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2＝x^xとすると2^1/x＝xとなり,x＝p/q(p,qは自然数)を代入すると,2^q/p＝p/q⇔2^p＝(p/q)^qより左辺整数,右辺分数より矛盾.よってxは無理数である為,無理数^無理数が有理数となる例が存在する.
言い忘れましが2^1/x＝xの時点でx>0なのでp,qは自然数でなくてはいけません
かしこ
最後のセンテンスって言えてんの？なんで必要十分になってんの？
じゃあ2＝x^xの実数解はいくつだろって思って調べたら、x=e^{W(log2)}だそうな。(W(x)は f(x)=x(e^x) の逆関数で、「ランベルトのW関数」と呼ばれる)あえて小数で近似を取ると1.56くらい。これを設問の反例に使うために無理数かどうかを直接確認するのはまた大変そう。やはりコメ主のやり方は賢い
2＝x^xの自然数解がないことを示していませんでしたね(^^;;x>0よりx^x
ルート2の解答考えた人、人生楽しそう
e^ln2は思いついたけど真の模範解答を聞いてこれがエレガントかってなりました。
そういう証明の仕方がありますよって導入で言ってくれたらいい問題ですね
クイズノックのふくらさんが絶賛してた証明ですね！ふくらさんの解説で感動したのを覚えてますが、入試問題としては解せない、ズルい証明という気持ちもわかります…証明として簡潔でわかりやすいので綺麗ですが絶対に解けない気はしますね笑
おすすめに出てきたけど、概要欄見る限り、この人、数学に超絶ずば抜けてて凄いなぁ。動画も楽しいし
他は小5レベルです
お嬢様部の人らこれ解いて入学したのかと思うとお見事ですわ
あっぱれですわ
誘導で(√2^√2)^√2 = 2 を事前に求めさせられてるならまだしも、自力でこの式思いつくのはバケモンｗｗｗｗ
「√2^√2って結局有理数なの？無理数なの？」という疑問が残りますが、実は√2^√2は無理数(さらには超越数)であることが知られています。(ゲルフォント シュナイダーの定理から直ちにわかります。)
大学受験やで・・・
@@dgsmg2-g大学受験とか関係なく知りたいってことだよ
無理数じゃないならそこで判例だし、それが無理数ならさらに√2乗で解決♪
非構成的証明、の意味をこれで知った
問題文を見て具体的に値を代入する（実験する)作業を行って気付いてほしいと佐賀大の先生たちは思われたのでしょうか？いずれにせよ、解答がきれいで感動しました！
感動はしますね🥺
阪大、横市でも類題が有りますね。佐賀大でこれは解けるのは医学部生ぐらいでしょうね...
医学部志望でも厳しいと思うな
これは学部云々とか得意不得意というより普段から数学をパズルのように使って遊んでるかどうかみたいな感じですね一度出てしまえば受験数学の過去問のひとつってなるからより広範囲な過去問をあさって対策してる人なら解ける問題に成り下がりますが
高一だけど解けたよ
@@Nido0034受験生の志望校ベースで考えてるコメ主に対して、学年で語り出す君は国語で苦労しそう。まだ二年あるから頑張れ
佐賀大って医学部は別の問題じゃなかったけ?共通問題あったかな…
佐賀大出身ですが、この動画を見て「ああそんな過去問があったな」と思い出して懐かしい気持ちになりました。まぁ自分が受験した年の前年なんですけどね。
0:21 ここ五七五で草
(√2)^log[√2]3はどうですか？√2は無理数log[√2]3 = m/n⇔ 3 = √2^(m/n)⇔ 3^(2n) = 2^mは素因数分解の一意性から自然数解なし
PERFECT!
自分もこれでした。底をeとしてしまうとln2が無理数かどうかの証明できないので、これで回避です。
京大の過去問では？
@からあげ 阪大では？
直接反例を探すのであれば、x=sqrt(2),y=log_2 (3)としてx^(2y)=3が一番簡単かと思います。yが無理数であることの証明は背理法を使えばすぐにできます。
√でええやん
@@faker8937 Excelやな
@@namaenimodose わかってんで
しっとるで
らてふやな
a=√2, b=2log[2]3で、a^b=3となる。aもbも無理数を証明するのは高校の範囲内なのでこれが一番簡単だと思った。
かしこい
古い阪大の問題で似た話の問題ありますね
初見殺し過ぎてワロタ佐賀大の答えでもとんすけの答えでも、回答できた人は才能ありってことで合格にしたいｗ
自分が佐賀大学受けたときsin36°だったかな？誘導はあったのですが、5回回転して180°になるみたいなので行列を使って値を求める問題がありました。最近は一橋大学が面白い問題で有名ですが、佐賀大学もたまに面白い問題だしてきます
一橋も面白い問題出してますねえ😚
こりゃ面白い一休さんが出しそうな解ひと休みひと休み😚
存在を示せばいいから別にズルくはないよな。
ずるいってもはや褒め言葉だよな簡単な抜け穴は簡単には見つけられない
受験数学的にはすごくズルいんだが数学的発想としてはとても良い発想としてとズルいって話になってしまうと背理法なんて全部ズルいってことになっちゃうし
実際背理法を脳死で使えない推論体系も存在するよ俺はそこまで過激じゃないけど、そう言う層も一定数いるって話だ
クイズノックの動画で福良さんが好きな問題として挙げていましたね！
この問題ほんとすき
直観主義者なので排中律が使えません……
一緒に基礎の公理を認めましょう！(すみません)
高校入試ってめっちゃ簡単なのに、大学入試はどの大学の問題も難しいよな～
「無理数^無理数」って表現で入試問題が記載してるならなんか意外だな、と思って調べたら元の問題の表記は「無理数の無理数乗」なんですね
みやすさ重視しました😙
最初にこの問題見た時も√2で解きましたが、これで終わりでええんかってもやもやしましたね
無理数の無理数乗は無理数か（季語なし）
そうでないなら反証をせよ
んー才能ナシかな(笑)
不快に思ったならすみません
プレバトかな？
ずるい解答の方が何がずるいのか全く分からなかった、めちゃ良いと思った
ぱっと、無理数^無理数=無理数の反例として、制限時間内に誘導もなしにあれを思いつけと大学側が要求するのはさすがに良くないと思いますが、どうでしょうかね？普通の問題として考えるのではなく、入試問題として考えてみましょうね？🙌
@@ターザン-b5f 誘導ついてなかったらカスみたいな悪問だと思う
@@理系のなかやま微積んにくん 横市は誘導ついてた
何一つ難しい知識はいらないし、高校生の基礎で綺麗に証明できてる暗記競争よりこういうのが発想できるか問う方がよっぽど良い
へー
数学好きだけど浅ーく触った程度だよ勢でもわかる解説助かります！
直観主義論理において排中律を恒真としない理由がよく分かる問題ですね
√2^2(log[2](3))=3とか？√2が無理数であることの証明は有名.log[2](3)が無理数であることを示す.log[2](3)=n/m ,(m,n∈ℕ,互いに素)とすると3=2^(n/m)3^m=2^nこのようなm,n∈ℕ は存在しない.故に2log[2](3)は無理数.
あ、他の方がコメントされてましたね...
いやでも、そこを思いつけるのは天才
@@tonnsuke ありがとうございます、天才だなんてとんでもないです。“ずるい”方解答はエレガントではありますが、制限時間付きで解くならこっちが本筋ですよね。
log2.3が無理数を示せの素因数分解の一意性からの背理法は割りかしユうめいだよ
a+blog2=0⇒a=b=0を示したい。ただしa,bは有理数。(a,b)≠(0,0)と仮定する。a+blog2=0⇔log2=-a/b⇔2=e^(-a/b)∴e=2^(-b/a)。このアプローチで行くとどうしてもeが超越数であることを使わなければならない……
有名な問題ですね〜
論理学と数学の連続性を感じられる良問ですね
論理学は数学の一分野という認識
@@chocolatecornetnothermitcr6159 ちげーよw
@@opaiopai881 数理論理学のことを言ってるんでしょ
@@すごいつりざお-d1y ちげーよw
数年前、自分の持っていた、数研出版の教科書傍用問題集に類題が載っていて、「最初の小問が、底３、真数２の対数が無理数の証明があり、次に別の小問があり、最後の小問がα、βが無理数の時、αのβ乗が整数である例を作れ。」という問題でした。
ほほぉちゃんと誘導があってさすが数研出版ですねえ
とんすけさんでも知らなかったってことはこれはマイナーな問題だったんですね。たまたま私はこの問題の解答を読んだことがあって、そのときにはそのユニークな発想に感銘を受けました。論理的な素晴らしい証明だと思ってましたが、素晴らしいという感覚を持つのは変ですか？
伝説的な良問ですね。あまりにも鮮やかな論法で、強烈に印象に残ってます。log2の無理数については・(x,exp(x))の有理点は(0,1)のみであるという定理を認めれば明らかですが、この定理自体が大学レベルなのが辛いところです
ちなみにこれはリンデマンの定理の系として得られる定理です。a≠0が代数的数ならば、exp(a)は超越数。
exp(a)まで超越数になるんですか！！！すごい
伝説的な良証明ではあると思うけど、その場の工夫で基本どうにもならない上に、知ってる人との差が明確にですぎるのでとても良問とは思えない
@@scovillain952 わかりみが深い
(√2^√2)^√2＝√2^(√2＊√2)＝√2^2＝2(√2^√2)が無理数になるとした場合、それを√2乗した時に有理数が出るから無理数^無理数＝無理数の反例になる(√2^√2)が有理数とした場合無理数^無理数＝有理数となってこれも反例になるって感じですかね
自分もこの解法がベストかなって思いました
動画でやってね？
これすき
動画ちゃんとみましたか…？
@@やきばーど まー動画見る前に書いたんやろ
これはあれだ、その場で発想しろじゃなくて「数学やるならこれくらいは考えたことあるよね？」ってやつじゃないかな。
確かに。これはずるいというより、作成サイドのミスですね。正気なら配点はかなり高くないといけません。”模範解答”は一緒にチェックしているはずなので、きちんとした人でなくても作成者やチェッカーをしているということを示しています。
問題文と会話することを誘導するような問題ですね。初見の感想「えらいフワッとしたこと聞いてくるな。見た目的にはもっともらしいが」出題者の意図はおそらくこうでしょうか↓仮にこの命題が真であるならば、「無理数であること」即ち「有利数でないこと」を証明しなくてはならない→√2が無理数とかの時に背理法使ったな(そう言えば)。この命題が偽であることを示したければ、反例を一つでも示せば良い→何か具体例(有理数になる時)ないやろか。そや！2のlog(2)3乗=3ってあったな。なんか使えへんやろか。みたいな(笑)その場で見てから問題文と「会話」できる能力が必要な点が、ちょっと東大チックなんですよね。阪大とか神大とかの青チャート何回解きましたみたいな反復訓練を問う問題でないところが、「良問」(美しい)であり「悪問」(ちゃんとした数学指導者についていないとそもそも出発点に立つことができない。ある意味不公平)とも思います。ところで背理法での証明って、美しいですよね。その命題の真偽について、予備知識的に事前に知っていなくても、「証明」自体はきっちり完結して、結果的に「証明」ができてしまう辺りが。コメント長々と失礼いたしましたm(_ _)m
aを底、bを真数として対数をloga(b)と書くと(√2)^(2log2(3))=3√2は無理数、2log2(3)も無理数だからこれが反例になる。√2が無理数なのは背理法で簡単に証明出来る。2log2(3)=log2(9)これが有理数だとしてa/bとすると2^(a/b)=92^a=9^b=3^2bこれは素因数分解の一意性に反するから、2log2(3)は無理数多分、高校数学ならこれで○じゃない？
とおもったらコメント欄で既に指摘されてた。皆賢いな…
横浜市立大で誘導付きであった気がする
はじめまして。ゴリゴリの文系人間ですが、この問題だけは瞬間で√２の反例を思いつきました。恥ずかしいですが、国立大の数学で唯一完璧に解けたかもｗｗｗ先生のような数学達人にはツッコミ所のある問題なんですね、勉強になりました。
すごすぎる
文系の方が解きやすい問題なのかも
クイズノックの福良さんも触れてましたね
本当にずるいか？素晴らしい解答だと思うぞ
ずるいと素晴らしいは両立しえます
えぐいいいいいいいこれはずるいと思うがめちゃくちゃ納得できて。。。。。。って感じです。
教授がすごい
1+√2は無理数である(1+√2)^正の整数=n+m√2と表すとn,mはどちらも正なので右辺が整数になることはないしたがって(1+√2)^k=(3以上の整数)となるkは無理数であり、これは反例であるいろんな回答があり得る良い問題、必ずしも知識や天才的ひらめきは必要ないと思います
論理構造が見えません😢どうなってるか教えて下さい🥺・右辺が整数ならｋは整数ではないのは分かりました・右辺が整数となる無理数ｋが存在することは分かってません
@@tonnsuke例えば有理数p/qを持って(1+√2)^(p/q)=3と書けたとすると両辺をq乗して(1+√2)^p=3^qp,3^qは整数なので矛盾します(正確にはpは0ではないので)ちなみに(1+√2)のところを一般の代数的数に置き換えても少し条件をつければ同じような反例ができます☺
（1＋√２）の有理数上（制限あり）が無理数になることは理解できました！そこからでいくと、f(x)=（1＋√２）^xの連続性からf(x)が有理数になるxがあって、xは有理数ではないので無理数になるってことで、反例につながる感じですかね？もともとの方針と合ってます？賢い方法ですねえ😍
@@tonnsuke ありがとうございます、あってます！連続性から解の存在は言えます、が高校の範囲でその論法が許されるのかは自信ないですが😀
数学するぞーって解くと無理やけど、クイズって言われるといけそう(無理)
数学とは別に数学的思考力の試験科目にして、20分この問題だけ解かせてどれだけ発想できるかで点数をあげる方式にしたら良さそう。数学として出題するならこの問題は間違いなく捨て問題。
そもそもで高校数学の範囲だと指数同士の掛け算は有理数までしか定義されていないと思います。だからこそこの問題は難しいなと思ったのですが、模範解答みて思わず笑ってしまったw
一応高校数学範囲でも、簡単な説明で無理数乗も定義して、指数法則を実数の範囲まで広げてますね
そこの記述が高校数学は曖昧なんですよね。有理数と有理数の間には無理数が存在すること、指数関数が連続であることを感覚的に前提として無理数乗を定義しているように思います
数Ⅲは結構ガバガバだって先生が言ってた！
「無理数^無理数」で2つの無理数が同じ数じゃないといけないと錯覚してしまった
√2^log(2)9とかが1番わかりやすい判例になる気がする
別に全然ズルではないし、順当な解答ではないですか…？1.無理数の無理数乗は常に無理数と仮定する2. √2 の √2 乗(=①)は仮定により無理数となる3. ①の√2乗(=②)は仮定により無理数となる4. しかし②は2という有理数である5. 矛盾により最初の仮定、「無理数の無理数乗は常に無理数」は誤り…というただの背理法であり、全くズルくもなんともないと思うのですが…。これをズルいというなら√2を無理数と証明する無限降下法も、無限に割り切れるから有理数じゃないなんてそんなんズルいやんとなるのでしょうか…？
※個人の感想です
んー、入試問題集って出版社が勝手に出してるだけで、log2を使った答えは出版社の模範解答で大学側が期待した答えじゃないと思う。
大学側は何を期待していたんでしょうか逆に気になります
@@tonnsuke 固定されているコメントの解法が一番正統で、それを期待したのかなと思いました。x^x=aの形にしてから有理数解を仮定して背理法で反例になることを示す。使っている道具は王道だと思うので。
横浜市立大学の何年か前の試験でも出てた気がします！鳩の巣原理でしたっけ？
大学以降はこんな証明どうやって思いつくん？ってやつばっかりだけど、この問題はまだ構成的に解くこともできるからまだマシだと思ってしまう
定かではない反例1を持ってきて、もし反例1がだめでも反例2は確実に反例になる論理は、まるで２手詰めの詰将棋のように思えました。。。発想が凄い。
詰将棋に2手詰めは無いですけどね
@@manu-ji8dr 偶数手の詰将棋は一応あります王手がかかった状態でスタートして玉方の手番で始まる感じです
受験で出されたら何を求められてるんだって感じだけど、クイズ的に出されるのは面白いと思う実際初めて見た時は感動した
e^xとlog x は逆関数だからxy平面の座標を考えてe とlog 1 はそれぞれ対応して無理数になるっていうのはlog 1 が無理数であるという証明になりませんか？ 高校数学で習った範囲でできる気がします。
反例のするさが軽減できるとおもいます。
log 1はゼロです😭
うっかりしてました😅log2とe^2で同じようにできませんか？
逆関数の対応がっていうのはたぶんないと思います😢
そもそも高校数学では指数関数の連続性(0^0は除く)は説明されておらず計算上は認めてきた慣例慣例（仮定）を土台にした証明問題が不味いわけではないけどそれってどうなの？っちょっと思ってしまいますね
クイズノックのフクラさんが感動した数学の問題で紹介してたやつや
これクイズノックのふくらPが紹介してたでー！面白いよねこれ
たまたま読んでた本に出てきたので、ひょっとしたら元ネタかも知れないです。砂田利一. _"バナッハ・タルスキーのパラドックス"_ . 岩波書店 , 1997 , p25-26「排中律」（P∨（¬P）が常に真であるというルール)によって証明出来る、一見「奇妙な」証明の例として出てきてるので、初見で分からないのが普通だと思います。
√2**√2は無理数の無理数乗を考える上でまず書いてみるかもしれないけどそこからもう一段行くのはひらめき力かなりあるわ…..
ずるい解答めっちゃ面白いねまあ思いつかないけど
佐賀大学以外にも出てるところ沢山あるみたいですね
ほえーーー
無理数の無理数乗は無理数かなんかリズムが良い五七五ですね。
この問題に関しては現実的に思いつけるレベルの別解が無数にあるから、ずるい問題って印象はないな
これは確かに酷い。「無理数^無理数は無理数である。」この命題が偽であることを証明せよ。ならまだまぁ...
無理数の無理数乗が無理数であることを証明しようとすると全く方針がたたないので、反例を探すしかない！ってなることを期待してるんだと思います🥶🥶
「無理数^無理数は無理数である。」って命題なん？
ゲフォントシュナイダー
話題性欲しかったんやろうなあ
個人的には自明に感じたんだけど証明がムズいな…ルート2の回答簡単なのに思いつかんのムカつくわ…良問だぁ、
数学的思考により適した言語は何ですか？
指数表記の定義より何も特定しない無理数の無理数乗は( 有限時間内に展開できず等 )数の表現として不適切である。よって"無理数^無理数"は数としては存在しないただの"漢字の羅列"であり、"無理数"ではない。( 無理数ではない証明を求められてないから不正解なんだろうけど、もはやトンチだなぁ )
現代文の試験かな？
ズルい答え、面白いなーって思いました
ぱっと単純に指数法則で(a^m)^n=a^mnより(√2^√2)^√2=√2^2=2が思い浮かんだんですけどこれでいいんですかね？コメ欄見る限り√2^log₂9=3のほうがいい気もしますね
るーと２のるーと２乗が無理数の証明ができればそれでいいです😉
横市の医学部でもなんか似たような問題あったよねって思ったけどこれ2年前の動画か
高校の教師から記号論理学について教えてくれる機会があって、排中律を是とする場合、このような証明が可能となりますよね、という例示として出された記憶があります
動画見ずにぱっと思いついたことを書きます。√2^log√2(3)=3√2は無理数。log√2(3)も無理数。なぜならばlog√2(3)=log2(3)/log2(√2)=2log2(3)だが、log2(3)を有理数と仮定し、log2(3)=m/nと置くと、2^m=3^nとなって素因数分解の一意性に反するので矛盾。
面白いなあ
まじれすすると佐賀大行くような奴はこんな問題解けない。従ってこんな問題解く必要ない以上
√2^√2^√2は知っているかどうかですね…√2なら無理数であることはlog2に比べて楽に示せますし。有理数と無理数の濃度の話は、これまた知っていれば、荒っぽいですが有理数は分子と分母で2次元の表を書いてあげれば数え上げられると言え、無理数は対角線論法を使ってあげればいいので。知識ベースが過ぎますね。
A又はBが反例であると書くからずるく感じるのであって、背理法を使って、与式を真とするなら√2^√2は無理数となり(√2^√2)^√2=2も無理数となり矛盾と書けば納得できると思います
史上ですね。国語も頑張れ！
ナチュラルにまちがえてたの恥ずかしい😆
ln2 = p/q と表せると仮定する。(p,q ∈ N)e^p/q = 2e^p = 2^qよりe^pが整数となるがそのような整数pは存在しない。よってln2は無理数。□eが暗黙のうちに無理数と認められるならこんな感じでどうでしょう？
eのp乗が整数になりえないっていうところに飛躍があります😲√2は2乗すればなるのに、どうして...ってなってしまいます
@@tonnsuke なるほど…まだ私の手には負えませんw勉強します！ありがとうございました😊
ズルいって言われたらあの反例も意外と思い付きそう。
√2(無理数) の log₂9(無理数)乗 は 3(有理数)ですよ！√2 log₂9 のそれぞれが無理数であることを示すのは難しく無いはずです自然対数が無理数であることの証明は難しいですよね( ˘•ω•˘ ;)💦
2009年佐賀大（教育３）の問題みたいです！log_2 9って無理数なんですか！？ちょっと考えてみます:)
無理数でした... log_2 9は思いつかない！！かしこすぎます
@@tonnsuke log₁₀3が無理数であることを示せ というのは教科書に乗っているレベルなのでそこから着想を得ました😌
ずるい？解法は初めて知った時は感動しました入試問題としては微妙なのかな？過去に阪大や横市で類題があるので熱心？な受験生には有利だったのかも
やっぱ直観論理よ
っぱすね
別に直観論理でも成り立ちますよ。¬Aの定義がA→⊥ですし、選言性質はむしろ直観論理の特徴ですし。
@@MS-gq4gx 選言属性の最初の前提（√2^√2は有理数∨√2^√2は無理数）= trueは必ずしも使えないんよな
@@天才の証明 あー、そっか勘違いしてましたすみません💦
私の回答任意の有理数cに対してa^b=cとなる無理数a bを構成できる。証明 有理数c=p/q (p qは互いに素な正の整数)に対して p qと素になる素数zをとる。このときlog[z]cは無理数である。なぜならlog[z]cが有理数であるとしてm/n(m nは互いに素な正の整数)とおくと(z^m)(q^n)=p^nとなるがz p qは互いに素であるため素因数分解の一意性に矛盾する。よってlog[z]cは無理数。log[z]cが無理数のとき2log[z]cは無理数。このときa=z^(1/2) b=2log[z]cとするとa bは無理数で求めるものになる。もし間違いあればご指摘を。
ｃが正の場合ですかね
@@tonnsuke そうですね。cは正ですね。
拝見させて頂きました。要は「a,bとも正の無理数の時、a^bは無理数である」命題の真偽を問うているわけですね。答えは他のコメントやご解説の通り「偽」ですが、a,bの具体的数値が無理数であることを厳密に証明する必要があるとなると、a,bの値を慎重に選んでしまいます。無理数を証明しやすい数値として、私でしたら「a=√2、b=2log2|3」を挙げます。
これいつの問題ですか？
これ高一なんですけど先生が出してきてめっちゃ面白かった記憶あります笑
思ったんですが、虚数の可能性は考えなくてもいいんですか？
虚数は無理数じゃないので大丈夫です👍
5:55 俺用
2＝x^xとすると2^1/x＝xとなり,x＝p/q(p,qは自然数)を代入すると,2^q/p＝p/q⇔2^p＝(p/q)^qより左辺整数,右辺分数より矛盾.
よってxは無理数である為,無理数^無理数が有理数となる例が存在する.
言い忘れましが2^1/x＝xの時点でx>0なのでp,qは自然数でなくてはいけません
かしこ
最後のセンテンスって言えてんの？なんで必要十分になってんの？
じゃあ2＝x^xの実数解はいくつだろって思って調べたら、x=e^{W(log2)}だそうな。(W(x)は f(x)=x(e^x) の逆関数で、「ランベルトのW関数」と呼ばれる)
あえて小数で近似を取ると1.56くらい。これを設問の反例に使うために無理数かどうかを直接確認するのはまた大変そう。やはりコメ主のやり方は賢い
2＝x^xの自然数解がないことを示していませんでしたね(^^;;
x>0よりx^x
ルート2の解答考えた人、人生楽しそう
e^ln2は思いついたけど真の模範解答を聞いてこれがエレガントかってなりました。
そういう証明の仕方がありますよって導入で言ってくれたらいい問題ですね
クイズノックのふくらさんが絶賛してた証明ですね！
ふくらさんの解説で感動したのを覚えてますが、入試問題としては解せない、ズルい証明という気持ちもわかります…
証明として簡潔でわかりやすいので綺麗ですが絶対に解けない気はしますね笑
おすすめに出てきたけど、概要欄見る限り、この人、数学に超絶ずば抜けてて凄いなぁ。
動画も楽しいし
他は小5レベルです
お嬢様部の人らこれ解いて入学したのかと思うとお見事ですわ
あっぱれですわ
誘導で(√2^√2)^√2 = 2 を事前に求めさせられてるならまだしも、自力でこの式思いつくのはバケモンｗｗｗｗ
「√2^√2って結局有理数なの？無理数なの？」という疑問が残りますが、
実は√2^√2は無理数(さらには超越数)であることが知られています。
(ゲルフォント シュナイダーの定理から直ちにわかります。)
大学受験やで・・・
@@dgsmg2-g
大学受験とか関係なく知りたいってことだよ
無理数じゃないならそこで判例だし、それが無理数ならさらに√2乗で解決♪
非構成的証明、の意味をこれで知った
問題文を見て具体的に値を代入する（実験する)作業を行って気付いてほしいと佐賀大の先生たちは思われたのでしょうか？
いずれにせよ、解答がきれいで感動しました！
感動はしますね🥺
阪大、横市でも類題が有りますね。佐賀大でこれは解けるのは医学部生ぐらいでしょうね...
医学部志望でも厳しいと思うな
これは学部云々とか得意不得意というより
普段から数学をパズルのように使って遊んでるかどうかみたいな感じですね
一度出てしまえば受験数学の過去問のひとつってなるからより広範囲な過去問をあさって対策してる人なら解ける問題に成り下がりますが
高一だけど解けたよ
@@Nido0034受験生の志望校ベースで考えてるコメ主に対して、学年で語り出す君は国語で苦労しそう。まだ二年あるから頑張れ
佐賀大って医学部は別の問題じゃなかったけ?共通問題あったかな…
佐賀大出身ですが、この動画を見て「ああそんな過去問があったな」と思い出して懐かしい気持ちになりました。
まぁ自分が受験した年の前年なんですけどね。
0:21 ここ五七五で草
(√2)^log[√2]3はどうですか？
√2は無理数
log[√2]3 = m/n
⇔ 3 = √2^(m/n)
⇔ 3^(2n) = 2^m
は素因数分解の一意性から自然数解なし
PERFECT!
自分もこれでした。底をeとしてしまうとln2が無理数かどうかの証明できないので、これで回避です。
京大の過去問では？
@からあげ 阪大では？
直接反例を探すのであれば、x=sqrt(2),y=log_2 (3)としてx^(2y)=3が一番簡単かと思います。yが無理数であることの証明は背理法を使えばすぐにできます。
√でええやん
@@faker8937 Excelやな
@@namaenimodose わかってんで
しっとるで
らてふやな
a=√2, b=2log[2]3で、a^b=3となる。aもbも無理数を証明するのは高校の範囲内なのでこれが一番簡単だと思った。
かしこい
古い阪大の問題で似た話の問題ありますね
初見殺し過ぎてワロタ
佐賀大の答えでもとんすけの答えでも、回答できた人は才能ありってことで合格にしたいｗ
自分が佐賀大学受けたときsin36°だったかな？誘導はあったのですが、5回回転して180°になるみたいなので行列を使って値を求める問題がありました。最近は一橋大学が面白い問題で有名ですが、佐賀大学もたまに面白い問題だしてきます
一橋も面白い問題出してますねえ😚
こりゃ面白い
一休さんが出しそうな解
ひと休みひと休み😚
存在を示せばいいから別にズルくはないよな。
ずるいってもはや褒め言葉だよな
簡単な抜け穴は簡単には見つけられない
受験数学的にはすごくズルいんだが
数学的発想としてはとても良い
発想としてとズルいって話になってしまうと背理法なんて全部ズルいってことになっちゃうし
実際背理法を脳死で使えない推論体系も存在するよ
俺はそこまで過激じゃないけど、そう言う層も一定数いるって話だ
クイズノックの動画で福良さんが好きな問題として挙げていましたね！
この問題ほんとすき
直観主義者なので排中律が使えません……
一緒に基礎の公理を認めましょう！(すみません)
高校入試ってめっちゃ簡単なのに、大学入試はどの大学の問題も難しいよな～
「無理数^無理数」って表現で入試問題が記載してるならなんか意外だな、と思って調べたら元の問題の表記は「無理数の無理数乗」なんですね
みやすさ重視しました😙
最初にこの問題見た時も√2で解きましたが、これで終わりでええんかってもやもやしましたね
無理数の
無理数乗は
無理数か（季語なし）
そうでないなら
反証をせよ
んー才能ナシかな(笑)
不快に思ったならすみません
プレバトかな？
ずるい解答の方が何がずるいのか全く分からなかった、めちゃ良いと思った
ぱっと、無理数^無理数=無理数の反例として、制限時間内に誘導もなしにあれを思いつけと大学側が要求するのはさすがに良くないと思いますが、どうでしょうかね？普通の問題として考えるのではなく、入試問題として考えてみましょうね？🙌
@@ターザン-b5f 誘導ついてなかったらカスみたいな悪問だと思う
@@理系のなかやま微積んにくん 横市は誘導ついてた
何一つ難しい知識はいらないし、高校生の基礎で
綺麗に証明できてる
暗記競争よりこういうのが発想できるか問う方がよっぽど良い
へー
数学好きだけど浅ーく触った程度だよ勢でもわかる解説助かります！
直観主義論理において排中律を恒真としない理由がよく分かる問題ですね
√2^2(log[2](3))=3
とか？
√2が無理数であることの証明は有名.
log[2](3)が無理数であることを示す.
log[2](3)=n/m ,(m,n∈ℕ,互いに素)とすると
3=2^(n/m)
3^m=2^n
このようなm,n∈ℕ は存在しない.
故に2log[2](3)は無理数.
あ、他の方がコメントされてましたね...
いやでも、そこを思いつけるのは天才
@@tonnsuke
ありがとうございます、天才だなんてとんでもないです。
“ずるい”方解答はエレガントではありますが、制限時間付きで解くならこっちが本筋ですよね。
log2.3が無理数を示せの素因数分解の一意性からの背理法は割りかしユうめいだよ
a+blog2=0⇒a=b=0を示したい。ただしa,bは有理数。
(a,b)≠(0,0)と仮定する。
a+blog2=0⇔log2=-a/b⇔2=e^(-a/b)∴e=2^(-b/a)。
このアプローチで行くとどうしてもeが超越数であることを使わなければならない……
有名な問題ですね〜
論理学と数学の連続性を感じられる良問ですね
論理学は数学の一分野という認識
@@chocolatecornetnothermitcr6159 ちげーよw
@@opaiopai881 数理論理学のことを言ってるんでしょ
@@すごいつりざお-d1y ちげーよw
数年前、自分の持っていた、数研出版の教科書傍用問題集に類題が載っていて、「最初の小問が、底３、真数２の対数が無理数の証明があり、次に別の小問があり、最後の小問がα、βが無理数の時、αのβ乗が整数である例を作れ。」という問題でした。
ほほぉ
ちゃんと誘導があってさすが数研出版ですねえ
とんすけさんでも知らなかったってことはこれはマイナーな問題だったんですね。
たまたま私はこの問題の解答を読んだことがあって、そのときにはそのユニークな発想に感銘を受けました。
論理的な素晴らしい証明だと思ってましたが、素晴らしいという感覚を持つのは変ですか？
伝説的な良問ですね。あまりにも鮮やかな論法で、強烈に印象に残ってます。
log2の無理数については
・(x,exp(x))の有理点は(0,1)のみである
という定理を認めれば明らかですが、この定理自体が大学レベルなのが辛いところです
ちなみにこれはリンデマンの定理の系として得られる定理です。a≠0が代数的数ならば、exp(a)は超越数。
exp(a)まで超越数になるんですか！！！すごい
伝説的な良証明ではあると思うけど、その場の工夫で基本どうにもならない上に、知ってる人との差が明確にですぎるのでとても良問とは思えない
@@scovillain952 わかりみが深い
(√2^√2)^√2
＝√2^(√2＊√2)
＝√2^2
＝2
(√2^√2)が無理数になるとした場合、それを√2乗した時に有理数が出るから
無理数^無理数＝無理数の反例になる
(√2^√2)が有理数とした場合
無理数^無理数＝有理数
となってこれも反例になる
って感じですかね
自分もこの解法がベストかなって思いました
動画でやってね？
これすき
動画ちゃんとみましたか…？
@@やきばーど まー動画見る前に書いたんやろ
これはあれだ、その場で発想しろじゃなくて「数学やるならこれくらいは考えたことあるよね？」ってやつじゃないかな。
確かに。これはずるいというより、作成サイドのミスですね。正気なら配点はかなり高くないといけません。”模範解答”は一緒にチェックしているはずなので、きちんとした人でなくても作成者やチェッカーをしているということを示しています。
問題文と会話することを誘導するような問題ですね。
初見の感想
「えらいフワッとしたこと聞いてくるな。見た目的にはもっともらしいが」
出題者の意図はおそらくこうでしょうか↓
仮にこの命題が真であるならば、「無理数であること」即ち「有利数でないこと」を証明しなくてはならない→√2が無理数とかの時に背理法使ったな(そう言えば)。
この命題が偽であることを示したければ、反例を一つでも示せば良い→何か具体例(有理数になる時)ないやろか。
そや！2のlog(2)3乗=3ってあったな。なんか使えへんやろか。
みたいな(笑)
その場で見てから問題文と「会話」できる能力が必要な点が、ちょっと東大チックなんですよね。阪大とか神大とかの青チャート何回解きましたみたいな反復訓練を問う問題でないところが、「良問」(美しい)であり「悪問」(ちゃんとした数学指導者についていないとそもそも出発点に立つことができない。ある意味不公平)とも思います。
ところで背理法での証明って、美しいですよね。その命題の真偽について、予備知識的に事前に知っていなくても、「証明」自体はきっちり完結して、結果的に「証明」ができてしまう辺りが。
コメント長々と失礼いたしましたm(_ _)m
aを底、bを真数として対数をloga(b)と書くと
(√2)^(2log2(3))=3
√2は無理数、2log2(3)も無理数だからこれが反例になる。
√2が無理数なのは背理法で簡単に証明出来る。
2log2(3)=log2(9)
これが有理数だとしてa/bとすると
2^(a/b)=9
2^a=9^b=3^2b
これは素因数分解の一意性に反するから、2log2(3)は無理数
多分、高校数学ならこれで○じゃない？
とおもったらコメント欄で既に指摘されてた。皆賢いな…
横浜市立大で誘導付きであった気がする
はじめまして。
ゴリゴリの文系人間ですが、この問題だけは瞬間で√２の反例を思いつきました。
恥ずかしいですが、国立大の数学で唯一完璧に解けたかもｗｗｗ
先生のような数学達人にはツッコミ所のある問題なんですね、
勉強になりました。
すごすぎる
文系の方が解きやすい問題なのかも
クイズノックの福良さんも触れてましたね
本当にずるいか？素晴らしい解答だと思うぞ
ずるいと素晴らしいは両立しえます
えぐいいいいいいい
これはずるいと思うがめちゃくちゃ納得できて。。。。。。って感じです。
教授がすごい
1+√2は無理数である
(1+√2)^正の整数=n+m√2と表すとn,mはどちらも正なので右辺が整数になることはない
したがって(1+√2)^k=(3以上の整数)となるkは無理数であり、これは反例である
いろんな回答があり得る良い問題、必ずしも知識や天才的ひらめきは必要ないと思います
論理構造が見えません😢
どうなってるか教えて下さい🥺
・右辺が整数ならｋは整数ではないのは分かりました
・右辺が整数となる無理数ｋが存在することは分かってません
@@tonnsuke
例えば有理数p/qを持って(1+√2)^(p/q)=3と書けたとすると両辺をq乗して(1+√2)^p=3^q
p,3^qは整数なので矛盾します(正確にはpは0ではないので)
ちなみに(1+√2)のところを一般の代数的数に置き換えても少し条件をつければ同じような反例ができます☺
（1＋√２）の有理数上（制限あり）が無理数になることは理解できました！
そこからでいくと、f(x)=（1＋√２）^xの連続性からf(x)が有理数になるxがあって、xは有理数ではないので無理数になるってことで、反例につながる感じですかね？
もともとの方針と合ってます？
賢い方法ですねえ😍
@@tonnsuke
ありがとうございます、あってます！
連続性から解の存在は言えます、が高校の範囲でその論法が許されるのかは自信ないですが😀
数学するぞーって解くと無理やけど、クイズって言われるといけそう(無理)
数学とは別に数学的思考力の試験科目にして、20分この問題だけ解かせてどれだけ発想できるかで点数をあげる方式にしたら良さそう。
数学として出題するならこの問題は間違いなく捨て問題。
そもそもで高校数学の範囲だと指数同士の掛け算は有理数までしか定義されていないと思います。だからこそこの問題は難しいなと思ったのですが、模範解答みて思わず笑ってしまったw
一応高校数学範囲でも、簡単な説明で無理数乗も定義して、指数法則を実数の範囲まで広げてますね
そこの記述が高校数学は曖昧なんですよね。有理数と有理数の間には無理数が存在すること、指数関数が連続であることを感覚的に前提として無理数乗を定義しているように思います
数Ⅲは結構ガバガバだって先生が言ってた！
「無理数^無理数」で2つの無理数が同じ数じゃないといけないと錯覚してしまった
√2^log(2)9とかが1番わかりやすい判例になる気がする
別に全然ズルではないし、順当な解答ではないですか…？
1.無理数の無理数乗は常に無理数と仮定する
2. √2 の √2 乗(=①)は仮定により無理数となる
3. ①の√2乗(=②)は仮定により無理数となる
4. しかし②は2という有理数である
5. 矛盾により最初の仮定、「無理数の無理数乗は常に無理数」は誤り
…というただの背理法であり、全くズルくもなんともないと思うのですが…。
これをズルいというなら√2を無理数と証明する無限降下法も、無限に割り切れるから有理数じゃないなんてそんなんズルいやんとなるのでしょうか…？
※個人の感想です
んー、入試問題集って出版社が勝手に出してるだけで、log2を使った答えは出版社の模範解答で大学側が期待した答えじゃないと思う。
大学側は何を期待していたんでしょうか
逆に気になります
@@tonnsuke
固定されているコメントの解法が一番正統で、それを期待したのかなと思いました。
x^x=aの形にしてから有理数解を仮定して背理法で反例になることを示す。
使っている道具は王道だと思うので。
横浜市立大学の何年か前の試験でも出てた気がします！
鳩の巣原理でしたっけ？
大学以降はこんな証明どうやって思いつくん？ってやつばっかりだけど、この問題はまだ構成的に解くこともできるからまだマシだと思ってしまう
定かではない反例1を持ってきて、もし反例1がだめでも反例2は確実に反例になる論理は、まるで２手詰めの詰将棋のように思えました。。。発想が凄い。
詰将棋に2手詰めは無いですけどね
@@manu-ji8dr
偶数手の詰将棋は一応あります
王手がかかった状態でスタートして玉方の手番で始まる感じです
受験で出されたら何を求められてるんだって感じだけど、クイズ的に出されるのは面白いと思う
実際初めて見た時は感動した
e^xとlog x は逆関数だからxy平面の座標を考えてe とlog 1 はそれぞれ対応して無理数になるっていうのはlog 1 が無理数であるという証明になりませんか？ 高校数学で習った範囲でできる気がします。
反例のするさが軽減できるとおもいます。
log 1はゼロです😭
うっかりしてました😅log2とe^2で同じようにできませんか？
逆関数の対応がっていうのはたぶんないと思います😢
そもそも高校数学では指数関数の連続性(0^0は除く)は説明されておらず計算上は認めてきた慣例
慣例（仮定）を土台にした証明問題が不味いわけではないけど
それってどうなの？っちょっと思ってしまいますね
クイズノックのフクラさんが感動した数学の問題で紹介してたやつや
これクイズノックのふくらPが紹介してたでー！面白いよねこれ
たまたま読んでた本に出てきたので、ひょっとしたら元ネタかも知れないです。
砂田利一. _"バナッハ・タルスキーのパラドックス"_ . 岩波書店 , 1997 , p25-26
「排中律」（P∨（¬P）が常に真であるというルール)によって証明出来る、一見「奇妙な」証明の例として出てきてるので、初見で分からないのが普通だと思います。
√2**√2は無理数の無理数乗を考える上でまず書いてみるかもしれないけどそこからもう一段行くのはひらめき力かなりあるわ…..
ずるい解答めっちゃ面白いね
まあ思いつかないけど
佐賀大学以外にも出てるところ沢山あるみたいですね
ほえーーー
無理数の
無理数乗は
無理数か
なんかリズムが良い五七五ですね。
この問題に関しては現実的に思いつけるレベルの別解が無数にあるから、ずるい問題って印象はないな
これは確かに酷い。
「無理数^無理数は無理数である。」この命題が偽であることを証明せよ。
ならまだまぁ...
無理数の無理数乗が無理数であることを証明しようとすると全く方針がたたないので、反例を探すしかない！ってなることを期待してるんだと思います🥶🥶
「無理数^無理数は無理数である。」って命題なん？
ゲフォントシュナイダー
話題性欲しかったんやろうなあ
個人的には自明に感じたんだけど証明がムズいな…
ルート2の回答簡単なのに思いつかんのムカつくわ…良問だぁ、
数学的思考により適した言語は何ですか？
指数表記の定義より何も特定しない無理数の無理数乗は( 有限時間内に展開できず等 )数の表現として不適切である。よって"無理数^無理数"は数としては存在しないただの"漢字の羅列"であり、"無理数"ではない。
( 無理数ではない証明を求められてないから不正解なんだろうけど、もはやトンチだなぁ )
現代文の試験かな？
ズルい答え、面白いなーって思いました
ぱっと
単純に指数法則で(a^m)^n=a^mnより(√2^√2)^√2=√2^2=2
が思い浮かんだんですけど
これでいいんですかね？
コメ欄見る限り√2^log₂9=3
のほうがいい気もしますね
るーと２のるーと２乗が無理数の証明ができればそれでいいです😉
横市の医学部でもなんか似たような問題あったよね
って思ったけどこれ2年前の動画か
高校の教師から記号論理学について教えてくれる機会があって、排中律を是とする場合、このような証明が可能となりますよね、という例示として出された記憶があります
動画見ずにぱっと思いついたことを書きます。
√2^log√2(3)=3
√2は無理数。
log√2(3)も無理数。
なぜならばlog√2(3)=log2(3)/log2(√2)=2log2(3)だが、
log2(3)を有理数と仮定し、log2(3)=m/nと置くと、2^m=3^nとなって素因数分解の一意性に反するので矛盾。
面白いなあ
まじれすすると佐賀大行くような奴はこんな問題解けない。従ってこんな問題解く必要ない
以上
√2^√2^√2は知っているかどうかですね…√2なら無理数であることはlog2に比べて楽に示せますし。
有理数と無理数の濃度の話は、これまた知っていれば、荒っぽいですが有理数は分子と分母で2次元の表を書いてあげれば数え上げられると言え、無理数は対角線論法を使ってあげればいいので。
知識ベースが過ぎますね。
A又はBが反例であると書くからずるく感じるのであって、
背理法を使って、与式を真とするなら
√2^√2は無理数となり
(√2^√2)^√2=2も無理数となり矛盾と書けば納得できると思います
史上ですね。国語も頑張れ！
ナチュラルにまちがえてたの恥ずかしい😆
ln2 = p/q と表せると仮定する。(p,q ∈ N)
e^p/q = 2
e^p = 2^q
よりe^pが整数となるがそのような整数pは存在しない。よってln2は無理数。□
eが暗黙のうちに無理数と認められるならこんな感じでどうでしょう？
eのp乗が整数になりえないっていうところに飛躍があります😲
√2は2乗すればなるのに、どうして...
ってなってしまいます
@@tonnsuke なるほど…まだ私の手には負えませんw
勉強します！ありがとうございました😊
ズルいって言われたらあの反例も意外と思い付きそう。
√2(無理数) の log₂9(無理数)乗 は 3(有理数)ですよ！
√2 log₂9 のそれぞれが無理数であることを示すのは難しく無いはずです
自然対数が無理数であることの証明は難しいですよね( ˘•ω•˘ ;)💦
2009年佐賀大（教育３）の問題みたいです！
log_2 9って無理数なんですか！？ちょっと考えてみます:)
無理数でした... log_2 9は思いつかない！！かしこすぎます
@@tonnsuke log₁₀3が無理数であることを示せ というのは教科書に乗っているレベルなのでそこから着想を得ました😌
ずるい？解法は初めて知った時は感動しました
入試問題としては微妙なのかな？
過去に阪大や横市で類題があるので熱心？な受験生には有利だったのかも
やっぱ直観論理よ
っぱすね
別に直観論理でも成り立ちますよ。
¬Aの定義がA→⊥ですし、選言性質はむしろ直観論理の特徴ですし。
@@MS-gq4gx
選言属性の最初の前提（√2^√2は有理数∨√2^√2は無理数）= trueは必ずしも使えないんよな
@@天才の証明 あー、そっか勘違いしてましたすみません💦
私の回答
任意の有理数cに対してa^b=cとなる無理数a bを構成できる。
証明
有理数c=p/q (p qは互いに素な正の整数)に対して p qと素になる素数zをとる。
このときlog[z]cは無理数である。
なぜならlog[z]cが有理数であるとしてm/n(m nは互いに素な正の整数)とおくと
(z^m)(q^n)=p^n
となるがz p qは互いに素であるため素因数分解の一意性に矛盾する。
よってlog[z]cは無理数。
log[z]cが無理数のとき2log[z]cは無理数。
このとき
a=z^(1/2)
b=2log[z]c
とするとa bは無理数で求めるものになる。
もし間違いあればご指摘を。
ｃが正の場合ですかね
@@tonnsuke
そうですね。cは正ですね。
拝見させて頂きました。要は「a,bとも正の無理数の時、a^bは無理数である」命題の真偽を問うているわけですね。
答えは他のコメントやご解説の通り「偽」ですが、a,bの具体的数値が無理数であることを厳密に証明する必要があるとなると、a,bの値を慎重に選んでしまいます。
無理数を証明しやすい数値として、私でしたら「a=√2、b=2log2|3」を挙げます。
これいつの問題ですか？
これ高一なんですけど先生が出してきて
めっちゃ面白かった記憶あります笑
思ったんですが、虚数の可能性は考えなくてもいいんですか？
虚数は無理数じゃないので大丈夫です👍
5:55 俺用