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- Опубліковано 17 сер 2021
- 数３を使わない解法で解けた方はコメントで！
整数問題の全パターン解説はこちら
• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
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MathLABO〜東大発！「みんなで作る」数学ベスト良問集
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めちゃくちゃ面白いなこの問題
掌握の1問目でこれあっておもしろ！ってなって買った覚えがあります〜
超いい問題
ぜひもっと難問系出してください！
難問数学ってこうやって解くんだ‼快感❗
n>=3でy=nx^(n-1)が下に凸であることを示せるから曲線部分と台形の面積比較で証明できる
どこかで見たことある問題だと思ったら、昔にAKITOさんが酒飲みラジオでやってたやつだ！(ちなみにAKITOさんは面積で評価してました)
完答しました！
数学的帰納法に飛び付いたら、計算が大変過ぎて解けずでした。素晴らしい解法動画ありがとうございます！
数IIのときから思っていましたが、不等式問題において最小値が聞かれてもいないのに等号成立を気にするのが不思議でした。論理式的には、A＜＝Bは「A＜B又はA＝B」ですから、A＝Bの部分は証明に対して重要ではないきがするのです。
対称式利用して帰納法使おうとしたら爆死しました()
全称系はお決まりのパターンがある
私、小3の孫が将来、名古屋大学の理系を目指ざせるように家庭教師をしています。今日、算数検定6級（小6レベル）合格の知らせがきました。現在、数学の参考書ルートを研究中で最難問と言われる｢数学の掌握｣をどうするか悩んでおりました。名古屋大学の数学は年によっては、東大、京大レベルの問題が出ると聞きましたので｢数学の掌握｣を購入してみます。
ところで私、孫に勉強を教えるために50年ぶりに数学を復習し、68歳時に数検準1級に合格しました。現在、最高齢（75才？）数検1級合格を目指してマイペースで学習しています。
合格が先か、ボケるが先か、さて。
数3習ってなくても理解できますね…でも文系の範囲だけで解ける方法も知りたいなぁ
おもしれぇーな、数学。
おもろい！
昔の数学の問題、2変数を割って1変数にするの好きだよね(笑)
「入試数学の掌握 総論編」に載ってたから出来た！
こーいう問題も共通テストで扱って欲しい（誘導付きで）
因数分解に飛びつくな…だ…これはできた
コレ見て掌握そっ閉じした思い出
掌握だー
f(t)はt-1で割り切れるので、因数分解すればもう少し楽になります。t-1は正なのでfをt-1で割った商が任意のnについて正であることを帰納法で示すのもありです。ここで宇佐美さんに質問なのですが、この解法は想定されていましたか？
tと置くの出てこなかった…すげー悔しい
それをやろうと思えるかどうかは別の話ですが、同次式に対してこのような置き換えで1変数にすることは結構あるので知っているといいですね
@@mt_sugaku_fan 対称式的に扱おうという方針で手が止まってしまいました。a＝、≠bで場合分けして漸化式的に？、とか考えたけど無理でした笑
f(x)=x^(n-1)とおき、問題の不等式を両辺nで割って考えます。左辺(1/n)(a^n-b^n)は関数fのbからaまでの積分です。右辺は横がa-b、縦が両端の平均値の長方形の面積ですが、等積変形で長方形をいじると上底・下底がそれぞれf(b)、f(a)の台形に置き換えることができます。関数fが下に凸ならば積分面積
と思ったら、すでに下でコメント済でした。すんません。
平均値の定理でやろうと思ったら死んだ
赤掌握の導入の問題ですね
a^n-b^nの因数分解を使って解く方法ってありますか？
本書では、「項の数が増えて逆にあつかいにくくなってしまうのでわざわざ因数分解するのは理にかなってない」と書いてありました。
これは河合の完成シリーズのTテキにあった気がする
予習時で手が出せなかった
本番でも正解率かなり低いだろうなあ
n回微分したわいは脳無しだった
tで置き換えたらあとは簡単ですね
最初、素直に数学的帰納法でやろうとして、
計算がとんでもないことになり、別のやり方がないかと探り。
a=bのとき、どんな自然数nでも成立。
a＞bのとき、両辺をa-bで割れるな…と割ってゴリゴリ進めたところ、
やはり式がとんでもないことになり、別のやり方がないかと探り。
最終的に、なんとか、すばるさんと同じ解法に辿り着きましたが、
実際の試験だったら、この一問で時間切れだなぁ(笑)。
でも、色々試行錯誤しながらも自力で導けたので、
達成感がありますね(笑)！
今回も良問の紹介をありがとうございます(^^
Set g ( n ) = 2 ( x ^ n - 1 ) / ( ( x - 1 ) ( x ^ ( n - 1 ) + 1 ) ) for all x > 1.
Then, the sign of g ( n + 1 ) - g ( n ) - 1 = ( 1 - x ^ n ) ( x ^ n - x ) / ( ( 1 + x ^ n ) ( x ^ n + x ) ) is negative. Hence g ( n )
掌握にのってたわたしか
割ってtにするのは良いですね。
私はそのまま、あるbに対していかなるaでも成立することを示した後、いかなるbでも成立することを示す方針でしたが、記述に慣れていないと評価されない可能性が...
似たような問題が今年の東北大6(2)で、不等式の右側の評価を動画と同様にn+1回微分で解いたのですが、模範解答では別の解き方をしていてなんかがっかりした(笑)
掌握にあったからできた
有名問題だな
これをルーティンにしよ
これを38分で思いついてやるの無理
同時式わろた
同次式やろ
おはLabo
おはLabo
おは～!おは～!おは～!
12分くらいから変な音入ってる
AKITOさん経由で知った掌握だぁ。
どっかで見たことある
微分等を使わないで式変形のみで解けました。
①a^n - b^n = (a - b)Σ_{k=1}^{n} a^(k-1)b^(n-k)
と因数分解できますが、逆順にすると
②a^n - b^n = (a - b)Σ_{k=1}^{n} a^(n-k)b^(k-1)
とも書けます。
ここで①と②を足し合わせて2で割ると
③a^n - b^n = (1/2)(a - b)Σ_{k=1}^{n} (a^(k-1)b^(n-k) + a^(n-k)b^(k-1))
となります。
ここで、Σの中身は以下のように評価できます。
a^(n-1) + b^(n-1) - a^(k-1)b^(n-k) - a^(n-k)b^(k-1) = (a^(k-1) - b^(k-1))(a^(n-k) - b^(n-k)) ≧ 0なので
④a^(k-1)b^(n-k) + a^(n-k)b^(k-1) ≦ a^(n-1) + b^(n-1)
であることが分かります。
したがって、④を③の式に当てはめると
a^n - b^n = (1/2)(a - b)Σ_{k=1}^{n} (a^(k-1)b^(n-k) + a^(n-k)b^(k-1))
≦ (1/2)(a - b)Σ_{k=1}^{n}(a^(n-1) + b^(n-1)) = (n/2)(a - b)(a^(n-1) + b^(n-1))
となって題意が示されます。
結局どんな難問も基本問題の詰め合わせってことがわかる問題ですね、だとしてもこれそんなに正答率低いのかな…？
a=b+k(非負整数)としてkのほうで数学的帰納法はどうかな？
aとbは実数でa≧bというかなり緩い条件しかないのでkが整数になるのは極めて特殊です。aとbの小数部分が一致するという条件があればkが整数になるのでその解法が使えます。
f'(x)≧0とf(x)≧0は、t≧1という条件付きなので、答案には書いておいたほうが無難ですね。
(グラフはU字形で、t=1のときx軸に接する)
帰納法&１文字消去でできた！
無次元量
そもそも作問できるやつの頭の中どうなってるかみてみたい
感覚的には、両辺をa-b≧0で割ると左辺にはa^(n-1)+a^(n-2)・b+…+a・b^(n-2)+b^(n-1)とn個の項が現れて、
外側から2個ずつセットにしていくと、実質的に相加相乗平均不等式だけで示せると思う。
ただnが奇数だと完全にペアにはならないから、少し記述に注意が必要そう。
なので一変数化の方針は素晴らしいと思います。これも引き出しの一つとして使えるようになりたいね。
色んな試行錯誤あるが、結局 微分法が実戦的👏
@@UA-camAIYAIYAI さん 同次式だけど偏微分したらどうなるかな？とか、一瞬考えませんでした？
同次式の性質を利用し、一変数の問題に落とすというのは、理論的にはかなり高度でして、すばるさんも言うほど機械的な解法とは思っていないと思います。
コメントありがとうございます！
[smbの備忘録]
非負なる2数の和に関して、積が一定なら相加相乗不等式が使える。
故に本問は重要な公式、a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+…+b^(n-1))を利用してもできる。
ただし、偶奇の場合分けが必要となる。
@@smbspoon-me-baby さん
ごめんなさい 🙏
自分の備忘録に追記するつもりが、
@smb2019 spoon-me-baby さん
に誤って追記してしまいました。
それでもできました。n個の数の平均と最大・最小2個の数の平均の比較です。一般化するとn個の実数a1,a2,…,an (a1
微分って便利
この問題確かイッチャン最初の簡単な問題では？
文系でも解けるってことは二回微分するのも記述でやって許される感じですか？
大丈夫だと思いますけどもし心配なら一回微分したやつをg(x)おいて微分したら問題ないんじゃないですか？
@@user-hy2jd8cb2m その発想力、尊敬します
@@user-rp4mc7kp3k いえいえ、全然大したことないですよ力になれたならよかったです
偶奇で場合分けして(a^x-b^x)(a^y-b^y)の塊を大量生産しました。
いやー難しい……
「単調増加」でなく「単調非減少」と書いておけば f'(x)≧0でも問題なしなのでは？
平均値の定理を使ってみたんですけど、うまく行きませんでした。誰か助けて～～
f(x)=x^nとする。
平均値の定理より、(a^n+b^n)/(a-b)=f'(c)をみたすcがb≦c≦aの範囲で存在する。
（計算中略）
c^(n-1)≦{a^(n-1)+b^(n-1)}/2を示せば良い。
ここからの解法が思い付けませんでした
f(x)は下に凸なので、グラフを書いて中点と比較するとこの不等式が成り立つ
@@user-de5sw4lx9q
それって、cがaとbの中点（Mとする）より右にある時はどうやってすればいいですか？
自分でも色々試しましたが、平均値の定理はかなり緩い近似を示していて、今回の場合は評価が甘すぎて証明には使えないと思います。
掌握一問目やね
式変形すると、(a^n-b^n)/n ≧ab(a^(n-2)-b^(n-2))/(n-2)となったので、数列のようにして収束性から評価できないかと考えたんですが、どうでしょうか？
どなたか教えていただきたいです。
面積でいけそう
文字は減らせ次数は下げろ。
数学の定石の一つ
なっか気のせいか及○って人が言ってそうな言葉...
n=1,2のときもf''=0とf'=n>0でfの単調性も変わらないのでまとめてf''>=0で問題ないと思います．
これ担任から5回くらい解かされてるわ
はぇ〜〜
備忘録70V" 数学的帰納法では見通し悪い → ( 同次式の扱い方 )
【 a と b の n 次の同次式は、bⁿ で割って a/b＝ x とおくと x の n次式に できる 】
同値変形して、 x ≧ 1 の範囲で, 与式 ⇔ ( n－2 ) xⁿ －n xⁿ⁻¹ ＋n x －n＋2 ≧ 0 ･･･☆
f(x)＝ ( n－2 ) xⁿ －n xⁿ⁻¹ ＋n x －n＋2 ( x ≧ 1 ) とおいて、 f(x) ≧ 0 を示す。
以下省略 ( ∵ 動画と同じ ) ■
色んな試行錯誤あるが、結局 上記の微分法が実戦的👏
n＝ 1, 2 のときを含めても f''(x) ≧ 0 だから、
f'(x) は 広義単調増加となり、場合分けは不要です。
こんな問題偉そうにしなくても微分一髪
そして微分は最強だと聞いたけどこうやって使うんだ（数学偏差値65の僕が言う）
微分や面積評価なしの式変形だけの別解見つけました
引き出しは多い方が良いもんね
（少し長くなりますが、以下に記します）
a/b=t (t≧1)と置く（b/a=t 0
😂
そんなに難問かな？