ベルトラン・チェビシェフの定理の証明
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- Опубліковано 19 вер 2024
- こんにちは！マルチーズ先生です。有名な定理の証明です。なるべく分かりやすく解説したつもりです！
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師 マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。
軽い気持ちで見たらありえないくらい難しくて草
１つ１つのパーツは理解できると思うので、頑張って視聴していただけると嬉しいです。
高校数学による大定理の証明の中では、かなり有名なものですね。こういうのがあると、高校数学での証明の可能性を実感できて、ロマンがある
ロマンと言っていただけると嬉しいです！
2n個のものからn個を取り出す組み合わせの数を素因数分解するとnより大きい素因数が必ずある
のを証明するのに対数と合同式が両方必要ということか。
難しい
ギリ高校数学で理解できるから嬉しい
この解法の良いところです！
多分，この証明はポール・エルデシュによる方法を詳しくしたもの．
初等的 ≠ 簡単といういい例．
高校の文系レベルまでの知識しかない自分からすると、
命題はシンプルで自然数や素数という用語しか出てこないのに、証明にはeやら自然対数やら、一見整数の分野とあまり関係なさそうに見えるものが出てきて不思議だなあと思いました。
フェルマーの最終定理が、主張自体は中学生でも理解できるものなのに、その証明はさっぱり理解できなかったのと少し似た感覚を覚えました。
色んな知識を総動員した解法ですね。
下かぎかっこは見た目通りの呼び方ですね。
英語を直訳するなら床関数ですが意味を考えると整数部分が自然かな。
そうですね。今回は正の範囲を考えているので、それでも良いですね。
あのシンキングタイムで足りる人いるのか？？
足りないですよね。。。
解説に30分必要な問題でthinking timeが10秒なの解かせる気なさすぎて草
紙とペンを手にして理解しつつ書きながら視聴したら３時間くらいかかりました。ふぅー。
熱心にご視聴いただき、有難うございます！
穴の無い証明するのがこんなにも難しいのか?
素数は難しいですね。。。
素数pと2pの間に別の素数が必ず存在することを示すのはこれより簡単だったりするのかな？それともこれを使わなければ示せないのか…？
いくつか質問があります！
①8:40これはどういう式変形ですか？
②12:50常にpₖ＝p₂ₙですか？
③15:20x以下の素数の個数≦[x/3]+2ならば、なぜΠpᵢ^(aᵢ)≦2n^(√2n/3+2)なのですか？
④22:20この(Ⅲ)では何をやってるのですか？数学的帰納法をやってるのは分かりますが、どういうドミノ倒しなのかが分かりにくいです。
私がわかるものについて、
①式全体にカギ括弧を付けていると思われます。
③Πpi^(ai)は各pi^(ai)が2n以下であって、Πpi^(ai)≦2n^(素数の個数)となる。そして、√2n以下の素数の個数≦[√2n/3]+2≦√2n/3+2なので、Πpi^(ai)≦2n^(√2n/3+2)と評価できるということだと思います。
@@Ashin-rx8wf
あ、なるほどそういうことか！①は理解しました。
[N+a]＝N+[a]という公式を使ったのですね。（Nは任意の整数, aは任意の実数）
②は質問の意味が分かりませんでした。スミマセン。③は、各pi^(ai)が2n以下で、素数の種類が[x/3]+2個以下なので、素数の積は、(2n)^([x/3]+2)以下となります。
④は、n=3, 4で成り立つことを示した後、n=2k-3および2k-2で成り立つことを仮定し、n=2k-1, 2kで成り立つことを証明しています。このように解答した方が分かりやすかったかもしれません。
@@マルチーズ先生のやさしい東大数
丁寧に解説していただき、ありがとうございます！しっかり理解できました。
②は文字通りの質問ですよ。等式pₖ＝p₂ₙが常に成り立つかどうかを聞いています。
それともう1つ。質問ではないのですが、24:06定義域外のものを代入するときは、一言説明しておいたほうが良いかもしれません。
もちろん、P(x)の定義から考えれば、定義域を「3以上の実数」に変えても成り立つのは自明ですが、証明に数学的帰納法を使っているので……
京大特色入試か何か？
大学入試で出すのは厳しい気がします。一部を出題するか、誘導付き出題ですかね。
動画内に登場する等式（あるいは不等式）をいくつか抜粋して、誘導の小問として与えたら、かなりの良問になりそうですね。
たとえば、こんな感じとか？
₂ₙCₙ＝2n!/n!n!＝p₁^a₁×p₂^a₂×p₃^a₃×・・・と素因数分解されるとする。このとき、以下の問に答えよ。
問1 xが実数全体を動くとき、y＝[2x]−2[x]が取り得る値をすべて求めよ。
問2 m, n, pを正の整数とする。[2n/pᵐ]−2[n/pᵐ]＞0を満たすmのうち、最大のものをn, pを用いて表せ。
問3 pᵢ^aᵢ≦2nが成り立つことを示せ。
問4 √2n＜pᵢならばaᵢ＝1、2n/3＜pᵢ≦nならばaᵢ＝0であることを示せ。
問5 5以上の実数sに対して、s以下の素数の個数はs/3+2以下であることを示せ。
問6 3以上の実数tに対して、P(t)＜2²ᵗ⁻³が成り立つことを示せ。ただし、ここでP(t)とは、2以上t以下の全ての素数の積である。
問7 n≧4のとき、4ⁿ/n＜₂ₙCₙが成り立つことを示せ。
問8 f(x)＝x²log2/2logx−xとおく。x≧e²のとき、f(x)は単調増加であることを示せ。
問9 ベルトラン・チェビシェフの定理を証明せよ。