sin(π/1)₌0、sin(π/2)₌1、sin(π/6)₌1/2は既知であるのでその以外のnを見てみると sin(π/3)₌√3/2、sin(π/4)₌√2/2、sin(π/5)₌(√5₊1)/4となるので上記3個以外のnにおいては sin(π/n)は無理数であることを証明する。 sin(π/n)₌kとおく。倍角の公式よりsin(π/n)₌2sin(π/2n)cos(π/2n)₌k ① sin(π/2n)₌tとおくと①式は2t{(1₋t^2)}^1/2₌k ② ②の両辺を2乗して4t^2(1₋t^2)₌k^2より4t^4₋4t^2₊k^2₌0 ③ ③式を解くとt^2₌{(1₊(1₋k^2)^1/2｝/2よってt₌[{1₊(1₋k^2)^1/2}/2]^1/2となり無理数 これよりcos(π/n)も無理数となるのでsin(π/n)₌kは無理数となる。 以上よりsin(π/n)が有理数となるのはn₌1、2、6の3個のみとなる。
10:11あたりの議論に誤りがあると思います
定数項が0の場合、分子qの候補は0の約数なので“全ての整数”になってしまいます
一例をあげるなら2次式の場合 x² - nx + 0 = 0 の解は x=0,n であり、「定数項が0なので解の候補は±0/1,のみ」という議論の反例になるとおもいます。今回の場合チェビシェフ多項式の定数項が1の場合、すなわち n が 4 の倍数の場合方程式
Tₙ(x) - 1 = 0 の定数項は 0 なので定数項を見ただけの議論では分子になんの情報も与えてくれません。この議論をつづけるなら Tₙ(x) の 二次の係数まで見る必要があるとおもいます。それは 2ⁿ/2 以下であるのは成立しているので「解の絶対値は1/2以下」という結論自体は導かれます。
しかしそれならそもそも「2Tₙ(x/2)が整係数モニック多項式」を証明するほうが早いと思います。
ja.wolframalpha.com/input?i=Table%5B+Expand%5B2ChebyshevT%5Bn%2C+x%2F2%5D%5D%2C%7Bn%2C0%2C20%7D%5D
こんなの教科書だけの勉強じゃ無理だよ
これが入試に出るとしたら、十分な誘導があるはずです。
@@マルチーズ先生のやさしい東大数ただし京大数学、、、
マルチーズ先生の本気っ！！！
今後もいろんな問題を扱っていきます！
15:23らへん、最後の部分ですが、
「任意のNに対して、
(2m+n)/2n=1/N
なるn,mが存在する」
となることを注意する必要があると思います。
この証明では、
(2m+n)/2n型の1/N型有理数のことしか示せていないので
「三角関数の整数問題」の動画とつながっていますね。
はい、視聴者からのご要望がありましたので。
sin(π/1)₌0、sin(π/2)₌1、sin(π/6)₌1/2は既知であるのでその以外のnを見てみると
sin(π/3)₌√3/2、sin(π/4)₌√2/2、sin(π/5)₌(√5₊1)/4となるので上記3個以外のnにおいては
sin(π/n)は無理数であることを証明する。
sin(π/n)₌kとおく。倍角の公式よりsin(π/n)₌2sin(π/2n)cos(π/2n)₌k ①
sin(π/2n)₌tとおくと①式は2t{(1₋t^2)}^1/2₌k ②
②の両辺を2乗して4t^2(1₋t^2)₌k^2より4t^4₋4t^2₊k^2₌0 ③
③式を解くとt^2₌{(1₊(1₋k^2)^1/2｝/2よってt₌[{1₊(1₋k^2)^1/2}/2]^1/2となり無理数
これよりcos(π/n)も無理数となるのでsin(π/n)₌kは無理数となる。
以上よりsin(π/n)が有理数となるのはn₌1、2、6の3個のみとなる。
t無理数となるとは限らないのでは？何故無理数となるのでしょうか？すみません、良かったら教えて頂きたいです。
@@ドンマリ
k^2が無理数であればt^2も無理数になることは背理法で示せて、その時tも無理数になるから帰納法でr≧3であればsin(π/2^r)が無理数になることは示せる。7以上の全てのnについては多分示せてない。
@@ドンマリ
ご指摘のとおりk^2の値によっては、tは有理数になる場合がでてきます。
n₌7のときt₌sin(π/14)₌0.2225・・・
n₌8のときt₌sin(π/16)₌0.1950・・・
(1₋k^2)^1/2が有理数とすると(1₋k^2)^1/2₌q/p(p,qは互いに素な整数)とおける。
よってt₌{(1₊q/p)/2}^1/2₌{(p₊q)/2p}^1/2 ②
②式でt
@@うっちゃん-e8e
今気付いたんですが、そもそも式③の解の選択が違いますね。n≧2においてはsin(π/2n)≦1/√2よりt^2≦1/2なので解の公式の途中の±は-を選択しないといけないです。
t=[{1-(1-k^2)^1/2}/2]^1/2
その上で無理数であることの証明は、(1-k^2)^1/2は有理数でも無理数でもどちらでも問題ないので条件側のkの式を有理数と置くのではなく結論側のtを有理数とおいて背理法で示すのが正しい論理展開だと思います。
あと、そもそもその論法だとnが整数でなくとも(例えば実数全体であっても)t