Vidéo tout simplement magnifique !! Moi qui aime les math, je regrette de ne pas avoir eu un prof comme toi. L'éducation nationale devrait faire évoluer la façon d'éduquer les élèves qui apprendraient plus facilement avec la bonne méthode et enfin relever le niveau.
Calculer séparément la longueur et la largeur du rectangle nous mènerais dans une impasse car il existe une multitude de possibilités! Merci encore à vous et bonne journée… à bientôt Dominique.
Merci pour cette vidéo, très intéressante comme toujours ! Au-delà de cette méthode, j'avais aussi tenté une méthode intuitive qui peut fonctionner car les aires calculées sont des entiers. Le triangle d'aire 6 a relativement peu de candidats pour ses côtés : 6 et 2, 12 et 1, 3 et 4. Le triangle d'aire 2 idem : 2 et 2 ou 4 et 1. En testant l'hypothèse b=4, on arrive au triangle d'aire 6 qui a 4 et 3 de côté, le triangle d'aire 2 qui a 2 et 2 de côté. D'où a qui serait égal à 5. En poursuivant, ça donne l'aire du triangle d'aire 5 qui aurait 2 et 5 comme côtés, ce qui reboucle. Donc a=4, b=5, ab=20 et l'aire du triangle est 13.
Solution dans l'ensemble des entiers naturels N, mais dans l'ensemble des nombres réels R il y a une infinité de solutions comme l'explique le 1er commentaire avec l'introduction des facteurs k et 1/k, k€R non nul.
Félicitations. Je n'ai regardé que quelques-unes de vos vidéos, mais je trouve que vous vous débrouillez très bien. L'association de l'esprit "détective" avec l'esprit "bricoleur" est exactement ce qu'on utilise en recherche mathématique, vos élèves apprennent les vraies méthodes, tout en s'amusant.
@@hedacademy Il y maintenant tellement de trucs un peu nuls sur les maths (sans doute un peu moins) et la science en général (un peu plus, en cosmo par exemple c'est terrifiant, pire que l'astrologie...) sur YT qu'on est toujours content d'encourager les chaînes qui stimulent les neurones...
De toute façon, on ne peut pas trouver a et b séparément, car si on étire le grand rectangle d'un facteur k non nul selon l'axe des abscisses et d'un facteur 1/k selon l'axe des ordonnées, le rectangle et les 4 triangles qui le composent gardent la même aire. Dit autrement, si on trouve un couple (a;b) pour les 2 côtés du grand rectangle, n'importe quel couple (a*k;b/k) convient avec k un réel positif non nul. Il y a donc une infinité de solutions et on ne pourra donc pas trouver une équation qui nous donnera un couple particulier. J'avais vu ça rapidement (en remarquant que quoi que je fasse, je trouvais un système avec une inconnue de plus que le nombre d'équations) donc j'ai cherché le produit a*b en voyant que l'aire du triangle qu'on cherche vaut a*b-13.
Effectivement , il y a un infinité de couples solutions pour (a ; b) tels que (a * k ; b / k) , couples qui doivent respecter : a * b = 20. Ce n'est pas intuitif . Sachant que chacun des 3 triangles a une aire imposée, ainsi donc que l'aire du rectangle , calculée et égale à : a* b = 20. Ainsi que les aires respectives de chacun des 4 triangles inclus dans le rectangle : 5; 6; 2; 7. Merci pour vos explications.
"...n'importe quel couple (a*k,b/k)..." ou l'inverse (a/k,b*k) formulation aussi valable, on peut étirer le rectangle soit sur l'abscisse, soit sur l'ordonnée. Vous me direz que c'est la valeur de k ( sup ou inf à 1) qui définit la coordonnée d'étirement, mais question formulation les deux sont valables.
Très joli, dynamique, enthousiasmant et valorisant finement les éléments essentiels de la démarche de recherche : bravo ! Petite suggestion : Ne rate jamais une occasion de justifier la non-nullité d'une variable ou d'une expression que tu mets au dénominateur ou par laquelle tu multiplies les deux membres d'une égalité (ici, ça ne prend que deux secondes), pour ce type d'élèves ça doit être bétonné sans relâche 😉 ! Bonne continuation, je me réjouis des prochaines, tes élèves ont bien de la chance 😊 !
A partir de y² -26 y + 120 = 0, j'avais été plus sioux, car ce que l'on cherche est en fait (y - 13), et donc : y² - 26 y + 169 - 169 + 120 = 0 (y -13)² - 49 = 0 (y-13)² = 7² deux solutions 7 et -7, seule la solution positive convient.
Voici ma résolution, qui ressemble à celle présentée ici. Posons x la longueur du rectangle, avec a et b les deux petites longueurs ; et y la largeur du rectangle, avec c et d les petites largeurs. D'après la figure, on a donc le système suivant : a+b=x c+d=y cx/2=5 cx=10 ad/2=2 ad=4 by/2=6 by=12 On a ainsi c(a+b)=10 ac+bc=10 bc=10-ac. Similairement, b(c+d)=12 bc+bd=12 bc=12-bd. Par transitivité, 10-ac=12-bd bd-ac=2 bd=ac+2. adby=4x12=48 ay(ac+2)=48 a(c+d)(ac+2)=48 (ac+ad)(ac+2)=48 (ac+4)(ac+2)=48. Soit z=ac. (z+4)(z+2)=48 z²+6z+8=48 z²+6-40=0. Δ=36+4x40=196=14². On a donc z1=(-6+14)/2=8/2=4 et z2=(-6-14)/2=-20/2=-10. Comme a et c sont positifs, on a donc ac=4. bc=10-ac=6. On peut ainsi conclure : bycx=120 (bc)xy=120 6xy=120 xy=20. Et donc l'aire centrale vaut donc 20-6-5-2=7.
Je ne connaissais pas l'astuce de la factorisation a l'américaine (je dois être trop vieux). Je suis passé par le delta. Je ne connaissais pas non plus le lemme du coup j'ai refais chaque fois, je me suis retrouvé avec un tas de variables intermédiaire mais au final on retombe sur ses pattes.
Très intéressant ! La recherche du couple ab est effectivement le petit piège… Mais je ne pense pas qu’un élève aille intuitivement chercher une telle solution… il faudra sûrement l’orienter à un moment… 😬 Merci aussi pour l’astuce de la factorisation du polynôme en carré ! 👍🏻 Je me suis tapé il y a fort longtemps le programme de maths de terminale C … On avait des intégrales triple pour le petit déjeuner 😅… mais je ne me rappelle pas avoir jamais appris ça !
Avec o1: ** Prompt : ** > Soit un rectangle ABCD. > Soit E un point sur le segment AD, tel que le triangle ABE ait une aire de 5 cm². > Soit F un point sur le segment CD, tel que le triangle BCF ait une aire de 6 cm² et le triangle EFD une aire de 2 cm². > Quelle est l'aire du triangle BFE ? ** Réponse : ** 7 cm² ** Raisonnement : ** Pour résoudre ce problème, commençons par modéliser le rectangle ABCD avec des coordonnées. 1. **Modélisation du rectangle et des points :** - Plaçons le point A à l'origine (0,0). - Soit \( w \) la largeur du rectangle (AB) et \( h \) sa hauteur (AD). - Le point E est sur AD, donc ses coordonnées sont \( E(0, y_E) \). - Le point F est sur CD, donc ses coordonnées sont \( F(x_F, h) \). 2. **Calcul des aires données :** - **Aire du triangle ABE :** \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times w \times y_E = 5 \] Donc, \( w y_E = 10 \). - **Aire du triangle BCF :** \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times h \times (w - x_F) = 6 \] Donc, \( h(w - x_F) = 12 \). - **Aire du triangle EFD :** \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times x_F \times (h - y_E) = 2 \] Donc, \( x_F(h - y_E) = 4 \). 3. **Résolution des équations simultanées :** - De \( w y_E = 10 \), on obtient \( y_E = \frac{10}{w} \). - De \( h(w - x_F) = 12 \), on obtient \( x_F = w - \frac{12}{h} \). - En substituant \( y_E \) et \( x_F \) dans \( x_F(h - y_E) = 4 \), on obtient une équation en \( w h \). 4. **Calcul de \( w h \) :** - Posons \( s = w h \). - Après simplification, nous obtenons l'équation quadratique : \[ s^2 - 26s + 120 = 0 \] Les solutions sont \( s = 20 \) ou \( s = 6 \). - En testant \( s = 20 \), nous trouvons des valeurs positives pour \( w \), \( h \), \( y_E \) et \( x_F \). - En testant \( s = 6 \), nous obtenons des valeurs négatives, ce qui n'est pas physiquement possible dans ce contexte. 5. **Calcul de l'aire du triangle BFE :** - L'aire est donnée par : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \left( w h - w y_E + x_F y_E ight) \] - En substituant les valeurs trouvées : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \left( 20 - 10 + 4 ight) = \frac{1}{2} \times 14 = 7 \text{ cm}^2 \]
@@olivierpicard8757 Je rectifie mon post : "il n'est pas encore résolu par une IA multimodale (= "qui lit le schéma"). Par contre quand on exprime le problème en français, si." Ca avance très vite 😆
@@PhunkyBob Très certainement, je pense que l'IA va accélérer la fin de notre civilisation actuelle. Qu'il y est des personnes bien intentionnées, c'est bien mais des personnes mal intentionnées, il y en a beaucoup.
On peut le résoudre plus vite, je suis parti du principe que : En bas a gauche c'était un carré de coté 2 (2x2) = 4 En haut c'est un rectangle de coté 2x5 =10 Et en bas a droite c'est forcément 4x quelque chose qui donne 12, et c'est forcément 3 Magie : avec 3 +2 en bas , on retombe sur le 5 en haut On fini par Aire Recherchée = 20- 5-2-6 = 7 => Tout tombe juste et on fini en 30 secondes ! :)
Attention : en ajoutant un présupposé étranger à l'énoncé, tu ne résous le problème que par chance... Regarde les judicieux commentaires sur la non-détermination de a et b individuellement : ils montrent bien que "en bas à gauche" n'est pas forcément un carré...
@@michelkuhne5787 si la solution 2x2 ne donne pas de solution, tu reprends avec 4x1 puis 1x4. Si la 2x2 marche, tu gagnes un quart d’heure. Si ça ne marche pas, ça te prend 30 secondes de plus...
@@michelkuhne5787 Non, je ne résous pas par la chance Si c'était le cas il aurait fallu que je fasse X tentatives jusqu’à tomber sur la bonne solution, et la probabilité que je tombe immédiatement sur la bonne solution était infime. Si j'ai trouvé aussi vite, c'est parce que l'énoncé a été conçu pour permettre de résoudre le problème très vite, donc ... il aurait été bête de s'en priver. Sinon, c'est sûr que le défaut de ma solution est qu'elle n'est pas " universelle " , et si les valeurs données avaient été des valeurs " bizarres ", je suppose que j'aurais été incapable de trouver la solution en utilisant cette méthode. Quoi que ... a essayer ...
@@mightyquest-lesdefaitesdej5298 Nous ne nous entendons pas sur la notion de "chance" 🤷... Je ne voulais absolument pas dire que tu avais essayé n'importe quoi et que c'était tombé juste par hasard ! C'est dans la forme de l'énoncé que réside la "chance" ! Tu as su la saisir et en tirer une résolution pragmatique et astucieuse qui fournit une réponse satisfaisante, c'est très bien 😊 !
fantastique ! j'attends toujours que tu répondes à ma question qui consiste à dessiner un triangle comportant 3 angles droits ! si si, c'est parfaitement réalisable. Bonne recherche
Pour l'aire du rectangle , la seule solution possible est Ar = a * b = 20. Pour les valeurs de a et b , il y a quasi une infinité de couples solutions pour (a ; b) tels que (a * k ; b / k) , couples qui doivent respecter : a * b = 20. Ce n'est pas intuitif . Car 3 triangles ont une aire imposée : 5; 6; 2.. Donc l'aire du rectangle qui inclu les 4 triangles , est indirectement imposée, calculée et égale à : a * b = 20. Les aires de chacun des 4 triangles inclus dans le rectangle sont : 5; 6; 2; 7. L'aire du rectangle est 20.
Bravo et merci pour cette nouvelle vidéo, encore une fois très intéressante. Est-il possible pour chacune de tes vidéos de mettre dans le titre, ou même de nous dire pendant la vidéo, à quel niveau scolaire correspond le sujet ? ça peut être utile pour les parents qui cherchent des questions à faire faire pour réviser ! Merci :-)
Pour parvenir à l'équation, je dirais qu'un 3ème ou un 2nde en est capable. Pour la résoudre et dans la mesure où on est sur de la fonction polynôme du 2nd degré, je dirais 1ère, voire terminale ne sachant pas trop comment les programmes ont évolué.
Je trouve que la manière "américaine " est un peu empirique et elle serait impossible avec des nombres plus complexes... Merci pour cette vidéo intelligente et captivante comme d'hab!👍
Oui c'est une méthode qui ne fonctionne que pour des exercices de prof où on tombe sur des nombres entiers. En réalité, ça n'arrive jamais donc totalement inutile.
Excellent 👍 Est-ce que ça aurait du sens (plutôt d'un point de vue physique que géométrique) de considérer a et b imaginaires, de telle sorte que leur produit soit égal à 20 ou 6 (et donc a et b de signe opposé)?
Autre solution de l’équation du deuxième degré: c = 120 , on décompose 120 en facteur premier. a partir de cette décomposition, on trouve que le nombre de diviseurs de 120 est égale a 16. on écrit ces diviseurs qui sont: 1 et 120 , 2 et 60 , 3 et 40, 4 et 30, 5 et 24 ,6 et 20, etc on choisi les deux diviseurs dont la somme est égale a 26, se sont les solutions de l'équation
je suis d'accord avec toi, trouver ab, sans trouver ni a ni b, c'est joli. Cela dit, je cherche la petite bête, est on sûr que ce rectangle existe? bon, on doit pouvoir trouver a et b, avec un système de deux équations
je suppose que non car si tu par example tu divises a par deux et que tu doubles a, toute les aires restent les mêmes. (Et du coup, oui ce rectangle existe il suffit de prendre n'importe quel valeur de a > 0 et b = 20/a)
j'ai réussi mais ma demonstration fait 3 pages et nous n'avons pas utilisé les mêmes méthodes ( pour ma part usage du discriminant, du théorème de Pythagore...) en tout cas ça m'a bien amusé après 3h de révisions de maths de terminale
Voici une autre façon de résoudre sans cette factorisation un peu chelou qui demande de "deviner" la réponse. Important !!! Cette solution à été trouvée par L'IA : modèle o1 de OPENAI ( raisonnement complet) On nous donne un rectangle ABCD divisé en quatre triangles par les segments de droite EF et BE, où E est situé sur AD et F sur DC. Nous connaissons les aires de trois de ces triangles : Triangle AEB = 5 Triangle BFC = 6 Triangle DFE = 2 Notre but est de trouver l'aire du triangle restant, EFB. 1. Mise en place des coordonnées Plaçons le rectangle ABCD sur un plan de coordonnées : A : (0, h) B : (w, h) C : (w, 0) D : (0, 0) Nous pouvons également définir : E : (0, k) où 0 < k < h F : (x, 0) où 0 < x < w 2. Utilisation des formules d'aire Nous pouvons maintenant utiliser les formules d'aire des triangles pour former des équations : Triangle AEB : (1/2) * w * (h - k) = 5 => w(h - k) = 10 (équation 1) Triangle BFC : (1/2) * (w - x) * h = 6 => (w - x)h = 12 (Equation 2) Triangle DFE : (1/2) * x * k = 2 => xk = 4 (Equation 3) 3. Résolution des équations Notre objectif est de trouver l'aire du rectangle (w * h) et de soustraire les aires connues pour trouver l'aire du triangle EFB. Pour ce faire, nous devons manipuler nos équations : D'après l'équation 2 : h = 12 / (w - x) Substituer h dans l'équation 1 : w * (12 / (w - x) - k) = 10 De l'équation 3 : k = 4 / x Substituer k dans l'équation : w * (12 / (w - x) - 4 / x) = 10 En simplifiant cette équation, on trouve : w = (5x) / 2 Nous pouvons maintenant replacer cette valeur de w dans l'équation de h : h = 12 / ((5x / 2) - x) = 8 / x Enfin, nous pouvons calculer l'aire du rectangle : w * h = ((5x) / 2) * (8 / x) = 20 4. Calcul de l'aire du triangle EFB L'aire totale du rectangle est de 20. La somme des aires des trois triangles connus est 5 + 6 + 2 = 13. Par conséquent, l'aire du triangle EFB est : 20 - 13 = 7 Réponse : L'aire du triangle EFB est 7.
J'avais pris les valeurs numériques données pour les valeurs des côtes du triangle, et non les aires des 3 triangles adjacents ! Le pire, c'est que j'y ai passé une bonne heure en me demandant quel était l'utilité du rectangle car on peut parvenir à déterminer la valeur de l'aire du triangle du centre en calculant sa hauteur avec Pythagore et en sommant les 2 aires ainsi formées. On obtient une grosse formule lourde à trimbaler avec des racines carrées. Puis, j'ai lancé la vidéo et je me suis aperçu de ma méprise ! 😧
J'ai pensé comme vous, et avec Héron la surface se calcule en qques secondes... Puis j'ai dessiné le triangle avec les valeurs indiquées, on obtient un triangle obtus qui ne ressemble pas à celui du tableau !
Sachant qu'on cherchait l'aire du triangle central X, j'ai trouvé plus naturel de dire ab = X+13. On arrive à (13+X)(13-X)=120. Une gentille identité remarquable qui nous donne X=7 (ou -7 mais pas possible pour une aire).
12:23 Ne devrions nous pas à partir du moment ou nous avons "Aire=ab-13" : avoir le reflex de dire que ab>13 (vue que Aire>0, et et passage que a>0 et b>0 vue qu'il s'agit de longueur, et qu'implicitement tout de petit monde et différents de 0, tout comme x et y).
10 x plus vite et de tête ! Je pars du triangle du bas à gauche,. il n'existe qu'une seule solution c'est 2 x 2. Celui du haut c'est 2 x 5, la hauteur est donc 4. Reste celui de droite, sa base est 5 - 2, la hauteur est déjà 4. Le rectangle est donc 5 x 4 sans équation, j'enlève 13 et bingo !
J espère que dans un énoncé écrit il est mentionné que 5,6,2 sont des aires….😅 en regardant juste l image sur UA-cam je pensais que c était la longueur des 3 cotés….donc je ne voyais pas comment faire ( ne voulant pas regarder la vidéo pour la solution….). Sinon très intéressant
Je laisse la méthode empirique aux ricains; qu'ont-ils contre ∆ ceux-là? Je passe par ∆, c'est plus classe. De même pour la forme canonique, (quitte à la redémontrer rapidement) où je calcule ∝ = -b/2a et β = f(∝) Très bon exo du reste !
Il existe une très belle solution géométrique à ce fameux problème. Plus compliquée que ces petites équations, mais tellement intéressante. la connaissez-vous ?
@@Adodo_1234 je suis pas tout à fait sûre qu'il y ait une infinité de possibilités pour a et b tel que a x b = 20 ET que l'aire des petits triangles soient égales à celles du croquis. En fait, j'ai fais des "disjonctions de cas" si on peut appeler ça comme ça, en prenant tous les cas possibles pour lesquelles les petits triangles avaient une aire qui correspondaient à celles du croquis. Et ensuite en croisant ces possibilités entre elles, il n'en restaient plus que deux, où à chaque fois a x b vallait 20, mais une seule des deux satisfaisait aux égalités trouvées dans la vidéo, donc je suppose que seule une des deux (a = 5 et b = 4) est juste
@@faldang8457 bonsoir, merci pour votre analyse, cependant, Il y a bien une infinité de solutions, telles que sont les notations les aires 5 et 6 sont obtenues automatiquement
@@faldang8457 > en fait si, les possibilités sont effectivement infinies. On peut calculer deux exemples vite fait : a = 10 ; b = 2 T1 : 10x1 => 10x1/2 = 5 T2 : 1x4 => 1x4/2 = 2 T3 : 6x2 => 6x2/2 = 6 a = 2.5 ; b = 8 T1 : 2.5x4 => 2.5x4/2 = 5 T2 : 4x1 => 4x1/2 = 2 T3 : 1.5x8 => 1.5x8/2 = 6 D'une manière générale, les deux côtés a et b sont divisés en deux sections chacun, a1,a2 et b1,b2 : Si on part de a, on sait que b=20/a Pour T1, on veut : b1 x a / 2 = 5 => b1 = 10 / a => et b2 = b-b1 = 20/a - 10/a = 10/a = b1 Pour T3, on veut : b x a2 / 2 = 6 => a2 = 12 / b = 12 / (20/a) => a2 = 3a/5 => et a1 = a - a2 = a - 3a/5 => a1 = 2a/5 Et pour T2, on veut b2 x a1 / 2 = 2, b1 x a1 / 2 = 10/a x 2a/5 / 2 = 10 x 2 / 5 / 2 = 2 => cool, ça colle ^__^ En somme, du moment que a est supérieur à 0 il y a une configuration qui répond aux critères ^__^
Bonsoir ya un problème qui me tracasse Je n'arrive pas à comprendre comment il soit possible de trouver des entiers naturels n telque 2^n+3^n+6^n soit divisible par 7. Merci
tu imagine trois suites différents : - la première, u(n) est le reste de la division de 2^n par 7. u(1) = 2 u(2) = 4 u(3) = 1 si ensuite tu calcules u(n+3), c'est le reste de la division de 2^(n+3) par 7. Or 2^(n+3) = 8 * 2^n = 7 * 2^n + 2^n : u(n+3) = u(n) donc u(n) suit un cycle (2, 4, 1) qui revient tous les 3 nombres. - tu fais la même chose avec la suite v(n) est le reste de la division de 3^n par 7, mais là, c'est un cycle de 6 nombres (3, 2, 6, 4, 1 ,5), car 3^6 = 729 = 7 * 140 +1 v(n+6) = v(n) - tu fais la même chose avec la suite w(n) est le reste de la division de 6^n par 7, mais là, c'est un cycle de 2 nombres (6, 1), car 6^6 = 36 = 7 * 35 +1 w(n+2) = w(n) En fait, tu cherches un nombre n pour lequel u(n) + v(n) + w(n) est multiple de 7 - 1 : 2 + 3 + 6 = 11 - 2 : 4 + 2 + 1 = 7 : OK - 3 : 1 + 6 + 6 = 13 - 4 : 2 + 4 + 1 = 7 : OK - 5 : 4 + 5 + 6 = 15 - 6 : 1 + 1 + 1 = 3 ensuite u(n+6) + v(n+6) + w(n+6) = u(n+3) + v(n) + w(n+4) u(n+6) + v(n+6) + w(n+6) = u(n) + v(n) + w(n+2) u(n+6) + v(n+6) + w(n+6) = u(n) + v(n) + w(n) L'ensemble des solutions à ton problème : tous les multiples de 6 plus 2 (2, 8, 14, 20, ...) et tous les multiples de 6 + 4 (4, 10, 16, 22,..)
La "factorisation américaine" est-elle vraiment plus rapide ? Comme le coef b est pair, on peut calculer rapidement le discriminant réduit : ∆' = b'² - ac = 13² - 1x120 = 169 - 120 = 49 = 7² Et les deux racines viennent non moins rapidement : 13 - 7 et 13 + 7, c'est à dire 6 et 20
Non car elle fonctionne uniquement quand les solutions sont des petits nombres/chiffres entiers. Et passer par delta avec ce genre de nombre, ça prend 10sec à résoudre.
à 8:37, pour être très rigoureux, on peut multiplier par "y" mais à la seule condition de dire et prouver que "y" est non-nul, comme y = ab et que "a" et "b" sont les longueur/largeur d'un rectangle qui existe, on sait que c'est un nombre non-nul. 😉 Iman ne le dit pas car c'est évident.
8:20 dommage de ne pas avoir montré comment mettre sous le même dénominateur..... je n'y arrive pas. Pour le premier terme y, il faut le diviser par y et donc aussi le multiplier par y soit y²/y. Et pour -26 ? Pareil ? 26y/y ??? Ce qui ferait : y²+120-26y ???? Ah bein oui, c'est ça. 😅😅😅
Tu ne sembles pas connaître la Formule de Héron : p = demi-périmètre du triangle = ( a + b + c ) / 2 Aire du triangle = racine carrée de ( p (p - a) (p - b) (p - c) )
@@MsVava63 Oui ça j'ai compris. Mais d'où vient ce mot ? Ok j'ai trouvé : Du latin lemma (« proposition auxiliaire »), lui-même issu du grec ancien λῆμμα , lêmma (« gain, profit, base d'un syllogisme »
En deux minutes, sans regarder la vidéo. Je double les surfaces des triangles (4, 10, 12) pour trouver tous les côtés possibles des rectangles correspondants : 1x4 et 2x2 pour le 4, 1x10 et 2x5 pour le 10, et 1x12, 2x6, 3x4 pour le 12. Je choisis la figure qui offre le moins de possibilité, c'est le rectangle de surface 10 (1, 2, 5, 10). Et je raisonne avec les deux plus grandes longueurs (5 et 10). A l'opposé, on doit obtenir 10 ou 5 avec les côtés possibles des deux rectangles de surface 4 et 12. Il y a deux solutions, soit on fait 10 avec 4 et 6, et on obtient des largeurs du grand rectangle de 1+1 d'un côté et de 2 du côté opposé, ce qui ferait une surface de 2 x 10 = 20, soit on fait 5 avec 2 et 3, et on obtient des largeurs du grand rectangle de 2+2 d'un côté et 4 à l'opposé, ce qui donne aussi un grand rectangle de 5x4 = 20. Il ne reste plus qu'à retrancher les surfaces des trois triangles à celle du grand rectangle 20 - 13 = 7 (si je ne me suis pas trompé ...) L'avantage de cette méthode, c'est qu'on a pas besoin de calculs compliqués, tout se fait de tête. J'ai juste utilisé un coin de brouillon pour marquer les résultats au fur et à mesure, parce que ma mémoire laisse à désirer ... Maintenant je vais regarder la vidéo !
Peut ton vraiment utilisé la méthode Américaine ? Rien nous dit que les 2 inconnus I, J de (y + I) (y + J) sont des entiers. Sa pourrais être 0.5 et 240 ou tout autre valeurs. Sa donne des possibilité infini.
On peut l'utiliser dans cet état d'esprit: 1) si les paramètres de l'équation sont entiers, je tente la méthode 2) si je ne trouve pas rapidement deux nombres qui fonctionnent, je reviens à la méthode standard Cette méthode n'est donc pas toujours utile. Mais il n'y a pas une infinité de possibilités. Pour résoudre l'équation, je cherche deux nombres x et y tels que xy=120 et x+y=-26. xy=120 => y=120/x => x+120/x=-26 => x^2+120=-26x => x^2+26x+120=0 On retrouve presque la même équation que celle de départ (juste +26 au lieu de -26, ce qui est lié à un changement de signe) Il y a donc deux solutions, pas une infinité.
L'aire = 5 + 2 = 7 On trace une ligne horizontale du coin gauche du triangle rose On trace une ligne verticale du coin en bas du triangle jusqu'à la ligne horizontale On divide le triangle rose ainsi en trois petits triangles l'aire du petit triangle rose en bas à gauche = 2 la somme de l'aire du petit triangle rose en bas à droite et celui du petit triangle rose en haut = 5
Il manque un point intéressant à cette vidéo, qui est de comprendre quelles sont plus précisément ces deux solutions à priori, dont une est (abusivement) présentée ici comme « non valide », sans explication. Or il y en a une d’explication et elle est importante. Car les deux solutions possibles pour ab, 20 et 6, donnent respectivement deux solutions pour l’aire du triangle central, rigoureusement opposées : 7 et -7. Faut il à priori « rejeter » cette dernière, sous prétexte qu’elle est négative, en la qualifiant à la légère « d’absurde »? Non, pas du tout. Ce qu’il se passe ici c’est que l’aire, pour être complet, est une grandeur algébrique et non pas seulement « arithmétique », et son signe est un élément tout aussi important que sa mesure absolue, et indique son orientation. Car tout comme les vecteurs, les aires, les volumes, etc, sont (en général) orientables. Et ainsi, les deux valeurs de l’aire du triangles trouvées, identiques en valeur absolue, mais opposées en signe, indiquent simplement mais de façon importante, les deux orientations possibles d’un tel triangle. Ce point est en fait d’une grande importance, que les Grecs négligeaient. Mais on est en 2024 et il serait temps de se mettre à jour en travaillant avec toutes les caractéristiques d’une surface : son aire (absolue) et son orientation. De sorte qu’on ne soit pas surpris de trouver deux solutions, ni porté à juger abusivement comme « absurde » la solution qui « a le malheur » d’être simplement d’une orientation contraire au sens « positif » arbitrairement choisi pour orienter le plan (en général c’est le sens « trigonométrique » anti horaire qui est arbitrairement considéré comme « positif »). Enfin, derrière cette notion d’orientation, se « cache » le fait que ces deux triangles solutions, dont les orientations son opposées, ne sont pas exactement « les mêmes ». Ils sont bel et bien différents, dans la mesure où l’on ne peut transformer l’un en l’autre sur un plan sans « sortir » du plan. En d’autres mots il n’y a pas de rotation du plan qui amène l’un sur l’autre, comme la main gauche et la main droite. Ils sont de « chiralité » différente, et l’on sait l’importance de cette notion pour les protéines du corps par exemple dont une orientation est naturelle et l’autre toxique pour le corps. Aussi pour passer d’une solution à l’autre, d’un triangle à l’autre, il faut faire une symétrie axiale, qui est une « isométrie négative ». On comprend maintenant pleinement pourquoi il y a réellement deux solutions « physique », géométrique. Ainsi le problème a une seule solution si c’est l’aire absolue qui est recherchée. Mais deux opposées si c’est l’aire orientée qui est recherchée. Les deux solutions correspondant à des triangles non superposables. Ils sont bien différents. Et dans tous les cas il est utile de n’être pas surpris d’en trouver deux, et d’en connaître la raison profonde.
je suis pas fan de ta factorisation américaine, ca présuppose que les nombres sont entiers (j'aime pas les equations diophantiennes, j'étais un topologiste) désolé
J'ai un master en sciences, je pige rien à ce qu'il raconte. Le changement de variable totalement inutile, juste une perte de temps. Et le plus magique c'est le moment où on ne met pas au même dénominateur mais on multiplie tout par y... C'est EXACTEMENT la même chose. J'ai vraiment l'impression qu'il ne comprend pas lui-même ce qu'il fait
" a et b sont des personnes" , "qui est a", "lui".... ca devient enervant cette façon d'exprimer des notions geometriques et mathematiques comme des personnes.
8:35 le truc c'est que pour moi cette méthode c''est de loin la plus directe. En tous cas "la première" éthode, celle qui est censée être la plus "normale" ne me vient pas en tête.
J’adore vos vidéo. Garce à vous je suis devenu la référence dans la famille pour aider leurs enfants dans l’aide aux devoirs. Mais maintenant que « ab » est définit, pouvez vous poussez plus loin la réflexion pour trouvez a et b… je suis frustré de ne ne pas connaître a et b ?… comme un goût d’inachevé dans la démonstration.
Quel plaisir de faire des maths dans la joie avec cette bonne humeur communicative! Je ne m’en lasse pas. Merci à vous et continuez comme ça…
La grande classe dans la bonne humeur. Chapeau bas.
Vidéo tout simplement magnifique !! Moi qui aime les math, je regrette de ne pas avoir eu un prof comme toi. L'éducation nationale devrait faire évoluer la façon d'éduquer les élèves qui apprendraient plus facilement avec la bonne méthode et enfin relever le niveau.
Calculer séparément la longueur et la largeur du rectangle nous mènerais dans une impasse car il existe une multitude de possibilités!
Merci encore à vous et bonne journée… à bientôt Dominique.
Merci pour cette vidéo, très intéressante comme toujours ! Au-delà de cette méthode, j'avais aussi tenté une méthode intuitive qui peut fonctionner car les aires calculées sont des entiers. Le triangle d'aire 6 a relativement peu de candidats pour ses côtés : 6 et 2, 12 et 1, 3 et 4. Le triangle d'aire 2 idem : 2 et 2 ou 4 et 1. En testant l'hypothèse b=4, on arrive au triangle d'aire 6 qui a 4 et 3 de côté, le triangle d'aire 2 qui a 2 et 2 de côté. D'où a qui serait égal à 5. En poursuivant, ça donne l'aire du triangle d'aire 5 qui aurait 2 et 5 comme côtés, ce qui reboucle. Donc a=4, b=5, ab=20 et l'aire du triangle est 13.
Astucieux ! Il y a juste une coquille : l'aire du triangle central est 7 et non 13
@@guydorian1828 effectivement, 20-13 donc 7 !
@@francoismoret5246Attention 7 ! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 040 ^^
Solution dans l'ensemble des entiers naturels N, mais dans l'ensemble des nombres réels R il y a une infinité de solutions comme l'explique le 1er commentaire avec l'introduction des facteurs k et 1/k, k€R non nul.
Félicitations. Je n'ai regardé que quelques-unes de vos vidéos, mais je trouve que vous vous débrouillez très bien. L'association de l'esprit "détective" avec l'esprit "bricoleur" est exactement ce qu'on utilise en recherche mathématique, vos élèves apprennent les vraies méthodes, tout en s'amusant.
Merci beaucoup pour le message 😁
@@hedacademy Il y maintenant tellement de trucs un peu nuls sur les maths (sans doute un peu moins) et la science en général (un peu plus, en cosmo par exemple c'est terrifiant, pire que l'astrologie...) sur YT qu'on est toujours content d'encourager les chaînes qui stimulent les neurones...
Wouhaouuuuuuu il est génial cet exo !!! Quel combo de belles réflexions ! Et quelle franche bonne humeur pour en dispenser la pédagogie ❤❤❤ superbe 🙏
De toute façon, on ne peut pas trouver a et b séparément, car si on étire le grand rectangle d'un facteur k non nul selon l'axe des abscisses et d'un facteur 1/k selon l'axe des ordonnées, le rectangle et les 4 triangles qui le composent gardent la même aire. Dit autrement, si on trouve un couple (a;b) pour les 2 côtés du grand rectangle, n'importe quel couple (a*k;b/k) convient avec k un réel positif non nul. Il y a donc une infinité de solutions et on ne pourra donc pas trouver une équation qui nous donnera un couple particulier. J'avais vu ça rapidement (en remarquant que quoi que je fasse, je trouvais un système avec une inconnue de plus que le nombre d'équations) donc j'ai cherché le produit a*b en voyant que l'aire du triangle qu'on cherche vaut a*b-13.
Effectivement , il y a un infinité de couples solutions pour (a ; b) tels que (a * k ; b / k) , couples qui doivent respecter : a * b = 20.
Ce n'est pas intuitif . Sachant que chacun des 3 triangles a une aire imposée, ainsi donc que l'aire du rectangle , calculée et égale à : a* b = 20.
Ainsi que les aires respectives de chacun des 4 triangles inclus dans le rectangle : 5; 6; 2; 7.
Merci pour vos explications.
Excellente remarque.
"...n'importe quel couple (a*k,b/k)..."
ou l'inverse (a/k,b*k) formulation aussi valable, on peut étirer le rectangle soit sur l'abscisse, soit sur l'ordonnée.
Vous me direz que c'est la valeur de k ( sup ou inf à 1) qui définit la coordonnée d'étirement, mais question formulation les deux sont valables.
Très joli, dynamique, enthousiasmant et valorisant finement les éléments essentiels de la démarche de recherche : bravo !
Petite suggestion : Ne rate jamais une occasion de justifier la non-nullité d'une variable ou d'une expression que tu mets au dénominateur ou par laquelle tu multiplies les deux membres d'une égalité (ici, ça ne prend que deux secondes), pour ce type d'élèves ça doit être bétonné sans relâche 😉 !
Bonne continuation, je me réjouis des prochaines, tes élèves ont bien de la chance 😊 !
A partir de y² -26 y + 120 = 0, j'avais été plus sioux, car ce que l'on cherche est en fait (y - 13), et donc :
y² - 26 y + 169 - 169 + 120 = 0
(y -13)² - 49 = 0
(y-13)² = 7²
deux solutions 7 et -7, seule la solution positive convient.
Un grand bravo pour la démo, et surtout ta bonne humeur communicative. 😁
Merci 😊
Très intéressant. Bravo
Oui j'aime bien aussi ce genre d'exercice. Tout ça en moins de 14 minutes. Chapeau. 😉
Voici ma résolution, qui ressemble à celle présentée ici. Posons x la longueur du rectangle, avec a et b les deux petites longueurs ; et y la largeur du rectangle, avec c et d les petites largeurs.
D'après la figure, on a donc le système suivant :
a+b=x
c+d=y
cx/2=5 cx=10
ad/2=2 ad=4
by/2=6 by=12
On a ainsi c(a+b)=10 ac+bc=10 bc=10-ac. Similairement, b(c+d)=12 bc+bd=12 bc=12-bd.
Par transitivité, 10-ac=12-bd bd-ac=2 bd=ac+2.
adby=4x12=48 ay(ac+2)=48 a(c+d)(ac+2)=48 (ac+ad)(ac+2)=48 (ac+4)(ac+2)=48.
Soit z=ac.
(z+4)(z+2)=48 z²+6z+8=48 z²+6-40=0.
Δ=36+4x40=196=14².
On a donc z1=(-6+14)/2=8/2=4 et z2=(-6-14)/2=-20/2=-10.
Comme a et c sont positifs, on a donc ac=4.
bc=10-ac=6.
On peut ainsi conclure :
bycx=120 (bc)xy=120 6xy=120 xy=20. Et donc l'aire centrale vaut donc 20-6-5-2=7.
Petite erreur de frappe, on a bien z²+6z-40=0
Je ne connaissais pas l'astuce de la factorisation a l'américaine (je dois être trop vieux). Je suis passé par le delta. Je ne connaissais pas non plus le lemme du coup j'ai refais chaque fois, je me suis retrouvé avec un tas de variables intermédiaire mais au final on retombe sur ses pattes.
Mais bon sang de bonsoir, c'était si simple, pourquoi n'ai-je pas trouvé ? J'avais 4 équations et 5 inconnues ! MAGNIFIQUE exercice !
Très intéressant !
La recherche du couple ab est effectivement le petit piège…
Mais je ne pense pas qu’un élève aille intuitivement chercher une telle solution… il faudra sûrement l’orienter à un moment… 😬
Merci aussi pour l’astuce de la factorisation du polynôme en carré ! 👍🏻
Je me suis tapé il y a fort longtemps le programme de maths de terminale C …
On avait des intégrales triple pour le petit déjeuner 😅… mais je ne me rappelle pas avoir jamais appris ça !
Merci pour la pépite et les explications au top !
J'ai vraiment aimé l'exercice 😊❤
Oui c'est une pépite!! Bravo!!
c est une meilleur question merci beaucoup pour l effort
Ce qui me rassure, c'est que ce problème qui peut être résolu par un élève de lycée n'est pas encore résolu par une IA.
Il le sera. Sinon, l'IA est tronquée.
L'IA est mathématique.
Avec o1:
** Prompt : **
> Soit un rectangle ABCD.
> Soit E un point sur le segment AD, tel que le triangle ABE ait une aire de 5 cm².
> Soit F un point sur le segment CD, tel que le triangle BCF ait une aire de 6 cm² et le triangle EFD une aire de 2 cm².
> Quelle est l'aire du triangle BFE ?
** Réponse : **
7 cm²
** Raisonnement : **
Pour résoudre ce problème, commençons par modéliser le rectangle ABCD avec des coordonnées.
1. **Modélisation du rectangle et des points :**
- Plaçons le point A à l'origine (0,0).
- Soit \( w \) la largeur du rectangle (AB) et \( h \) sa hauteur (AD).
- Le point E est sur AD, donc ses coordonnées sont \( E(0, y_E) \).
- Le point F est sur CD, donc ses coordonnées sont \( F(x_F, h) \).
2. **Calcul des aires données :**
- **Aire du triangle ABE :**
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times w \times y_E = 5
\]
Donc, \( w y_E = 10 \).
- **Aire du triangle BCF :**
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times h \times (w - x_F) = 6
\]
Donc, \( h(w - x_F) = 12 \).
- **Aire du triangle EFD :**
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times x_F \times (h - y_E) = 2
\]
Donc, \( x_F(h - y_E) = 4 \).
3. **Résolution des équations simultanées :**
- De \( w y_E = 10 \), on obtient \( y_E = \frac{10}{w} \).
- De \( h(w - x_F) = 12 \), on obtient \( x_F = w - \frac{12}{h} \).
- En substituant \( y_E \) et \( x_F \) dans \( x_F(h - y_E) = 4 \), on obtient une équation en \( w h \).
4. **Calcul de \( w h \) :**
- Posons \( s = w h \).
- Après simplification, nous obtenons l'équation quadratique :
\[
s^2 - 26s + 120 = 0
\]
Les solutions sont \( s = 20 \) ou \( s = 6 \).
- En testant \( s = 20 \), nous trouvons des valeurs positives pour \( w \), \( h \), \( y_E \) et \( x_F \).
- En testant \( s = 6 \), nous obtenons des valeurs négatives, ce qui n'est pas physiquement possible dans ce contexte.
5. **Calcul de l'aire du triangle BFE :**
- L'aire est donnée par :
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \left( w h - w y_E + x_F y_E
ight)
\]
- En substituant les valeurs trouvées :
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \left( 20 - 10 + 4
ight) = \frac{1}{2} \times 14 = 7 \text{ cm}^2
\]
@@olivierpicard8757 Je rectifie mon post : "il n'est pas encore résolu par une IA multimodale (= "qui lit le schéma"). Par contre quand on exprime le problème en français, si."
Ca avance très vite 😆
@@PhunkyBob Très certainement, je pense que l'IA va accélérer la fin de notre civilisation actuelle.
Qu'il y est des personnes bien intentionnées, c'est bien mais des personnes mal intentionnées, il y en a beaucoup.
@@PhunkyBob
Réflexion parfaite et très bien explicitée,
"...exprime le problème en FRANÇAIS..."
... exprime le problème en LANGAGE MATHÉMATIQUE.
Ça serait bien de dire dans le titre ou en introduction de la vidéo pour quel classe s'adresse ce type d'exercice.
Sinon très bien comme d'habitude 👌
Bah non ça diminuerait ses vues parce que les personnes ne regarderaient que les vidéos correspondant à leur niveau. Donc il va pas le faire
Merci pour cette superbe vidéo👍🏾
On peut le résoudre plus vite, je suis parti du principe que : En bas a gauche c'était un carré de coté 2 (2x2) = 4
En haut c'est un rectangle de coté 2x5 =10
Et en bas a droite c'est forcément 4x quelque chose qui donne 12, et c'est forcément 3
Magie : avec 3 +2 en bas , on retombe sur le 5 en haut
On fini par Aire Recherchée = 20- 5-2-6 = 7
=> Tout tombe juste et on fini en 30 secondes ! :)
Même solution que moi.
Attention : en ajoutant un présupposé étranger à l'énoncé, tu ne résous le problème que par chance...
Regarde les judicieux commentaires sur la non-détermination de a et b individuellement : ils montrent bien que "en bas à gauche" n'est pas forcément un carré...
@@michelkuhne5787 si la solution 2x2 ne donne pas de solution, tu reprends avec 4x1 puis 1x4.
Si la 2x2 marche, tu gagnes un quart d’heure. Si ça ne marche pas, ça te prend 30 secondes de plus...
@@michelkuhne5787 Non, je ne résous pas par la chance
Si c'était le cas il aurait fallu que je fasse X tentatives jusqu’à tomber sur la bonne solution, et la probabilité que je tombe immédiatement sur la bonne solution était infime.
Si j'ai trouvé aussi vite, c'est parce que l'énoncé a été conçu pour permettre de résoudre le problème très vite, donc ... il aurait été bête de s'en priver.
Sinon, c'est sûr que le défaut de ma solution est qu'elle n'est pas " universelle " , et si les valeurs données avaient été des valeurs " bizarres ", je suppose que j'aurais été incapable de trouver la solution en utilisant cette méthode.
Quoi que ... a essayer ...
@@mightyquest-lesdefaitesdej5298 Nous ne nous entendons pas sur la notion de "chance" 🤷...
Je ne voulais absolument pas dire que tu avais essayé n'importe quoi et que c'était tombé juste par hasard !
C'est dans la forme de l'énoncé que réside la "chance" !
Tu as su la saisir et en tirer une résolution pragmatique et astucieuse qui fournit une réponse satisfaisante, c'est très bien 😊 !
Bravo pour le million d'abonné ! Tu nous fais un vidéo de fête ?
Très intéressant. Merci.
Du coup, je cherche la valeur de a et la valeur de b.
J’avais oublié le terme ‘lemme’.
impossible, c'est scalable !
J'ai trouvé la réponse mais pas la méthode ! J'avais vu qu'avec 5x4 ça pouvait coller :)
fantastique ! j'attends toujours que tu répondes à ma question qui consiste à dessiner un triangle comportant 3 angles droits ! si si, c'est parfaitement réalisable. Bonne recherche
Pour l'aire du rectangle , la seule solution possible est Ar = a * b = 20.
Pour les valeurs de a et b , il y a quasi une infinité de couples solutions pour (a ; b) tels que (a * k ; b / k) , couples qui doivent respecter : a * b = 20.
Ce n'est pas intuitif . Car 3 triangles ont une aire imposée : 5; 6; 2.. Donc l'aire du rectangle qui inclu les 4 triangles , est indirectement imposée, calculée et égale à : a * b = 20.
Les aires de chacun des 4 triangles inclus dans le rectangle sont : 5; 6; 2; 7. L'aire du rectangle est 20.
Ca m'a rappelé mon école primaire, j'étais plutôt bon, premier de classe même, 45 ans plus tard ça ne semble plus aussi facile 😵💫😅
Bravo et merci pour cette nouvelle vidéo, encore une fois très intéressante. Est-il possible pour chacune de tes vidéos de mettre dans le titre, ou même de nous dire pendant la vidéo, à quel niveau scolaire correspond le sujet ? ça peut être utile pour les parents qui cherchent des questions à faire faire pour réviser ! Merci :-)
Pour parvenir à l'équation, je dirais qu'un 3ème ou un 2nde en est capable.
Pour la résoudre et dans la mesure où on est sur de la fonction polynôme du 2nd degré, je dirais 1ère, voire terminale ne sachant pas trop comment les programmes ont évolué.
Je trouve que la manière "américaine " est un peu empirique et elle serait impossible avec des nombres plus complexes...
Merci pour cette vidéo intelligente et captivante comme d'hab!👍
Oui c'est une méthode qui ne fonctionne que pour des exercices de prof où on tombe sur des nombres entiers. En réalité, ça n'arrive jamais donc totalement inutile.
Excellent 👍 Est-ce que ça aurait du sens (plutôt d'un point de vue physique que géométrique) de considérer a et b imaginaires, de telle sorte que leur produit soit égal à 20 ou 6 (et donc a et b de signe opposé)?
Autre solution de l’équation du deuxième degré:
c = 120 , on décompose 120 en facteur premier. a partir de cette décomposition, on trouve que le nombre de diviseurs de 120 est égale a 16.
on écrit ces diviseurs qui sont: 1 et 120 , 2 et 60 , 3 et 40, 4 et 30, 5 et 24 ,6 et 20, etc
on choisi les deux diviseurs dont la somme est égale a 26, se sont les solutions de l'équation
la chaine "Premath" l'avait proposé également il y a quelques temps.
ce pb là est génial !
je suis d'accord avec toi, trouver ab, sans trouver ni a ni b, c'est joli.
Cela dit, je cherche la petite bête, est on sûr que ce rectangle existe?
bon, on doit pouvoir trouver a et b, avec un système de deux équations
je suppose que non car si tu par example tu divises a par deux et que tu doubles a, toute les aires restent les mêmes.
(Et du coup, oui ce rectangle existe il suffit de prendre n'importe quel valeur de a > 0 et b = 20/a)
@@_yukulele ah oui bien vu
Sympa, merci! :)
j'ai réussi mais ma demonstration fait 3 pages et nous n'avons pas utilisé les mêmes méthodes ( pour ma part usage du discriminant, du théorème de Pythagore...) en tout cas ça m'a bien amusé après 3h de révisions de maths de terminale
Voici une autre façon de résoudre sans cette factorisation un peu chelou qui demande de "deviner" la réponse.
Important !!! Cette solution à été trouvée par L'IA : modèle o1 de OPENAI ( raisonnement complet)
On nous donne un rectangle ABCD divisé en quatre triangles par les segments de droite EF et BE, où E est situé sur AD et F sur DC. Nous connaissons les aires de trois de ces triangles :
Triangle AEB = 5
Triangle BFC = 6
Triangle DFE = 2
Notre but est de trouver l'aire du triangle restant, EFB.
1. Mise en place des coordonnées
Plaçons le rectangle ABCD sur un plan de coordonnées :
A : (0, h)
B : (w, h)
C : (w, 0)
D : (0, 0)
Nous pouvons également définir :
E : (0, k) où 0 < k < h
F : (x, 0) où 0 < x < w
2. Utilisation des formules d'aire
Nous pouvons maintenant utiliser les formules d'aire des triangles pour former des équations :
Triangle AEB : (1/2) * w * (h - k) = 5 => w(h - k) = 10 (équation 1)
Triangle BFC : (1/2) * (w - x) * h = 6 => (w - x)h = 12 (Equation 2)
Triangle DFE : (1/2) * x * k = 2 => xk = 4 (Equation 3)
3. Résolution des équations
Notre objectif est de trouver l'aire du rectangle (w * h) et de soustraire les aires connues pour trouver l'aire du triangle EFB. Pour ce faire, nous devons manipuler nos équations :
D'après l'équation 2 : h = 12 / (w - x)
Substituer h dans l'équation 1 : w * (12 / (w - x) - k) = 10
De l'équation 3 : k = 4 / x
Substituer k dans l'équation : w * (12 / (w - x) - 4 / x) = 10
En simplifiant cette équation, on trouve : w = (5x) / 2
Nous pouvons maintenant replacer cette valeur de w dans l'équation de h :
h = 12 / ((5x / 2) - x) = 8 / x
Enfin, nous pouvons calculer l'aire du rectangle :
w * h = ((5x) / 2) * (8 / x) = 20
4. Calcul de l'aire du triangle EFB
L'aire totale du rectangle est de 20. La somme des aires des trois triangles connus est 5 + 6 + 2 = 13.
Par conséquent, l'aire du triangle EFB est :
20 - 13 = 7
Réponse : L'aire du triangle EFB est 7.
Zut… je viens de comprendre… maintenant que je connais l’aire totale… je trouve facilement a et b
J'avais pris les valeurs numériques données pour les valeurs des côtes du triangle, et non les aires des 3 triangles adjacents ! Le pire, c'est que j'y ai passé une bonne heure en me demandant quel était l'utilité du rectangle car on peut parvenir à déterminer la valeur de l'aire du triangle du centre en calculant sa hauteur avec Pythagore et en sommant les 2 aires ainsi formées. On obtient une grosse formule lourde à trimbaler avec des racines carrées. Puis, j'ai lancé la vidéo et je me suis aperçu de ma méprise ! 😧
J'ai pensé comme vous, et avec Héron la surface se calcule en qques secondes... Puis j'ai dessiné le triangle avec les valeurs indiquées, on obtient un triangle obtus qui ne ressemble pas à celui du tableau !
Sachant qu'on cherchait l'aire du triangle central X, j'ai trouvé plus naturel de dire ab = X+13. On arrive à (13+X)(13-X)=120. Une gentille identité remarquable qui nous donne X=7 (ou -7 mais pas possible pour une aire).
Exo bien technique. Trop pour moi, même 😅
Et ce malgré ma dextérité mathématique...
12:23 Ne devrions nous pas à partir du moment ou nous avons "Aire=ab-13" : avoir le reflex de dire que ab>13 (vue que Aire>0, et et passage que a>0 et b>0 vue qu'il s'agit de longueur, et qu'implicitement tout de petit monde et différents de 0, tout comme x et y).
SI on est rigoureux oui, il faut toujours établir les conditions d'existence d'un problème/équation. Sinon on sait où ça nous mène
Excellent !
10 x plus vite et de tête !
Je pars du triangle du bas à gauche,. il n'existe qu'une seule solution c'est 2 x 2.
Celui du haut c'est 2 x 5, la hauteur est donc 4.
Reste celui de droite, sa base est 5 - 2, la hauteur est déjà 4. Le rectangle est donc 5 x 4 sans équation, j'enlève 13 et bingo !
tu aurais calculer delta prime = b ' x2 - a c , parceque -b est un nombre paire. delta' = 169-120=49 racine (delta') = +/- 7 , résultats 20 et 6
Comme l'exo est forcément facile avec des solutions entières, ce n'est pas très difficile de trouver de tête.
Sauf que devant une copie il faut démontrer le résultat.
J espère que dans un énoncé écrit il est mentionné que 5,6,2 sont des aires….😅 en regardant juste l image sur UA-cam je pensais que c était la longueur des 3 cotés….donc je ne voyais pas comment faire ( ne voulant pas regarder la vidéo pour la solution….). Sinon très intéressant
Votre question souffre d'imprécisions. Aire du rectangle ou du triangle?
Ce n'est qu'en démarrant la vidéo qu'arrive à savoir.
Peu importe; la différence entre les deux, c' est une soustraction, ça ne devrait pas vous faire peur :)
Hi ! La solution était déjà dans la question : on ne cherchait pas des longueurs, on cherchait des aires, fallait le deviner ... 😊
Je laisse la méthode empirique aux ricains; qu'ont-ils contre ∆ ceux-là?
Je passe par ∆, c'est plus classe. De même pour la forme canonique, (quitte à la redémontrer rapidement) où je calcule ∝ = -b/2a et β = f(∝)
Très bon exo du reste !
Il existe une très belle solution géométrique à ce fameux problème. Plus compliquée que ces petites équations, mais tellement intéressante. la connaissez-vous ?
Non je ne la connais pas. Je suis tombé sur cette question par hasard
Trop de commentaires. Dis seulement l'essentiel pour permettre aux gens de comprendre
👍🙏👍
Si je pouvais être aussi drôle 😅
M. Hedacademy m'inspire quand je fais des corrections d'exercice, justement pour garder ce sourire.
😍😍 c’est beau de lire ce message
Joli !
🙏🙏🙏
Joliiiii :)
Si on considére que l,aire 6 a un angle droit, qu,il fallait préciser sur la figure.
Si un tel rectangle existe, son aire est 7 mais Il faudrait aussi démontrer l'existence d'un tel rectangle en en construisant un.
Après une petite heure au brouillon, si des gens sont intéressés, le côté a vaut 5 et le côté b vaut 4
Je pense que tu as fait une erreur
Il y a une infinité de solutions pour a et b, tant que leur produit vaut 20 (soit l'aire du rectangle)
Mais a = 5 et b = 4 est bien une solution
@@Adodo_1234 je suis pas tout à fait sûre qu'il y ait une infinité de possibilités pour a et b tel que a x b = 20 ET que l'aire des petits triangles soient égales à celles du croquis.
En fait, j'ai fais des "disjonctions de cas" si on peut appeler ça comme ça, en prenant tous les cas possibles pour lesquelles les petits triangles avaient une aire qui correspondaient à celles du croquis. Et ensuite en croisant ces possibilités entre elles, il n'en restaient plus que deux, où à chaque fois a x b vallait 20, mais une seule des deux satisfaisait aux égalités trouvées dans la vidéo, donc je suppose que seule une des deux (a = 5 et b = 4) est juste
@@faldang8457 bonsoir, merci pour votre analyse, cependant, Il y a bien une infinité de solutions, telles que sont les notations les aires 5 et 6 sont obtenues automatiquement
@@faldang8457 > en fait si, les possibilités sont effectivement infinies. On peut calculer deux exemples vite fait :
a = 10 ; b = 2
T1 : 10x1 => 10x1/2 = 5
T2 : 1x4 => 1x4/2 = 2
T3 : 6x2 => 6x2/2 = 6
a = 2.5 ; b = 8
T1 : 2.5x4 => 2.5x4/2 = 5
T2 : 4x1 => 4x1/2 = 2
T3 : 1.5x8 => 1.5x8/2 = 6
D'une manière générale, les deux côtés a et b sont divisés en deux sections chacun, a1,a2 et b1,b2 :
Si on part de a, on sait que b=20/a
Pour T1, on veut : b1 x a / 2 = 5
=> b1 = 10 / a
=> et b2 = b-b1 = 20/a - 10/a = 10/a = b1
Pour T3, on veut : b x a2 / 2 = 6
=> a2 = 12 / b = 12 / (20/a)
=> a2 = 3a/5
=> et a1 = a - a2 = a - 3a/5
=> a1 = 2a/5
Et pour T2, on veut b2 x a1 / 2 = 2,
b1 x a1 / 2
= 10/a x 2a/5 / 2
= 10 x 2 / 5 / 2
= 2
=> cool, ça colle ^__^
En somme, du moment que a est supérieur à 0 il y a une configuration qui répond aux critères ^__^
Ben moi j'ai multiplié par 2 chaque surface, j'ai décomposé les résultats en facteurs premiers....et ça collait...
Bonsoir ya un problème qui me tracasse
Je n'arrive pas à comprendre comment il soit possible de trouver des entiers naturels n telque 2^n+3^n+6^n soit divisible par 7.
Merci
En tous cas ça marche avec 2, mais après ça...
tu imagine trois suites différents :
- la première, u(n) est le reste de la division de 2^n par 7.
u(1) = 2
u(2) = 4
u(3) = 1
si ensuite tu calcules u(n+3), c'est le reste de la division de 2^(n+3) par 7. Or 2^(n+3) = 8 * 2^n = 7 * 2^n + 2^n : u(n+3) = u(n) donc u(n) suit un cycle (2, 4, 1) qui revient tous les 3 nombres.
- tu fais la même chose avec la suite v(n) est le reste de la division de 3^n par 7, mais là, c'est un cycle de 6 nombres (3, 2, 6, 4, 1 ,5), car 3^6 = 729 = 7 * 140 +1
v(n+6) = v(n)
- tu fais la même chose avec la suite w(n) est le reste de la division de 6^n par 7, mais là, c'est un cycle de 2 nombres (6, 1), car 6^6 = 36 = 7 * 35 +1
w(n+2) = w(n)
En fait, tu cherches un nombre n pour lequel u(n) + v(n) + w(n) est multiple de 7
- 1 : 2 + 3 + 6 = 11
- 2 : 4 + 2 + 1 = 7 : OK
- 3 : 1 + 6 + 6 = 13
- 4 : 2 + 4 + 1 = 7 : OK
- 5 : 4 + 5 + 6 = 15
- 6 : 1 + 1 + 1 = 3
ensuite
u(n+6) + v(n+6) + w(n+6) = u(n+3) + v(n) + w(n+4)
u(n+6) + v(n+6) + w(n+6) = u(n) + v(n) + w(n+2)
u(n+6) + v(n+6) + w(n+6) = u(n) + v(n) + w(n)
L'ensemble des solutions à ton problème : tous les multiples de 6 plus 2 (2, 8, 14, 20, ...) et tous les multiples de 6 + 4 (4, 10, 16, 22,..)
Forme canonique
Moi j'aurai bien aimé connaître a et b...
La "factorisation américaine" est-elle vraiment plus rapide ?
Comme le coef b est pair, on peut calculer rapidement le discriminant réduit : ∆' = b'² - ac = 13² - 1x120 = 169 - 120 = 49 = 7²
Et les deux racines viennent non moins rapidement : 13 - 7 et 13 + 7, c'est à dire 6 et 20
Non car elle fonctionne uniquement quand les solutions sont des petits nombres/chiffres entiers. Et passer par delta avec ce genre de nombre, ça prend 10sec à résoudre.
à 8:37, pour être très rigoureux, on peut multiplier par "y" mais à la seule condition de dire et prouver que "y" est non-nul, comme y = ab et que "a" et "b" sont les longueur/largeur d'un rectangle qui existe, on sait que c'est un nombre non-nul. 😉
Iman ne le dit pas car c'est évident.
8:30 : je ne suis pas fan de ce passage.... mais soit.
ça n'a surtout aucun sens parce que c'est exactement la même chose que mettre au dénominateur.
@@Darwiin88 c'est surtout le tout multiplié par "y" que j'aime pas.
y égale 20 et y égale 6 (aussi)
8:20 dommage de ne pas avoir montré comment mettre sous le même dénominateur..... je n'y arrive pas.
Pour le premier terme y, il faut le diviser par y et donc aussi le multiplier par y soit y²/y.
Et pour -26 ?
Pareil ?
26y/y ???
Ce qui ferait :
y²+120-26y ????
Ah bein oui, c'est ça. 😅😅😅
Tu ne sembles pas connaître la Formule de Héron :
p = demi-périmètre du triangle = ( a + b + c ) / 2
Aire du triangle = racine carrée de ( p (p - a) (p - b) (p - c) )
'tain, je m'inquiète, rien qu'à regarder l'image, j'ai pensé de suite : çà fait 7, mais je ne saurais pas dire pourquoi. C'est normal docteur ?
J'ai employé la formule de héron et ne trouve pas le même résultat ?
2:38 ça veut dire quoi "LEM" ??? C'est une abréviation ?
Lemme, c'est en gros un résultat intermédiaire avant de répondre à la question posée.
@@MsVava63 Oui ça j'ai compris. Mais d'où vient ce mot ?
Ok j'ai trouvé : Du latin lemma (« proposition auxiliaire »), lui-même issu du grec ancien λῆμμα , lêmma (« gain, profit, base d'un syllogisme »
Lunar Excursion Module c'est le véhicule utilisé pour se poser sur la Lune dans les années 69-72 (missions apollo)
@@Darwiin88 Hors sujet ☹️
@@armand4226Pas hors-sujet, il répond à la question posée !
C'est quel niveau ce type d'exercice ?
Moi en regardant le dessin et en comparant les aires au visu j'ai de suite pensé 7~8. Bon ok, c'est pas des maths ...
كثرة أكل اللحوم أعتقد أنه مضر بالصحة ! ٠
En deux minutes, sans regarder la vidéo. Je double les surfaces des triangles (4, 10, 12) pour trouver tous les côtés possibles des rectangles correspondants : 1x4 et 2x2 pour le 4, 1x10 et 2x5 pour le 10, et 1x12, 2x6, 3x4 pour le 12. Je choisis la figure qui offre le moins de possibilité, c'est le rectangle de surface 10 (1, 2, 5, 10). Et je raisonne avec les deux plus grandes longueurs (5 et 10). A l'opposé, on doit obtenir 10 ou 5 avec les côtés possibles des deux rectangles de surface 4 et 12. Il y a deux solutions, soit on fait 10 avec 4 et 6, et on obtient des largeurs du grand rectangle de 1+1 d'un côté et de 2 du côté opposé, ce qui ferait une surface de 2 x 10 = 20, soit on fait 5 avec 2 et 3, et on obtient des largeurs du grand rectangle de 2+2 d'un côté et 4 à l'opposé, ce qui donne aussi un grand rectangle de 5x4 = 20. Il ne reste plus qu'à retrancher les surfaces des trois triangles à celle du grand rectangle 20 - 13 = 7 (si je ne me suis pas trompé ...)
L'avantage de cette méthode, c'est qu'on a pas besoin de calculs compliqués, tout se fait de tête. J'ai juste utilisé un coin de brouillon pour marquer les résultats au fur et à mesure, parce que ma mémoire laisse à désirer ...
Maintenant je vais regarder la vidéo !
Peut ton vraiment utilisé la méthode Américaine ? Rien nous dit que les 2 inconnus I, J de (y + I) (y + J) sont des entiers. Sa pourrais être 0.5 et 240 ou tout autre valeurs. Sa donne des possibilité infini.
On peut l'utiliser dans cet état d'esprit:
1) si les paramètres de l'équation sont entiers, je tente la méthode
2) si je ne trouve pas rapidement deux nombres qui fonctionnent, je reviens à la méthode standard
Cette méthode n'est donc pas toujours utile.
Mais il n'y a pas une infinité de possibilités. Pour résoudre l'équation, je cherche deux nombres x et y tels que xy=120 et x+y=-26.
xy=120 => y=120/x
=> x+120/x=-26
=> x^2+120=-26x
=> x^2+26x+120=0
On retrouve presque la même équation que celle de départ (juste +26 au lieu de -26, ce qui est lié à un changement de signe)
Il y a donc deux solutions, pas une infinité.
L'aire = 5 + 2 = 7
On trace une ligne horizontale du coin gauche du triangle rose
On trace une ligne verticale du coin en bas du triangle jusqu'à la ligne horizontale
On divide le triangle rose ainsi en trois petits triangles
l'aire du petit triangle rose en bas à gauche = 2
la somme de l'aire du petit triangle rose en bas à droite et celui du petit triangle rose en haut = 5
pourquoi vous enlevez 13 ???
Parce qu'on cherche l'aire du triangle central, regardez le début de la vidéo.. Le y c'est l'aire du rectangle, et 6+5+2=13...
le changement de variable n'en est pas un et ne sert à rien.
Il manque un point intéressant à cette vidéo, qui est de comprendre quelles sont plus précisément ces deux solutions à priori, dont une est (abusivement) présentée ici comme « non valide », sans explication.
Or il y en a une d’explication et elle est importante. Car les deux solutions possibles pour ab, 20 et 6, donnent respectivement deux solutions pour l’aire du triangle central, rigoureusement opposées : 7 et -7.
Faut il à priori « rejeter » cette dernière, sous prétexte qu’elle est négative, en la qualifiant à la légère « d’absurde »? Non, pas du tout. Ce qu’il se passe ici c’est que l’aire, pour être complet, est une grandeur algébrique et non pas seulement « arithmétique », et son signe est un élément tout aussi important que sa mesure absolue, et indique son orientation.
Car tout comme les vecteurs, les aires, les volumes, etc, sont (en général) orientables. Et ainsi, les deux valeurs de l’aire du triangles trouvées, identiques en valeur absolue, mais opposées en signe, indiquent simplement mais de façon importante, les deux orientations possibles d’un tel triangle.
Ce point est en fait d’une grande importance, que les Grecs négligeaient. Mais on est en 2024 et il serait temps de se mettre à jour en travaillant avec toutes les caractéristiques d’une surface : son aire (absolue) et son orientation. De sorte qu’on ne soit pas surpris de trouver deux solutions, ni porté à juger abusivement comme « absurde » la solution qui « a le malheur » d’être simplement d’une orientation contraire au sens « positif » arbitrairement choisi pour orienter le plan (en général c’est le sens « trigonométrique » anti horaire qui est arbitrairement considéré comme « positif »).
Enfin, derrière cette notion d’orientation, se « cache » le fait que ces deux triangles solutions, dont les orientations son opposées, ne sont pas exactement « les mêmes ». Ils sont bel et bien différents, dans la mesure où l’on ne peut transformer l’un en l’autre sur un plan sans « sortir » du plan. En d’autres mots il n’y a pas de rotation du plan qui amène l’un sur l’autre, comme la main gauche et la main droite. Ils sont de « chiralité » différente, et l’on sait l’importance de cette notion pour les protéines du corps par exemple dont une orientation est naturelle et l’autre toxique pour le corps. Aussi pour passer d’une solution à l’autre, d’un triangle à l’autre, il faut faire une symétrie axiale, qui est une « isométrie négative ».
On comprend maintenant pleinement pourquoi il y a réellement deux solutions « physique », géométrique.
Ainsi le problème a une seule solution si c’est l’aire absolue qui est recherchée. Mais deux opposées si c’est l’aire orientée qui est recherchée. Les deux solutions correspondant à des triangles non superposables. Ils sont bien différents. Et dans tous les cas il est utile de n’être pas surpris d’en trouver deux, et d’en connaître la raison profonde.
je suis pas fan de ta factorisation américaine, ca présuppose que les nombres sont entiers (j'aime pas les equations diophantiennes, j'étais un topologiste) désolé
Trop bizzrre ce premier commentaire
J'ai un master en sciences, je pige rien à ce qu'il raconte. Le changement de variable totalement inutile, juste une perte de temps.
Et le plus magique c'est le moment où on ne met pas au même dénominateur mais on multiplie tout par y... C'est EXACTEMENT la même chose.
J'ai vraiment l'impression qu'il ne comprend pas lui-même ce qu'il fait
" a et b sont des personnes" , "qui est a", "lui".... ca devient enervant cette façon d'exprimer des notions geometriques et mathematiques comme des personnes.
Et pourtant le cœur de mon approche 😉
Rendre vivant tout ce beau monde 🥰
8:35 le truc c'est que pour moi cette méthode c''est de loin la plus directe. En tous cas "la première" éthode, celle qui est censée être la plus "normale" ne me vient pas en tête.
J’adore vos vidéo. Garce à vous je suis devenu la référence dans la famille pour aider leurs enfants dans l’aide aux devoirs. Mais maintenant que « ab » est définit, pouvez vous poussez plus loin la réflexion pour trouvez a et b… je suis frustré de ne ne pas connaître a et b ?… comme un goût d’inachevé dans la démonstration.