Structures algébriques 7 (Exemples de groupes, rubik's cube et groupes de symétrie)
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- Опубліковано 29 вер 2024
- Quelques exemples de groupes : avec des nombres et les opérations classiques, les groupes de symétrie d'une figure géométrique ou encore le groupe des mélanges d'un rubik's cube.
+Léonard Grellier : Oui, effectivement seule la position d'arrivée compte. le "mouvement" par lequel on transforme la figure est juste là pour nous aider à comprendre ce qui se passe, mais au final, la symétrie de centre O est égale à la rotation de 180° qui est aussi égale à la rotation de -180° ou encore de 540°.
Un
Dans ces ****** livres d'algèbres, les définitions sont toujours trop bruts au premier abord !
Enfin une vidéo plus imaginative ! Depuis le temps que je cherchais quelque chose de clair et de "plus "compréhensif !
je rage que la chaine UA-cam de Mickael n'existait en 1990 quand j'etais en math sup ...... enfin de la perspective dans les maths. MERCI
Il a fallu que j'attende d'avoir 40 ans pour comprendre les maths :)
Hello dear, pour commencer, je te remercie pour tes vidéos sur les groupes, monoïdes etc. Vraiment, elles m'aident bcp à comprendre mon cours!! Merci énormément!!! Ensuite, tu expliques très bien les notions, je me demandes pourquoi tu n'es pas connu!!! T'es trop génial, j'suis devenue une de tes fans!!!! Bon voilà, je n'ai plus rien à rajouter! Continue de faire des vidéos, elles sont trop bien expliquées!!
Merci beaucoup Mickaël, je suis étudiant en première année Maths informatique en fac. Et ton cours m aide beaucoup
Et maintenant tu fais quoi ? 🌝
@LN Dev +1
Bonjour Mickaël,
Les transformations du Rubik's cube sont elles réellement associatives ? Si je fais des mouvement dans un ordre, puis les mêmes mouvement dans un ordre différent, je n'obtiens pas le même motif il me semble.
Merci pour toutes tes vidéos sur les structures c'est vraiment super pour comprendre !
Ce que vous décrivez correspond à la commutativité, et non l’associativité
pourquoi n'as tu pas compté la symétrie centrale en O ?
moihahaC cela correspond à La rotation de 180°
j'ai beaucoup utilisé la théorie des groupes durant ma these (en chimie) sans jamais vraiment comprendre comment ça fonctionnait... merci beaucoup pour cette introduction tout à fait passionnante :)
À 6:45, l'opération o est dite interne car R90 o R180 = R270 et donc R270 est bien dans G. Que se passe-t-il si on fait R90 o S1? Quel est le résultat, et fait-il bien parti de G?
ça fait S2 si je ne me trompe pas.
si seulement j'avais eu un prof pour m'expliquer de manière aussi simple et claire les monoïdes et groupes !!!!
une symetrie glissante ne peut'elle pas etre une transformation ui laisse le carré invariant?
Pourquoi est-ce que le carré ne peut pas avoir R360 ? On voit bien que c'est équivalent à Id, mais ici rien n'est trivial ! Est-ce qu'un groupe peut avoir plusieurs éléments neutres ?
Euh, la rotation de 180° autour des axes donne bien un carré même si la juxtaposition des points du carré est équivalente à la symétrie.
Oui effectivement, dans cette approche on ne tient compte que de la position finale du carré, indépendamment du mouvement que l'on fait pour mettre le carré dans cette position. C'est également pour ça que la rotation de 270° est considérée comme identique à la rotation de -90°.
En 1906, Poincaré voyait les transformations de Lorentz comme un groupe. Il y voyait des rotations. Ce serait sympa qu'un jour un mathématicien puisse nous l'expliquer ...
Je vais essayer de répondre, même si je ne suis pas un expert en relativité...
On peut voir les rotations comme un ensemble de transformations muni d'une loi de composition interne associative par composition dont chaque élément est inversible, donc existence du neutre (donc un groupe), et une condition supplémentaire, que toute transformation de l'ensemble laisse la notion de distance invariante. (Pour se convaincre, on peut vérifier que l'ensemble des rotations sur R^2 ou R^3 munit de la composition répond à ces conditions.)
Dans le cas des transformations de Lorentz composées entre elles on obtient naturellement un groupe ayant une représentation matricielle. De plus ces matrices ont toutes l'unité comme déterminant, donc elles ne modifient pas les distances dans l'espace sur lequel elles agissent.
Démonstration :
Soit y et B, y = 1/(1-B^2)^(1/2) et la transformation de Lorentz sous forme matricielle L = [[y, -By, 0, 0], [-By, y, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]].
On a:
det L = y^2(1-B^2)
det L = ((1/(1-B^2)^(1/2))^2)(1-B^2) , par substitution de y
det L = (1/(1-B^2))(1-B^2)
det L = 1
ok! merci!
trop bien! mais pourquoi n'y a t' il pas la rotation de 360°?
Par ce que c'est la même que l'identité. En fait, ce qui compte, ce n'est pas le mouvement qu'on fait, mais la position dans laquelle on arrive.
- nous aurions pu également parler du vieux jeu de Taquin
fr.wikipedia.org/wiki/Taquin
D'ailleurs, pour régler le soucis avec 0, est-ce qu'on peut dire que l'adhérent de R muni de la multiplication est un groupe ? Le soucis, c'est que les valeurs d'adhérence auraient le même inverse 🤔🤔🤔
Vidéo très bien expliqué ! Mais je pense que l'on peut simplifier le groupe avec les rotations et symétries : au lieu de prendre comme élément les mouvements, on peut prendre les positions du carré. On obtient : ({Id, P1, P2, P3},o), en faisant ça on évite de se retrouver avec deux identités : Id = R0 (et toutes les autres rotations qui ne changent rien au carré) = S0 (et toutes les autres symétries qui ne changent rien au carré). La vidéo explique bien mieux que Wikipédia...
Est-ce que le fait de "tourner" le cube de 90 ° vers la droite à chaque fois ne fausse pas l'ordre "12" de la transformation? Je regarderais une transformation du cube plutôt comme une transformation qui ne modifierait pas les positions des centres des 6 faces.
Ainsi le fait de faire 12 fois ( si on utilise les formules usuelles du R's cube)
g puis d puis "tourner de 90° correspond à faire 6 fois la formule suivante:
g-d-b-h
Je verrai donc plutôt cela comme l'élémént a=g-d-b-h du groupe des transformation du Rcube composé 6 fois pour donner l'identité.(ordre de a est 6). Mais je dis peut-être une bétise.( la question subsidiaire est en fait est ce que les 43 Milliards de Milliards de transformations prennent en compte les rotations du cube sur les 3 axes ou pas -je suis un rigoriste dsl )
merci, pour les vidéos
vaut mieux écrire R-{0} au lieu de R^* ( confusion avec la loi * )
Ca me stresse que tu mettes une croix pour la multiplication, moi j'ai pris l'habitude de mettre un point. En outre, on écrit souvent (R, +, .) id est l'ensemble des réels munit de la loi interne "plus" avec la loi externe "fois", c'est quoi la différence ?
Très interressant l'étude des groupes et du rubik's cube.
Quid des symétries centrales pour le carré ?
bonsoir monsieur launay j'veux juste savoir comment dresser la table pour la composition avec les éléments qui forment un groupe pour le carre que vous nous avez si bien donne dans votre video ?
tres bien merci bcp
Les translations ne sont-elles pas aussi des transformations géométriques ? Auquel cas elles feraient aussi partie du Groupe ?
oui elles forment groupe
passionant tout ça
Merci pour ces vidéos passionnantes et pédagogiques !
Je me posais la question : qu'en est-il de la symétrie de centre O ? Est-elle mise de côté car équivalente à une rotation de 180 degrés ?
oui
T'es trop fort
bonjour
Le nombre 0 n'a pas d'opposé et pourtant il appartient à R
R n'est pas un groupe, c'est (R,*) qui est un groupe. Conclusion : il ne faut pas raisonner avec l'unique ensemble R, mais raisonner sur le Monoïde considéré, à savoir l'ensemble R muni de sa loi de composition interne.
le nombre 0 a une opposé qui est 0, en revanche il n'a pas d'inverse
les mecs il son dans le turfut