中学生でも解ける“整数問題”が難しすぎる件
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- Опубліковано 7 лип 2020
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別解もありますので、思いついた方はコメントでどうぞ！
【ネタバレ注意】
今回は中学生でも分かるように、論述より「考え方」ベースで説明しましたが、
具体的な論述としてs^3と3s-1が互いに素を示す(思いつく)ためには下記の発想が参考になります。
======
◾️隣り合う2整数(sとs-1)は互いに素
(東大入試でも出ました)
↓
sと3s-1も互いに素と予想できる
(互いに素は背理法で示す形でもok)
======
sと3s-1に共通する素因数をdとすると、整数a, bを用いて
s＝ad, 3s-1＝bd
よって、
3ad-1＝bd
d(3a-b)＝1
このとき、dは仮定より素数であるから、3a-b=1/d (既約分数になる)
ただし仮定よりa, bは整数であるから、3a-bは整数であり、矛盾が生じる。
したがって、sと3s-1は互いに素である。
======
素因数の定義は微妙ですが、以下の議論においては、任意の整数nにつき
「nの素因数 」⇔「素数 かつ nの約数」
とします。（特にn=0ならば、任意の素数がnの素因数となります。）
このとき、任意の整数 n, p につき
pはnの素因数 ⇔ pはn^3の素因数 （すなわちnとn^3とがそれぞれ有する素因数の種類は同じ）
です。後は互除法を利用。
~~~~~~~~~~~~~~~~~
sが整数のとき、
s^3と3s-1は互いに素 ⇔ s^3と3s-1は素因数を共有しない
⇔ sと3s-1は素因数を共有しない ⇔ sと3s-1は互いに素
⇔ GCD(s, 3s-1) =1 ⇔ GCD(s, -1) = 1 ⇔ 真。■
3s-1をsで割った余りが-1と断定できるのは整式の場合です。(これは文字式の場合で一般性がありません)互除法の場合気をつけなければなりません。
@@jidai3242 さんへ：「互除法の原理」は厳密な意味で割り算になっていなくても成立します。従って何ら問題はありません。
【※ -1は整数の除算としての余りではないが、(3s-1) - 3(s) = -1 であるから、互除法の原理によって上記の同値関係が成立。】
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
＜互除法の原理＞：関係式
a - qb = r…① ⇔ a = qb + r…②,
および
(a,b)≠(0,0) かつ (b,r)≠(0,0) …③
を満たすような任意の整数 a, b, q, r につき、以下が成り立つ。
簡便のために、「aとbの公約数の集合」をX, 「 bとrの公約数の集合」をYと置く。
③より、X, Yはいずれも、空集合ではない有限集合であるから、それぞれの最大元が存在する。
①より、aとbの公約数は、rの約数であるから、bとrの公約数でもある。
∴ X⊆Y …④
②より、bとrの公約数は、aの約数であるから、aとbの公約数でもある。
∴ X⊇Y …⑤
④,⑤より X=Y。
よって、Xの最大元とYの最大元は一致する。すなわち
GCD(a, b) = GCD(b, r)。■
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
※特に b>0 , 0≦r≦b-1 なる制限を与えると、いわゆるユークリッドの互除法になります。しかしこの条件は上記の証明に用いられていませんから、＜互除法の原理＞はより広い適用範囲を有します。
（動画の問題は、a=3s-1, b=s, q=3, r= -1 の場合に当たる。）■
でも、gcd(s,3s-1)=1は3s-1がsで割り切れないための十分条件ではありません。だから割り切れないとも言いきれないわけです。
@@jidai3242 さんへ：論点がズレてませんか？
「gcd(s,3s-1)=1⇒3s-1はsで割り切れない」という主張は最初からしていませんが…？
（たとえs=±1であっても、最初のコメントに主張された同値関係は成り立つ。）
「全て答えろ」系の問題って、答が一つとか二つとかしかなくて、「それを示して他ないよ」てのを示すっての鈴木貫太郎さんがやってた。
s=a＋b, t=abと置く．
s,tは整数なので，s^2-4t≧0. ①
a^3+ab+b^3=0.⇔s^3-3st+t=0.
⇔t=s^3/(3s-1).(∵s≠1/3）
これを①に代入し，整理すると，
s^2(s+1)(3s-1)≦0かつ，s≠1/3.
∴-1≦s
40歳のおっさんですが数学改めて勉強してみたいと思いました。中学の参考書からかな〜。
最近の整数&確率問題で着実に力がついてる実感があります！ありがとうございます🙇♂️🙇♂️🙇♂️
おはようございます。
朝の学びをありがとうございます☺
整数問題得意でなかったのですがやっているうちに楽しくなりました。
整数問題は面白いなぁ
解法を丁寧に説明してくれるの感謝です！
サムネが愛だわ
社会人ですが、息抜きでこの動画で取り上げられている整数問題を解いてます。
社会人になってわかりますが、東大や京大、一橋などで求められる数学の問題は本当に社会に出て何か〔いろんな課題やデータ、専門的な法律の条文など〕を論証する、説明する訓練になります。
学歴が全てとはいいませんが、こう言った大学を出ている方がなぜ優秀と言われるのかがわかる気がします。
どちらも０でない場合、ab
今日の期末テストで行き詰まった問題があったんですけどその時この動画を思い出して「実験」したら解けました❗️
助かりました。ありがとうございます👍️
すごい
僕は 因数分解式 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) で
c=-1/3を 代入して、
両辺に27を掛けて
(3a+3b-1)(9a^2+9b^2-9ab+3a+3b+1)=-1
とセッティングしました。
そうしたら
i) 3a+3b-1=1、9a^2+9b^2-9ab+3a+3b+1=-1
と
ii) 3a+3b-1=-1、9a^+9b^2-9ab+3a+3b+1=1
の二つの場合が出まして、
i) 前者は a+b=2/3 なので不敵、
ii) 後者は a+b=0 なので
9a^2+9b^2-9ab+3a+3b
=-27ab と成って
-27ab+1=1 だから ab=0
-> a=b=0
以上により解は
a=0、b=0 だけだと答えがでました。
(間違いあったらコメントどうぞ)
a²+b²+c²-ab-bc-ca≧0だから最初からケースii)だけでいいよね．
ケースii)はa+b=0と与式からすぐab=0と分かる．
逆にケースii)の後半の式だけから (3a-3b)²+(3a+1)²+(3b+1)²=2
よって 3a-3b=0, 3a+1=3b+1=1 しかあり得ないとする変態解答もあり．
答えを予想したり、とりあえず式をいじって見る時に、解答をどう持っていくと解けそうか、答えは多分これかな？と予想していると当たりやすいこともありますね！
直接代入法
(１)A>０とすると、B
ありがとうございます！
こちらこそありがとうございます！励みになります。
s^3=t(3s-1) として、実験までしたのに s^3 と (3s-1) が互いに素と気付かなかったのは、「0 でしか成立しないだろうと予想を立ててなかった」から。悔しい。
a^3+b^3+c^3-3abcの因数分解でとても美しく解けます
すみません、解説お願いできますか？
今回のは両辺を27倍して
りょうたろうのa,b,cを3a,3b,-1としてとけば
(3a+3b-1)(9a^2+9b^2-9ab+3a+3b+1)=-1
という風に変形できちゃう。
それ見えるの変態すぎません？
美しい…
名前が美しい…
@@jaehees3695 よく言われる…
a=0⇔b=0より、(a,b)=(0,0)またはa≠0≠b
後者について、a³=-b(b+b²)よりa³はbの倍数。
よって、aはbの素因数を全て素因数に持つ。対称性より逆も真。
aまたはbに含まれる任意の素因数pについて、a,bが含む素因数pの個数をc,dとする。(c,dは自然数)
a³+b³=-ab
c=dのとき、左辺はpが3c個以上だが、右辺は2c個しかなく矛盾。
よって、c≠dであり、対称性からc
s^3と3s-1が互いに素なのが分からなかったからtとsの実数条件でゴリ押しして解いた、、、この問題は絞り込めたけど改めて実験の大切さを感じた
困ったら、神頼み。
a、bがともに正、ともに負のときa^3+ab+b^3=0は不成立。よってa、bは異符号またはともに0である。
因数分解して
(a+b)(a^2-ab+b^2)+ab=0
さらに因数分解して
(a+b){(a+b)^2-3ab}+ab=0
a+b=s、ab=t(≦0)と置いて
s(s^2-3t)+t=0
整理すると
s^3-3st+t=0
tについての式にすると
t=s^3/(3s-1)
sは整数よりs≧1のとき
3s-1、s^3ともに正となり不適。
s≦-1のとき
3s-1、s^3ともに負となり不適。
s=0のときt=0
∴a=0、b=0
共に負の時何故不成立と言えるのですか？
@@user-uv3nr8lv2p a^3+ab+b^3=a(a^2+b)+b^3
a^2＞|b|のときa^2+b＞0
このとき、(元の式)＜0
a^2=|b|のときa^2+b=0
このときも(元の式)＜0
a^2＜|b|のときa^2+b＜0
このときa(a^2+b)＞0となる。
|a^3+ab|と|b^3|の大小を比較する。
|a|＜|b|、a^3とabが異符号であることを考えると(元の式)＜0
よっていずれの場合も条件を満たさない。
これでどうでしょうか？
見た瞬間に対称式だ！っていうのはわかったけど、倍数は気づかなかったー、むずい笑笑
別解
a^3+b^3=-ab
s(s^2-3t)=-t tはsの倍数といえるのでt=nsと置換。
s≠0で考える。s^2-3ns+n=0をsの二次方程式とみて、整数解となるようDを平方数(=A^2)にする条件をとく。
(9n-2+3A)(9n-2-3A)=4 に変形できる。
s^3と3s-1が互いに素になることの論述は、3s-1がsの倍数でないと言うだけで十分ですか？sの倍数でなくても他の素因数を互いに持つ可能性について説明がないと思ったのですが、、、
ありがとう！「互いに素」を示す論述は固定コメントに書いておきました^_^
a^2/b + b^2/a = -1 に変形して a≤b として単純な対称式として処理すれば
そのあとどうやるか教えてください
(a,b)=0,0って、解けても全然すっきりしないなあ（笑）。解けた快感がまるでない（笑）
他の方が既に書いてるかも知れませんし、なんなら不十分かもしれませんが、
a(a^2+b)=-b^3 と変形して、
aとbが互いに素の時にa=1しかありえなくて、それも不適だとすぐにわかるので、
一方がもう一方のk倍とおいて見ればよくて、対象式なので例えば
a=kb とおいて式を整理すると、
b=0 と出てくるので,aも0だとわかる
って方法でやってみました
対称式の使いどころを初めて感じた
そっか互いに素だからtをどうしようと方程式を満たせないのか
3s‐1がsで割った余りが2っていうのはすぐ注目できたけどそれを解が存在しないことに持っていけなかった
3s-1をsで割った余りが2なのはs=3のときだけですよ。
はいちさん1000k人おめでとうございます👍
教育系UA-camrみんな、スパチャ
してたね。
1Mに直したくなる
＜別解＞：２整数a,bの一方が0ならば他方も0（すなわちa=b=0）となるしかなく、このとき与式は満たされる。
これ以外に解がないことを示す。
--------------------------------------------
1°）a>0, b>0 のとき： 与式の左辺は正となるため不適。
2°）a0>bのとき：仮に与式が成り立つものとし、A=a, B= -b と置くと
A^3 - AB - B^3 =0 かつ A≧1 かつ B≧1
が従う。さらにこのとき
A^3 = AB + B^3…① かつ A≧1 かつ B≧1
より
①かつ A>B≧1
であるから、A=B+d（d≧1）とおける。これを①に代入して
(d+B)^3 = (d+B)B + B^3
∴d^3 + 3(d^2)B + 3d(B^2) + B^3 = dB + B^2 + B^3
∴d^3 + 3B(d^2) + B(3B-1)d - B^2 = 0 …②。
ここで
f(x) = x^3 + 3Bx^2 + B(3B-1)x - B^2 （x≧0…③）
とおくと、
定義域③において
∴f'(x) = 3x^2 + 6Bx + B(3B-1)
∴f''(x) = 6x+6B > 0 であり、f'(x)は狭義単調増加
∴f'(x) ≧ f'(0) = B(3B-1) > 0 であり、f(x)は狭義単調増加
∴f(d) ≧ f(1) = 1 + 3B + B(3B-1) - B^2 = 2B^2 + 2B + 1 = 2(B + 1/2)^2 + 1/2 >0
これは②に矛盾。
4°）b>0>aのとき、aとbの名前を入れ替えれば3°に帰着。
--------------------------------------------
以上により、(a,b)=(0,0)。■
私も同じような場合分けで解きました！3次関数の増減で解く方法は思いつきませんでした。整数問題はこういう風に使えるものはなんでも使えるところが面白いですね。
@@SangtaeOkay さんへ：3°の場合について、純粋な整数問題として（微分を用いずに）解く方法を思いつきませんでした…。関数と見て増減を調べる発想は、下記の観察に基づきます。
A^3 = AB + B^3…① かつ A>B≧1
において、Bを固定してAを増加させると左辺のほうが右辺よりもはるかに速く増加するため、ある程度以上にAが大きくなると①は成り立たないと予想される。（実は、A=B+1において既に（左辺）>（右辺）となっている。）■
@@user-dh9xf9qj6d さん
私はこういうの結構好きです。
私の場合はこのように解きました（a, bの絶対値を使って式を書き直せば意外といい感じな因数分解ができるかも、みたいな場当たり的な発想です、、、）
別解抜粋
ii)a, bのどちらも0でないとき
（中略）
ii-iii)a, bの正負が異なるとき
a>bとして一般性を失わない。この下でbB ...(2)
また、(1)より
AB
=A^3-B^3
=(A-B)(A^2+AB+B^2)
≧A^2+AB+B^2（∵A, Bともに自然数であることと(2)よりA-B≧1。また、A^2+AB+B^2>0）
>AB
となり不適
@@SangtaeOkay さんへ：おおっ。因数分解すれば、正項のみからなる2次式の評価に帰着できたのか…。
いずれにせよ、A,Bなどの正値で式を書き直すと考えやすいですね。■
0
相加相乗よりa²+b²≧2ab（等号はa=bのとき）
式≧2ab(a+b)-ab(a+b)+ab=ab(a+b+1)
式＝0が成立するにはab=0, a+b+1=0
a=bでこれを満たす整数はa=b=0しかない
でもよいでしょうか？
中学生の範囲という今回の趣旨からは逸脱していますが…
これ解けた！
s=-1,1においては3s-1はsの倍数になるので、その場合を予め場合分けしておく必要があるのではないかと感じたのですが、不要でしょうか？
結局、s^3=-1,1となり、3s-1=-1,1の場合を計算することになるのでメインの解答のやり方と重なるので、この議論は含まれているのかな？とも感じ、指摘しておきながらよくわからなくなってきたのでコメントさせていただきました。
a+b=s ab=tとおき、与えられた式をsとtの式にする。この時、sとtはx^2-sx+t=0の解になるので、sとtが実数解として存在する条件→判別式が0以上から s^2-4t≧0という条件が得られる。
はじめに得られた式と条件式をtについて解き、グラフを書く。a+b=sはa,bが整数ということからsは整数になる。
グラフを見ると、二つの式を共に満たす部分でsが整数になるのはs=t=0もしくはsが1/2以上かつtが正の時になる。しかし、s,tが共に正の時、a,bは共に正になるがこの時与えられた式の左辺は明らかに0より大きくなるので不適。
よって、s=t=0→a=b=0が答えとなる。
式変形の過程を教えてもらえますか？
僕もこのやり方でやりました。
グラフで持ち込みたくなりますよね
互いに素に気が付くとか初見じゃ無理だわ
既に他の方がやってるかもしれないですが対称性を無視してもできそうです。
a^3=-b(a+b^2)よりある整数kを用いてa=kbとかける(ちなみにk≤0)。
代入して整理すると、b^2(k^3b+k+b)=0。b=0であればa=0を得る。
k^3b+k+b=0のとき、整理するとk=-b(k^3+1)なのである整数lを用いてb=klとかける。
また代入するとk=-kl(k^3+1)となり、|k^3+1|≧1なのでこれを満たす整数kはk=0しかない（ちゃんと説明すべきかもしれないが容易にわかるのでここでは割愛）。
よって(a,b)=(0,0)を得る。(証明終)
「整数kを用いてa=kbとかける」ってどういう理由かな．
aの素因数の一部だけがbのことってあるんじゃない？
合計が0になるということは、1以上で成立する場合の条件として
A^3とB^3の差がABと等しくなければいけない
そして合計0になる時点で片方はマイナスということになる
つまりABは負数であることが分かる
数式にしたら長ったらしいけど
A^3+B^3の大きなプラスの値をABで打ち消すのは不可能なので0,0でしか成立しない
自然数A,BがあったとしてA^3 - B^3 + AB ＝0
が成立する自然数のパターンが存在しないのと同じです
コメント欄も色々な解法が乗ってて面白いですね。
自分はa,bの正負の場合分けで解きましたが、同じ発想の方とも解法が違って驚きました！
自分はa>0,b
sが素数はダメそうだけど絞れないな…と思ってたけどそうか、3s-1はsの倍数にならないか……！
頭が錆び付いてしまって、実数に拡張して機械的に解く方が楽ですね...。a,b,z空間の曲面z=a^3+ab+b^3と平面a*cosθ=b*sinθの交線がaかbに変数を統一した3次関数になるので、これが0になる解を出すと0とtanθの関数になって、後者が-1と1の間にあることが言えるので、整数解としては0のみ。微分しなくて良かったです。
とやった後で、a=-b+t(ただしt>=1)と置いて、与式をbの二次関数にしたら、判別式で解なしがわかることに気づきました。従って|a|=|b|。計算量は最初のやり方の方が少なそうですが、こちらは中学生でも分かりますね。
左辺をaの関数としてaで微分して、f'(a)が解を持つ時にbが0以下になるから、それを元にしてa,bの組を考えると、どれも不適になることを利用して(0,0)に限るってしたんですが、数弱なので誰か間違いがあったら指摘してほしいです。
後付け
すみません、a,bが整数だからf(a)が連続じゃなくなって微分できないかもしれません。
今更でもう同じ解法が出てたら申し訳ありません
s=a+b,t=abとして動画のように(3s-1)t=s^3
となりt=s^3/(3s-1) (当然sが整数より3s-1≠0です)
両辺27をかけ、右辺を変形すると
27t=9s^2+3s+1+1/(3s-1)
∴27t-9s^2-3s-1=1/(3s-1)…①
a,bが整数よりs,tも整数なので①の左辺は整数、よって右辺も整数であり、分母3s-1が1の約数であることが必要でそれを満たすのはs=0のときのみ．このときt=0でs=t=0を満たす整数a,bはa=b=0のときだけである．
とできます。(計算間違いなどがあればすいません)要は整数問題で分数が出てきて分母が1次式の場合は、帯分数表示にして整数条件を作ることでその文字の値がある程度絞れることを利用してます。
中学生でも解けるときいてすっ飛んできた！
無論、解けませんでした。けど、解法はわかったので同じ問題とかがもう1回出されても解けると思います！いつもありがとうございます┏●
a^3+b^3+ab=0
⇔a^3+b^3-3ab(-1/3)+(-1/3)^3=-1/27
⇔(3a+3b-1)(9a^2+9b^2+1-9ab+3a+3b)=-1(両辺27倍して因数分解)
⇔(3a+3b-1){9(a-b)^2+(3a+1)^2+(3b+1)^2}=-2
両辺整数かつ中カッコ内は2以上
よってa=b=0のみが解
数Aってほんと奥が深い
中華流の解答：
a+b,abなど問題出てくる場合、ほとんどVieta定理で解決できます。
a^3+ab+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab)-ab=0で変換
仮説、x^2+px+q=0の2つの根、(a+b)=-p,ab=q、a,b∈Zので、p,qも∈Z
上式を変換→ p(p^2-3q)-q=0
分岐点① p=q=0の時、成立
分岐点② p0の時、(p^2-3q)＝q/p
p,qは∈Zので、p^2-3qも∈Z、p/qも∈Z、
つまり、qは必ずpの倍数、
再度変換、q=np nも∈Z
(p^2-3q)＝q/p → p^2-3p-n=0 3次元問題は2次元問題に簡単化されました
p^2-3p-n=0専念で根を解けましょう、
根はp=(3∓√9n^2-4n)/2、 p∈0以外のZの前提条件がありますので、
9n^2-4nは必ず偶数、√9n^2-4nは奇数になれません、pは整数になれない
そのために、分岐点②は成立可能な根はありません。
そして、a+b=0且つab=0の場合のみa^3+ab+b^3=0の整数解存在、
そのために、a=b=0は唯一の解答
対称式であることに注目して考えたけど、そこで止まったから別解になった。時間かかりスギィ
間違ってたらすまソ。
a=0ならb=0逆も同様。
a,b≠0のときa0より
-a^3-b^3≧3(-a^3×-b^3)^1/3=3ab
等号条件は略
よって、-a^3-b^3=ab≧3ab
より、0≧2abとなり、不適。
よってa,bは異符号。対称性より、a>0,b0, a^2+ak+k^2>0, a-k≧0より
a^2+ak+k^2≦ak
⇔a^2+k^2≦0より不適ぃ
無理やリィ。
aとbが両方偶数というところからも試したけど僕には無理だった。
すみませんこの動画に関係ないんですけど日曜日の耐久ライブ一緒にやりましょー！
a=ga' , b=gb' (g=gcd(a,b))とおいてab≠0として背理法でごりごり解いちゃった
同じようにs、tとおく。tの一次式とみてt=s^3/(3S-1)と変形。
sに0以外の整数のなにを入れても分母と分子は偶奇が一致しないので
ｔは整数にならず。
整数って難しいけど面白いよね
それな
※正面から行きましたが、結構面倒でした・・・
a^3+ab+b^3=0 となる整数
a=0, b=0が解。これ以外は、a≠0, b≠0
a=bとなる解も、2a^3+a^2=0でないといけないので、a=0以外整数解無し
a>0, b>0のときは、a^3+ab+b^3>0で解無し
a0, b0で割って(3n-1)^2-4n(3n-1)≧0のとき
→(3n-1)>0で割って、3n-1-4n≧0→n≦-1のとき。→n≧1の解は無い
a>0, b0で割って(3n+1)^2-4n(3n+1)≧0のとき
→(3n+1)>0で割って、3n+1-4n≧0→n≦1のとき。n=1と決定できてb=-a-1となる
a^3-a(a+1)-(a+1)^3=0
4a^2+4a+1=0の解は、a=-1/2で整数解でない。
結局、a=0, b=0以外にない。
寝る前に整数問題キモチェ〜〜
absenceって綴りそれで合ってますか？
パスチャレの話です
You must account for your absence も the true reason も違和感ないのに、You must account for the true reason of your absence は気持ち悪いのはなぜか？と考えたら、of と意味の冗長性が原因だった。
まず、行為の理由を述べる場合は reason for が普通です（of でも通じるけど）。でも、そうすると account for the true reason for となって for が続いてクドい。
クドくなる理由は、You must account for your absence で十分 the true reason を述べよってニュアンスが出てるのに冗長な表現をしてるからですね。
（あと、 absence のミススペリングも原因かもね）
私はa+bとabから、解と係数の関係を使って、実数存在条件により、sの範囲を絞って、s=0しかありえないことを示しました。
a,bの絶対値が連続する必要があることを示したあとに、f(a,b)が増加関数であることを示すことで解答しました！(*^^*)
=0で、ab≠０とすると片方が正片方が負となるが、abは入れ替えても同じなので矛盾する
よって解はa,b=0のみ
コメ欄で言われてるmod a, bを使った解法凄い気になるんだけど
単純にb^3=akをb=akと勘違いしたケースなんじゃないの
一応、g=gcd(a, b), a=ga’, b=gb’として、
mod a’, b’を考えれば解ける(多少煩雑になる)
aとbを2で割った余りを使って考えました
a^3+b^3+ab≡b^3 ≡0( mod a )
bはaの倍数であるので、mを整数として b=maと書ける。
a^3+b^3+ab=0の式に代入すると、
a^3+m^3a^3+ma^2=0･･①
(ァ) a= 0の時
①式を満たす
この時、(a,b)=(0,0)
(イ) aが0でないとき
①式の両辺をa^2でわると
a+m^3a+m=0
(m^3+1)a+(m+1)-1=0
(m+1)(m^2-m+1)a+(m+1)=1
(m+1){(m^2-m+1)a+1}=1
① m+1=1
(m^2-m+1)a+1=1の時
a=0となり、不適
に
② m+1=-1
(m^2-m+1)a+1=-1
7a=-2となりこれを満たす、整数
aは存在しない。
よって、(a,b)=(0,0)
b^3がaの倍数だからといってbがaの倍数とはわからないんじゃ？
二酸化炭素ボンベ 例えば、2^3は8で割り切れるが、2は8で割り切れないからね。aが素数と分かれば、言えるが。
というか、そもそもa≠0として考えないとね。
対称式は頭になかった〜。でも合否分岐問題と言うよりは難問寄りじゃないかなと思いました。本番で見たら捨てかな
このくらいだったらそれなりに解ける人はいると思うから、捨て問と言われると違うと思う。
やっぱ確率整数は実験するに限るよなぁ
数学随分離れてるので、解答の書き方は上手く出来ませんのではしょりますが、a,bの正負から絶対値を考えたら(a,b)＝(0.0)しかないの直ぐ説明できませんか？
a>0b>0は解なし
a右辺)
二つの整数の立法の絶対値の差と立方根の積が等しくなることもありえない(数が大きくなると離れていく)ことを簡潔に説明して解なしにしといて、
よって、a,b＝0.0
みたいなのをきちんと説明すれば駄目なのかな？
見た感じの思い付きでの考え方のみ書いてみました。
7:40 sは素数とは限らないので、3s-1がsの倍数ではないからといって、3s-1=1or-1とはならないのではないでしょうか
3s-1とsは互いに素なので、3s-1と、s^3は互いに素です。
a³+ab+b³=0
⇔a³+b³+1=1-ab
⇔(a+b+1)(a²+b²+a+b+ab+1)=1−ab
って無理やり変形して
a+b+1=1-ab かつ a²+b²+a+b+ab+1=1
または
a+b+1=1 かつ a²+b²+a+b+ab+1=1-ab
ってやったんですけど何かこれ問題ありますかね。詳しい人いたら教えて欲しいです。
1-abに約数がある場合はもっと可能性がありますね。
@@user-fw9rn6gk7f
ほんとだ、ありがとう
分数関数と実数存在条件からグラフ描いて求めたぜ。不穏なことを聞いたんだが整数問題でグラフを用いて解いたら減点されるってマジすか？
いろんな別解があって面白いですね。
私はa, bの正負で場合分けして強引に式をこねくり回して不適であることを示してみました。
a^3+ab+b^3=0 ...(*)
を満たす整数の組(a, b)をすべて求めよ。
別解
i)a, bのうち少なくとも一方が0のとき
a=0のとき(*)にa=0を代入してb^3=0
∴b=0
b=0のときも同様なので(a, b)=(0, 0)
ii)a, bのどちらも0でないとき
ii-i)a, bともに正となるとき
a^3, ab, b^3ともに正よりa^3+ab+b^3>0となり不適
ii-ii)a, bともに負のとき
a, bの絶対値をそれぞれA, B(>0)とおくと
a^3+ab+b^3=-A^3+AB-B^3
ここでA≦Bとして一般性を失わない。この下で
-A^3+AB-B^3
0）
≦-A^2+B^2-B^2（∵AB≦B^2）
=-A^2
bとして一般性を失わない。この下でb0
A>B ...(2)
また、(1)より
AB
=A^3-B^3
=(A-B)(A^2+AB+B^2)
≧A^2+AB+B^2（∵A, Bともに自然数であることと(2)よりA-B≧1。また、A^2+AB+B^2>0）
>AB
となり不適
以上より求める整数の組は(a, b)=(0, 0)
s^3が3s-1の倍数ないことと、3s-1がsの倍数でないことは等価でないと思うのですが、そこは説明不足ではないでしょうか？
私の勘違い？
対偶をとってみると分かります
3s-1とsは互いに素なので、3s-1と、s^3は互いに素です。
この問題で、すばるさんと同じように、a+b=s ab=tと置きました。それで、2次方程式の解と係数の関係から、まず実数解が存在しなければならないと考え、s^2-4tが0以上を満たす。また、s^3=t(3s-1)でtが0でないとしたら、(s^3/3s-1)=tとなる。ここで、判別式の条件から、(s^3/3s-1)がs^2/4以上となる。この不等式を解くと(s^3)/4+(s^2)/4が0以上になる。よってs^2(s+1)が0以上になる。s^2は常に正よりsつまりa+bは-1以上になる。
また、s^2/4がt以上の条件よりtの存在範囲はsの定義域より、1/4以下でtは整数より0以下になる、つまりabは0以下になる。
ここで、a+bが-1以上で等号になるときを考えるが、それを満たす整数bは存在しない。よってa+bは0以上。
よってaは-b以上だから与式は-b^2以上となりこの等号0が成立するにはb=0となる。よって和が0以上かつ積が0以下でb=0よりa=0になる。
先ほどの内容を訂正しました
s^2≧4tにt=s^3/3s -1を代入して計算したら不等号が逆になったのですが何が間違っているのでしょうか…
here is an another solution（別解）
a^3 + ab + b^3 = 0
a^3 must divided by b, therefore a^30 look at the equation, a^3 is positive integer, and it equal to zero. we conclude b
「a^3 must divided by b, therefore a^3
@@a-kr3年前の自分が何考えてたか覚えてないですが、確かにこれだけ見たら正しいのは a³≥b ですね。多分ミスかもです、指摘ありがとうございます
地道にa,b(a>=b)の正負で2パターンに分けて、解いていった
7:41〜の所って何故1.-1に絞れるのですか？
(3s -1)はsの倍数ではないので、掛けてs^3にするなら(3s -1)の方にsは含まれないから、でどうでしょう？
(tの方にしかsは現れないので、tに当てはまるのはs^3か−s^3だけ、でも。)
間違っていたらすみません。
なるほど！
そういうことなんですね！
ありがとうございます！
kotatsu
納得していただけたら幸いです✨
(a,b)=(0,0) が解なのは自明。そして、一方だけが0は不適。
aもbも0でなければ、両辺をaで割ると a²+b+b³/a=0 だから a は b³ の約数。同様に両辺を b で割ることにより b は a³ の約数。
符号が異なることは自明なので、b=-a だが、これを与式に代入すると -a²=0 となり、a≠0 と矛盾する。
よって (a,b)=(0,0) が唯一の解である。
aはb^3の約数かつbはa^3の約数だからといって、一般に│a│=│b│は成り立ちません。
反例：(a, b)=(12, 18)
@@SangtaeOkay
おっと、これはミスしていました。ご指摘ありがとうございます。
やはり対称式の定石通り α=a+b , β=ab として α³-3αβ+β=0 から βはαの倍数→α²の倍数→α³の倍数だから β=kα³ となり 1-3kα+k=0
で、kは1の約数だが k=1 は不適、k=-1 より α=0 ∴ b=-a とするべきところでした。
100万リツイート草
sで割ると2余るやろ
a,bの3次の項とabの2次の項なので、x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
の公式をx=a, y=b, z=-1/3として扱い、a^3+b^3-1/27+ab = -1/27 = (a+b-1/3)(a^2+b^2+1/9-ab+b/3+a/3)
⇔ -1 = (3a+3b-1)(9a^2+9b^2-9ab+3a+3b+1)
後は右辺の因数はどちらも整数なので、各因数が(1,-1), (-1,1)のときを考えました。
1Mじゃないんかい
(0,0)はわかるねん。
813 100ｋ 0707
葉一さん 100k おめおめ …??
サムネのやつですよね
1000kだから登録者数100万人おめでとーってことだと思いますよ笑
奇数偶数でやりました。
違うやり方なのですが…
(一応ネタを伏せるために間開けます)
↓
「互いに素」に気づかなかったので、s,tの解の存在条件(不等式)でsの範囲を絞ったのですが、同じ人いますか…？
すべて求めよなのに1パターンしかないのはズルいよ、、、
しかも(a,b)=(0,0)なんて^^
何らずるくない
違う解法で解いた
気になる。
教えてください🙏
mod a とmod b で考えてみました。
すごい、これ美しい
ありゃ、確かにそれは成り立たないですね、適当に美しいと言ってしまったのがバレる…()ちょっと考えよ
@@user-sr2hh2qx6u それは理解できますが、先程あいうえおさんが言ってる通り、それを理由に「b=am」とできる理由が分からないんです、、今言えてるのはb³がaの倍数ってことだけですから
@@user-sr2hh2qx6u b＝2 a＝8のときは？
ガバガバでしたすみません
このやりかた、どうでしょうか？
自分なりに答えまではいきましたが、
回りくどいですかね…(´_ゝ`)
↓↓
[回答案]
※sとtの関係式作るまでは一緒です。
aかbどっちか0やと仮定してみよ。
⇒元の式に代入してみたら
aとbどっちもゼロになるんやなぁ。
ほな次、
a≧1かつb≧1と仮定してみよ。
⇒元の式は絶対3以上になってまうし、
0にならんやんけ。アカンわ。
同じノリで、
a≦-1かつ b≦-1もアカンわ。
ってことは、
aとbは両方ゼロか、
プラマイ反対の整数なんやな。
⇒tはゼロ以下なん確定やわ。
もし、tがゼロじゃなくて
マイナスやったら、
s^3と3s-1は、プラマイ反対の
整数じゃないとアカンなぁ。
⇒sが1でも-1でもダメやし、
それ以上数字大きいと
もっとアカンわ。
⇒t、ゼロじゃないとアカンわ。
ってことは、sもゼロ。
⇒なんや結局、最初に仮定した
aもbもゼロのパターンしか
ないやんけ(´_ゝ`)
s-t平面描く
合同式使ったら瞬殺できそうと思ったが俺が間違っているのかな
数Ⅲの積分の考え方のまとめ1回でいいからあげて欲しいです
誰か因数分解でやるわかりやすい方法あげてくれ。
田代啓太 僕はこんな感じで考えたのですがどうでしょう？？
0
ありがとうございます。何とか理解することができました。色々な解き方を考えるのも面白いですね。
何かひとつひとつの技法に有益なものは無いものですかプロ講師先生🌸
士農工商
Get Wild
商学部 工学部 農学部 医学部
9:17
1:08
か、ん、ど、う
なぜ、3s-1=0が必要なのか分かりません。誰か教えてください。
どういう意味ですか？
式からsかt(どちらも整数)を導くためには
①S^3=(整数)にしてsを求めるか
(動画ではs^3=0、つまり3S-1=0)
②S^3=S^3になるように右辺をいじる(動画ではt=s^3,3S-1=1またはt=-S^3,3S-1=-1)
の2パターンでやるはず
だから3S-1=0も念の為考えておく必要があった。
ところが①はこの考えよりも前の部分でtが分数になってしまう場面があったはず(詳しくはそこ参照)
s^3と3s-1が互いに素であることを考えなくていい場合=右辺を0にする場合でも、これは起きる。なぜなら、tは特に決めなくてもいいけど問題の3S-1=0。これを成立させるにはS=1/3となり分数になってしまう。
整数を使って失敗するシーンを先に見たから、「この解説いるのかな？」ってなってしまったのかも知れないですね。
間違ってたらすみません
@カルーアミルク そういうこというやつのほうが人としては低いんだがな
実数存在条件使って解いたので遠回りだったと気づきました。
なんでs^3✖️1かーs^3✖️ー1しかないって言い出してーs^3✖️ー1の場合はs=0になったの❔
3S-1=-1 と置きましたよね？
と言う事は
3S=0となります。
数学できる人って細かいとこ当然のように進めるけど、苦手な人からすると一つ一つ説明してくれないとわからんよね。