とおき10^3の係数を比較してa^2₌√8aよりa₌2
従ってx₌2001となるので、この値を①に代入すると
左辺：2001×2000₌4002000 右辺：1000×{(8000×2001₊1)^1/2₊1}₌1000×(4001₊1)₌4002000
左辺₌右辺が成立するのでx₌2001となる。
都合のいいように解釈しているかもしれませんが。
熱意のこもったコメント有難うございます！
整数解を求めるのではなく実数解を求める問題なので、正の実数が「(実数の)平方根を持たない」などということはあり得ないのでは?
○○を消したいところです→置換再設定
どうしてその設定が出てきたのか、この動画では一番重要なここが分からんわ
2乗とルートがある時は不動点
きんに君が出て来て、パワーとかするんやろ😂
きんに君のyoutubeよく見ます。
ｘ＝2001という解を得たが、他にも解があるか、調べていない。
おめでとうございます！
必要条件が崩れない式変形(当たり前の変形だが)をしているので、他に解が無いことは明白だよ。
ところで、うぷ主の「おめでというございます！」が意味不明なんだが。
@@山田博也-p5p
文章を分かりやすく訂正します。
「私はこの動画をほとんど見ずにX=2001という解を得たが、私は他に解があるかどうかをまだ調べていません。」
@@zv1729 成程そういう意味でしたか。失礼しました!
で、うぷ主はその意味を正しく汲んで、正解に到達したことを「おめでとうございます！」と言っていた訳なのかな?
一番最初の字幕
「あなたはこの問題を解くことができます」
字幕確認してみました。ほんとですね。そのように言ってみるのも良さそうですね。