Formule très élégante effectivement. Votre méthode est assez instructif et fait usage de propriétés intéressantes, notamment concernant le choix du contour, l'introduction de la fonction Log et le calcul des résidus. Toutefois, il me semble qu'il est possible de choisir un contour plus simple, le 1/alpha cercle qui par ailleurs n'enlace qu'une seule singularité : e^ipi/alpha . ça évite l'introduction du Log (le point -1 ne posant pas problème), et le calcul du résidu n'en est que plus facile !
explication au top. j'ai tout compris. svp nous retrouvons d'autres formes de cette meme intégrale où par exemple au lieu d'avoir 1 au numérateur, on a plutôt x. et on demande de montrer que le calcul donne (pi/alpha)/sin(2pi/alpha) avec alpha > 2
Bonjour une petite question tout de même car ce que je ne comprends pas dans vos calculs c'est que lorsque vous introduisez le delta pour faire la technique, vous vous trouvez donc avec une somme géométrique mais j'ai l'impression que e^{idelta\alpha }=1 et donc au numérateur de votre expression de la somme géom c'est 0 !!
Je comprends tout-à-fait la confusion ! L'argument était le suivant : on veut calculer la somme f(∆) qui est une somme du genre k (e^i∆)^k. Pour la calculer on utilise la technique d'écrire f(∆) comme la dérivée d'une somme qu'on sait calculer f(∆) = g'(∆). Donc ensuite j'ai calculé g(∆), mais en considérant ∆ comme arbitraire, parce que pour calculer f(Δ=2π/α) = g'(2π/α) j'ai besoin de connaître la dérivée de g comme une fonction de Δ quelconque. Ce que tu as remarqué c'est g(2π/α) = 0, mais g'(2π/α) ≠ 0
@@vector7669 Oui c'est cela que j'ai remarqué et je vous remercie pour votre réponse. Donc si je comprends bien, l'étape d'après (après celle du calcul d'une somme géométrique et puis dérivation par rapport à \delta quelconque), vous appliquer en \delta=\frac{2\pi}{\alpha} pour simplifier l'expression de la dérivée pour qu'il ne reste plus que la jolie expression compacte à la fin, c'est bien cela ? En vous remerciant
Vidéo très intéressante. Reste le choix du contour qui reste énigmatique malgré l'élégance du calcul. Concernant le cercle d'intégration : somme intégrale sur intervalle ouvert 0, 2pi --> j'aurais formulé ça comme somme intégrale sur [epsilon, 2*pi - epsilon] quand epsilon -> 0; epsilon > 0
Tout-à-fait ! Ici j'ai très vite pris la limite ε->0, sans même mentionner l'expression explicite dans le cas ε≠0. Quant au choix du contour, l'idée principale est que l'intégrale qu'on veut calculer initialement, peut être retrouvée grâce à la discontinuité selon l'axe réel. Ensuite, on aimerait utiliser le théorème des résidus et donc il faut trouver un moyen de fermer le contour. Le fermer via deux cercles est le moyen le plus naturel
comme par exemple comment pouvons nous évaluer avec le calcul des résidus 1/2pi(intégrale(d(tèta)/ a + bcos(tèta) + csin(tèta)) sur -pi à pi avec la condition: a^2 > b^2 + c^2
Il me semble qu’il n’est nullement nécessaire de trouver un contour qui entoure tous les points singuliers. Un contour de type secteur circulaire qui n’entoure qu’un seul point singulier convient tout autant. Et un secteur circulaire est un contour simple et « sans problème » qui ne nécessite pas la coupure du logarithme.
Formule très élégante effectivement. Votre méthode est assez instructif et fait usage de propriétés intéressantes, notamment concernant le choix du contour, l'introduction de la fonction Log et le calcul des résidus. Toutefois, il me semble qu'il est possible de choisir un contour plus simple, le 1/alpha cercle qui par ailleurs n'enlace qu'une seule singularité : e^ipi/alpha . ça évite l'introduction du Log (le point -1 ne posant pas problème), et le calcul du résidu n'en est que plus facile !
explication au top. j'ai tout compris. svp nous retrouvons d'autres formes de cette meme intégrale où par exemple au lieu d'avoir 1 au numérateur, on a plutôt x.
et on demande de montrer que le calcul donne (pi/alpha)/sin(2pi/alpha) avec alpha > 2
aidez nous d'avantages avec des videos de ce genre, celle ci est très instructif.
C'est beau quand-même !
Bonjour une petite question tout de même car ce que je ne comprends pas dans vos calculs c'est que lorsque vous introduisez le delta pour faire la technique, vous vous trouvez donc avec une somme géométrique mais j'ai l'impression que e^{idelta\alpha }=1 et donc au numérateur de votre expression de la somme géom c'est 0 !!
Je comprends tout-à-fait la confusion !
L'argument était le suivant : on veut calculer la somme f(∆) qui est une somme du genre k (e^i∆)^k. Pour la calculer on utilise la technique d'écrire f(∆) comme la dérivée d'une somme qu'on sait calculer f(∆) = g'(∆).
Donc ensuite j'ai calculé g(∆), mais en considérant ∆ comme arbitraire, parce que pour calculer f(Δ=2π/α) = g'(2π/α) j'ai besoin de connaître la dérivée de g comme une fonction de Δ quelconque.
Ce que tu as remarqué c'est g(2π/α) = 0, mais g'(2π/α) ≠ 0
@@vector7669 Oui c'est cela que j'ai remarqué et je vous remercie pour votre réponse. Donc si je comprends bien, l'étape d'après (après celle du calcul d'une somme géométrique et puis dérivation par rapport à \delta quelconque), vous appliquer en \delta=\frac{2\pi}{\alpha} pour simplifier l'expression de la dérivée pour qu'il ne reste plus que la jolie expression compacte à la fin, c'est bien cela ?
En vous remerciant
C'est ça
Vidéo très intéressante. Reste le choix du contour qui reste énigmatique malgré l'élégance du calcul. Concernant le cercle d'intégration : somme intégrale sur intervalle ouvert 0, 2pi --> j'aurais formulé ça comme somme intégrale sur [epsilon, 2*pi - epsilon] quand epsilon -> 0; epsilon > 0
Tout-à-fait ! Ici j'ai très vite pris la limite ε->0, sans même mentionner l'expression explicite dans le cas ε≠0. Quant au choix du contour, l'idée principale est que l'intégrale qu'on veut calculer initialement, peut être retrouvée grâce à la discontinuité selon l'axe réel. Ensuite, on aimerait utiliser le théorème des résidus et donc il faut trouver un moyen de fermer le contour. Le fermer via deux cercles est le moyen le plus naturel
comme par exemple comment pouvons nous évaluer avec le calcul des résidus 1/2pi(intégrale(d(tèta)/ a + bcos(tèta) + csin(tèta)) sur -pi à pi avec la condition: a^2 > b^2 + c^2
Il me semble qu’il n’est nullement nécessaire de trouver un contour qui entoure tous les points singuliers. Un contour de type secteur circulaire qui n’entoure qu’un seul point singulier convient tout autant. Et un secteur circulaire est un contour simple et « sans problème » qui ne nécessite pas la coupure du logarithme.