東大入試数学｜ 答えが最も短い有名問題【２行で証明完了】
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- Опубліковано 4 жов 2024
- 遂に、この時が来ました。。。
上手くいけば２行で解答がおさまる
東京大学の超有名問題（整数の論証問題）
さあ、何個の解法を思いつきましたか？
東京大学からのメッセージが一番伝わる数学の良問です。
シンプルな論証問題で、最後の解法（図形）なら小学生でもイメージできますね。
いつもPASSLABOをみてくれる受験生はもちろん
興味ひかれて、たまたま動画をご覧になった方も
ぜひこの４つの解法をいつでも使えるようにしましょう！
初めてご覧になった方はこちらも見てくださると幸いです。
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受験生でもなんでもない一般サラリーマンですが、分かりやすくて面白かったです。特にパターン2の因数分解の鮮やかさは感動しました。
文字もキレイで見やすいし、スクショタイムとか、視聴者側をめちゃくちゃ意識しててすごく優しい！感動した！
大学受験とか10年以上前で、数学の知識はすべて忘れたけど、非常に楽しめました
最後の図形で考えれば直感的わかるっていうのに感動しました。東大受ける人たちってこんな訓練をずっとやってるなんて凄すぎる。
図形にする発想が素晴らしいと思いました。
誰が見ても一目瞭然って凄い事です。
言葉が通じない者同士でも理解を共有出来てしまうんですから。
感動しました。
受験終わって始めて、整数問題おもろいと感じてきたこの頃
高校までは整数にはやっぱり苦手意識が先行しちゃうよね
初めて
これほんとわかります笑
気負わずに見ると面白いですよね！
それめっちゃわかる
塾講師してて教えてると今だからこそ面白い、なるほどってなることが多い
実際に解くんじゃなくてただ見る側になるからね
音ゲーのボス曲の譜面動画見るのと同じ
6:30
ここからの式変形見てると積の微分公式の証明の感動が蘇る。
全くわからん高一だけど、知らない公式が出てきてすごく面白そうだなと思った…
ちょうど整数についての勉強してる時期なので平行して楽しみたいなと思いました！！
パターン2の2x²をx²+x²と考え、因数分解をするなんて発想自分では絶対思いつかないので感動しました。
中高一貫校の中学生なので受験勉強もなく、暇していたのですがこの動画のお陰でとても有意義な時間を過ごせました！
ありがとうございます！
｢一般性を失わない｣と｢題意は示された｣
これは積サーヨビノリ歓喜
完全に理解しました。
もしこういう問題に出会ったら
カレーの作り方書いておきます。
非常に良いと思います
A君が立方体になるように切ったジャガイモの一辺の長さをX B君が立方体になるように切ったニンジンの長さをY C君が立方体になるように切った玉ねぎの一辺の長さをZとする。この時僕はジャガイモは大きめニンジンは一口サイズ、玉ねぎは小さめが好きなので【X＞=Y＞=Z＞０】であるように切る。なお具材は存在しなければ食べられないのでX、Y、Zは全て０より大きい。
その後これらを一定時間煮込む必要があるが問題の都合上野菜たちが生のカレーを作ることにする。
ここに縦横高さがそれぞれXYZもカレールーを投入する。体積を考えると、常識的にカレールーが野菜たちより大きくなればカレールーが濃すぎて食えたものではないカレーができることは自明である。加えてカレールーが最大でもジャガイモの一個分の体積にしかならない！よって
【左辺】＞【右辺】となり題意は成立しない。
なおカレーを作る際水が入っていない、 肉はどこにいったのか、それ鍋にカレールー一欠片と生の野菜たちいれただけじゃね？等といった反例は認めないものとする。
@@Yuki-vj7kb すごいわかりやすーい、天才ですね。
@@Yuki-vj7kb ちょっときりが良さそうで
悪い数字で草
😘
図形で捉えるやつは初見でマジで思いついた！嬉しい！
数学って「数式の形で感動できる変態」だけが出来る学問なんだな…
みんな興奮するだろ
お、こんなところに数式ある
興奮してきたな
あ、何も無いけどなんか数式浮かんできて興奮してきた
昨日フェルマーの最終定理で抜いた
引き出しの多さ、確かに何度も重要だと思い知らされましたね。
真面目な人って意外と、教科書に必ず対応する問題があるはずって思ってて、そもそも引き出しを複数持つって概念がなかったりするのかなと思ったりします。
自分は才能が無いので一発で正しいものが引けずいくつも試さないとうまくいかなかったから逆に助かったのですが。
公式や法則を習った時にそこからどういう風に発展させられるかなーってのを柔軟な発想で考えていくのが大事なんやろな
図形で捉えるってホント数学好きな人じゃないとピンとこないかも😯
4番目の解法を見るだけでも、この動画の価値がある。引き出し、一つ増えた。
passlaboさんはテンポいいから
見てて楽しいしすごく理解出来るから
勉強が楽しくなるなぁ。
この問題を見て相加・相乗平均を使おうって考えられる東大受験者の人達スゴすぎる
誰でも思いつくのおもろすぎる
@@金最 「誰でも」と思っている自体君はセンス無いね
@@な33 理系なら当たり前だろ。
@@金最 きっつ
@@gcd5719んーどう考えても使うでしょ笑
僕は東大じゃないけど国医ならみんなできなきゃアウトよコレ
2006の理科数学では、3乗のところが2乗になってましたね。そうすると、正整数解がなんと無限に存在するんです(証明させられる)
3乗と2乗でここまで解法が変わるのも面白いですね。
それの一般項って求まりますかね?
中学生だから最初はまだ分からない解法が多かったけど、最後の図形に表すと誰にでも伝わるし分かりやすくて面白かった、、、
図形にする発想もすごいけど根本はパターン1と同じですね
パターン2もすごい、けどこれは知らなきゃ無理だ…
一致する確率を求めよ
限りなく0なんですがそれは
電話やインターネットで示し合わせた以外、ほぼないと思います。
少なくとも一回は動画内容と動画投稿時間が被る確率ですね
結婚していい案件レベル
=俺が童貞を卒業できる確率
7:40 これをへーで済ませられるのはただの天才なんよ
わかりやすく興味深い説明でした。
パターン4(図形で捉える)ってパターン1(背理法)の解法と実は繋がってませんか？
0 < s < t < u とした時
s^３+ t^3 + u^3 = stu < u^3 は矛盾
というのは直方体の1番長い辺で作った立方体の体積は元の直方体より大きい…と同意かと。
何にも知らない人には最後の説明が一番わかりやすいよね
言葉で世界と繋がる事だけで無く、まさか数学でも繋がる事が出来るとは、、
😭感動😭
貫太郎さんと同じ問題を同じ日に解説しててびっくりした！
別解死ぬほどある問題大好き♡
コノ変態さんっ
こういうシンプルな問題文でめっちゃムズい問題超好き
証明に約300年かかった問題も確かに一行でしたね…
トリプル因数分解！
授業中にイヤほど聞いたなぁ…！笑笑
大学受験しなかったけど高校でちょっとやった気がする。
こんな濃い12分は初めてだ。勉強になりました。
図形は出てこないなーー。。。これ思いついた人すっご！
今時の受験生はyoutubeでこんな講義簡単に受けれるんやね、羨ましいです。20数年前の受験生の40代のおっさんからすると。
そうですね。その分、出題範囲や知識量は増えたり、試験は年々難化していくかもしれませんね。
同じ立場(40代)なので、凄く共感出来ます。
ただ、環境が有っても勉強するかどうか(こういった動画を見るかどうか)は、本人次第なのですよね…😅
「行列式と体積」みたいな捉え方すれば、大学入ってからはむしろ図形的に捉えるのが一番汎用性あるんじゃね？という気もする。
図形で捉えるのはすごく良いですね！
引き出しの話は凄く納得します。論証の面白さはアプローチの手段が一つでは無いところなんですが、苦手な人はそれが納得できないみたいで勿体ないなといつも思います。
高校生のころ数学がめちゃくちゃ苦手だったため、入試科目に数学がない学部に逃げた。その事は20年以上過ぎた今でも心にしこりとして残っている。
この動画で見る数学はおもしろく、興味深い。この動画は、今の高校生たちが将来私のような思いをしないようにするために、大きな貢献をしていると思う。
パターン1はパターン4を記述対応させたようなものじゃないか?
現在３０歳です。今の時代は受験勉強解説がユーチューブ動画でアップされて、わかりやすい解説が手に入りやすくなった。。すごい時代だよな。塾の存在意義がすごく薄れてしまいそうです。切磋琢磨の仲間がいるくらいですかね。
最後の図形での考えは衝撃的で一番わかりやすい。
因数分解は何度も書いて覚えるのは同意です！
久しぶりに数学の楽しさを感じれました！！
問題も面白いし、解法がいくつかあってどれも簡単なのも面白い。やっぱ東大の問題良いなあ
めちゃくちゃわかりやすいしおもしろい！！この人に高校数学教わりたかった…
図形で解くのは天才すぎます！！！！すごい視点！
「題意は示された」ってかっこいいよね😊
入試で証明が出てきたらそれで締めるのが夢
q.e.d.も好きです。
@@向井佐助-c4m Q.E.Dはめんどくさくて嫌煙してます笑
尊敬します☺️
あと、■もアリですよね。
等式が成り立つ事を示せ的な問題だと、∴右辺＝左辺となるので大意は示されたって書けばいいから使いやすいよ
おすすめ
受験生じゃないけど、ちゃんと理解できた。嬉しい！
因数分解や相加相乗は覚えていないと難しいけど、パターン1と最後の図形の話は理屈で考えれば分かるパズル的な面白さがありますね。
4番目の図形でって発想は思いつかなかったです……言われてみたら「そりゃでかいわ！！」って一瞬で納得できました！！
寝落ち用で聞きましたが理解できました！ありがとうございます！！
貫太郎さんと被るのスゴすぎ
図形を用いての解答美しいすぎて感動しました
貫太郎さんと時間も内容も同じなのはどんな確率だ？w
やめたれw
コラボ？
中3です。四つめの方法で5分くらいで解けました。改めて数学面白いなぁと思いました！まぁ物理が1番好きなんですけど
大学生になって3年がたとうとする今お勧めに出てきてふと見るとすごい懐かしい気分になった。特にパターン２の変形懐かしい。
パターン３はなんとなく聞き覚えのあるやり方だけどマスターしてなかったなぁ…パターン4は初見でした。なるほどなぁ。
2は三変数の相加相乗の関係を導く時に使った関係式を用いてて、3は得られた関係式から使ってるっていうような感じがあってなかなか。(思いついたのは解法は3)
三変数の相加相乗平均の関係は過去のパスラボでも取り扱っていましたね。
勉強終わって一息つくためにUA-cam見てるのに何で僕はこの動画を見てるんだろう
サムネが上手いんでしょうかねぇ（暇潰し中）
息抜きや休憩も勉強につかう精神
直方体がでてきたときすげーって思った！ 視覚的にわかりやすい！
(最後の解法なら)
小学生でも解ける
最 後 の 解 法 な ら
俺高卒だけど 数学苦手まではいかないけど解けない
@@神聖なる神 それは数学苦手ですよw
@@あかめ-h5x できない人は自分の能力も把握できないんだよ
とてもわかりやすくて尊敬します！
個人的には因数分解による変形が王道かと思いました。平方完成させるために1/2をかけるのは、受験数学の必須テクでしょうね。ホワイトボードに「不等式」とあったので、「あっ、相加・相乗平均の関係を利用するのだ」と気がつきましたが、受験生が試験の最中に思いつくのは難しいと思われ、多くの類題で練習しておきたいですね。最後の図形の視覚的アプローチは解説の通りで、流石です。感服しました。
久しぶりに見たら懐かしさが込み上げてきたでござる！ 正の整数を取り扱う問題を相加相乗平均を使って処理する問題、イイネ！
すごい！感動もの・・私は終わる人だとわかっただけでも収穫としよう
いつ見てもいい動画ですね。
数学は分野ごとで分けないで一貫したものとして考えるようにすると自分なりの解法が増えていく。
いままで勉強系の動画全くみてないのに急にオススメに出てきて、興味ないけど結局最後まで見てしまった。
こんなに勉強楽しく教えられる先生ばっかりだったら俺も今頃....
パターン4みたいに別々で学習した内容が繋がるの、なんだか気持ちいいです
数式変形法で解きましたけど他にもいろんなやり方があって面白いですね！
初めて見た人だけど、聴きやすい動画という印象、好きな教授の授業を思い出す
数学って面白いよね！先生も楽しそうでハラショー！
絞り込みで解けたからいいかって思ったけど、違う解法までは考えなかったです。深堀の大切さに改めて気づかされました。特に相加相乗は頻出ですもんね。
もう受験とか終わった世代だけど、図形と因数分解までは予想できました。イメージだけで解けてないけど
東大でもこういう面白みがあっていい
命題を自分で設定し凡例や対偶を２回用いる証明を考えました。
学校の友達（数学全統記述９割）の友人に見てもらったところ、合ってるのではとのことでした。
計算を一切使わない証明ですごいと我ながら感激しました。
自分は絶対に2を取ります。
だって、美しい形ですから！
最悪数Iの内容知ってたら解けるから高1の自分にも分かりました！
1番単純なのは、
｢右辺において最も大きい数の三乗はxyzよりも大きく、さらに＋(正の数)だから左辺より大。よって等号は不成立｣
あっ、２行超えちゃった
実はパターン①でやってる事ってこれなんだよな
動画を見ずに3分ぐらい考えてみたところ全く同じ答えでした。東大という割にやけに簡単すぎる。この問題はサービス問題だったのでしょうか？
相加相乗平均の関係の証明もしといたほうがいい。暗記する能力はいま求められていないと思うので、導き出せるようになるのが重要だと思うから。
(1) xxyz
(2)x,y,zのうち2個(例えばy,z)のみが等しいとすると
x^3 + 2y^3 -xy^2 = 0
はx>0の範囲で解xなし。
（xで微分するとわかる）
(3) x=y=zのときは明らかに解なし
というのはどうでしょう
(1)なんかはパターン1に含まれちゃうので、結局パターン1が綺麗ですね〜
最後のやつ小学生とかでも気づけるやつがおるんやろなぁ…
最後の体積の方法って、要は
x ≧y≧zとして
x^3+y^3+z^3≧x^3=x・x・x≧x・y・z≧xyz
ってことだから結局パターン1の解法とおなじなんやな
証明すべき不等式評価をガバガバにした結果見慣れない形になって困るっていう面白い問題ですね
数学ってアートだから、簡単な回答ほど心ときめくよね。世の中に出て役に立つのは4の発想力。みんな受験頑張ってね。
なんだかなぁ…自分が受験生のときこういうの見たかったなぁってすごい思う…
なんか国語苦手そう
@@Yuki-vj7kb ん？何言ってるの？
@@佐々本茜 人との付き合い苦手そう
設題の等式を満たす正の実数(x,y,z)が存在すると仮定する
設題の両辺をxyzで除すると、
x^2/yz+y^2/zx+z^2/xy=1
この左辺の各項はすべて正であるため、右辺の1より小さい
左辺第一項x^2/yz
この左辺の各項はすべて正であるため、右辺の1より小さい⇒この左辺の各項はすべて正であり、且つ左辺の項の少なくとも一つは1より大きい。（貴方の証明とは異なり、等式の成立そのものを直接に否定する立場です。）
なぜならx,y,z が正の異なる実数であれば必ず順位付けできることから、最上位の数の二乗は、x,y,zのどの二つの数の積より必ず大きいからである。
従ってこの等式はなり立たないので それ故、元の等式も同様になり立たない と言えるはずです。
ですので、ここから直接に、故に問題のx,y,zを充たす実数は存在しない。と証明を終えることができるはずです。
一年前の自分が何を言ってるか理解できないw
10分くらい読んだら自分の証明を理解した
もう10分読んであなたの証明を理解してみます
@@toshiyatakanashi2159 分かった！
素晴らしい！ありがとうございます
勉強になりますねぇ〜
図形めちゃめちゃおもしろいかったです！
勉強になりました！
ありがとうございます！！
この問題みたいな、数式の存在証明とか最大値・最小値の求値問題は、とりあえず各々の文字の範囲を考えながら文字数減らしながら制限するのが一番。
この思考で解くと、x=
最後感動！
難しくて理解が出来ない。けどそれでも見ているだけで頭が鍛えられるのが皮肉
おもしろいな。数学ってやっぱ楽しい
整数問題マジでいちばん面白い
東大の試験問題って、解説本に「これは時間内に解くことはほぼ不可能なため逃げるが勝ちである」みたいなことかいてあるものもあるから、瞬時に問題を解けるか解けないかの判断が必要なんだなぁって思った(小並感)
その引き出しを多くするためにたくさん数こなすってのが大事だと思うんだが。
それな
数をひたすらに解けば良いという言い方にならないための工夫じゃね？
数をこなしたとて回答パターンが増えるわけではない 1しか知らない奴は問題を50やろうが100やろうが1のやり方で答える 引き出しを増やすというのは1以外の2を覚えるということ 数こなしただけでは習得できないよ
@@えて-l8k なるほどな
まあ常識的に考えたら数こなしてそれぞれ理解するのが普通だと思うがな
パターン２と３は本質的に同じだから、パターン2も2行で書けますね。
（解答）
x,y,zがすべて正とすると
x^3+y^3+z^3-xyz=1/2(x+y+z)｛(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)｝+2xyz>0 ■
ここで補足ですが、x,y,zがすべて正のとき
x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)｛(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)｝
であることと、右辺の中括弧の中身が0になる場合がx=y=zになるとき、かつそのときに限ることより
常に
x^3+y^3+z^3≧3xyz
すなわち、３文字の場合の相加相乗平均の直接的な証明になっています。
2文字のときもどうやって証明したか思い出すと、
x^2+y^2-2xy=(x-y)^2≧0
からなのでした。どちらも実数の2乗が０以上という性質から出てくるわけですね。
テンポ良くて見てて楽しかったです
こんな高速に解けない･･･
これ、数学に慣れた人はどれが一番美しいですか？
ぼくは一番が好きだけどこれが美しいかよくわからん･･･
全部正の実数だからxyzで両辺割って、x^2/yz + y^2/xz + z^2/xy = 1。で、正の実数なら左辺の各項は全部正の値かつ、どれかは必ず1以上になるので等式が成り立たないので存在しない。とか思った。
4つ目はメチャメチャ面白い。小学生でも納得するよ。
最後の図形での解き方、感動しました。
簡単だと思いましたよ。
凄いなぁ～。
一応、数学科出身ですが…
もう…
30年以上遠ざかっちゃいました。
因数分解など全く必要はないのでは。
x,y,zが正の実数であれば、その大小関係を証明者が仮定して論じても、その結果は記号を入れ替えてもなり立つ。
だから体積概念や因数分解を用いずとも、単に数論で解決できる。
xVであることも自明。故に条件を満たすｘ、ｙ、ｚは（殆ど論ずるまでもなく）存在しない。
（小学生でも馬鹿にしているのかと怒るほどの問題でないでしょうか）
なお、この論証は動画のパターン4に同等です。
あまりにも安易かつ簡単な出題。
普通に考えれば大学入試として妥当な問題は x,y,zが正の実数であるとき U/3=V がなり立たないことを証明せよ。であろう。
もし、因数分解を用いるなら y=x+n1 z=x+n2 n1 3V=3(x^3+(n1+n2)x^2+n1n2x) が言える
∴ U>Ux>3V 従ってU/3=V を充たす、x,y,zは存在しない。
4つめ目から鱗過ぎる...！
神動画。すごい