受験数学至上最もズルい問題 高校数学で厳密に証明できるの？【発想の鬼】
Вставка
- Опубліковано 13 січ 2022
- 発想力無限大を要する難問です。難問というか、思いつかないと何も出来ない問題です。私にはとけません。（賢い答えがコメント欄にあります。敗北しました）
ーとんすけ'sプロフィールー
中学：ネトゲ廃人（2万時間プレイ）
高校：偏差値43の公立で英語欠点連発
大学：立命館大学数理科学科首席卒
大学院：ワシントン大学大学院（確率専門）
いま：データサイエンティスト・業務コンサル
--機材等--
・使用カメラ amzn.to/3dMd20q
・使用レンズ amzn.to/3oNuKH6
・ラインスタンプ www.line-tatsujin.com/detail/a...
※リンクはAmazonアソシエイトを含みます
2＝x^xとすると2^1/x＝xとなり,x＝p/q(p,qは自然数)を代入すると,2^q/p＝p/q⇔2^p＝(p/q)^qより左辺整数,右辺分数より矛盾.
よってxは無理数である為,無理数^無理数が有理数となる例が存在する.
言い忘れましが2^1/x＝xの時点でx>0なのでp,qは自然数でなくてはいけません
かしこ
最後のセンテンスって言えてんの？なんで必要十分になってんの？
じゃあ2＝x^xの実数解はいくつだろって思って調べたら、x=e^{W(log2)}だそうな。(W(x)は f(x)=x(e^x) の逆関数で、「ランベルトのW関数」と呼ばれる)
あえて小数で近似を取ると1.56くらい。これを設問の反例に使うために無理数かどうかを直接確認するのはまた大変そう。やはりコメ主のやり方は賢い
2＝x^xの自然数解がないことを示していませんでしたね(^^;;
x>0よりx^x
クイズノックのふくらさんが絶賛してた証明ですね！
ふくらさんの解説で感動したのを覚えてますが、入試問題としては解せない、ズルい証明という気持ちもわかります…
証明として簡潔でわかりやすいので綺麗ですが絶対に解けない気はしますね笑
そういう証明の仕方がありますよって導入で言ってくれたらいい問題ですね
おすすめに出てきたけど、概要欄見る限り、この人、数学に超絶ずば抜けてて凄いなぁ。
動画も楽しいし
他は小5レベルです
ルート2の解答考えた人、人生楽しそう
問題文を見て具体的に値を代入する（実験する)作業を行って気付いてほしいと佐賀大の先生たちは思われたのでしょうか？
いずれにせよ、解答がきれいで感動しました！
感動はしますね🥺
こりゃ面白い
一休さんが出しそうな解
ひと休みひと休み😚
有名な問題ですね〜
佐賀大出身ですが、この動画を見て「ああそんな過去問があったな」と思い出して懐かしい気持ちになりました。
まぁ自分が受験した年の前年なんですけどね。
教授がすごい
お嬢様部の人らこれ解いて入学したのかと思うとお見事ですわ
あっぱれですわ
初見殺し過ぎてワロタ
佐賀大の答えでもとんすけの答えでも、回答できた人は才能ありってことで合格にしたいｗ
e^ln2は思いついたけど真の模範解答を聞いてこれがエレガントかってなりました。
この問題ほんとすき
誘導で(√2^√2)^√2 = 2 を事前に求めさせられてるならまだしも、自力でこの式思いつくのはバケモンｗｗｗｗ
クイズノックの動画で福良さんが好きな問題として挙げていましたね！
受験数学的にはすごくズルいんだが
数学的発想としてはとても良い
発想としてとズルいって話になってしまうと背理法なんて全部ズルいってことになっちゃうし
実際背理法を脳死で使えない推論体系も存在するよ
俺はそこまで過激じゃないけど、そう言う層も一定数いるって話だ
非構成的証明、の意味をこれで知った
数学好きだけど浅ーく触った程度だよ勢でもわかる解説助かります！
最初にこの問題見た時も√2で解きましたが、これで終わりでええんかってもやもやしましたね
直接反例を探すのであれば、x=sqrt(2),y=log_2 (3)としてx^(2y)=3が一番簡単かと思います。yが無理数であることの証明は背理法を使えばすぐにできます。
√でええやん
@@faker8937 Excelやな
@@namaenimodose わかってんで
しっとるで
らてふやな
a=√2, b=2log[2]3で、a^b=3となる。aもbも無理数を証明するのは高校の範囲内なのでこれが一番簡単だと思った。
かしこい
阪大、横市でも類題が有りますね。佐賀大でこれは解けるのは医学部生ぐらいでしょうね...
医学部志望でも厳しいと思うな
これは学部云々とか得意不得意というより
普段から数学をパズルのように使って遊んでるかどうかみたいな感じですね
一度出てしまえば受験数学の過去問のひとつってなるからより広範囲な過去問をあさって対策してる人なら解ける問題に成り下がりますが
高一だけど解けたよ
「√2^√2って結局有理数なの？無理数なの？」という疑問が残りますが、
実は√2^√2は無理数(さらには超越数)であることが知られています。
(ゲルフォント シュナイダーの定理から直ちにわかります。)
√2^√2^√2は知っているかどうかですね…√2なら無理数であることはlog2に比べて楽に示せますし。
有理数と無理数の濃度の話は、これまた知っていれば、荒っぽいですが有理数は分子と分母で2次元の表を書いてあげれば数え上げられると言え、無理数は対角線論法を使ってあげればいいので。
知識ベースが過ぎますね。
そもそも高校数学では指数関数の連続性(0^0は除く)は説明されておらず計算上は認めてきた慣例
慣例（仮定）を土台にした証明問題が不味いわけではないけど
それってどうなの？っちょっと思ってしまいますね
とんすけさんでも知らなかったってことはこれはマイナーな問題だったんですね。
たまたま私はこの問題の解答を読んだことがあって、そのときにはそのユニークな発想に感銘を受けました。
論理的な素晴らしい証明だと思ってましたが、素晴らしいという感覚を持つのは変ですか？
ずるい解答めっちゃ面白いね
まあ思いつかないけど
拝見させて頂きました。要は「a,bとも正の無理数の時、a^bは無理数である」命題の真偽を問うているわけですね。
答えは他のコメントやご解説の通り「偽」ですが、a,bの具体的数値が無理数であることを厳密に証明する必要があるとなると、a,bの値を慎重に選んでしまいます。
無理数を証明しやすい数値として、私でしたら「a=√2、b=2log2|3」を挙げます。
(√2)^log[√2]3はどうですか？
√2は無理数
log[√2]3 = m/n
⇔ 3 = √2^(m/n)
⇔ 3^(2n) = 2^m
は素因数分解の一意性から自然数解なし
PERFECT!
自分もこれでした。底をeとしてしまうとln2が無理数かどうかの証明できないので、これで回避です。
京大の過去問では？
@からあげ 阪大では？
横浜市立大学の何年か前の試験でも出てた気がします！
鳩の巣原理でしたっけ？
「無理数^無理数」で2つの無理数が同じ数じゃないといけないと錯覚してしまった
自分が佐賀大学受けたときsin36°だったかな？誘導はあったのですが、5回回転して180°になるみたいなので行列を使って値を求める問題がありました。最近は一橋大学が面白い問題で有名ですが、佐賀大学もたまに面白い問題だしてきます
一橋も面白い問題出してますねえ😚
面白いなあ
ズルい答え、面白いなーって思いました
「無理数^無理数」って表現で入試問題が記載してるならなんか意外だな、と思って調べたら元の問題の表記は「無理数の無理数乗」なんですね
みやすさ重視しました😙
ずるい解答の方が何がずるいのか全く分からなかった、めちゃ良いと思った
ぱっと、無理数^無理数=無理数の反例として、制限時間内に誘導もなしにあれを思いつけと大学側が要求するのはさすがに良くないと思いますが、どうでしょうかね？普通の問題として考えるのではなく、入試問題として考えてみましょうね？🙌
@@user-te3vn4qq2y 誘導ついてなかったらカスみたいな悪問だと思う
@@user-fv1kk5zy8g 横市は誘導ついてた
何一つ難しい知識はいらないし、高校生の基礎で
綺麗に証明できてる
暗記競争よりこういうのが発想できるか問う方がよっぽど良い
へー
クイズノックの福良さんも触れてましたね
高校入試ってめっちゃ簡単なのに、大学入試はどの大学の問題も難しいよな～
これいつの問題ですか？
数学的思考により適した言語は何ですか？
√2^log(2)9とかが1番わかりやすい判例になる気がする
受験で出されたら何を求められてるんだって感じだけど、クイズ的に出されるのは面白いと思う
実際初めて見た時は感動した
高校の教師から記号論理学について教えてくれる機会があって、排中律を是とする場合、このような証明が可能となりますよね、という例示として出された記憶があります
これ高一なんですけど先生が出してきて
めっちゃ面白かった記憶あります笑
問題文と会話することを誘導するような問題ですね。
初見の感想
「えらいフワッとしたこと聞いてくるな。見た目的にはもっともらしいが」
出題者の意図はおそらくこうでしょうか↓
仮にこの命題が真であるならば、「無理数であること」即ち「有利数でないこと」を証明しなくてはならない→√2が無理数とかの時に背理法使ったな(そう言えば)。
この命題が偽であることを示したければ、反例を一つでも示せば良い→何か具体例(有理数になる時)ないやろか。
そや！2のlog(2)3乗=3ってあったな。なんか使えへんやろか。
みたいな(笑)
その場で見てから問題文と「会話」できる能力が必要な点が、ちょっと東大チックなんですよね。阪大とか神大とかの青チャート何回解きましたみたいな反復訓練を問う問題でないところが、「良問」(美しい)であり「悪問」(ちゃんとした数学指導者についていないとそもそも出発点に立つことができない。ある意味不公平)とも思います。
ところで背理法での証明って、美しいですよね。その命題の真偽について、予備知識的に事前に知っていなくても、「証明」自体はきっちり完結して、結果的に「証明」ができてしまう辺りが。
コメント長々と失礼いたしましたm(_ _)m
これクイズノックのふくらPが紹介してたでー！面白いよねこれ
えぐいいいいいいい
これはずるいと思うがめちゃくちゃ納得できて。。。。。。って感じです。
1+√2は無理数である
(1+√2)^正の整数=n+m√2と表すとn,mはどちらも正なので右辺が整数になることはない
したがって(1+√2)^k=(3以上の整数)となるkは無理数であり、これは反例である
いろんな回答があり得る良い問題、必ずしも知識や天才的ひらめきは必要ないと思います
論理構造が見えません😢
どうなってるか教えて下さい🥺
・右辺が整数ならｋは整数ではないのは分かりました
・右辺が整数となる無理数ｋが存在することは分かってません
@@tonnsuke
例えば有理数p/qを持って(1+√2)^(p/q)=3と書けたとすると両辺をq乗して(1+√2)^p=3^q
p,3^qは整数なので矛盾します(正確にはpは0ではないので)
ちなみに(1+√2)のところを一般の代数的数に置き換えても少し条件をつければ同じような反例ができます☺
（1＋√２）の有理数上（制限あり）が無理数になることは理解できました！
そこからでいくと、f(x)=（1＋√２）^xの連続性からf(x)が有理数になるxがあって、xは有理数ではないので無理数になるってことで、反例につながる感じですかね？
もともとの方針と合ってます？
賢い方法ですねえ😍
@@tonnsuke
ありがとうございます、あってます！
連続性から解の存在は言えます、が高校の範囲でその論法が許されるのかは自信ないですが😀
佐賀大学以外にも出てるところ沢山あるみたいですね
ほえーーー
数学とは別に数学的思考力の試験科目にして、20分この問題だけ解かせてどれだけ発想できるかで点数をあげる方式にしたら良さそう。
数学として出題するならこの問題は間違いなく捨て問題。
クイズノックのフクラさんが感動した数学の問題で紹介してたやつや
√2^2(log[2](3))=3
とか？
√2が無理数であることの証明は有名.
log[2](3)が無理数であることを示す.
log[2](3)=n/m ,(m,n∈ℕ,互いに素)とすると
3=2^(n/m)
3^m=2^n
このようなm,n∈ℕ は存在しない.
故に2log[2](3)は無理数.
あ、他の方がコメントされてましたね...
いやでも、そこを思いつけるのは天才
@@tonnsuke
ありがとうございます、天才だなんてとんでもないです。
“ずるい”方解答はエレガントではありますが、制限時間付きで解くならこっちが本筋ですよね。
log2.3が無理数を示せの素因数分解の一意性からの背理法は割りかしユうめいだよ
いゃーこれ一休さんやん
んー、入試問題集って出版社が勝手に出してるだけで、log2を使った答えは出版社の模範解答で大学側が期待した答えじゃないと思う。
大学側は何を期待していたんでしょうか
逆に気になります
@@tonnsuke
固定されているコメントの解法が一番正統で、それを期待したのかなと思いました。
x^x=aの形にしてから有理数解を仮定して背理法で反例になることを示す。
使っている道具は王道だと思うので。
√2が無理数って証明する時にごく一部の人はlogも証明出来る....?って考えたことあると思う
論理学と数学の連続性を感じられる良問ですね
論理学は数学の一分野という認識
@@chocolatecornetnothermitcr6159 ちげーよw
@@opaiopai881 数理論理学のことを言ってるんでしょ
@@user-oj6ky6uu9f ちげーよw
これはあれだ、その場で発想しろじゃなくて「数学やるならこれくらいは考えたことあるよね？」ってやつじゃないかな。
√2**√2は無理数の無理数乗を考える上でまず書いてみるかもしれないけどそこからもう一段行くのはひらめき力かなりあるわ…..
私は解けませんが良い問題だなと思いました。まず、これを読んだときに何を問われているのか？証明又は反証せよですから、反証しろなんだろうなと考えます。
あとは、知っている無理数π、ルートのどちらかを使って有理数が作れないか？と考えるのかなぁ。ルートは二乗すると有理数になるに気づけば、○＾２になればいいよねとなって知らなくても解けるかも。純粋な数学と言うよりパズルなのかも知れませんね。
そもそもで高校数学の範囲だと指数同士の掛け算は有理数までしか定義されていないと思います。だからこそこの問題は難しいなと思ったのですが、模範解答みて思わず笑ってしまったw
一応高校数学範囲でも、簡単な説明で無理数乗も定義して、指数法則を実数の範囲まで広げてますね
そこの記述が高校数学は曖昧なんですよね。有理数と有理数の間には無理数が存在すること、指数関数が連続であることを感覚的に前提として無理数乗を定義しているように思います
数Ⅲは結構ガバガバだって先生が言ってた！
ぱっと
単純に指数法則で(a^m)^n=a^mnより(√2^√2)^√2=√2^2=2
が思い浮かんだんですけど
これでいいんですかね？
コメ欄見る限り√2^log₂9=3
のほうがいい気もしますね
るーと２のるーと２乗が無理数の証明ができればそれでいいです😉
伝説的な良問ですね。あまりにも鮮やかな論法で、強烈に印象に残ってます。
log2の無理数については
・(x,exp(x))の有理点は(0,1)のみである
という定理を認めれば明らかですが、この定理自体が大学レベルなのが辛いところです
ちなみにこれはリンデマンの定理の系として得られる定理です。a≠0が代数的数ならば、exp(a)は超越数。
exp(a)まで超越数になるんですか！！！すごい
伝説的な良証明ではあると思うけど、その場の工夫で基本どうにもならない上に、知ってる人との差が明確にですぎるのでとても良問とは思えない
@@scovillain952 わかりみが深い
ズルいって言われたらあの反例も意外と思い付きそう。
大学以降はこんな証明どうやって思いつくん？ってやつばっかりだけど、この問題はまだ構成的に解くこともできるからまだマシだと思ってしまう
e^xとlog x は逆関数だからxy平面の座標を考えてe とlog 1 はそれぞれ対応して無理数になるっていうのはlog 1 が無理数であるという証明になりませんか？ 高校数学で習った範囲でできる気がします。
反例のするさが軽減できるとおもいます。
log 1はゼロです😭
うっかりしてました😅log2とe^2で同じようにできませんか？
逆関数の対応がっていうのはたぶんないと思います😢
有理数と無理数の扱いが一番面倒なんですよね
数の範囲は
ℕ∈ℤ∈ℚ∈ℝ∈ℂ∈ℍ で
ℂはj,kの係数が0のℍ
ℝはiの係数が0のℂ
ℚは分数で表せるℝ
ℤは分母が1のℚ
ℕは正のℤ(0を含むかどうかの曖昧さを避けるためにℕ₀という記号も有り)
という定義があるのですが 無理数だけは
「有理数ではない実数」(x∈ℝ∖ℚ)
で、うまい定義が出てこないです。
まあ 有理数の数より無理数の数が多いのは
有理数は可算であり無理数は非可算であるため全射にはならない で終わりなのですが、中学生に分かるような説明だと
無理数全体どころか √の付いた数だけでも有理数より多いということを示せばいいのではないかと
(てなことを中学時代に聞いた覚えが)
・全ての有理数ℚは√の付いた数で表せる(ℚ=+√(ℚ²), -ℚ=-√(ℚ²))
この時点で√の付いた数と有理数は1対1に対応し、同じ数だけある
・ところで√2のように有理数で表せない数が存在する
この数の分だけ 有理数より無理数(の中の√の付いた数)の方が多い
・無理数全体の内 √の付く数は一部であり、それよりも有理数の方が少ない
あたりでいかがなものかと
そこが一番大変ですよね😇
ずるいってもはや褒め言葉だよな
簡単な抜け穴は簡単には見つけられない
懐かしいね、これ。1985年夏、阪大の竹之内さんのところの院生が(√2)^√2の話を竹之内さんにしに来て、おもろいなあ、でも入試には無理やなあ、となって(√3)^(log_34)ってのを想定した誘導つけて翌年出したんですよね。
どうもそのとき以来(√2)^√2は有名になったらしく、その十数年後名大の戸田山さんが「論理学をつくる」っていう本書いたとき例に挙げてましたね。
僕も以前動画に上げたんとちゃうかな。
問題に歴史ありですね🥺
どちらが有理数になるのでしょうか？
無理っすぅ
この証明、1回やったら忘れないので、初見で解けという要求というよりはちゃんと有名問題知ってますかっていう要求なんじゃないですかね
佐賀大が誘導0なのは知りませんでしたが…
佐賀大が先かにわとりが先か🐔
ずるい？解法は初めて知った時は感動しました
入試問題としては微妙なのかな？
過去に阪大や横市で類題があるので熱心？な受験生には有利だったのかも
はじめまして。
ゴリゴリの文系人間ですが、この問題だけは瞬間で√２の反例を思いつきました。
恥ずかしいですが、国立大の数学で唯一完璧に解けたかもｗｗｗ
先生のような数学達人にはツッコミ所のある問題なんですね、
勉強になりました。
すごすぎる
文系の方が解きやすい問題なのかも
無理数の方が有理数より多いってのは一応高校数学の教科書のコラムに載ってましたwww
載ってるのならヨシ！
数年前、自分の持っていた、数研出版の教科書傍用問題集に類題が載っていて、「最初の小問が、底３、真数２の対数が無理数の証明があり、次に別の小問があり、最後の小問がα、βが無理数の時、αのβ乗が整数である例を作れ。」という問題でした。
ほほぉ
ちゃんと誘導があってさすが数研出版ですねえ
直観主義者なので排中律が使えません……
一緒に基礎の公理を認めましょう！(すみません)
ln2 = p/q と表せると仮定する。(p,q ∈ N)
e^p/q = 2
e^p = 2^q
よりe^pが整数となるがそのような整数pは存在しない。よってln2は無理数。□
eが暗黙のうちに無理数と認められるならこんな感じでどうでしょう？
eのp乗が整数になりえないっていうところに飛躍があります😲
√2は2乗すればなるのに、どうして...
ってなってしまいます
@@tonnsuke なるほど…まだ私の手には負えませんw
勉強します！ありがとうございました😊
オイラーの公式を思い浮かべてああ。有理数になるのかぁっておもった。
本当にずるいか？素晴らしい解答だと思うぞ
ずるいと素晴らしいは両立しえます
個人的には自明に感じたんだけど証明がムズいな…
ルート2の回答簡単なのに思いつかんのムカつくわ…良問だぁ、
文学部哲学科で落ちこぼれて、理転しました。すいません、ズルい解答しか思いつきませんでした。ズルいところより、√2が無理数であることを証明するのが難しいと感じました。無理数の方が有理数よりも多いことの証明はできませんでした。
ズルい解答思いつくのはとても賢いです
指数表記の定義より何も特定しない無理数の無理数乗は( 有限時間内に展開できず等 )数の表現として不適切である。よって"無理数^無理数"は数としては存在しないただの"漢字の羅列"であり、"無理数"ではない。
( 無理数ではない証明を求められてないから不正解なんだろうけど、もはやトンチだなぁ )
現代文の試験かな？
話題性欲しかったんやろうなあ
面白い問題ですね。直接の反例を見つけるという発想でなく、単なる仮定法で考えて、その「ずるい」解法が真っ先に浮かびました。
無理数の無理数乗が必ず無理数になると仮定すると、√2の√2乗は無理数である。この数の√2乗は仮定に従うと無理数だが、実際に計算すると有理数である。従って仮定が誤っている。
というのは自然な考えのような気がします…。
わお
大学レベルの知識が要求されるってことなので、当時の問題の中では難問に設定されていたということでしょうか。
高校数学でもいけるみたいです😭
史上ですね。国語も頑張れ！
ナチュラルにまちがえてたの恥ずかしい😆
aを底、bを真数として対数をloga(b)と書くと
(√2)^(2log2(3))=3
√2は無理数、2log2(3)も無理数だからこれが反例になる。
√2が無理数なのは背理法で簡単に証明出来る。
2log2(3)=log2(9)
これが有理数だとしてa/bとすると
2^(a/b)=9
2^a=9^b=3^2b
これは素因数分解の一意性に反するから、2log2(3)は無理数
多分、高校数学ならこれで○じゃない？
とおもったらコメント欄で既に指摘されてた。皆賢いな…
ルート2で示すのは、横浜市立大で誘導付きで出たの有名ですね
exp(ln2)=2で、ln2=無理数の証明は難しいかもしれんな
（調べたらよくわからん大学数学の定理が出てきた）
√2^(log[2]9)=3で、log[2]9=無理数はできるんだが
てんさい
√2のやつ知ってたけど初見じゃ絶対無理や
定かではない反例1を持ってきて、もし反例1がだめでも反例2は確実に反例になる論理は、まるで２手詰めの詰将棋のように思えました。。。発想が凄い。
詰将棋に2手詰めは無いですけどね
@@manu-ji8dr
偶数手の詰将棋は一応あります
王手がかかった状態でスタートして玉方の手番で始まる感じです
ルート2のやつすご
てことは回答としては 無理！って書くのが正解ってことか
横市の医学部でもなんか似たような問題あったよね
って思ったけどこれ2年前の動画か
√3^log2(対数の底をeではなく√3)にしてこの対数が無理数であることだけ証明すればいいのでは、
高校で十分証明できそうだけど。
そもそもすべての無理数で証明する必要はないですよね。
あと、√2^√2の証明はずるくはないかな発送の飛躍はえぐいけどね。
直観主義論理において排中律を恒真としない理由がよく分かる問題ですね
無理数の
無理数乗は
無理数か
575の川柳みたいですね
正答率気になるなあ
二重否定なら示せたんですけど、数学苦手で二重否定が除去出来ず詰まってます…
数学得意な人誰か教えてください💦🙇♂️