素数の"裏技"を見せます【受験生必見】
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- Опубліковано 8 сер 2021
- 素数を見たとき、この発想は大事です。
（素数の引き出しがアップデートされたはず！）
整数問題の全パターン解説はこちら
• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
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折角これまで「平方数はmod3, mod4に弱い」と教えてきたのだから、その流れで「pはmod3でも4でも±1」→「p＝6k±1とおける」と導いた方が良いのでは思いました。
仮に誘導なしでこの書き始めだと、◯にはしにくそう。
最初の式からpの範囲を絞らないと、一応pは2or3の可能性も残ってて、一概に動画の通りには、文字で置けないと思いました。
2でも3でもない素数は6m±1とおけるのは便利ですね
pが奇数となることを示してp=2n+1とおき、n(n+1)=2×3×qとしてnとn+1が互いに素であることを利用するのを最初に思いつきました
最初に右辺が24以上(or48以上）なので、少なくともpは5以上であることがわかります（そのため最初にp≠2,3と範囲を絞ってから使ってみてください！）
q≧2なので右辺≧48で、
p≧7かつ奇数を必要条件とおくと
6m±1を使わないでも、候補は5つにまで絞れます(p+1は8以上の偶数、p-1は6以上の偶数)
裏ワザすごい
色んな引き出し増やしたい
6を法として合同式にしても何にもならないので実際に文字で置いて代入する！っていう慣れも必要ですね！
スバルさんの数学って見ていてとてもわくわくしてきます…！！なので数学辛くなったら楽しそうに解いてくれるスバルさんを見にくるとやる気がでてきます😊💪
p,qがそれぞれ偶数の時を考えて、それ以降はp+1とp− 1がともに偶数であることを利用する。
24qを素因数分解してそれぞれ当てはめて、p+1とp− 1との差が2になるような組み合わせを見つければ10分掛からず終わりました
普通のやり方ね
はいどうも！みんなで浸かるバスタブに花王のバブです！って挨拶どういう意味ですか？
はいどうも！みんなでつくるパスラボの宇佐美すばるです
だと思います
@@user-gr3uz2go9o 耳、いいですね。。。うらやましいです。。。
裏技を強調する構成だったと思うのですが、p,qともに素数よりq≧2⇒p≧7を最初に述べておくべきかと。(コメントで補足はあったものの、そこまで読まない子もいるかと思うので)
整数で、2でも3でも割り切れない数は、5以上の数になるので、2と3を組み合わせた数の±1が素数になるんですよね。
もっと言えば、素数は6の倍数の±1に出てくる可能性があって、後半に出てくる素数との組み合わせで出てきたりててこなくなったりするんで、予測が難しいんですよね。
今回例えば4m±1とかではなく6m±1を使う必要性は、右辺が24以上だからp≧5になる所から来てるのかな
検算のプロセスは正解してて安心しました。
p^2=24q+1で(13,7)(11,5)(7,2)が思い浮かび,
他に無いかの確認兼ねた解答記述の折に
6m±1とおく手法を使ったので……
{左辺}=(p+1)(p-1)で素数pの連続する前後の数の積だから、{右辺}を(n+1)(n-1) (nは整数)
の形になるパターン考えて適・不適を吟味するかな～。
24は小さい数字だし、q素数だから素因数分解できないし範囲絞られるからごり押しちゃう笑
6m±1は発想いるね。
これちゃんと理解してないと細かい記述のところに減点ポイントめちゃありそう
コメ欄でよく言われる範囲のことについてもそうやし、(m,q)の値出すところもqが素数だから2×qか1×2qのパターンしかないよねっていうのも記述でしっかり書けるか気になる
動画はまだ拝見しておりません。
p^2 - 1 = 24q
1)p = 2のとき、条件をみたすqは存在しない。
2)q = 2のとき、p^2 - 1 = 48よりp = 7, (p, q) = (7, 2)は条件をみたす。
3)以下、p, qともに奇素数の場合を考える。p ≧ 3, q ≧ 3
(p + 1)(p - 1) = 24q = 2^3・3・q
p + 1, p - 1はともに偶数であるから、右辺の2^3の振り分けは「p + 1に2個, p - 1に1個」または「p + 1に1個, p - 1に2個」でなければならない。
3-1)2をp + 1に2個, p - 1に1個振り分けるとき
右辺の残りの素因数3qの振り分けは
i)p + 1に3q, p - 1になし
p + 1 = 12q, p - 1 = 2, p = 3, 条件をみたすqは存在しない。
ii)p + 1に3, p - 1にq
p + 1 = 12, p - 1 = 2q, p = 11, q = 5, (p, q) = (11, 5)は条件をみたす。
iii)p + 1にq, p - 1に3
p + 1 = 4q, p - 1 = 6, p = 7, q = 2, (p, q) = (7, 2)は2)で議論済み。
iv)p + 1になし、p - 1に3q
p + 1 < p - 1となるので不適。
3-2)2をp + 1に1個, p - 1に2個振り分けるとき
右辺の残りの素因数3qの振り分けは
v)p + 1に3q, p - 1になし
p + 1 = 6q, p - 1 = 4, p = 5, q = 1, qが非素数のため不適。
vi)p + 1に3, p - 1にq
p + 1 < p - 1となるため不適。
vii)p + 1にq, p - 1に3
p + 1 = 2q, p - 1 = 12, p = 13, q = 7, (p, q) = (13, 7)は条件をみたす。
viii)p + 1になし、p - 1に3q
p + 1 < p - 1となるため不適。
以上より、(p, q) = (7, 2), (11, 5), (13, 7)
と出ました。
動画を拝見いたしました。確かに、5以上の素数は6m ± 1（m:自然数）とおけるので、
2でも3でもないとわかった時点で使えますね。ひじょうに参考になりました。別の問題でも使ってみようと思います。
ごめんなさいなんか首もとがめっちゃ気になっちゃいました😅とても有意義な動画ありがとうございます！
2,3を除くすべての素数は6m±1で表せるって、教科書に載せてもいいレベルに思うんだけど数学科に怒られるのかなあ
貫太郎さんの動画のコメント欄でも6n±1でいいことあるって言ってました
わお、メカウロ！
最初が思いつかんので別解みたいなあるんですかね…
代入すればp≠2、3、5であることが分かる。よってp±1は必ず偶数になる(∵p≠2より)。あと、p+1>p-1かつqは素数である事を用いて範囲を絞れば後は結構楽に(p+1,p-1)を全通り出せると思います。そこから(p,q)を求めれば解が求まります。間違っていたらすみません。
鈴木貫太郎さんの動画にもありました！
ちょっと言い方が数学が苦手な人にとっては勘違いされそうかも
当たり前ですがp＝6k±1は素数となるための必要条件でしかないので答案には素数となるための必要条件はという言葉が必要ですよ！
必要条件という事は、素数⇨p=6k±1ということから、逆の命題も確認して必要十分性を確認するという事ですか？
ありがとうございます。裏なんかじゃない、表通りを堂々と歩ける解法ですね。最後求められた解が素数かどうかの確認だけはひつようです。
表技なら
p奇数から p=2m+1 m^2+m=6q m(m+1)=6qだけど、3*2*qの組み合わせになるけど qが素数で２以上であることを考えると 振り分けそんなに難しくないよ。
p＝6m±1とおけるのはp≧5のときであるため、p＝2の場合とp＝3の場合は個別に判定しなければならないと感じたのですが、やらなくていいのでしょうか？
「pは素数かつ2でも3でも割り切れないため」って記述すれば、ぎりぎりセーフかな？と思いました。ただし、論理の飛躍と言われるかは大学次第。
まぁでも、5以上の素数はp=6m±1とおける...とか、2,3は題意を満たさないためp=6m±1とおける...とかの方が紛れないですね。
ここに同じ人いた
最後にp=2 ,3のとき確認する？？
解いた後に解のペアを観察して、qがpよりも大きくなってはならない理由、pとqがあまり離れてはいけない理由を考えると新しい解法が見つかると思います。
もしp=6m±1という発想が浮かばない場合自分はこうしました
(1)24q≧48だから、そすうpがあるとすればp≧7
(2)7以上の素数pを、p=2m+1(mは3以上)とおく
(3)代入場合分けすると、3つの候補があるのでそれらは全てpが素数であることを満たす
私は左辺を因数分解したあと、左辺のカッコの中身がいずれも偶数である(∵p≧7)から、右辺の2をカッコに振り分けて見ました。解法がいろいろありそうですね。
強引にやってみた。
p=2のとき左辺＝2^2-1=37の場合、差が1になる組み合わせは存在しない。
以上より (p,q)=(7,2),(11,5),(13,7)
p - 1 と p + 1 の偶奇が一致して、p^2 - 1 = 24 q は偶数だから、p - 1 と p + 1 はともに偶数。
{(p - 1)/2}{( p + 1)/2}= 6q
(p - 1)/2 と (p + 1)/2はともに自然数であり、偶奇が一致せず、(p - 1)/2 < (p + 1)/2
(1) q = 2 のとき p = 7
(2) q ≠ 2のとき、qは奇数であり、
((p - 1)/2, (p + 1)/2) = (6, q), (2, 3q), (q, 6)
以下略
【別解】
補題
q≧29のときは、24qは24より大きくqより小さい約数を持てない。
略証
あるqに対して反例が存在すると仮定して、それをrとおく（つまり、rは24
おー！
29の意味の理解と、元の問題の設定(qは素数)を忘れていたことにより解読に時間がかかってしまいました。
29…24より大きい最小の素数、ですか。
確かにそりゃそうだ！
それでも唯一分からないことが。
553という数値の由来は何ですか？
pとqの差をaとでもして、q=p+aをp^2-1=24qに代入し、解の公式を使ってp=の形になおした式を眺めると、pが正の素数になるためのaの条件がわかり、作問の仕組みがわかると思います。この問題と同じ方法で解ける-1,24以外の係数をいくらでもつくれるようになればなお良いです。
それ正しい答えが出ますか？
a=2,4,6となるのですが、計算したらp=7の場合は出てきませんでした。
2の場合はaが奇数となることを除外していました。答えが出ないわけですね。
これ学校で同じのでた！
本人コメントにもありますが
2,3を除外しないと使えないので最初にそれについて言及しなきゃですね
あとこの問題に関してはq>=2からp>=7であることと
(p-1)(p+1)=24q、qは素数であることからq
スバルさんが答え間違えかけたところでゾッとした
(p-1)(p+1)=24qについて、左辺が差が2の数の積になっていて、
qが素数であることを考慮するとq≦22となるしかない。
そのうち、5で割った余りを考慮した場合を考えると、
qを5で割ったあまりは0か2にしかなり得ない。
だから、q=2,5,7,17の4通りを試せば終わりです。
q≦22など、上から抑え込めれば、あとは適当に絞ればよいですね。
q≦22はなぜですか？
@@nh2750 24×22 or 24×26のどちらかがp,qが最大のパターンで後者はp=25になるから不適ってことじゃないですかね
@@nh2750 少し話を簡単にするためにq≦26となることを説明します。
話の本質はだいふくさんの書いてくださっている内容です。
q>26とします。
24q=n×(mq)と、任意に2つの自然数の積に分解したとして、
n≦24
とてもわかりやすかったです。ありがとうございました
qが素数より一気にq≦22を絞り込んでしまうのですね、すばらしい発想です。
p≧7と絞った上で
p=2k+1(k≧3)
とすれば十分解けるのに、わざわざ6k±1持ち出すのはどうなんだろう。
pを奇数とおいたらすんなりできました
そういえば貫太郎の動画で同じような問題あったな。冒頭のトークが印象に残ってるわ。
これ小学生の時に使ってたなぁ
化け物やん
余りで分類して全探索って数論の土台といっていいほど基本なのでは？？？？？？？？？？
愚直ーに解きましたw
Pが5以上になる(もっと言うと7以上)こと、P=7条件満たして唯一の偶数の素数を弾いてくれるのであとは偶数奇数の組み合わせを考えればいけましたw
Pが素数のとき2or3のときは確認しなくていいのですか
僕も思いました
追記されてました
かんたろーの得意技
今年の京大文系数学第5問で6m±1使ったけどmod3で全然いけたらしくてちょっと無駄した気分になった
左辺≧48からp≧7がわかるので、pが5以上の素数ってことがわかりますね。
6k±1参考になる
2,3は別に検証ね
p=6m±1で表せるのはp≧5のときですよ
@ホ ゴッ ちゃんとPが2.3ではないことを言わないと間違いですよ
@ホ ゴッ コメ主もPが23を除くことを示していないのに全ての素数が6m±1とはそもそも置けないことを言ってると思いました。間違ってたら申し訳ないのでコメント消しますごめんなさい。
明らかに
pは素数なので2、3でも割り切れない
というところに間違いがあるでしょ
書き方が悪くて申し訳ない
p=2,3についての議論をした方がいいのでは
という意味をふくんでいます
素数は2と3で割り切れないというのは正しくないので、2と3は別にチェックしなければならない
MODをわかりやすく解説してほしい
modは時計の針で考えるといいぞ。普段使う時計はmod12
@@ekcscm 見たけどもう少し練習問題ほしい
@@user-uh6kq7nq3z ？
(ⅰ)ができた時点で見直そ
今回の裏技を聞いて、最初の(1)は「5以上の素数は6m±1の形で表せる事を示せ」なのかな、と想像しました。
その問題は千葉大の問題にありますね
6と互いに素な自然数nについて
n²を24で割ったあまりが1であることを示す問題でしたね。
結局n=6m±1とおけて
あとは流れに身を任せるだけです
再度ここに来てみましたら、再生回数が8888回でした。末広がりが4つ！
こんなの思いつく人いるん？
pが6未満のケースは、24q ≧ 48 だから p≧7 と書いて潰しておけば大丈夫か
これちょうど学校でやった！！！笑笑
学校の先生が動画と同じ解法を用意してたんですけど、この解法だともっと早く解けていいねって言われて内心めっちゃ嬉しかった笑笑
備忘録70V" p, q ∈素数 【 ( p＋1 )( p－1 )＝ 2³・3・q ･･･① 】
p ≠ 2, 3 ( ∵ ①に 代入不成立 ) だから、☆ p＝ 6m ± 1 ( m ∈自然数 ) と
表すことができる。 〖 これは 必要条件であることに注意する 〗
( ⅰ ) p＝ 6m＋1 のとき、① ⇔ m・( 3m＋1 )＝ 2・q
m < 3m＋1 に注意して、 ( m, 3m＋1 )＝ ( 1, 2q ), ( 2, q )
これより、( p, q )＝ ( 7, 2 ), ( 13, 7 ) ( p, q ∈素数 を満たす )■
( ⅱ ) p＝ 6m－1 のとき、① ⇔ m・( 3m－1 )＝ 2・q
m < 3m－1 に注意して、 ( m, 3m－1 )＝ ( 1, 2q ), ( 2, q )
これより、( p, q )＝ ( 11, 5 ) ( p, q ∈素数 を満たす )■
【 初めに実験すると、】
p＝ 7, 11, 13 と推定できる。ここから先は、g＝ ( 合成数 )となり、
不適になると思われる。 後は、効率良く示したいと考える。
【 別解~通常のやり方 】p ≠ 2 ( ∵ ①に代入不成立 ) だから、p ∈奇素数
p＋1と p－1 は 共に偶数 かつ p＋1 > p－1 に注意して、 2³・3・q の
因数を二組に振り分ける。
2,3を除く素数は6n±1に含まれるって割と自明
だけど、経験してないとこの置き換えは出てこない
かも?
型を覚えるのはやっぱ大切
素数ならば6m±1 は真だけど
6m±1ならば素数 は偽ってことだよね?
反例 m=9
(5以上の)素数ならば
別解です、p>=5としたあとにp=2m+1とおいて変形するとm(m+1)=6qになるので、連続する自然数である事を使って示せました
まず根本から分からなくて、例えば25だったら6×4＋1で表されるのに、素数じゃ無いんですけど、なぜでしょうか？
6m±1と表わせるならば素数、という命題は偽だからです。ご提示の6 * 4 + 1 = 25が反例の一つです。もしこの命題が成り立つなら、素数がジャンジャカジャンジャカ作れますよね。
5以上の素数ならば6m±1と表わせるという命題は真です。
@@cafe_rumba 確かに、仰る通りですね。しかし何故6という数字をいきなり使うのでしょうか？
@@user-db1xi2ez4g すべての自然数は6の剰余系において
6n, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4, 6n + 5
と表わせるわけで、
6nは6の倍数だから素数ではない
6n + 1は素数の可能性がある（絶対素数であるとは言っていない）
6n + 2は2の倍数だから素数ではない
6n + 3は3の倍数だから素数ではない
6n + 4は2の倍数だから素数ではない
6n + 5は素数の可能性がある（絶対素数であるとは言っていない）
ということから、5以上のある数が素数であるならばそれは6n + 1か6n + 5、つまり6n±1の形をしていることになるのです。
@@user-db1xi2ez4g 8とか12とかでもいいのかもしれませんが、8だったら8n + 1, 8n + 3, 8n + 5, 8n + 7の4種類も素数の候補が残りますし、
12でも12n + 1, 12n + 5, 12n + 7, 12n + 11の4種類が素数の候補となります。これらよりは、
なるべく小さい数で、かつ素数の候補が残りにくい数ということで6を使っているんだと思います。
他の裏技は、ｐ＾２ の等差数列：つまり ２４ｑ＋１に着目
素数なので2でも3でも割り切れないっておかしくね
p≧5の素数の場合に限りますね
6m±1遠く場合にはp=2,3の場合が満たさないことを一旦確認するべきかもしれはいですね
(追記すみません汗)
24qというのはqが素数なので少なくとも48以上の数であることを省略してるんだと思います。そのためpの値が7以上であるということが必要なんですよー
@@user-mb3hb3fg7e どちらにせよ一言書いた方が良さそうですね！ありがとうございます！
p,qがそれぞれ偶数の時を考えて、それ以降はp+1とp− 1がともに偶数であることを利用する。
24qを素因数分解してそれぞれ当てはめて、p+1とp− 1との差が2になるような組み合わせを見つければ10分掛からず終わりました
まぁ基本問題ですからね〜。本番でそういう虱潰し的な解き方するのは非常に大事ですが、次(特に応用問題)に繋がりにくい解法かなと思いました。お節介だったらすみません😇