Appelons f_ε la fonction exp(iε...). Vu que f_ε converge uniformément vers sa limite qu'on appellera f, il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire sur l'intégrale : Par définition, pour tout δ>0, il existe un ε à partir duquel |f_ε - f| < δ pour tout z sur le contour, donc | integrale f_ε - integrale f| ≤ integrale | f_ε - f | < longueur du contour * δ et donc integrale f_ε converge vers intégrale f
Exactement la même raison. Remplace simplement ε->0 par R-> infini dans l'argument précédent. Au lieu que ce soit "il existe un ε' à partir duquel, pour tout εR', |f_R - f| < δ"
Vers 6:30-6:40, on fait un changement de variable x=-y, mais ensuite on transcrit dans la somme des intégrales sur gamma1 et gamma2 comme si ce -y=-x. Pourquoi?
bonjour, le théorème qui dit que l'intégrale sur un contour fermé d'une fonction holomorphe est nulle nécessite que la fonction soit holomorphe dans un ouvert simplement connexe il me semble (dans mon cours j'ai ouvert étoilé), ici je vois comment prendre un ouvert contenant le contour en évitant 0, mais j'ai l'impression qu'il y aura des problèmes pour faire tendre epsilon vers 0 ensuite.
Bonjour Merci pour cette vidéo d'une grande qualité. Je me permets tout de même une question. Le choix préliminaire du contour global d'intégration est purement arbitraire? Il faut avoir "la bonne idée" de prendre tels ou tels contours pour s'en sortir? (ici, ce demi-cercle avec le petit contour epsilon retranché).
Personnellement je me dis qu’intuitivement on veut avoir qqch qui dans un cas limite nous donne un module (distance à l’origine) infini, puis on travaille avec des intégrale trigonométrique donc un cercle parait naturel car facile à calculer. Dans le calcul de l’intégrale de dirichlet, on a un pb en 0 d’où l’impossibilité de prendre le demi cercle complet, donc on découpe un petit demi-cercle proche de 0 pour éviter les pb. Je pense que c’est comme ça qu’on pourrait l’intuiter après je me trompe peut être, je laisse le créateur de la vidéo me corriger si nécessaire
Super vidéo! Je me demandais juste : comment savoir des le debut de la démonstration qu’en remplaçant sin par l’exponentielle complexe on allait se retrouver a la fin avec exactement l’expression de sinus ?
Je précise que je sais que sin et exp sont liés mais par exemple dans certaines démonstrations de l’integral de cosx/x on commence par remplacer cos par exp mais du coup en prenant la partie reel, la je vois pas tres bien l’intuition
Très bonne question ! Comme tu l'as remarqué, j'ai un peu triché en disant qu'on calculerait l'intégrale de e^ix/x entre 0 et l'infini, car cette intégrale en réalité divergerait (la partie réelle cos x / x n'est pas intégrable entre 0 et l'infini). ici j'ai utilisé la fonction f(x) = e^ix/x, et j'ai remarqué que sin(x)/x = (f(x) + f(-x))/2i donc pour intégrer sin(x) / x, entre 0 et ∞ je peux intégrer f(x)/2i entre -∞ et ∞ (L'intégrale entre 0 et ∞ de g(z) + g(-z) = l'intégrale entre -∞ et ∞ de g(z)). En résumé, en intégrant sur tout l'axe réel f(z), je me retrouve avec l'intégrale que je voulais calculer au départ (à 2i près), comme je l'ai détaillé à la fin du calcul. Et pourquoi j'ai besoin d'utiliser e^ix/x plutôt que sin x / x ? Parce que il est en général très pratique d'avoir des exponentielles imaginaires lorsque l'on veut calculer une intégrale en analyse complexe. Dans ce cas précis par exemple, si je veux que ma fonction f(x) tende vers 0 sur l'arc de cercle extérieur que j'ai mis du côté Im(z) > 0, il faut que je prenne e^iz, de façon à ce que la partie réelle de l'exposant soit négative, et que quand je prenne R->∞, e^iz -> 0. Si je voulais utiliser e^-iz par exemple, j'aurais dû renverser le contour du côté Im(z) < 0. Mais sin(z) va malheureusement toujours diverger sur ces contours. C'est pour ça qu'il était nécessaire d'utiliser e^iz/z. En général, dans ce genre de calcul, on peut procéder par tâtonnements. On essaie d'abord sin z / z sur différents contours, et on réalise qu'en retirant e^-iz on se retrouve avec l'intégrale qu'on cherchait au départ.
sin(x)≠e^(ix), mais sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i), comme on peut le montrer en utilisant e^(ix) = cos(x) + i sin(x). À quel endroit de la vidéo as-tu compris que j'utilisais cette égalité incorrecte?
a 10:45 qu'est ce qui te permet de passer à la limite sous le signe intégral?
Appelons f_ε la fonction exp(iε...). Vu que f_ε converge uniformément vers sa limite qu'on appellera f, il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire sur l'intégrale :
Par définition, pour tout δ>0, il existe un ε à partir duquel
|f_ε - f| < δ pour tout z sur le contour, donc
| integrale f_ε - integrale f| ≤ integrale | f_ε - f | < longueur du contour * δ et donc integrale f_ε converge vers intégrale f
@@vector7669 Merci! Et quid de l'intégrale faisant intervenir R, que l'on veut faire tendre vers + l'infini?
Exactement la même raison. Remplace simplement ε->0 par R-> infini dans l'argument précédent.
Au lieu que ce soit "il existe un ε' à partir duquel, pour tout εR', |f_R - f| < δ"
Lumineux ! L'application du théorème des résidus au calcul de la seconde intégrale m'intéresse également.
Excellente explication, j'ai mieux compris qu'en 3 mois de cours
Vers 6:30-6:40, on fait un changement de variable x=-y, mais ensuite on transcrit dans la somme des intégrales sur gamma1 et gamma2 comme si ce -y=-x. Pourquoi?
bonjour, le théorème qui dit que l'intégrale sur un contour fermé d'une fonction holomorphe est nulle nécessite que la fonction soit holomorphe dans un ouvert simplement connexe il me semble (dans mon cours j'ai ouvert étoilé), ici je vois comment prendre un ouvert contenant le contour en évitant 0, mais j'ai l'impression qu'il y aura des problèmes pour faire tendre epsilon vers 0 ensuite.
très bonne explication.
Bonjour
Merci pour cette vidéo d'une grande qualité.
Je me permets tout de même une question. Le choix préliminaire du contour global d'intégration est purement arbitraire?
Il faut avoir "la bonne idée" de prendre tels ou tels contours pour s'en sortir? (ici, ce demi-cercle avec le petit contour epsilon retranché).
Personnellement je me dis qu’intuitivement on veut avoir qqch qui dans un cas limite nous donne un module (distance à l’origine) infini, puis on travaille avec des intégrale trigonométrique donc un cercle parait naturel car facile à calculer. Dans le calcul de l’intégrale de dirichlet, on a un pb en 0 d’où l’impossibilité de prendre le demi cercle complet, donc on découpe un petit demi-cercle proche de 0 pour éviter les pb. Je pense que c’est comme ça qu’on pourrait l’intuiter après je me trompe peut être, je laisse le créateur de la vidéo me corriger si nécessaire
Super vidéo! Je me demandais juste : comment savoir des le debut de la démonstration qu’en remplaçant sin par l’exponentielle complexe on allait se retrouver a la fin avec exactement l’expression de sinus ?
Je précise que je sais que sin et exp sont liés mais par exemple dans certaines démonstrations de l’integral de cosx/x on commence par remplacer cos par exp mais du coup en prenant la partie reel, la je vois pas tres bien l’intuition
Très bonne question !
Comme tu l'as remarqué, j'ai un peu triché en disant qu'on calculerait l'intégrale de e^ix/x entre 0 et l'infini, car cette intégrale en réalité divergerait (la partie réelle cos x / x n'est pas intégrable entre 0 et l'infini).
ici j'ai utilisé la fonction f(x) = e^ix/x, et j'ai remarqué que sin(x)/x = (f(x) + f(-x))/2i donc pour intégrer sin(x) / x, entre 0 et ∞ je peux intégrer f(x)/2i entre -∞ et ∞ (L'intégrale entre 0 et ∞ de g(z) + g(-z) = l'intégrale entre -∞ et ∞ de g(z)).
En résumé, en intégrant sur tout l'axe réel f(z), je me retrouve avec l'intégrale que je voulais calculer au départ (à 2i près), comme je l'ai détaillé à la fin du calcul.
Et pourquoi j'ai besoin d'utiliser e^ix/x plutôt que sin x / x ?
Parce que il est en général très pratique d'avoir des exponentielles imaginaires lorsque l'on veut calculer une intégrale en analyse complexe. Dans ce cas précis par exemple, si je veux que ma fonction f(x) tende vers 0 sur l'arc de cercle extérieur que j'ai mis du côté Im(z) > 0, il faut que je prenne e^iz, de façon à ce que la partie réelle de l'exposant soit négative, et que quand je prenne R->∞, e^iz -> 0.
Si je voulais utiliser e^-iz par exemple, j'aurais dû renverser le contour du côté Im(z) < 0. Mais sin(z) va malheureusement toujours diverger sur ces contours.
C'est pour ça qu'il était nécessaire d'utiliser e^iz/z. En général, dans ce genre de calcul, on peut procéder par tâtonnements. On essaie d'abord sin z / z sur différents contours, et on réalise qu'en retirant e^-iz on se retrouve avec l'intégrale qu'on cherchait au départ.
Merci beaucoup pour ta réponse limpide !
Super vidéo sur l utilisation de l analyse complexe (y en a pas tellement) donc vraiment très utile suis impatient de voir la suite
Quelle est l'application qui vous permet de faire les dessins svp. J'aimerais aussi la télécharger pour m'exercer. Merci de me répondre.
C'est Notability (sur iPad)
Maintenant j'utilise plutôt Goodnotes
Excellent merci beaucoup 😊
C'est quoi le logiciel que tu utilises pour écrire ? Merci encore 💪
Merci pour ton commentaire!
C'est Notability sur Ipad. Il y a aussi Goodnotes dans le même style
@@vector7669 génial 💪 merci
Pourquoi sin(x) = e^(ix) si on sait que e^(ix) = cos(x)+isin(x) ?
sin(x)≠e^(ix), mais sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i), comme on peut le montrer en utilisant e^(ix) = cos(x) + i sin(x).
À quel endroit de la vidéo as-tu compris que j'utilisais cette égalité incorrecte?
@@vector7669 Dès le début quand on change de sinx/x à e^ix/x.
Laplace mieux