Nous on avait un moyen mnémotechnique pour se souvenir des propriétés, c'était "l'anneau va dans le glan" car : -G : (A, +) est un groupe ; -L : La loi "." est une loi interne ; -A : La loi "." est associative ; -N : La loi "." possède un élément neutre. De plus pour les groupes on avait "anis" : -A : La loi "+" est associatif ; -N : La loi "+" possède un élément neutre ; -I : La loi "+" est une loi interne ; -S : La loi "+" est symétrique.
il n est pas necessaire que la seconde loi possede un element neutre pour que ca soit un anneau, si c est le cas ca doit etre un anneau unitaire et de plus pas besoin non plus de la commutativité et merci
La définition standard d'anneau impose que la deuxième LCI possède un élément neutre, sur wikipedia ces "anneaux" sans élément neutre pour la seconde LCI sont appelés "pseudo-anneaux" pour éviter la confusion.
Je cite Daniel Perrin dans son célèbre "Cours d'Algèbre" pour l'Agreg, dans ses rappels préalable à la partie Propriétés arithmétiques des anneaux, qui me semble clarifier ce point précis :" Les anneaux sont aussi supposé unitaires (les anneaux non unitaires, eux, n'ont guère d'intérêt et interviennent, essentiellement, comme idéaux des anneaux unitaires)". N'oublions pas que la notion même de structures algébriques est essentiellement utilitaire et que nous sommes ici dans le cadre d'une simple introduction (fort bien faite) à la découverte de ces structures.
Pardon, mais tu donnes la définition d'un anneau unitaire, pas d'un anneau "simple". L'anneau simple n'a pas par défaut l'élément neutre de la multiplication. Désolé de réagir qq années après ... Autre chose, je préfère le terme "loi interne" ou "opérateur" à "loi de composition interne", puisque cela implique déjà un présupposé (la composition de deux fonctions a un sens précis).
Oui , le premier ensemble A muni de loi x doit etre un groupe abelien c''est a dire commutatif , mais c 'est tu veux dire que le groupe est toujours commutatif la non , pas forcement
La distributivité est en fait ici une mise en évidence, qui est l'opération opposée de la distributivité. Si a x (c + b) = (a x c) + (a x b) est la distributivité (a x c) + (a x b) = a x (c + b) est une mise en évidence.
Je suis un peu étonné par votre affirmation qu'un anneau sous-entend une notion de nombre pour la distributivité ; vous la fondez sur le fait que la composition de fonctions ne permet pas de constituer un anneau, mais on peut imaginer des opérations sur les fonctions qui permettent de constituer un anneau de fonctions (si on prend un anneau A muni d'opérations notées + et x, et qu'on définit F ensemble des fonctions de A -> A avec une opération + qui à f + g associe la fonction x -> f(x) + g(x) et une opération x qui à f x g associe la fonction x -> f(x) x g(x), F est un anneau). Je comprends que vous souhaitiez raccrocher la notion d'anneau à des notions plus communes et que du coup vous expliquiez la distributivité par l'équivalence vue en CE1 entre 2 + 2 + 2 et 3 x 2, mais mathématiquement cela me semble faux.
Bonjour, Votre exemple ne fonctionne que parce que vous prenez des fonctions dont l'ensemble d'arrivée est un anneau, donc déjà un ensemble avec lequel on peut compter. On peut alors assimiler la fonction constante égale à 1 au nombre 1, la fonction constante égale à 2 au nombre 2 et ainsi de suite. Donc pour pouvoir avoir un anneau de fonctions, il faut déjà qu'il y ait des "nombres" derrière. Bien sûr quand je dis "nombres", il faut le prendre dans ce sens très large "d'objets avec lesquels on peut compter", ce ne sont pas forcément les entiers naturels ou les nombres réels.
Mickaël Launay Bonjour, certes, votre manière de présenter offre l'avantage d'être très accessible (et ce n'est pas rien!), mais il me semble tout de même qu'elle trouve ses limites pour ce qui est des matrices carrées. En effet, celles-ci forment un anneau et la multiplication des matrices correspond bien à une loi de composition de fonctions, pourtant leur ensemble d'arrivée est un espace vectoriel donc pas nécessairement un anneau. Si bien qu'il n'est pas tout-à-fait valable de dire qu'un élément d'un anneau est un nombre. D'ailleurs c'est à mon avis à cause des matrices carrées que la commutativité de la loi x n'est pas requise dans la définition d'un anneau (c'est comme ça que je le retiens en tout cas).
Ismaël MARTIN C'est assez vieux pour moi et j'ai un peu oublié le vocabulaire ou les notations, mais Je vais tâcher de te répondre sans trop faire de fautes... Pour toute question dans le genre, je ne saurais trop te conseiller de te rendre au site ilemaths où tu trouveras certainement des interlocuteurs plus compétents que moi. Mais pour en revenir à ta question: Pour ce qui est de la multiplication des matrices, je dirais que ce n'est interne que pour les matrices carrées, parce que dans ce cas uniquement :les deux matrices que tu multiplie sont du même "type" et tu obtiens comme résultat une matrice du même type que les 2 matrices précédente ( par exemple une matrices (3,3) multipliée par une matrice (3,3) donne encore une matrice (3,3) )ce qui est loi d'être le cas sinon (les 3 matrices sont de types différents). Pour ce qui est de la multiplication d'une matrice par un nombre, il s'agit d'une loi de composition externe puisque le résultat est une matrice de même type que la matrice qui a été multipliée par un nombre, c'est donc une loi de composition et comme un nombre et une matrice sont de natures différentes, cette loi est donc externe. voili voilou
Ismaël MARTIN En fait, cela explique qu'on étudie surtout les matrices carrées (matrices diagonalisables, trigonalisables, symétriques, inversibles, transposée d'une matrice matrice de passage...). Du coup, quand on me dit "matrice" je vois plutôt une matrice carrée qu'une matrice quelconque.
Je pense qu'il n'est pas nécessaire que la deuxième loi x admette un élément neutre...sinon la définition d'anneau unitaire n'a aucun sens. Très cordialement.
C est beau tout ca mais ca sert a rien dans la vie courante . On.m a fait ch..avec ca pendant toutes mes etudes et en terminale on savait ce qu etait une bissectricecou une mediatrice dans un triangle
Bonjour, je débute, donc une question de débutant: dans l'exemple f°f°f etc... Ne peut on pas considérer 5 comme une fonction constante? et donc on aurait une loi de composition interne... Merci par avance à celui ou celle qui aura 3 mn pour me répondre..
@@anasstsouli2682 Non, mais je n'ai sans doute pas cherché suffisamment et il est sûr que je n'ai pas compris le problème ou pas compris correctement l'exposé... Tu as un avis? Une réponse à ma petite question? ou ma question est-elle trop idiote, voir sans sens? Je suis preneur d'avis..
En réalité, pour expliquer le fait la propriété 3+3+3+3+3=5*3 il aurai plutôt fallu faire: ba+ca=(b+c)a pour que ca donne a+a=2a au lieu de faire la distributivité dans l'autre sens parce que ce qui sert pour compter dans cette oppération non commutative est à gauche.. Parce qu'en fait, tu te retrouves avec a+a=a2 or a2 n'a pas de raison d'être égal à 2a Mais bon, c'est du chipotage :*
Désolé si ces questions ont déjà été posées avant, en plus du fait que cette vidéo date : Dans l'exemple de l'anneau en particulier on remarque que l'élément neutre de l'addition, 0 est devenu un élément absorbant de la multiplication tel que pour a un élément de l'ensemble 0 x a = a x 0 = 0. En remarquant que si T une loi de composition interne et T' une autre loi de composition interne telles que a T a T ... T a = n T' a = a T' n avec n le nombre d'applications de T et e l'élément neutre de la loi T, on aurait e = 0 T' a = a T' 0 ce qui reviendrait à composer a 0 fois par la loi T (C'est que j'ai déduit de la vidéo, et évidemment T et T' ont toutes deux les 4 caractéristiques évoquées). J'ai donc maintenant deux questions : D'abord si on admet que e = 0 T' a = a T' 0 est correct, quelles sont alors les différences entre ces deux éléments ? Sont ils égaux ? Sont-ils contradictoires avec la nature de la loi T (LCI) ? Ensuite quelles conditions doivent être vérifiées par les deux lois T et T' pour qu'un élément absorbant existe ?
Bravo pour votre vidéo. Mais je trouve dommage que vous restreigniez les anneaux aux nombres. En effet la distributivité, qui entraîne que l'on peut compter les éléments, ne fait pas à elle seule de la multiplication une loi interne. Ce qui se passe c'est que quand on fait a+a+a...+a=na, na ne signifie pas la même chose que nxa. Dans un cas c'est une loi externe, dans l'autre c'est une loi interne. Les éléments de A ne sont pas forcément des entités qui permettent de compter. Il se passe la même chose pour les groupes abéliens, et pour cause un anneau est d'abord un groupe abélien. On pourrait par exemple prendre des fonctions ou des matrices. Avec la composition ou la multiplication matricielle comme multiplication interne. Mais compter avec des entiers resterait possible, sans que cette multiplication soit interne. C'est une loi externe de Z x A dans A, plus généralement de Z x G dans G, une structure qui généralise la loi externe d'un espace vectoriel, qu'on appelle un module. Les modules sont aux anneaux ce que les espaces vectoriels sont aux corps. Ainsi un groupe abélien est un Z-module (un module sur l'anneau Z) dont la loi externe est donnée par: Si n est positif, nxg=g+g+g...+g (n fois) Si n est négatif, n x g= (-g)+...+(-g) (-n fois) C'est pour ça qu'introduire la multiplication interne comme répétition de l'addition est un peu "casse-gueule" car c'est la structure de Z-module qui est en cause et non celle d'anneau. Moi-même j'avais été surpris les premières fois de ce rôle étrange de l'anneau Z dans les groupes et les anneaux, là où on ne l'avait a priori pas convoqué ! Enfin suivant les auteurs un anneau possède ou non un élément neutre pour la multiplication. Certains précisent anneau unitaire ou unifère quand c'est le cas. Amicalement.
Merci, juste une question, pourquoi on met comme opérations l'addition et la multiplication alors que la multiplication est une répétition d'addition? Si c'est parce que l'on peut multiplier par des non naturels pourquoi on n'a pas la puissance (on peut aussi avoir des puissances non naturel) merci
Bonjour Mickael je sais b1 que je réponds après plusieurs années je veux juste que tu m' éclaircis un point : vous avez dit q'un anneau est une prolongation d 'un groupe or vous avez aussi dit que le groupe généralement possède une deuxième l.c.i qui est généralement l 'opposé d'où la symétrie or ne faut il pas que la 2 ème l.c.i soit la soustraction dans le cas pris dans la vidéo et merci.
6:56 je n'y connais rien mais j'ai pensé à ce moment là au lambda-calcul et à l'encodage de Church qui exprime justement les nombres avec des compositions. Du coup je me suis demandé comment ça marcherait et là j'en suis rendu à nettoyer les éclats de cervelle sur mon tapis.
Dites moi svp que je ne suis pas le seul lycéen qui s'est posé une question simple :existe-t-il des suites dans C ?? Et qui est tombé sur un pdf d'un cours d'université où la premières propriété est "(Rn, +, X) est un anneau commutatif" et donc qui cherche à mettre fin à son ignorance 😭😭
Bah oui pourquoi ca n'existerait pas? Une suite c'est une application qui prend un entier et qui rend autre chose. Par exemple la suite u_n=n+2 : tu lui donne n et il te rend n+2. Toi ce que tu as demandé c'est es qu'il existe une application qui prend un entier et qui rend un nombre complexe. Bah ca existe,par exemple u_n=i*n. On a u_1=i, u_2=2i... J'espère que ca te vas.
@@phixi7417 oui merci beaucoup, je doute car bien des choses ne sont pas forcément logique. Pour illustrer mon propos, la notion d'ordre dans les complexes, elle n'existe pas mais dans R si... Autre chose, saurais tu si c'est possible de faire des bijection de classes ?
@@thefallenchosenone1683 tu veux dire trouver des fonctions qui prennent par exemple des polynomes et qui renvoient des rectangles(tous différents grace a la bijection?)par exemple ?
les matrices sont-elles des anneaux puisque leur multiplication nest pas commutative. si non ou se situent les matrices dans les structures algébriques
Une petite remarque: dans la définition de l'anneau, "addition" et la "multiplication" sont liées par _choix_; dans la vidéo on dirait que c'est une conséquence de la multiplication, alors que celle-ci n'est pas encore définie (qui dit que la deuxième loi est là pour compter ?). Ce n'est peut-être pas très clair alors je m'explique. A priori, on peut vouloir prolonger la notion de groupe en ajoutant juste une deuxième loi qui, associée à l'ensemble, forme un monoïde. Et là, on pourrait très bien garder les fonctions. Mais on fait le **choix** de lier cette deuxième loi à la première, un peu comme la multiplication est liée à l'addition. Ce choix implique qu'on ne puisse plus considérer les fonctions. Je trouve la démarche inverse est suivie dans la vidéo : "vous voyez que la multiplication ne permet pas de garder les fonctions", et on parle après de distributivité.
En fait les anneaux ne se cantonnent pas aux nombres. Il y a les anneaux de polynômes, de fonctions, de matrices, etc. La propriété qui permet de compter reste là, mais c'est une opération externe, un peu comme celle d'un espace vectoriel sur un corps, sauf que là c'est sur l'anneau Z. On a ainsi une opération externe de Z x A dans A, qui à (n,a) associe na=a+a+a...+a. On dit que A est un module sur Z.
Je comprends le retour au +, au -, et au x. Néanmoins on sera passé sur les structures algébriques sans voir la loi point et la loi rond. J'entends par là, sans globaliser, sans les définir.
Troisième commentaire que je laisse sur une de tes vidéos le même jour (oui je découvre la chaine :) ). En fait juste pour vérifier mais ça me semble juste, si un anneau est fini alors pour tout a dans A il existe un b dans A tel que a x b = 0 . C'est un corollaire du théorème de la vidéo précédente en fait. La preuve revient à la suivante : On a un anneau qui est fini donc (A,+) est un groupe fini également, et donc par le théorème précédent on peut donc affirmé qu'en faisant un certain nombre de fois a + a + ... + a, on va obtenir 0. Ensuite comme 1 est l'élément neutre de x, j'ai très bien le droit d'écrire que a + a + ... + a = (a x 1) + (a x 1) + ... + (a x 1) et donc en appliquant la propriété de distributivité on va obtenir que (a x 1) + (a x 1) + ... + (a x 1) = a x (1+1+...+1) si je note 1 + 1 + ... + 1 = b alors j'ai a x b = 0 Je pense pas faire de fautes dans ce raisonnement, je trouvais que c'était rigolo comme corollaire alors j'avais envie d'en parler. :)
+Mickaël Launay (Micmaths) autant pour moi, je viens de rebobiner, effectivement vous avez parlé de commutativité de l'addition. Est-ce que tout anneau est unitaire? Si non donnez un contre exemple.
Est-ce normal que la commutativité de l'addition fasse l'objet d'un petit 5) et non d'un 4 ème point ? Il me semblait qu'un groupe n'était pas nécessairement commutatif (ce qui est par ailleurs mentionné dans la vidéo). Nous excluons les fonctions, mais cela permet il de proposer une deuxième définition de la notion de groupe ?
il faut sortir de son corps pour comprendre ce genre de chose
😂😂😂
5X3 = (1+1+1+1+1)X(1+1+1) ?
Nous on avait un moyen mnémotechnique pour se souvenir des propriétés, c'était "l'anneau va dans le glan" car :
-G : (A, +) est un groupe ;
-L : La loi "." est une loi interne ;
-A : La loi "." est associative ;
-N : La loi "." possède un élément neutre.
De plus pour les groupes on avait "anis" :
-A : La loi "+" est associatif ;
-N : La loi "+" possède un élément neutre ;
-I : La loi "+" est une loi interne ;
-S : La loi "+" est symétrique.
Anoine The M c'est original...
Vous parlez d'anneaux unitaires
@@toumaderchakour8333 unitaires ou urinaires ?
GLAND avec le D pour dire que "." est distributive par rapport à "+"
Il ne s'agit pas des explications mais de l'art. Vraiment c'est de la poésie mathématiques. Respect du MAROC
il n est pas necessaire que la seconde loi possede un element neutre pour que ca soit un anneau, si c est le cas ca doit etre un anneau unitaire et de plus pas besoin non plus de la commutativité et merci
La définition standard d'anneau impose que la deuxième LCI possède un élément neutre, sur wikipedia ces "anneaux" sans élément neutre pour la seconde LCI sont appelés "pseudo-anneaux" pour éviter la confusion.
Je cite Daniel Perrin dans son célèbre "Cours d'Algèbre" pour l'Agreg, dans ses rappels préalable à la partie Propriétés arithmétiques des anneaux, qui me semble clarifier ce point précis :" Les anneaux sont aussi supposé unitaires (les anneaux non unitaires, eux, n'ont guère d'intérêt et interviennent, essentiellement, comme idéaux des anneaux unitaires)". N'oublions pas que la notion même de structures algébriques est essentiellement utilitaire et que nous sommes ici dans le cadre d'une simple introduction (fort bien faite) à la découverte de ces structures.
Même commentaire,il n'est pas nécessaire que la deuxième loi ait un élément neutre pour Avoir un anneau
très bien expliqué, attitude agréable, paroles précises et faciles à comprendre.
Très bonne chaîne ^^
Franchement prof au top du top, merci beaucoup .
Pardon, mais tu donnes la définition d'un anneau unitaire, pas d'un anneau "simple". L'anneau simple n'a pas par défaut l'élément neutre de la multiplication. Désolé de réagir qq années après ...
Autre chose, je préfère le terme "loi interne" ou "opérateur" à "loi de composition interne", puisque cela implique déjà un présupposé (la composition de deux fonctions a un sens précis).
bonne remarque
Chapeau.tu explique encore mieux que mon prof.👌👏
- Ne faut-il pas que le groupe (A,+) soit commutatif ?
En fait, un groupe n'est pas forcément commutatif. Si il l'est, on dir que c'est un groupe abélien.
@@anonymeanonyme5538 oui mais pour qu'il soit un anneau c'est nécessaire
Oui , le premier ensemble A muni de loi x doit etre un groupe abelien c''est a dire commutatif , mais c 'est tu veux dire que le groupe est toujours commutatif la non , pas forcement
Bravo!vous m'inspére de bien étudier le monde de la mathèmetique. J'éspére qu'un jour je vous rencontre !
La distributivité est en fait ici une mise en évidence, qui est l'opération opposée de la distributivité.
Si a x (c + b) = (a x c) + (a x b) est la distributivité
(a x c) + (a x b) = a x (c + b) est une mise en évidence.
Je suis un peu étonné par votre affirmation qu'un anneau sous-entend une notion de nombre pour la distributivité ; vous la fondez sur le fait que la composition de fonctions ne permet pas de constituer un anneau, mais on peut imaginer des opérations sur les fonctions qui permettent de constituer un anneau de fonctions (si on prend un anneau A muni d'opérations notées + et x, et qu'on définit F ensemble des fonctions de A -> A avec une opération + qui à f + g associe la fonction x -> f(x) + g(x) et une opération x qui à f x g associe la fonction x -> f(x) x g(x), F est un anneau). Je comprends que vous souhaitiez raccrocher la notion d'anneau à des notions plus communes et que du coup vous expliquiez la distributivité par l'équivalence vue en CE1 entre 2 + 2 + 2 et 3 x 2, mais mathématiquement cela me semble faux.
Bonjour,
Votre exemple ne fonctionne que parce que vous prenez des fonctions dont l'ensemble d'arrivée est un anneau, donc déjà un ensemble avec lequel on peut compter. On peut alors assimiler la fonction constante égale à 1 au nombre 1, la fonction constante égale à 2 au nombre 2 et ainsi de suite. Donc pour pouvoir avoir un anneau de fonctions, il faut déjà qu'il y ait des "nombres" derrière.
Bien sûr quand je dis "nombres", il faut le prendre dans ce sens très large "d'objets avec lesquels on peut compter", ce ne sont pas forcément les entiers naturels ou les nombres réels.
Mickaël Launay Bonjour,
certes, votre manière de présenter offre l'avantage d'être très accessible (et ce n'est pas rien!), mais il me semble tout de même qu'elle trouve ses limites pour ce qui est des matrices carrées. En effet, celles-ci forment un anneau et la multiplication des matrices correspond bien à une loi de composition de fonctions, pourtant leur ensemble d'arrivée est un espace vectoriel donc pas nécessairement un anneau.
Si bien qu'il n'est pas tout-à-fait valable de dire qu'un élément d'un anneau est un nombre. D'ailleurs c'est à mon avis à cause des matrices carrées que la commutativité de la loi x n'est pas requise dans la définition d'un anneau (c'est comme ça que je le retiens en tout cas).
Ismaël MARTIN C'est assez vieux pour moi et j'ai un peu oublié le vocabulaire ou les notations, mais Je vais tâcher de te répondre sans trop faire de fautes... Pour toute question dans le genre, je ne saurais trop te conseiller de te rendre au site ilemaths où tu trouveras certainement des interlocuteurs plus compétents que moi.
Mais pour en revenir à ta question:
Pour ce qui est de la multiplication des matrices, je dirais que ce n'est interne que pour les matrices carrées, parce que dans ce cas uniquement :les deux matrices que tu multiplie sont du même "type" et tu obtiens comme résultat une matrice du même type que les 2 matrices précédente ( par exemple une matrices (3,3) multipliée par une matrice (3,3) donne encore une matrice (3,3) )ce qui est loi d'être le cas sinon (les 3 matrices sont de types différents).
Pour ce qui est de la multiplication d'une matrice par un nombre, il s'agit d'une loi de composition externe puisque le résultat est une matrice de même type que la matrice qui a été multipliée par un nombre, c'est donc une loi de composition et comme un nombre et une matrice sont de natures différentes, cette loi est donc externe.
voili voilou
Ismaël MARTIN En fait, cela explique qu'on étudie surtout les matrices carrées (matrices diagonalisables, trigonalisables, symétriques, inversibles, transposée d'une matrice matrice de passage...). Du coup, quand on me dit "matrice" je vois plutôt une matrice carrée qu'une matrice quelconque.
Je pense qu'il n'est pas nécessaire que la deuxième loi x admette un élément neutre...sinon la définition d'anneau unitaire n'a aucun sens.
Très cordialement.
C est beau tout ca mais ca sert a rien dans la vie courante .
On.m a fait ch..avec ca pendant toutes mes etudes et en terminale on savait ce qu etait une bissectricecou une mediatrice dans un triangle
Faut pas gonfler les eleves avec ca .
Ils savent meme plus faire une division a la main en seconde .
Les enseignants sont a cote de la plaque
Bonjour, je débute, donc une question de débutant: dans l'exemple f°f°f etc... Ne peut on pas considérer 5 comme une fonction constante? et donc on aurait une loi de composition interne... Merci par avance à celui ou celle qui aura 3 mn pour me répondre..
t'a trouvé la réponse du coup ?
@@anasstsouli2682 Non, mais je n'ai sans doute pas cherché suffisamment et il est sûr que je n'ai pas compris le problème ou pas compris correctement l'exposé... Tu as un avis? Une réponse à ma petite question? ou ma question est-elle trop idiote, voir sans sens? Je suis preneur d'avis..
En réalité, pour expliquer le fait la propriété 3+3+3+3+3=5*3 il aurai plutôt fallu faire: ba+ca=(b+c)a pour que ca donne a+a=2a au lieu de faire la distributivité dans l'autre sens parce que ce qui sert pour compter dans cette oppération non commutative est à gauche.. Parce qu'en fait, tu te retrouves avec a+a=a2 or a2 n'a pas de raison d'être égal à 2a
Mais bon, c'est du chipotage :*
et si à la minute 7:28, on considère que 5 est aussi un fonction qui associe à tout x la valeur 5. 5:R->5, pour tout x dans R, 5(x)=5
Désolé si ces questions ont déjà été posées avant, en plus du fait que cette vidéo date :
Dans l'exemple de l'anneau en particulier on remarque que l'élément neutre de l'addition, 0 est devenu un élément absorbant de la multiplication tel que pour a un élément de l'ensemble 0 x a = a x 0 = 0. En remarquant que si T une loi de composition interne et T' une autre loi de composition interne telles que a T a T ... T a = n T' a = a T' n avec n le nombre d'applications de T et e l'élément neutre de la loi T, on aurait e = 0 T' a = a T' 0 ce qui reviendrait à composer a 0 fois par la loi T (C'est que j'ai déduit de la vidéo, et évidemment T et T' ont toutes deux les 4 caractéristiques évoquées). J'ai donc maintenant deux questions :
D'abord si on admet que e = 0 T' a = a T' 0 est correct, quelles sont alors les différences entre ces deux éléments ? Sont ils égaux ? Sont-ils contradictoires avec la nature de la loi T (LCI) ?
Ensuite quelles conditions doivent être vérifiées par les deux lois T et T' pour qu'un élément absorbant existe ?
i love you . brave and smart 21/20
lool 😉
Bravo pour votre vidéo. Mais je trouve dommage que vous restreigniez les anneaux aux nombres.
En effet la distributivité, qui entraîne que l'on peut compter les éléments, ne fait pas à elle seule de la multiplication une loi interne. Ce qui se passe c'est que quand on fait a+a+a...+a=na, na ne signifie pas la même chose que nxa. Dans un cas c'est une loi externe, dans l'autre c'est une loi interne. Les éléments de A ne sont pas forcément des entités qui permettent de compter. Il se passe la même chose pour les groupes abéliens, et pour cause un anneau est d'abord un groupe abélien. On pourrait par exemple prendre des fonctions ou des matrices. Avec la composition ou la multiplication matricielle comme multiplication interne. Mais compter avec des entiers resterait possible, sans que cette multiplication soit interne. C'est une loi externe de Z x A dans A, plus généralement de Z x G dans G, une structure qui généralise la loi externe d'un espace vectoriel, qu'on appelle un module.
Les modules sont aux anneaux ce que les espaces vectoriels sont aux corps.
Ainsi un groupe abélien est un Z-module (un module sur l'anneau Z) dont la loi externe est donnée par:
Si n est positif, nxg=g+g+g...+g (n fois)
Si n est négatif, n x g= (-g)+...+(-g) (-n fois)
C'est pour ça qu'introduire la multiplication interne comme répétition de l'addition est un peu "casse-gueule" car c'est la structure de Z-module qui est en cause et non celle d'anneau. Moi-même j'avais été surpris les premières fois de ce rôle étrange de l'anneau Z dans les groupes et les anneaux, là où on ne l'avait a priori pas convoqué !
Enfin suivant les auteurs un anneau possède ou non un élément neutre pour la multiplication. Certains précisent anneau unitaire ou unifère quand c'est le cas.
Amicalement.
Merci, juste une question, pourquoi on met comme opérations l'addition et la multiplication alors que la multiplication est une répétition d'addition? Si c'est parce que l'on peut multiplier par des non naturels pourquoi on n'a pas la puissance (on peut aussi avoir des puissances non naturel) merci
Je pense qu'1 groupe n'est pas forcément commutatif. Et quand il l'est, on dit groupe abélien ! Aussi je préfère le terme loi interne à lci.
Bonjour Mickael je sais b1 que je réponds après plusieurs années je veux juste que tu m' éclaircis un point : vous avez dit q'un anneau est une prolongation d 'un groupe or vous avez aussi dit que le groupe généralement possède une deuxième l.c.i qui est généralement l 'opposé d'où la symétrie or ne faut il pas que la 2 ème l.c.i soit la soustraction dans le cas pris dans la vidéo et merci.
6:56 je n'y connais rien mais j'ai pensé à ce moment là au lambda-calcul et à l'encodage de Church qui exprime justement les nombres avec des compositions. Du coup je me suis demandé comment ça marcherait et là j'en suis rendu à nettoyer les éclats de cervelle sur mon tapis.
Est ce que quelqu'un pourrais bien m'indiquer dans quelle vidéo il parle de morphisme ? (s'il en parle bien sur)
Dites moi svp que je ne suis pas le seul lycéen qui s'est posé une question simple :existe-t-il des suites dans C ?? Et qui est tombé sur un pdf d'un cours d'université où la premières propriété est "(Rn, +, X) est un anneau commutatif" et donc qui cherche à mettre fin à son ignorance 😭😭
Bah oui pourquoi ca n'existerait pas?
Une suite c'est une application qui prend un entier et qui rend autre chose.
Par exemple la suite u_n=n+2 : tu lui donne n et il te rend n+2.
Toi ce que tu as demandé c'est es qu'il existe une application qui prend un entier et qui rend un nombre complexe.
Bah ca existe,par exemple u_n=i*n.
On a u_1=i, u_2=2i...
J'espère que ca te vas.
@@phixi7417 oui merci beaucoup, je doute car bien des choses ne sont pas forcément logique. Pour illustrer mon propos, la notion d'ordre dans les complexes, elle n'existe pas mais dans R si... Autre chose, saurais tu si c'est possible de faire des bijection de classes ?
@@thefallenchosenone1683 effectivement il n'y a pas d'ordre dans C mais ca ne pose pas de problème.
Tu veux dire quoi par classe?
@@phixi7417 un sous ensemble qui regroupe des éléments de la même nature, ça peut être aussi bien des chiffres que des polygones ou autres...
@@thefallenchosenone1683 tu veux dire trouver des fonctions qui prennent par exemple des polynomes et qui renvoient des rectangles(tous différents grace a la bijection?)par exemple ?
A 12:44 est-il juste de dire que la multiplication est donc une succession d'opérations d'additions de nombres issus eux même d'une multiplication?
les matrices sont-elles des anneaux puisque leur multiplication nest pas commutative. si non ou se situent les matrices dans les structures algébriques
Est-ce que la distributivité porte un autre nom ? Du genre "Theoreme de quelqu'un" ?
bravo mais est ce que tu peux me donner des exercices sur les matrice est ce qu'elle sont des groupe ect.. s'il vous plait
Une petite remarque: dans la définition de l'anneau, "addition" et la "multiplication" sont liées par _choix_; dans la vidéo on dirait que c'est une conséquence de la multiplication, alors que celle-ci n'est pas encore définie (qui dit que la deuxième loi est là pour compter ?).
Ce n'est peut-être pas très clair alors je m'explique. A priori, on peut vouloir prolonger la notion de groupe en ajoutant juste une deuxième loi qui, associée à l'ensemble, forme un monoïde. Et là, on pourrait très bien garder les fonctions. Mais on fait le **choix** de lier cette deuxième loi à la première, un peu comme la multiplication est liée à l'addition. Ce choix implique qu'on ne puisse plus considérer les fonctions. Je trouve la démarche inverse est suivie dans la vidéo : "vous voyez que la multiplication ne permet pas de garder les fonctions", et on parle après de distributivité.
En fait les anneaux ne se cantonnent pas aux nombres. Il y a les anneaux de polynômes, de fonctions, de matrices, etc.
La propriété qui permet de compter reste là, mais c'est une opération externe, un peu comme celle d'un espace vectoriel sur un corps, sauf que là c'est sur l'anneau Z.
On a ainsi une opération externe de Z x A dans A, qui à (n,a) associe na=a+a+a...+a. On dit que A est un module sur Z.
Qu'est qu'un demi ou semi anneau? Pourriez-vous donner un exemple concret?
-(A,x):
il n'y a écrit que tout élément à un opposé pourtant si ?
On peut pas diviser par 0
Je comprends le retour au +, au -, et au x.
Néanmoins on sera passé sur les structures algébriques sans voir la loi point et la loi rond. J'entends par là, sans globaliser, sans les définir.
excellent. txs!
Nadi canadie bro
C'est de n'importe que !!
l'est doué, l'gars !!!!!!!!!!!!!!!!!!
Troisième commentaire que je laisse sur une de tes vidéos le même jour (oui je découvre la chaine :) ).
En fait juste pour vérifier mais ça me semble juste, si un anneau est fini alors pour tout a dans A il existe un b dans A tel que a x b = 0 .
C'est un corollaire du théorème de la vidéo précédente en fait. La preuve revient à la suivante :
On a un anneau qui est fini donc (A,+) est un groupe fini également, et donc par le théorème précédent on peut donc affirmé qu'en faisant un certain nombre de fois a + a + ... + a, on va obtenir 0.
Ensuite comme 1 est l'élément neutre de x, j'ai très bien le droit d'écrire que a + a + ... + a = (a x 1) + (a x 1) + ... + (a x 1) et donc en appliquant la propriété de distributivité on va obtenir que (a x 1) + (a x 1) + ... + (a x 1) = a x (1+1+...+1) si je note 1 + 1 + ... + 1 = b alors j'ai a x b = 0
Je pense pas faire de fautes dans ce raisonnement, je trouvais que c'était rigolo comme corollaire alors j'avais envie d'en parler. :)
répond moi stp
Dans la définition d'un anneau vous a omis de dire que l'addition est commutative.
+Aboubacrine Assadek Si si, je le dis bien ;)
+Mickaël Launay (Micmaths) autant pour moi, je viens de rebobiner, effectivement vous avez parlé de commutativité de l'addition.
Est-ce que tout anneau est unitaire? Si non donnez un contre exemple.
les entiers pairs
Exact!
nn, aucun rapport, cherche sur google. si t y arrives pô je te montre
Est-ce normal que la commutativité de l'addition fasse l'objet d'un petit 5) et non d'un 4 ème point ? Il me semblait qu'un groupe n'était pas nécessairement commutatif (ce qui est par ailleurs mentionné dans la vidéo). Nous excluons les fonctions, mais cela permet il de proposer une deuxième définition de la notion de groupe ?
Je me suis posé la même question, si quelqu'un à la réponse ?
Si (A, +, *) est un anneau, (A, +) doit être un groupe abélien, c'est à dire un groupe commutatif. Ça fait partie de la définition d'un anneau.
Quand ont dit -x un opposé le terme est la symétrie