Exceptionnel, je voulais suivre cet playlist pour une initiation aux structures algébriques et cet exemple est tellement parlant puisque je suis sppedcuber (15s en moyenne pour le résoudre) et cela vient de me faire comprendre une méthode de FMC (une discipline qui consiste à écrire la solution la plus économe en mouvement que l'on trouve) qui s'appelle NISS et repose sur inverser les mouvements pour trouver des meilleurs cas et faire des transpositions, merci énormément pour cette pédagogie mathématique et j'ai enfin un lien entre ces deux passions.
c'est trop génial.....je viens de bien assimiler ce que notre professeur nous a expliqué sur le théorème de groupe en l'utilisant en chimie quantique......merci cordialement
Je viens de découvrir vos vidéos, il y a 4 heures. Je vous dis un Grand Bravo. Vous êtes un pédagogue génial. A très bientôt pour la suite. Merci pour votre sens de la pédagogie.
Quand la réalité mathématique s'oppose à l'intuition (ou plutôt à certains raccourcis de "bon sens", car il existe aussi une intuition mathématique). En mathématique, toute la beauté est dans l'application stricte, mais parfois créative, de règles... c'est un vaste jeu, en fait !
j'avais découvert cela (si l'on refait une série de mouvement on obtient le résultat de départ) mais je ne savais pas que c'était une propriété mathématique. Cool !
Une remarque, on n'était pas obligé d'introduire les inverses et parler de la situation impossible: Comme vous le dites le groupe est fini, il y a donc un moment où l'on va retomber sur un élément par lequel on est déjà passé: Donc si on note b un élément par lequel on repasse, on a: b*a*a*a*a*a*a*....*a=b ce qui signifie que a*a*a*a*a...*a est l'élément neutre. CQFD Ensuite on peut faire remarquer que b est lui même une puissance de a, ce qui fait qu'avant de repasser par b on obtient l'élément neutre et donc qu'on ne peut pas repasser par un élément sans être passé au préalable par l'élément neutre. Donc on a bien une boucle. Peut-être ne suis-je pas clair, alors prenons un exemple: si on passe une première fois par b au bout de 3 coups, alors b=a*a*a et si on repasse par b 5 "coups" après, alors on a : b*a*a*a*a*a = b ce qui signifie que que a*a*a*a*a est l'élément neutre. au bout de 3 coups on aura donc eu une 1ère fois b ensuite l'élément neutre au bout de 5 coups puis à nouveau b au bout de 8 coups donc effectivement après e.
géniale de votre part (démonstartion par l'absurde) le problème de la démonstration de notre prof au vidéo qu'il ne nous dis pas pourquoi l'ittération de n fois qui est un nombre infini tombe sur l'élément neutre qui est e : pourquoi l'opération n'est pas fini est le nombre n tend vers l'infini !!!!
adil elbekkal je ne comprends pas très bien votre question (n peut tendre vers l'infini mais on tourne en boucle et cette boucle contient e) ni si c'est à moi qu'elle s'adresse (c'est Mickaël Launay qui fait une démonstration par l'absurde)
l élément a appartient à ce groupe fini, la loi de composition interne * et l opération est mené sur cet élément a alors cette opération est à nombre n infini, comment à un certain nombre de fois qui est infini (n) on tombe sur l'élément (e) qui est l'élement neutre du groupe. l'opération est infini donc le résultat sera à l'infini
Pour être plus clair prenons par exemple une horloge, partons de n'importe quelle heure (5h par exemple) et ajoutons infiniment ce nombre d'heure (5h) on va passer par minuit au bout d'un moment et ce, indéfiniment : 5h 10h 15h 20h 25h=1h 6h 11h 16h 21h 26h=2h 7h 12h 17h 22h 27h=3h 8h 13h 18h 23h 28h=4h 9h 14h 19h 24h=0h nous voilà à zéro (qui est l'élément neutre de l'addition). On a ajouté 23 fois 5h en partant de 5h donc dans cet exemple n= 24. Mais on peut continuer et on a encore 10h 15h .... jusqu'à 0h à présent n=48 et en recommençant encore une fois on a encore 10h 15h 20h jusqu'à 0h où n est égal à 72 etc Récapitulatif: au bout de 24 ajouts de 5h on obtient 0h mais ce n'est pas tout, au bout de 48 ajouts de 5h on obtient aussi 0h et au bout de 72 ajouts de 5h on obtient aussi 0h... Conclusion: On a beau ajouter infiniment 5 h on passe toujours par 0h (et pas par l'infini) Remarquons qu'on est passé par toutes les heures possibles avant d'arriver à 0h, mais ce n'est pas toujours le cas, par exemple en partant de 4h et en ajoutant 4h infiniment on aura la boucle: 4h 8h 12h 16h 20h 24h=0h (ça y est on a zéro) 4h 8h 16h ... Voilà, j'espère avoir été clair et avoir répondu à votre question.
le double Pour votre démonstration, il faut aussi prouver l'unicité de l'élément neutre d'un groupe. Par exemple, suppons qu'il existe un autre élément neutre f, qui vérifie a*f=f*a=a pour tout a. Alors e*f=e (f est élément neutre), mais aussi e*f=f (e est élément neutre). Donc e*f=e=f.
Très intéressant ! Je comprenais que le Rubik's était lié aux maths mais je ne savais pas en quoi (alors qu'un peu de recherche sur le net suffisait). Comme ce sont des permutations donc on peu parler d'un groupe de permutation (groupe dans le sens sens structure algébrique). Suite à cette vidéo je peux en conclure qu'on pourrait imaginer un robot qui mélange plusieurs Rubik's cube et qui donnerait un nombre minimum de permutations pour la résolution de tous les Rubik's cube mélangés par le robot.
Frederic Meyer Y crois-tu? Il y'a des férus qui se sont amusés à créer ce genre de programme en alliant une caméra, un logiciel (créé par leur soins), et un robot mécanique
Bonjour et Merci pour tes tutos :D. Dis. Tu pourrais nous parler des commutateurs et des conjugaisons, s'il te plait? Par exemple, on peut résoudre un F2L avec la formule suivante : [U , [R' : U]]
C'est intéressant, mais il aurait été plus approprié de parler de groupe opérant sur un ensemble. Car il faut distinguer le groupe des mouvements du cube (les rotations), agissant sur un ensemble (les différentes configurations du cube). Pour ta vidéo, on peut confondre l'élément du groupe entre une configuration du cube, et une rotation!
Oui, c'est bien pour cela que je parle du groupe des mélanges du rubik's et non pas du groupe des configurations (même si effectivement, les deux peuvent êtres assimilés). En fait, tous les groupes peuvent être assimilés à un groupe de permutation de ses éléments, ce n'est pas spécifique au rubik's cube.
Mickaël Launay C'était pour éviter la confusion lorsque tu dis "on retombe sur la position de départ". Si tu fais allusion au groupe des mouvements, il faudrait ajouter "on a appliqué l'identité, qui est notre élément neutre". Attention, les configurations ne forment pas un groupe! C'est un détail, la vidéo est très bien réalisée, et tu sais capter l'écoute!
peut on definir au regard d'un cube mélanger et en sachant toutes les opérations effectués quel sera le chemin le plus cours pour revenir à l'élément neutre (utiliser seulement l'inversion de mouvement ou continuer à effectuer le même mouvement en boucle ? )
Simplement au regard d'un mélange de rubik's cube, je dirais qu'il est pratiquement impossible d'en déduire les opérations qui ont été effectuées pour y parvenir. Par contre, si tu as la suite de mouvements qui ont été appliqués, tu peux, en appliquant leurs inverses, retomber sur l'élément neutre, à savoir le rubik's cube résolu En ce qui concerne la séquence de mouvement répétée, si tu appliques une séquence de mouvement sur un rubiks cube résolu, au bout d'un certain nombre d'application, tu retomberas sur ton cube résolu, mais si tu as un rubik's cube mélangé, que tu appliques une même séquence de mouvement, au bout du même nombre d'application, tu retomberas sur la position de départ, et donc, le même mélange, mais pas sur un cube résolu, ça serait trop facile
La définition qu'il a donné est assez "rapide", et voici un énoncé plus complet : L'ordre d'un élément est le nombre de fois, au minimum, qu'on doit le composer par lui-même, pour retomber sur l'élément neutre Le théorème de Lagrange dit que lorsque le groupe est fini, l'ordre de tout élément divise le nombre d'éléments du groupe, et par conséquent est fini
Petite question : Est il possible de trouver un algorithme qui revient a l'élément neutre en n itérations ? Perso j'ai trouvé des algorithmes qui reviennent en 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ou 12 etc mais j'ai beau chercher je ne trouve pas pour 11 itérations ni pour 13...
Le théorème de Lagrange dit que le nombre d'itérations nécessaires pour revenir à l'élément neutre doit diviser le cardinal du groupe donc à priori ce n'est pas possible.
Si l'on considère le groupe des permutations (R,*) du rubik's cube où * est l'opérateur de composition, on peut mesure la commutativité d'une paire de permutation grâce au commutateur que l'on définit de la manière suivante: Soit P et M deux permutations de ce groupe, on peut définir par [P.M]=P*M*P'*M' où P' est l'inverse de P. Si on définit par support d'une permutation l'ensemble des cubes déplacés alors il paraît clair que P et M sont commutatives si P = M ou Supp (P) intersecté avec Supp (M) est vide... Pourriez-vous démontrer que si Supp (P) intersecté avec Supp (M) = {1 cube} alors [P.M] est un cycle à trois éléments?
Bonjour, merci pour votre explication, je suis en deuxieme année des classes préparatoires filiere MP je tente faire un sujet TIPE sur le Rubik's cube et la théorie des groupes, que me conseillez-vous de faire ? J'essaie de trouver quelque chose réalisable dans la partie théorique et j'espere que vous pourriez m'aider la-dessus, merci d'avance
Est ce qu'il n'y a pas une démonstration plus simple du théorème, en utilisant une preuve par l'absurde ? La composition d'un élément avec lui même doit forcément résulter tôt ou tard avec l'élément neutre car dans le cas contraire le groupe serait infini ..
Bonsoir Je cherche un groupe fini dans les nombres réels, il en existe? En géométrie le théorème dont vous parlez est facile à comprendre, mais pour l'ensemble des nombres (qu'ils soient réels ou non), quand je cherche je ne trouve que des groupes infinis. Il en existe des finis?
Jean-Pierre Kity Il y a l'exemple simple de l'ensemble {-1;1} muni de la multiplication. C'est un sous groupe de (R*,x) et même de (Z*,x). Il me semble qu'on peut montrer que c'est le seul dont l'ensemble est fini. Pour l'addition, on peut également montrer que ({0},+) est le seul dont l'ensemble est fini.
bdamien76 Merci beaucoup! Oui effectivement je n'avais pas pensé à de tels cas. Cependant le groupe ({o},+) reste très limité. Dans ce cas tout ensemble composé d'une opération et de l'élément neutre est un groupe. Mais le cas de {-1;1} avec la multiplication est intéressant. On peut même rajouter 0 non?
Si la réponse vous intéresse toujours : oui elle est fausse. Un contre exemple : On prend l'ensemble M={0,1} muni de la multiplication. C'est bien un monoïde fini (d'élément neutre e=1) mais pas un groupe (0 n'a pas de symétrique). Or on peut multiplier 0 par lui-même autant de fois que l'on veut, ça ne donnera jamais 1. Ce théorème n'est pas donc valide pour ce qui est des simples monoïdes. En espérant ne pas avoir dit de bêtise :)
Johan vs Oui, ça s'appelle le théorème de Lagrange, et il permet même d'être plus précis. Tu peux le chercher. Il affirme que dans un groupe fini, l'ordre d'un élément (c'est à dire le nombre de fois qu'il faut le composer pour retomber sur l'identité) divise le nombre d'éléments du groupe.
Etienne Duclos En fait, il dit plus explicitement que le nombre d'éléments d'un sous-groupe d'un groupe G (c'est à dire un sous-ensemble de G qui contient le neutre et qui possèdes des propriétés de groupe) divise le nombre d'éléments de G. Or, l'ensemble des éléments obtenus en composant plusieurs fois un élément avec lui-même est un sous-groupe, et c'est comme ça qu'on retrouve le résultat.
Ok pour le théorème de Lagrange, mais comment sait-on que "l'ensemble des éléments obtenus en composant plusieurs fois un élément avec lui-même est un sous-groupe" ? Et comment retrouve-t-on le résultat à l'aide de ces deux choses?
Johan vs soit (G,*) un groupe fini d'element neutre e et soit a un element de G montrons qu'il existe p dans N tq e=a*a*a *...a (p fois ) on a l'application f definit de N à valeur dans G definit par f(k)=a*a*a...a (k fois) ne peut pas etre injective car G est fini. donc il existe i,j dans N tq i
cest interessant mais du cp un peu frustrant, tu dis quil y a 40Mlliard de Milliards de possibilitées ds un ribucibe, ca implique des megas structures qu'on ne vois ps vraiment ds cette video..comme par expl un simple 3 ou 4 steps?
Dans cet exposé l'auteur n'insiste pas sur la signification de a*a*a. C'est à dire qu'à priori cela peut vouloir dire a*(a*a) OU (a*a)*a . Mais en vertu de la propriété d'associativité de la loi * on a: a*(a*a)=(a*a)*a ce qui permet d'écrire simplement a*a*a sans parenthèse il n'y a pas d'ambiguïté. C'est vrai parce que La loi * est associative par définition d'un groupe dont elle est la loi de composition. On peut montrer de même que l'expression a*a*a*a...*a est non ambiguë. PS: Quand dans un calcul il y a des parenthèses c'est pour indiquer qu'à priori l'expression qui est entre parenthèse doit être effectuée en PREMIER. Le résultat obtenu doit remplacer les parenthèses et tout ce qui se trouve entre elles. Exemple: (2+3)*(4+5)=5*(4+5)=5*9=45 PS2: En mathématiques les lois de compositions sont souvent associatives mais pas toujours et dans ce cas-là une expression comme a*a*a peut devenir ambigüe car (a*a)*a n'est pas nécessairement égal à a*(a*a) quand la loi * n'est plus associative.
bon, y'a un truc que je pige pas. L'élément neutre n'est pas l'ensemble du cube en position de départ, mais peut-être un petit-cube arête ou coin en position de départ ? Parce que si je tourne plein de fois la même face (*a), mon grand cube sera jamais à nouveau dans sa position identité de départ ! J'ai l'impression d'avoir compris qu'avec ce théorème, pour (R*, .) si on fait 2.2.2....2 (composer l’élément a=2 avec lui-même par multiplication dans R*, c'est équivalent dans ce que je comprends (de travers )) on retombe sur 1 au bout d'un moment. Donc je me dis que j'ai raté un truc. Ou alors il s'agit d'un sous-groupe du groupe Rubik's.
J'ai pas tout compris mais tu ne peux pas faire "2.2.2....2 (composer l’élément a=2 avec lui-même par multiplication dans R*" et retomber sur l'élément neutre car R* n'est pas un ensemble fini, donc le théorème ne fonctionne pas
Joachim Séné en fait pour le rubiks cube, le groupe qu'on considère c'est l'ensemble de combinaisons de mouvement possibles Chaque élément du groupe est une série de mouvement finie, ça peut être juste une rotation d'un quart d'une face comme ça peut être 15 rotations dans n'importe quel sens sur n'importe quelle face (un gros bordel quoi) L'élément neutre c'est le fait de ne rien bouger du tout Donc le théorème dit que si on prend une série de mouvement (n'importe laquelle) et qu'on la répète indéfiniment, à un moment le cube sera redevenu comme avant, c'est comme si on avait rien fait (ce qui correspond à l'élément neutre)
Est que cette rédaction est correcte ? Soit (E,*) un groupe , e l’élément neutre et x un élément de ce groupe. Comme un groupe fini possède un nombre fini d’éléments, on ne peut pas composer indéfiniment x sans avoir deux composés égaux. il existe donc forcément deux entiers m et n tels que x*x*x*x*….*x (m fois ) = x*x*x*x*...*x (n fois) avec m supérieur ou égal à n. On en déduit que x*x*x*x*….*x (m - n fois) = e
Pourrait-on le démontré aussi comme ceci ? : a*a*a*a*a... = e et b*b*b*b*b*b*b...... = e b symétrique de a, si je multie met 2 équation j'obitent a*b*a*b*a*b*a*b ..... = e *e = e
Bart Toutatis premièrement tu utilises que a*b est commutatif, sinon tu aurais seulement a*a*a*a*...*b*b*b=e*e. Ensuite il faudrait le même nombre de fois a et de b dans ton équation. Enfin même si tu as a*b*a*b=e, ceci n'implique pas que a*b=e. L'élément b n'est apparemment pas le symétrique (ou l'inverse) de a.
Je n'ai pas très bien compris un truc. Si (R*,+) est un groupe, alors ça veut dire qu'en additionnant suffisamment un même nombre a, alors je devrais tomber sur l'élèment neutre, donc 0. Je me trompe? Pardon, après avoir mieux lu, j'ai vu que c'est dans un groupe finit, toute mes excuses.
Mais dans le cas du rubik's cube, qu'est-ce exactement un mouvement ? Si c'est une suite de rotation des différentes face, alors il y a en a une infinité et non pas un nombre fini. Je prends par exemple une suite de rotation. Cela forme aussi un mouvement. Peu importe la suite, je peux toujours rajouter une rotation supplémentaire à ce mouvement. Ainsi donc, à chaque mouvement, je peux rajouter une autre rotation, et ainsi de suite créer un nouveau mouvement. Donc si j'ai noté N mouvements, je peux prendre l'un d'entre eux, lui rajouté une rotation supplémentaire. Hop, j'ai créé un nouveau mouvement et donc comptabilisé N+1 mouvement. Par récurrence cela tend vers l'infini. Je suppose donc que la définition d'un mouvement est plus rigoureuse, mais je ne vois pas laquelle ? Une seule rotation ? Juste un certain nombre de rotation ? Mais dans ce cas là, comment peut-il y avoir des milliards de milliards de mouvement ?
Oui, c'est vrai que la définition que je donne d'un mouvement n'est pas rigoureuse. En fait un mouvement, c'est la prise en compte du déplacement des différents petits cubes du rubik entre la position initiale et la position finale, et ce quelque soit la manière dont on y est arrivé. Par exemple, avec une face, faire 1/4 de tour dans un sens ou 3/4 de tour dans l'autre sens, c'est le même mouvement. Il n'y a qu'un nombre fini de façons de disposer les petits cubes les uns par rapport aux autres, dont il n'y a qu'un nombre fini de mouvements. Si on rajoute des rotations supplémentaires, au bout d'un moment on retombe sur des mouvements déjà connus qui peuvent s'obtenir plus simplement. Il y a notamment un résultat (compliqué à prouver) sur le rubik's qui dit que tous les mouvements peuvent s'obtenir en moins de 20 rotations.
D'accord merci :) Très pratique en tout cas le cours pour s'initier aux structures algébriques. J'arrêtais pas d'y lire partout sans comprendre de quoi il s'agissait.
Bonjour, vous dites que la position de départ du rubik's cube est l'élément neutre. Je ne comprends pas très bien. Pour moi, c'est un mouvement qui est un élément et l'élément neutre est de ne rien faire (ou de faire une série de mouvement qui reviennent à ne rien faire).
Oui il y a une ambiguité dans ce que je dis. En fait, ça revient au même, car il est possible d'assimiler l'ensemble des mouvements du rubik's cube à l'ensemble de ses positions. Une position donnée est alors assimilée au mouvement qu'il faut faire pour arriver à cette position à partir de la position de départ.
Il faut juste que tu as une fonction de composition interne. Donc tu n'a pas apres 1000 -1000 mais en composant 1000 avec 1 tu obtiendras un nombre entre -1000 et 1000 (peut etre -1000 selon la maniere dont tu definis ton groupe)
Oui, mais si je décide de prendre ce groupe là (Z*/10Z*, x), alors ça si je prend 2, je devrais pouvoir retourner à 1 en multipliant. Hors, si on regarde la suite que créer la multiplication de 2, on trouve ceci: 2 x 2 = 4, 4 x 2 = 8, 8 x 2 = 6, 6 x 2 = 2, ............ Donc, Z*/10Z* n'est pas un groupe?
Salut à tous, un autre exemple de Groupe, avec l'existence de cette boucle s'avère nécessaire, (Z, +) non, (Z, *) non aussi, je cherche juste un exemple avec les ensembles numériques,
moez besbes Si tu as vu sa dernière vidéo, tu as entendu parler de calcul modulaire. On peut ne considérer que le reste des nombres dans la division euclidienne par un nombre (par exemple 10). Dans ce cas précis, on ne garde de chaque nombre que son chiffre des unités. 2 reste 2, 15 devient 5, 3728 devient 8... L'addition se fait simplement en ne gardant que le reste dans l'addition classique. Par exemple, 9 + 8 = 17, donc dans ce groupe 9 + 8 = 7. C'est bien un groupe, son neutre est 0, et chaque élément a un symétrique (son complément à 10). Par exemple, -3 = 7 car 3 + 7 = 0. Ce groupe s'appelle Z/10Z. Il a 10 éléments (0, 1, 2, ... et 9), il est donc fini et respecte donc la proposition donnée dans la vidéo. Par exemple, 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 0 ! Ce n'est peut-être pas vraiment un exemple "classique", mais les exemples de groupe les plus usuels sont souvent infinis.
Je ressens une faiblesse quand à cette explication/démonstration : vous dites que un chemin ne passe pas forcément par tous les éléments du groupe. Alors pourquoi passerait-il de façon certaine par e?
Mais du coup, j'ai pas bien pigé cette histoire de branches. Pourquoi on ne peut pas avoir d'opérations de composition internes avec plusieurs solutions ? Meeeeh... Racine carrée de x comme * nous ferait forcément tomber à côté de la théorie des groupes ? Euh... Ca a l'air profond cette histoire de symétrie.
Évidemment, une telle démonstration n'est pas suffisante d'un point de vue mathématique. Par contre c'est typiquement le genre de visuel qui faut être capable de se représenter afin de comprendre la démonstration. C'est donc - selon moi - le plus important : ça permet de comprendre les idées de la preuve, ce qui est bien plus important que de simplement écrive ladite preuve sans en saisir le sens. Donc si, il faut avoir ce genre de chose en cours, même si ce n'est pas suffisant. Et c'est d'ailleurs utilisé... Énormément de résultats en algèbre ou en topologie ne se comprennent bien que visuellement (ou presque).
Exceptionnel, je voulais suivre cet playlist pour une initiation aux structures algébriques et cet exemple est tellement parlant puisque je suis sppedcuber (15s en moyenne pour le résoudre) et cela vient de me faire comprendre une méthode de FMC (une discipline qui consiste à écrire la solution la plus économe en mouvement que l'on trouve) qui s'appelle NISS et repose sur inverser les mouvements pour trouver des meilleurs cas et faire des transpositions, merci énormément pour cette pédagogie mathématique et j'ai enfin un lien entre ces deux passions.
je suis tombé amouré de ce chapittre sur les structures algébriques
Pareil, j'ai commencé à regarder hier soir...
c'est trop génial.....je viens de bien assimiler ce que notre professeur nous a expliqué sur le théorème de groupe en l'utilisant en chimie quantique......merci cordialement
Je viens de découvrir vos vidéos, il y a 4 heures. Je vous dis un Grand Bravo. Vous êtes un pédagogue génial. A très bientôt pour la suite. Merci pour votre sens de la pédagogie.
Jeannot Pita Merci !
On peut dire ce que l'on veut, mais la mathématique est vraiment fascinante...
InstaBlaster
J'approuve
Effectivement cela nécessite un groupe fini. Cela dit, j'adore la subtilité de cette démonstration. Cordialement.
MERCI POUR VATRE SOUTIEN 👍👍👍👍
Quand la réalité mathématique s'oppose à l'intuition (ou plutôt à certains raccourcis de "bon sens", car il existe aussi une intuition mathématique). En mathématique, toute la beauté est dans l'application stricte, mais parfois créative, de règles... c'est un vaste jeu, en fait !
J'comprend mieux pourquoi le Rubik's Cube reste un symbole mathématique.
j'avais découvert cela (si l'on refait une série de mouvement on obtient le résultat de départ) mais je ne savais pas que c'était une propriété mathématique. Cool !
PP
PP
JPP
Merci👍 ! Ça pourrais m'aider pour mon TIPE
Une remarque, on n'était pas obligé d'introduire les inverses et parler de la situation impossible: Comme vous le dites le groupe est fini, il y a donc un moment où l'on va retomber sur un élément par lequel on est déjà passé:
Donc si on note b un élément par lequel on repasse, on a:
b*a*a*a*a*a*a*....*a=b ce qui signifie que a*a*a*a*a...*a est l'élément neutre. CQFD
Ensuite on peut faire remarquer que b est lui même une puissance de a, ce qui fait qu'avant de repasser par b on obtient l'élément neutre et donc qu'on ne peut pas repasser par un élément sans être passé au préalable par l'élément neutre.
Donc on a bien une boucle.
Peut-être ne suis-je pas clair, alors prenons un exemple:
si on passe une première fois par b au bout de 3 coups, alors b=a*a*a
et si on repasse par b 5 "coups" après, alors on a :
b*a*a*a*a*a = b ce qui signifie que que a*a*a*a*a est l'élément neutre.
au bout de 3 coups on aura donc eu une 1ère fois b
ensuite l'élément neutre au bout de 5 coups
puis à nouveau b au bout de 8 coups donc effectivement après e.
géniale de votre part (démonstartion par l'absurde) le problème de la démonstration de notre prof au vidéo qu'il ne nous dis pas pourquoi l'ittération de n fois qui est un nombre infini tombe sur l'élément neutre qui est e : pourquoi l'opération n'est pas fini est le nombre n tend vers l'infini !!!!
adil elbekkal je ne comprends pas très bien votre question (n peut tendre vers l'infini mais on tourne en boucle et cette boucle contient e) ni si c'est à moi qu'elle s'adresse (c'est Mickaël Launay qui fait une démonstration par l'absurde)
l élément a appartient à ce groupe fini, la loi de composition interne * et l opération est mené sur cet élément a alors cette opération est à nombre n infini, comment à un certain nombre de fois qui est infini (n) on tombe sur l'élément (e) qui est l'élement neutre du groupe. l'opération est infini donc le résultat sera à l'infini
Pour être plus clair prenons par exemple une horloge, partons de n'importe quelle heure (5h par exemple) et ajoutons infiniment ce nombre d'heure (5h) on va passer par minuit au bout d'un moment et ce, indéfiniment :
5h 10h 15h 20h 25h=1h 6h 11h 16h 21h 26h=2h 7h 12h 17h 22h 27h=3h 8h 13h 18h 23h 28h=4h 9h 14h 19h 24h=0h nous voilà à zéro (qui est l'élément neutre de l'addition).
On a ajouté 23 fois 5h en partant de 5h donc dans cet exemple n= 24.
Mais on peut continuer et on a encore 10h 15h .... jusqu'à 0h à présent n=48 et en recommençant encore une fois on a encore 10h 15h 20h jusqu'à 0h où n est égal à 72 etc
Récapitulatif: au bout de 24 ajouts de 5h on obtient 0h
mais ce n'est pas tout, au bout de 48 ajouts de 5h on obtient aussi 0h
et au bout de 72 ajouts de 5h on obtient aussi 0h...
Conclusion: On a beau ajouter infiniment 5 h on passe toujours par 0h (et pas par l'infini)
Remarquons qu'on est passé par toutes les heures possibles avant d'arriver à 0h, mais ce n'est pas toujours le cas, par exemple en partant de 4h et en ajoutant 4h infiniment on aura la boucle:
4h 8h 12h 16h 20h 24h=0h (ça y est on a zéro) 4h 8h 16h ...
Voilà, j'espère avoir été clair et avoir répondu à votre question.
le double Pour votre démonstration, il faut aussi prouver l'unicité de l'élément neutre d'un groupe.
Par exemple, suppons qu'il existe un autre élément neutre f, qui vérifie a*f=f*a=a pour tout a. Alors e*f=e (f est élément neutre), mais aussi e*f=f (e est élément neutre). Donc e*f=e=f.
Très intéressant ! Je comprenais que le Rubik's était lié aux maths mais je ne savais pas en quoi (alors qu'un peu de recherche sur le net suffisait). Comme ce sont des permutations donc on peu parler d'un groupe de permutation (groupe dans le sens sens structure algébrique).
Suite à cette vidéo je peux en conclure qu'on pourrait imaginer un robot qui mélange plusieurs Rubik's cube et qui donnerait un nombre minimum de permutations pour la résolution de tous les Rubik's cube mélangés par le robot.
Frederic Meyer Y crois-tu? Il y'a des férus qui se sont amusés à créer ce genre de programme en alliant une caméra, un logiciel (créé par leur soins), et un robot mécanique
Oui je suis au courant j'ai trouvé ce genre de truc même avec des matériaux inattendus comme des Légo.
Super ❤️❤️🌷
Bonjour et Merci pour tes tutos :D. Dis. Tu pourrais nous parler des commutateurs et des conjugaisons, s'il te plait? Par exemple, on peut résoudre un F2L avec la formule suivante : [U , [R' : U]]
C'est intéressant, mais il aurait été plus approprié de parler de groupe opérant sur un ensemble. Car il faut distinguer le groupe des mouvements du cube (les rotations), agissant sur un ensemble (les différentes configurations du cube). Pour ta vidéo, on peut confondre l'élément du groupe entre une configuration du cube, et une rotation!
Oui, c'est bien pour cela que je parle du groupe des mélanges du rubik's et non pas du groupe des configurations (même si effectivement, les deux peuvent êtres assimilés). En fait, tous les groupes peuvent être assimilés à un groupe de permutation de ses éléments, ce n'est pas spécifique au rubik's cube.
Mickaël Launay
C'était pour éviter la confusion lorsque tu dis "on retombe sur la position de départ". Si tu fais allusion au groupe des mouvements, il faudrait ajouter "on a appliqué l'identité, qui est notre élément neutre". Attention, les configurations ne forment pas un groupe!
C'est un détail, la vidéo est très bien réalisée, et tu sais capter l'écoute!
Bonjour Mickaël. Si on met la face blanche en bas et la face bleue, devant. Combien de combinaisons aurions nous , s'il te plait?
peut on definir au regard d'un cube mélanger et en sachant toutes les opérations effectués quel sera le chemin le plus cours pour revenir à l'élément neutre (utiliser seulement l'inversion de mouvement ou continuer à effectuer le même mouvement en boucle ? )
Simplement au regard d'un mélange de rubik's cube, je dirais qu'il est pratiquement impossible d'en déduire les opérations qui ont été effectuées pour y parvenir.
Par contre, si tu as la suite de mouvements qui ont été appliqués, tu peux, en appliquant leurs inverses, retomber sur l'élément neutre, à savoir le rubik's cube résolu
En ce qui concerne la séquence de mouvement répétée, si tu appliques une séquence de mouvement sur un rubiks cube résolu, au bout d'un certain nombre d'application, tu retomberas sur ton cube résolu, mais si tu as un rubik's cube mélangé, que tu appliques une même séquence de mouvement, au bout du même nombre d'application, tu retomberas sur la position de départ, et donc, le même mélange, mais pas sur un cube résolu, ça serait trop facile
Mickaël Launay, est-ce que le théorème cité dans la vidéo porte un nom ?
Merci beaucoup pour vos vidéos.
theorene de cauchy
La définition qu'il a donné est assez "rapide", et voici un énoncé plus complet :
L'ordre d'un élément est le nombre de fois, au minimum, qu'on doit le composer par lui-même, pour retomber sur l'élément neutre
Le théorème de Lagrange dit que lorsque le groupe est fini, l'ordre de tout élément divise le nombre d'éléments du groupe, et par conséquent est fini
Petite question :
Est il possible de trouver un algorithme qui revient a l'élément neutre en n itérations ?
Perso j'ai trouvé des algorithmes qui reviennent en 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ou 12 etc mais j'ai beau chercher je ne trouve pas pour 11 itérations ni pour 13...
Le théorème de Lagrange dit que le nombre d'itérations nécessaires pour revenir à l'élément neutre doit diviser le cardinal du groupe donc à priori ce n'est pas possible.
Pour 11 c'est possible, un cycle de 11 arrêtes doit être répété 11 fois pour revenir à la position de départ
Si l'on considère le groupe des permutations (R,*) du rubik's cube où * est l'opérateur de composition, on peut mesure la commutativité d'une paire de permutation grâce au commutateur que l'on définit de la manière suivante:
Soit P et M deux permutations de ce groupe, on peut définir par [P.M]=P*M*P'*M' où P' est l'inverse de P. Si on définit par support d'une permutation l'ensemble des cubes déplacés alors il paraît clair que P et M sont commutatives si P = M ou Supp (P) intersecté avec Supp (M) est vide...
Pourriez-vous démontrer que si Supp (P) intersecté avec Supp (M) = {1 cube} alors [P.M] est un cycle à trois éléments?
Bonjour, merci pour votre explication, je suis en deuxieme année des classes préparatoires filiere MP je tente faire un sujet TIPE sur le Rubik's cube et la théorie des groupes, que me conseillez-vous de faire ? J'essaie de trouver quelque chose réalisable dans la partie théorique et j'espere que vous pourriez m'aider la-dessus, merci d'avance
Est ce qu'il n'y a pas une démonstration plus simple du théorème, en utilisant une preuve par l'absurde ?
La composition d'un élément avec lui même doit forcément résulter tôt ou tard avec l'élément neutre car dans le cas contraire le groupe serait infini ..
Bonsoir
Je cherche un groupe fini dans les nombres réels, il en existe?
En géométrie le théorème dont vous parlez est facile à comprendre, mais pour l'ensemble des nombres (qu'ils soient réels ou non), quand je cherche je ne trouve que des groupes infinis. Il en existe des finis?
Jean-Pierre Kity Il y a l'exemple simple de l'ensemble {-1;1} muni de la multiplication. C'est un sous groupe de (R*,x) et même de (Z*,x). Il me semble qu'on peut montrer que c'est le seul dont l'ensemble est fini.
Pour l'addition, on peut également montrer que ({0},+) est le seul dont l'ensemble est fini.
bdamien76 Merci beaucoup! Oui effectivement je n'avais pas pensé à de tels cas. Cependant le groupe ({o},+) reste très limité. Dans ce cas tout ensemble composé d'une opération et de l'élément neutre est un groupe. Mais le cas de {-1;1} avec la multiplication est intéressant. On peut même rajouter 0 non?
bdamien76 Pardon 0 ne peut pas faire partie d'un groupe je me suis trompé.
es ce que cette propriété est fausse dans le cas d'un monoïde fini ?
Si la réponse vous intéresse toujours : oui elle est fausse. Un contre exemple :
On prend l'ensemble M={0,1} muni de la multiplication.
C'est bien un monoïde fini (d'élément neutre e=1) mais pas un groupe (0 n'a pas de symétrique).
Or on peut multiplier 0 par lui-même autant de fois que l'on veut, ça ne donnera jamais 1.
Ce théorème n'est pas donc valide pour ce qui est des simples monoïdes.
En espérant ne pas avoir dit de bêtise :)
Par curiosité, est-il possible de savoir le nom de ce résultat, et d'avoir un lien vers une démonstration formalisée en langage mathématique?
Johan vs Oui, ça s'appelle le théorème de Lagrange, et il permet même d'être plus précis.
Tu peux le chercher. Il affirme que dans un groupe fini, l'ordre d'un élément (c'est à dire le nombre de fois qu'il faut le composer pour retomber sur l'identité) divise le nombre d'éléments du groupe.
Etienne Duclos En fait, il dit plus explicitement que le nombre d'éléments d'un sous-groupe d'un groupe G (c'est à dire un sous-ensemble de G qui contient le neutre et qui possèdes des propriétés de groupe) divise le nombre d'éléments de G. Or, l'ensemble des éléments obtenus en composant plusieurs fois un élément avec lui-même est un sous-groupe, et c'est comme ça qu'on retrouve le résultat.
Ok pour le théorème de Lagrange, mais comment sait-on que "l'ensemble des éléments obtenus en composant plusieurs fois un élément avec lui-même est un sous-groupe" ? Et comment retrouve-t-on le résultat à l'aide de ces deux choses?
Johan vs soit (G,*) un groupe fini d'element neutre e et soit a un element de G
montrons qu'il existe p dans N tq e=a*a*a *...a (p fois )
on a l'application f definit de N à valeur dans G
definit par f(k)=a*a*a...a (k fois) ne peut pas etre injective car G est fini.
donc il existe i,j dans N tq i
sf tf Super merci! Et donc si je résume ce résultat n'a pas de nom, mais il s'inscrit dans un résultat plus général qu'est le théorème de Lagrange.
cest interessant mais du cp un peu frustrant, tu dis quil y a 40Mlliard de Milliards de possibilitées ds un ribucibe, ca implique des megas structures qu'on ne vois ps vraiment ds cette video..comme par expl un simple 3 ou 4 steps?
Dans cet exposé l'auteur n'insiste pas sur la signification de a*a*a.
C'est à dire qu'à priori cela peut vouloir dire a*(a*a) OU (a*a)*a . Mais en vertu de la propriété d'associativité de la loi * on a:
a*(a*a)=(a*a)*a ce qui permet d'écrire simplement a*a*a sans parenthèse il n'y a pas d'ambiguïté.
C'est vrai parce que La loi * est associative par définition d'un groupe dont elle est la loi de composition.
On peut montrer de même que l'expression a*a*a*a...*a est non ambiguë.
PS:
Quand dans un calcul il y a des parenthèses c'est pour indiquer qu'à priori l'expression qui est entre parenthèse doit être effectuée en PREMIER.
Le résultat obtenu doit remplacer les parenthèses et tout ce qui se trouve entre elles.
Exemple:
(2+3)*(4+5)=5*(4+5)=5*9=45
PS2:
En mathématiques les lois de compositions sont souvent associatives mais pas toujours et dans ce cas-là une expression comme a*a*a peut devenir ambigüe car (a*a)*a n'est pas nécessairement égal à a*(a*a) quand la loi * n'est plus associative.
Bonjour, l'auteur de la vidéo a insisté sur ce point lors des précédentes vidéos
rubik's cube bring me here !
bon, y'a un truc que je pige pas. L'élément neutre n'est pas l'ensemble du cube en position de départ, mais peut-être un petit-cube arête ou coin en position de départ ? Parce que si je tourne plein de fois la même face (*a), mon grand cube sera jamais à nouveau dans sa position identité de départ ! J'ai l'impression d'avoir compris qu'avec ce théorème, pour (R*, .) si on fait 2.2.2....2 (composer l’élément a=2 avec lui-même par multiplication dans R*, c'est équivalent dans ce que je comprends (de travers )) on retombe sur 1 au bout d'un moment. Donc je me dis que j'ai raté un truc. Ou alors il s'agit d'un sous-groupe du groupe Rubik's.
J'ai pas tout compris mais tu ne peux pas faire "2.2.2....2 (composer l’élément a=2 avec lui-même par multiplication dans R*" et retomber sur l'élément neutre car R* n'est pas un ensemble fini, donc le théorème ne fonctionne pas
Joachim Séné en fait pour le rubiks cube, le groupe qu'on considère c'est l'ensemble de combinaisons de mouvement possibles
Chaque élément du groupe est une série de mouvement finie, ça peut être juste une rotation d'un quart d'une face comme ça peut être 15 rotations dans n'importe quel sens sur n'importe quelle face (un gros bordel quoi)
L'élément neutre c'est le fait de ne rien bouger du tout
Donc le théorème dit que si on prend une série de mouvement (n'importe laquelle) et qu'on la répète indéfiniment, à un moment le cube sera redevenu comme avant, c'est comme si on avait rien fait (ce qui correspond à l'élément neutre)
Est que cette rédaction est correcte ?
Soit (E,*) un groupe , e l’élément neutre et x un élément de ce groupe.
Comme un groupe fini possède un nombre fini d’éléments, on ne peut pas composer indéfiniment x sans avoir deux composés égaux. il existe donc forcément deux entiers m et n tels que x*x*x*x*….*x (m fois ) = x*x*x*x*...*x (n fois) avec m supérieur ou égal à n.
On en déduit que x*x*x*x*….*x (m - n fois) = e
Pourrait-on le démontré aussi comme ceci ? : a*a*a*a*a... = e et b*b*b*b*b*b*b...... = e b symétrique de a, si je multie met 2 équation j'obitent a*b*a*b*a*b*a*b ..... = e *e = e
Bart Toutatis premièrement tu utilises que a*b est commutatif, sinon tu aurais seulement a*a*a*a*...*b*b*b=e*e. Ensuite il faudrait le même nombre de fois a et de b dans ton équation. Enfin même si tu as a*b*a*b=e, ceci n'implique pas que a*b=e. L'élément b n'est apparemment pas le symétrique (ou l'inverse) de a.
Je n'ai pas très bien compris un truc. Si (R*,+) est un groupe, alors ça veut dire qu'en additionnant suffisamment un même nombre a, alors je devrais tomber sur l'élèment neutre, donc 0. Je me trompe?
Pardon, après avoir mieux lu, j'ai vu que c'est dans un groupe finit, toute mes excuses.
Voir au debut de l'énoncé Le théorème s'applique aux groupes FINI ce qui exclu R* qui comporte une infinité d'éléments
R* muni de l’addition n’est pas un groupe, il faut le munir de la multiplication ^^
@@timothebillod-morel6777 ou bien inclure 0
Théoreme de Hahn-Banach géometrique
Quoi ? D'après ce que je sais, Hahn-Banach c'est de l'analyse fonctionnelle, rien à voir avec de la théorie des groupes.
Mais dans le cas du rubik's cube, qu'est-ce exactement un mouvement ? Si c'est une suite de rotation des différentes face, alors il y a en a une infinité et non pas un nombre fini.
Je prends par exemple une suite de rotation. Cela forme aussi un mouvement. Peu importe la suite, je peux toujours rajouter une rotation supplémentaire à ce mouvement. Ainsi donc, à chaque mouvement, je peux rajouter une autre rotation, et ainsi de suite créer un nouveau mouvement.
Donc si j'ai noté N mouvements, je peux prendre l'un d'entre eux, lui rajouté une rotation supplémentaire. Hop, j'ai créé un nouveau mouvement et donc comptabilisé N+1 mouvement. Par récurrence cela tend vers l'infini.
Je suppose donc que la définition d'un mouvement est plus rigoureuse, mais je ne vois pas laquelle ? Une seule rotation ? Juste un certain nombre de rotation ? Mais dans ce cas là, comment peut-il y avoir des milliards de milliards de mouvement ?
Oui, c'est vrai que la définition que je donne d'un mouvement n'est pas rigoureuse. En fait un mouvement, c'est la prise en compte du déplacement des différents petits cubes du rubik entre la position initiale et la position finale, et ce quelque soit la manière dont on y est arrivé. Par exemple, avec une face, faire 1/4 de tour dans un sens ou 3/4 de tour dans l'autre sens, c'est le même mouvement.
Il n'y a qu'un nombre fini de façons de disposer les petits cubes les uns par rapport aux autres, dont il n'y a qu'un nombre fini de mouvements. Si on rajoute des rotations supplémentaires, au bout d'un moment on retombe sur des mouvements déjà connus qui peuvent s'obtenir plus simplement. Il y a notamment un résultat (compliqué à prouver) sur le rubik's qui dit que tous les mouvements peuvent s'obtenir en moins de 20 rotations.
D'accord merci :) Très pratique en tout cas le cours pour s'initier aux structures algébriques. J'arrêtais pas d'y lire partout sans comprendre de quoi il s'agissait.
Bonjour, vous dites que la position de départ du rubik's cube est l'élément neutre. Je ne comprends pas très bien. Pour moi, c'est un mouvement qui est un élément et l'élément neutre est de ne rien faire (ou de faire une série de mouvement qui reviennent à ne rien faire).
Oui il y a une ambiguité dans ce que je dis. En fait, ça revient au même, car il est possible d'assimiler l'ensemble des mouvements du rubik's cube à l'ensemble de ses positions. Une position donnée est alors assimilée au mouvement qu'il faut faire pour arriver à cette position à partir de la position de départ.
Mickaël Launay Ah ok je comprends, merci.
Mais comment on représente ça avec des chiffres ? par exemple, si notre groupe fini va de -1000 à 1000 est ce qu'après 1000 il y à -1000 ?
Ton ensemble de nombre est donc les entiers modulo 2001 - 1000. Donc oui c'est possible :)
Il faut juste que tu as une fonction de composition interne. Donc tu n'a pas apres 1000 -1000 mais en composant 1000 avec 1 tu obtiendras un nombre entre -1000 et 1000 (peut etre -1000 selon la maniere dont tu definis ton groupe)
Oui, mais si je décide de prendre ce groupe là (Z*/10Z*, x), alors ça si je prend 2, je devrais pouvoir retourner à 1 en multipliant.
Hors, si on regarde la suite que créer la multiplication de 2, on trouve ceci:
2 x 2 = 4, 4 x 2 = 8, 8 x 2 = 6, 6 x 2 = 2, ............
Donc, Z*/10Z* n'est pas un groupe?
Pour moi un schéma n'est pas une preuve satisfaisante de démonstration d'un théorème je ne pense pas qu'un prof de préparer accepterait ça.
Heureusement qu'il ne passe pas devant un prof de prépa, mais qu'il est en train de vulgariser, d'expliquer de manière compréhensible pour bcp sur YT
L'explication ne dépend pas du dessin particulier, il me semble qu'il s'agit de la méthode de la descente infinie ;)
Salut à tous, un autre exemple de Groupe, avec l'existence de cette boucle s'avère nécessaire, (Z, +) non, (Z, *) non aussi, je cherche juste un exemple avec les ensembles numériques,
moez besbes Si tu as vu sa dernière vidéo, tu as entendu parler de calcul modulaire. On peut ne considérer que le reste des nombres dans la division euclidienne par un nombre (par exemple 10). Dans ce cas précis, on ne garde de chaque nombre que son chiffre des unités.
2 reste 2, 15 devient 5, 3728 devient 8... L'addition se fait simplement en ne gardant que le reste dans l'addition classique. Par exemple, 9 + 8 = 17, donc dans ce groupe 9 + 8 = 7.
C'est bien un groupe, son neutre est 0, et chaque élément a un symétrique (son complément à 10). Par exemple, -3 = 7 car 3 + 7 = 0.
Ce groupe s'appelle Z/10Z. Il a 10 éléments (0, 1, 2, ... et 9), il est donc fini et respecte donc la proposition donnée dans la vidéo. Par exemple, 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 0 !
Ce n'est peut-être pas vraiment un exemple "classique", mais les exemples de groupe les plus usuels sont souvent infinis.
EN parlant de rubik's cube, qu'en est-il de l'algorithme de Dieu ?
Je ressens une faiblesse quand à cette explication/démonstration : vous dites que un chemin ne passe pas forcément par tous les éléments du groupe. Alors pourquoi passerait-il de façon certaine par e?
Comme le chemin est obligatoirement circulaire, en le parcourant dans l'autre sens en multipliant par l'inverse ,tu finis par te 'neutraliser'
Mais du coup, j'ai pas bien pigé cette histoire de branches. Pourquoi on ne peut pas avoir d'opérations de composition internes avec plusieurs solutions ? Meeeeh... Racine carrée de x comme * nous ferait forcément tomber à côté de la théorie des groupes ? Euh... Ca a l'air profond cette histoire de symétrie.
Racine carrée de x n'a qu'une solution, c'est le nombre POSITIF tel que mis au carré donne x
superbes vidéos!@8:45 c'est rien mais je crois qu'il y a une erreur, c'est "étoile a" et non "fois a" si j'ai bien compris que t'aurais dû dire
on sent une volonté d'utiliser soit disant du visuel pour expliquer des concepts vidéo agréable pour comprendre mais à ne pas prendre comme cours
Évidemment, une telle démonstration n'est pas suffisante d'un point de vue mathématique.
Par contre c'est typiquement le genre de visuel qui faut être capable de se représenter afin de comprendre la démonstration. C'est donc - selon moi - le plus important : ça permet de comprendre les idées de la preuve, ce qui est bien plus important que de simplement écrive ladite preuve sans en saisir le sens.
Donc si, il faut avoir ce genre de chose en cours, même si ce n'est pas suffisant. Et c'est d'ailleurs utilisé... Énormément de résultats en algèbre ou en topologie ne se comprennent bien que visuellement (ou presque).
Pourquoi avoir appelé le symétrique de a, ā, et pas a' ?
c'est arbitraire
@@foudilbenouci482 D'accord merci
@@boudescotch De rien
Un peu triviale je pense que ça serait intéressant de parler des théorèmes de sylow(un sujet un peu moins triviale) ...