Les groupes de Galois, révolution mathématique ( avec démonstration ) - Passe-science #31
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- Опубліковано 29 вер 2024
- Regardons ensemble l'une des plus grandes revolutions de l'histoire de mathématiques: la theorie des groupes introduites par Galois en 1830.
Pour en savoir plus:
El jj sur le lemme de Burnside: eljjdx.canalblo...
Playlist(maintenant intégrale en une video) en français: • Vers la théorie de Gal...
Playlist en anglais: • Visual Group Theory
Sources diverses:
en.wikipedia.o...
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Toolbox:
Rubiks cube simulator:
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Questions? Si vous en avez n’hésitez pas à utiliser un commentaire avec "question" + le timing dans la video qui vous fait vous interroger (PAS en réponse de ce commentaire mais dans un nouveau commentaire). Comme cela tout le monde profitera des réponses en parcourant les commentaires. :)
Excellente vidéo ! J'aurais aimé la voir il y a 13 ans en cours sur la théorie des groupes de Galois.
Je me demandais quels logiciels tu utilises pour faire tes animations ?
Une autre vidéo sur la théorie de Galois s'il vous plaît.
J'ai vu ça à la fac. Il y a longtemps. Enfin je commence à y voir plus clair. Merci merci. Peut-être vais je approfondir.
Encore merci.
Chapeau bas.
You all prolly dont give a shit but does someone know a tool to log back into an Instagram account..?
I stupidly forgot the password. I would love any assistance you can offer me!
@Mack Aaron instablaster ;)
Chapeau !!!! Félicitations !!!! Vidéo accessible à tous même s'il doit sacrément falloir s'accrocher quand on n'a pas déjà une connaissance des groupes, des corps, des extensions de corps, des automorphismes, du groupe symétrique, etc. Quelle aisance !!!! La passion de l'exposant est totalement communicative !!!! Je pense du coup après plusieurs visionnages avoir compris les grands principes de la théorie de Galois sans l'avoir étudiée précisément.
C'est de la vulgarisation de très haut vol ! On comprend bien le principe sans se perdre dans les détails, bravo !
Hehe, for this one there are eng subs in case of doubt :) If I managed to explain Galois fundamental theorem in 20 minutes only visually that's quite an unlocked achievement :)
Si seulement j'avais découvert cette vidéo plus tôt ! J'ai eu l'occasion de travailler sur les codes correcteurs d'erreurs, et notamment ceux de Reed-Solomon (je suis en dut informatique et on a eu au cours de l'année une partie présentation d'un sujet en math où l'on se renseignait par nous même) et les mathématiques derrière le code de rire solomon font appelles à des notions complexes telles que les corps finis et polynômes dans le champ de Galois ce qui même avec beaucoup de recherches google, est resté imcomprehensible à mes yeux.
Je te remercie pour ton travail tu abordes des sujets complexes mais très intéressants et les vulgarise vraiment bien :D
Magnifique travail! Un bonheur à regarder. Bravo!
c'est utilisé dans la correction d'erreurs dans les supports optiques CD/DVD. Il va sans dire que c'est compliqué (plein de calculs matriciels/systèmes d'équations) mais grâce à des circuits électroniques spécialisées cela se fait rapidement.
J’ai travaillé dans le CD-DVD. Chaque disque contient 5 fois le code de lecture (5 fois la vidéo, par exemple). Cinq fois car c’est l’equation max en (x) puissance 5 dont on sait tirer les racines en cas d’erreur liée à une rayure, une poussière ou un problème de matriçage du disque.
Merci pour ce contenu super clair, sur un sujet pointu et vraiment rebutant pour le néophyte (théorie des groupes).
J'ai des cours de prépa sur le sujet, je mets 1 heure par page! Si j'avais regardé cette vidéo avant, j'aurais gagné tellement de temps! Merci!
Merci beaucoup, oui comme ce sont des sujets très fertiles qui ont eu le temps d'arriver à maturité on a souvent énormément d'indirections de "définition" et faut souvent maîtriser 10 mots de vocabulaire pour comprendre un truc pourtant assez "simple". C'est le genre de chose ou parfois je me demande si l’idéal ce n'est pas de lire directement les travaux de Galois :). En tout cas je suis content d'avoir réussi à le présenter clairement, c’était pour moi aussi un sujet qui a pris énormément de temps à saisir.
@@PasseScience Pour le vocabulaire, c'est exactement ça. On a aussi des concepts dont on ne voit pas trop la finalité au départ, comme le noyau, les classes d'équivalences, l'ensemble quotient.
3B1B a aussi proposé une vidéo très sympa il n'y a pas longtemps...
Je crois qu'il y a pas mal de monde qui rêve d'une "series" entière du sieur sur le sujet!
Merci encore, et je suis presque _"soulagé"_ d'apprendre que le sujet vous a résisté un bout de temps, car c'est vraiment le genre d'expérience qui peut vous faire dire : _"ok, là, c'est la preuve qu'il me manque un truc pour faire des maths..."_ .
Excellent. J'avais jamais compris le lien entre les groupes et les racines de polynômes. En Terminal on nous disait "c'est impossible d'avoir une formule au-delà du degré 5, ça a été montré grâce à la théorie des groupes", puis quand dans le supérieur on fait cette théorie des groupes ça semble n'avoir aucun rapport.
Les mathématiques sont pleines de liens insoupçonnés !
Depuis le temps que je rêvais d'une vidéo sur ça ! Merci beaucoup :)
S'il y a d'autres sujets qui vous intriguent depuis longtemps je vous invite à les évoquer!
Merci de donner l'idée de cette démo.
Super épisode, très bien vulgarisé
merci ! travail remarquable
Je souhaitais depuis un moment connaitre la façon avec laquelle a réfléchit Galois. J'ai connu son histoire dans mon cours d'algèbre (ça fait maintenant quelques années) et j'étais fasciné par le fait qu'on puisse produire une connaissance ci poussée à un très jeune âge. Dommage qu'il n'ait pas pu vivre assez pour voir l'impact de sa théorie :/
Merci beaucoup pour cette super vidéo ! Bravo à vous
Clairement bien illustré
Merci, enfin je peux comprendre.
Seulement en partie malheureusement ;)
question 20:58 tu peux expliciter comment on fait avec l'équation x^5 - 3x + 1 pour avoir un exemple plus concret ?
Premièrement, il faut noter que ce polynome est irréductible (ce qui peut se montrer par l'absurde) et qu'il possède trois racine réelles (calculer f(-2), f(à) et f(1) et conclure avec le TVI). Il y a 5 racines, donc le groupe de Galois (celui qui permute les racines) est un sous-groupe du groupe de permutations de 5 éléments. Comme le polynome est irréductible, l'image de n'importe quelle racine peut être n'importe quelle racine, et on dit alors que l'orbite de chaque racine est l'ensemble des 5 racines. Une conséquence de ceci est que le nombre d'éléments du groupe est divisible par 5 et donc qu'il contient un élément d'ordre 5 (une transformation qui, répétée 5 fois, revient au point de départ).
De plus, vu qu'il y a deux racines complexes conjugués, alors il y a aussi une transposition (l'échange des ces deux racines) dans le groupe des permutations. Or, tout sous-groupe du groupe de permutations de 5 éléments contenant une transformation d'ordre 5 et une transposition contient toutes les transpositions de 5 éléments, groupe que l'on appelle S5.
Du coup, le groupe associé à cette équation est S5, qui ne contient pas de "bon chemin".
@@QuadriviuumTremens Alors ça m'interesse énormément mais je suis en 3e, tu peux mettre des liens pour que je puisse un peu mieux comprendre ce que tu dis ?
@@godefroidelaguinguette7554 Est ce que tu comprends bien l'anglais ?
@@QuadriviuumTremens oui
@@godefroidelaguinguette7554 Je rajoute que sur le wiki fr ici fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois
tu peux cliquer sur "Détails de l'exemple X5 - 3X - 1" dans la page. Tout ne sera pas clair mais ca te donnera un point de depart.
Tres sympa
Wouah !!!! Ça, c'est du gros !!! Merci en tout cas pour cette vidéo. J'ai passé la vidéo au moins cinq, six fois pour m'imprégner de tous ces concepts qui étaient nouveaux pour moi, à part pour ce qui est de l'imbrication habituelle des ensembles (N,Z,D,Q,R,C). Je n'ai pas tout compris mais je pense en avoir saisi une bonne partie. Quelques questions par contre pour m'assurer de ce que je pense avoir déjà compris:
-sur le schéma de la figure à ua-cam.com/video/16GlrK-bxaI/v-deo.html, tu indiques qu'il représente le corps des racines, cela signifie t-il qu'il représente l'ensemble des racines de tous polynômes possibles de degré 3(par exemple, puisqu'il y a 3 points ri sur l'image) qui se différencient juste entre eux par les coefficients rationnels qui précèdent les x^(i)?
-sur ce même schéma, r1 et r3 seraient donc des racines possibles de polynôme puisque contenues dans "le corps des racines"(en blanc) mais, comme elles ne sont pas contenues par un des sous-ensembles de couleur qui représentent les nombres qui sont accessibles par les "opérations arithmétiques classiques + racine", on en déduit que r1 et r3 ne possèdent pas d'écriture "conventionnelle". C'est ce que tu entends par l'existence ou non de "bon chemin"?
-l'histoire des permutations de racine qui maintient la structure, vient-elle du fait que lorsque l'on factorise le polynôme à l'aide des (x-ri) et que l'on permute ensuite entre eux tous les ri dans cette expression, on retombe ensuite sur la même forme du polynôme qu'au départ en le redéveloppant?
Voilà pour ces petites questions, j'aurais certainement besoin de me repasser quelques fois cette vidéos(surtout vers la fin) pour bien en comprendre le dessein global mais j'aurais passé en tout cas un très bon moment avec ce sujet très surprenant. Merci encore.
Hello! c'est non au 3 questions :p mais du coup c'est idéal car ça veut dire que les réponses seront très utiles! :) Je détaille donc pour chaque question:
1/3) C'est le corps des racines d'un polynôme donné, celui de notre choix qu'on considère et pour lequel on souhaite savoir si ces racines sont exprimables avec +-*/ et racine (exprimable par radicaux). A chaque polynôme on a donc potentiellement un corps différent.2/3) Les sous ensembles de couleurs dans le corps des racines ne représentent pas ce qui est accessible par les opérations usuelles, et le fait que les r1 r2 r3 soient inclus dedans ou pas ne nous aide pas. Les corps de couleurs représentent tous les sous corps du corps des racines, pour cela il faut juste que ça soit des sous ensembles de point du corps des racines ET que ça soit des corps; c'est a dire que ça soit stable avec les opérations usuelles +-*/. Stable ça veut dire qu'en combinant des valeurs de ces corps avec les opérations tu obtiens toujours des points qui restent dedans, mais ça ne veut pas dire que les points du corps sont exprimables par radicaux. Par exemple si tu prend l'ensemble de toute les fractions et que tu y ajoute l'ensemble de toute les fractions multipliées par le nombre Pi; tu as bien un corps: celui de l'ensemble des valeurs de la forme p+q*Pi et si tu ajoutes ou multiplies entre elles de telles valeurs elles ont toujours cette forme p+q*Pi (ERRATA voir EDIT); c'est stable avec les opérations usuelles et pourtant ça contient Pi entre autre; que tu ne peux pas exprimer par radicaux (EDIT ha non mauvais exemple c'st pas stable par multiplication; faudrait pendre les polynomes en Pi, enfin bref j'espere que meme avec le mauvais exemple tu saisiras :p)
Pour les bon chemin il faut 2 choses: que ça soit un chemin, c'est a dire une suite de corps inclus les un dans les autres; et qu'il soit bon, ça c'est illustré a partir de 12:15 dans la vidéo, en plus de l'inclusion il faut que les corps successif dans cette chaîne d'inclusion vérifie qu'on puisse obtenir le suivant en ajoutant une racine d'un élément du précédent.
En regardant la hiérarchie seule rien ne te permet de savoir si un chemin est bon ou pas, pour le savoir il faut regarder d'autre choses, vérifier cela: que chaque corps de la chaîne s'obtiennent par l'ajout d'une racine d'un élément du précédent.
Sous l'hypothèse que les solutions soient exprimables avec +-*/ et racine ce qui est dit en 12:15 implique l'existence d'une chaîne de corps partant de Q. La hiérarchie du corps des racines représentant tous les sous corps de celui ci; ça veut dire que si les solutions sont exprimables par radicaux alors cette hiérarchie contient qq part un bon chemin.
3/3) Il s'agit de regarder l'effet des transformations du groupe des symétries du corps des racines (le truc au centre) sur que ces points la que sont les racines. L'exemple que je donne est assez parlant: tu imagines que le corps des racines (l ensemble de ses points) est un triangle et que les racines du polynômes sont les sommets de ce triangle; les transformations que je donne (toutes les symétries du triangle) si tu ne regardes leur effet que sur les sommets du triangles ça ne fait que les permuter entre eux.
Voila voila; je te suggère de te repasser toute la seconde partie de la vidéo avec ces éléments, n’hésite pas si tu as d'autres questions, idéalement dans un autre commentaire (c'est plus facile à détecter et les autres en profiteront)
Au cas ou tu aurais deja lu la reponse ci dessus je precise que j'ai dit une annerie dans mon exemple de corps avec pi qui n'est pas bon.
@@PasseScience
Pas de problème, même si cette histoire de pi perturbe un peu la définition qu'il me semblait avoir compris de la notion de corps. Cela signifie t-il qu'un corps peut-être basé sur autre chose que uniquement sur le corps des rationnels en leur coeur que l'on étend ensuite successivement par des racines énièmes, les autres opérations +-/x devant garder stable par définition les corps intermédiaires? Par exemple, peut-on adjoindre un autre nombre transcendant au départ au corps des rationnels pour l'étendre? Dans l'idée que je m'étais faite d'un corps, on ne partait à la base que des rationnels et la construction successive des différents corps intermédiaires, à l'aide de racine énième, ne pouvait mener qu'à la construction de nombres et même uniquement de nombres pouvant se représenter en mêlant nombres rationnels,+,-,*/ et racine("exprimable par radicaux").
Ce qui me perturbe, je me rends compte maintenant, c'est aussi la définition du "corps des racines". Si certaines racines du polynôme ne sont pas exprimables par radicaux, le fait d'appliquer la même méthode de construction que pour l'exemple du corps contenant √2 mais pour trouver dans ce cas "le plus petit corps contenant les racines du polynome" conduit effectivement à y inclure beaucoup d'autres nombres qui ne sont pas représentables exprimables par radicaux... Mais peut-être est-ce cela que l'on cherche à faire, voir si le corps des nombres exprimables par radicaux se confond en partie ou non avec celui des racines du polynome? S'il ne se confond pas du tout, c'est qu'il n'y a pas de "bon chemin" pour pouvoir exprimer les racines sous forme de radicaux ?
Après, pour ce qui est des permutations, ma précédente question était plus en rapport avec le schéma à droite, celui du groupe de permutation des racines, je pense avoir bien réalisé que permuter les différentes racines entres elles(en faisant varier par exemple lentement leurs valeurs pour le faire) dans la forme factorisée du polynôme laisse effectivement invariant sa forme développée, en fin de compte, alors que les transitions ainsi effectuées ne sont pas du tout les mêmes.
Pour ce qui est du corps des racines et de son lien avec son groupe de symétrie, je crois avoir sinon juste compris qu'il s'agit du coeur de cette grande découverte qu'avait fait Galois(et que là réside sans doute le gros de la complexité de son oeuvre). C'est vraiment incroyable quand on réalise que sa théorie a ensuite eu dans le temps des développements aussi énorme alors que lui-même aura eu une existence si brève. L'expression "passer à la postérité" dans son cas a vraiment un sens très juste.
Merci à toi encore à toi, tes vidéos abordent souvent des notions assez complexes mais ta façon de les présenter permet d'en avoir une vision profonde qui les démystifient vraiment, c'est admirable.
@@bazounet32 Oui un corps ça peut être autre chose que juste une extension avec des racines, je te suggère de voir la définition formelle sur wiki ca sera très clair mais en gros c'est juste un ensemble stable par les opérations usuelles +-*/. Tu remarqueras que qq soit ton corps, s'il contient un élément disons q alors par définition il doit contenir 1=q/q et 2=q/q+q/q et en fait tous les rationnels. Donc dans notre contexte un corps a toujours les rationnels comme sous corps. Et pour avoir un exemple de corps non trivial il te suffit d'ajouter Pi et "tout ce qui vient avec" aux rationnels (c'est ce que j'ai voulu faire maladroitement ci dessus). Essentiellement la démarche de Galois sert en qq sorte à faire la différence entre les corps un peu exotiques comme mon exemple et des plus triviaux à base de racines. Et oui lorsque le corps contient au moins un element un peu merdique il en tire beaucoup d'autres avec lui.
Oui je sais que ta seconde question est en rapport avec le schema de droite et ma reponse est quand meme la meme, on parle des permutations des racines au sens permutation par les transformations du groupe du symetrie du corps des racines, et comme je le disais tu peux voir que si on fait faire une symetrie a un triangle; on est bien en train de pertumer entre eux ses coins. Ba la c'est pareil, dans le groupe de symetrie du corps des racines les actions si on en regarde les effets que sur les racines, reviennent à les permuter entre elles. Je ne pense pas que ca implique ce que tu decrives.
Pour les symetries du corps des racines on parle plus precisement d'automorphisme, on cherche des transformations qui envoie chaque point du corps sur un autre et qui en preserve la structure dans la sens suivant: si tu as par exemple dans le corps a b et c tel que a + b = c on aimerait que dans la transformation f(a)+f(b)=f(c) on veut preserver toutes les relations algebriques par la transformation en plus d 'envoyer tous les points du corps sur un autre point du corps. Un exemple simple (mais du coup ca peut en pratique etre beuacoup moins clair) si tu prend le corps des nombres x = p + q racine de 2 alors une telle transformation est par exemple une fonction qui transforme un nombre x = p + q racine de 2 en y = p - q racine de 2
tu pourras constater que ca envoie bient tous les points du corps sur un autre point de lui meme et que ca preserve les relations algebriques (celles entre les elements dans l 'image de la transformation sont les meme que celles entre les elements dans le corps de depart) c'est en ce sens qu'on parle de symetrie, le mot est "automorphisme" c'est le groupe des automorphimes du corps des racines du polynomes. :). Tu peux aussi constater que dans cette exemple si tu ne regarde que racine de 2 et - racine de 2 la transformation que je donne les permute. Et c'est exactement de cela qu'on parle avec nos permutations dans la video.
@@PasseScience
Merci beaucoup pour cette explication. Je vais essayer approfondir cela même si mes souvenirs basiques d'algèbre linéaire sont assez loin.
Pas tout bien compris mais c'est cool quant même.
oui mais avec le cube , droite *haut est différent de haut*droite !!
C'est bien ce que j'explique à 4:50 non ?
@@PasseScience
oui effectivement ! j'y étais pas arrivé !
Alors c'est un groupe non commutatif, mais associatif .. Etrange !
Quant à la fin, j'avoue que ça demande réflexion
1:00 les racines d'un polynome de degré 2 c'est pas de niveau collège ;)
En belgique ils le font au collège
@@KS-lb9uc Ah oui ? Mais le programme de collège est moins orienté géométrie en Belgique alors je suppose ?
Oui les reviewer de la video me l'ont dit :) mais jai pas fait de retournage pour cela! cela dit je t'invite a aller faire un tour a ce qu'on demandait au bac aux eleves il y a 50ans, tu y verras de l'algebre lineaire matricielle entre autre :)
"années collège" ? non, années lycée, quand même...
J'entends parler de corps qui se mélangent dans des groupes... et on me dit que Galois avait 18 ans. Ok je vois... ;)
Merci pour votre vidéo.
en plus on peut avoir des corps dans d'autres corps
Comme disait Provençal le Gaulois, c'est pas faux.
@Valchap Ils ont pas de bol, quand même ! Mettre au point un truc pareil et tomber sur des cerveaux comme nous !
@@AtheosAtheos De toute façon, ce qui compte, c'est les valeurs.
Tempora mori, tempora mundis recorda. Voilà. Et bien ça, par exemple, ça veut absolument rien dire, mais l’effet reste le même
Bonjour, vidéo très intéressante
J'aurais une question un peu en dehors de ce sujet pour ma part
Ma question est la suivante : "est il possible de résoudre un Rubik's Cube en faisant des mouvements au hasard ?"
Le problème c'est que je n'ai pas de réponse à cette question
Je sais que le nombre de combinaisons est d'environ 43 milliards de milliards, il y aurait donc 1 chance sur 43 milliards de milliards de résoudre un Rubik's cube par le hasard, or quand on fait une succession de mouvement on peut retomber plusieurs fois sur une même combinaison, donc les chances de reconstituer les Rubik's Cube en faisant des mouvements au hasard sont infimes, on pourrait dire qu'elles sont nulles
J'aurais donc voulu savoir si vous aviez une réponse à cette question et sinon si vous aviez des théorèmes ou d'autres explications mathématiques qui pourraient expliquer ce raisonnement 😊
Merci par avance
La play list "mathweb" (en français) semble ne plus exister. Le lien ne fonctionne pas et je ne l'ai pas retrouvée par la recherche.
J’ai fait le même constat malheureusement :-(. Un site web existe encore : www.mathweb.fr/ avec des vidéos disponibles mais la playlist sur la théorie de Galois n’y est pas :-/.
@@fabienleguen et @roglo, il a remis l’intégrale en ligne ici: ua-cam.com/video/IpAr2besf3A/v-deo.html
1:37 Non. Le théorème d'Abel est, une fois n'est pas coutume, dû à Abel. Galois a trouvé une autre preuve s'inscrivant dans un formalisme plus général, certes, mais la question était déjà close (il est amusant de lire l'article original d'Abel ! Certaines idées comme la permutation des racines sont déjà présentes)
Oui j'ai ajouté le mot "satisfaisante" :) j'ai pas dit le premier à donner une réponse, mais le premier à donner une réponse satisfaisante :P (avec tout le floue subjectif que ca implique sur ce que chacun considère ou non satisfaisant) justement pour me protéger contre cette remarque sur le théorème d'Abel :) mais oui j'avoue que cette pirouette c'est aussi pour vendre la star de l’épisode, car l’épisode est sur les groupes de Galois.
OUF, entendre que le discriminant est vue au collège alors que maintenant c'est le premier chapitre de 1er en spé math, ça fait mal... faut croire que le niveau exigé en math est clairement beaucoup plus faible qu'avant.
PS: je suis en terminal (ou fin de terminal vue qu'on est en juin)
Un truc est sur , tout le monde n'est pas Galois.
Il a envoyé une enclume sur le monde des mathématiques, c'est évident.
J'ai pas tout compris en qq minutes. Par contre l'idée les corps "ressemblent" aux groupes , laisse tomber.
On a du bol que ce Monsieur n'aie pas connu les 2 notions qui ont été généralisées par la suite.
Jamais il ne l'aurait trouvé les regardant comme 2 notions "distinctes".
Pis bordel , je savais pas que le rubik's cube était associatif ! Ici ca rigole pas.
Moi, algébriste, lisant le titre : waouh, chapeau de tenter de vulgariser un tel sujet.
question (05:19) Il me semble quand dans l'image du bas, qu'il c'est glissé une erreur : il est écrit 3 fois D; Il me semble qu'il aurait fallu écrire : 3 fois D' (Avec la flèche dans l'autre sens : Anti-horaire ou géométrique) ? P.S: Merci, pour vôtre excellent travaille 😄
Question à 17:40 : si j'ai bien compris un bon chemin est ce qui permet à partir d'un rationnel en appliquant les opérations d'obtenir la racine du polynôme. Mais je ne comprends pas quelle est alors la signification de bon chemin dans la version s'appliquant au corps des symétries. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer s'il vous plaît ?
Hello, c'est normal que tu ne le comprenne pas, ce n'est volontairement pas detaillé. Dans la video ce que je veux dire c'est "admettez que c'est le cas qu'il y a une propriete homologue aux bon chemin coté corps mais coté groupe". Ce choix de ne pas détailler ce point est volontaire biensur (comme beaucoup d'autres points ou étapes passé sous silence) Si tu veux qq details technique: dans la chaine de groupe la propriete qu'on veut c'est que chaque sous groupe de la chaine (sous groupe du groupe qui le suit dans la chaine) soit des sous group normaux. Definition ici: en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup
Ca c'est ce qu'on cherche à démontrer lorsqu'on veut utiliser la machine de Galois sur un polynome donné, mais biensur dans les travaux de Galois il a falut à la base demontrer que la propriete cote corps de bon chemin se traduit par celle ci cote groupe, et pour cela il faudrait rentrer d'avantage dans les details :)
Vidéo très satisfaisante, mais j'ai l'impression qu'il manque une toute petite brique, à savoir comment on prouve qu'il n'existe pas de "bon chemin" pour telle ou telle équation. Peut-être en vidéo bonus, si ça ne rentre pas dans l'espace d'un commentaire ?
j'ai eu la même réflexion, je sais pas si c'est moi qui n'ai pas compris qqchose ou s'il manque réellement qqchose
Hello, oui le point n'est pas détaillé volontairement! (comme beaucoup d'autres points ou étapes) Dans la chaine de groupe la propriete qu'on veut c'est que chaque sous groupe de la chaine (sous groupe du groupe qui le suit dans la chaine) soit des sous group normaux. Definition ici: en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup
Ca c'est ce qu'on cherche a demontrer lorsqu'on veut utiliser la machine de Galois sur un polynome donné, mais biensur dans les travaux de Galois il a falut à la base demontrer que la propriete cote corps se traduit par celle ci cote groupe.
Une autre vidéo de vulgarisation serait la bienvenue
@@PasseScience Heu... Super vidéo, mais là je dois corriger ce commentaire ! La condition, c'est que le groupe doit être résoluble (fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_r%C3%A9soluble). Donc on veut un chemin où, en effet, chaque sous-groupe est normal dans le suivant (ça existe toujours), mais surtout on veut qu'à chaque étape le quotient soit un groupe commutatif. On peut l'expliquer autrement. Le grand théorème dans il est question à la fin de la vidéo, c'est la classification des groupes finis simples (fr.wikipedia.org/wiki/Classification_des_groupes_simples_finis), qui sont en quelque sorte les constituants élémentaires des groupes finis : il y a toujours des chemins où chaque sous-groupe est normal dans le suivant, et où chaque quotient est simple ; de plus s'il y a plusieurs tels chemins, la collection de groupes simples obtenus sera la même, avec les mêmes multiplicités, mais si l'ordre peut être différent (théorème de Jordan-Hölder). Les groupes finis simples abéliens sont faciles à classifier : ce sont les groupes cycliques d'ordre p avec p premier. Les groupes finis simples non abéliens sont les groupes alternés A_n avec n >=5, les groupes finis de type de Lie, et 26 groupes sporadiques. Un groupe fini résoluble est un groupe fini dont tous les constituants simples sont cycliques d'ordre p. Nous aurons besoins de savoir ce qu'est le groupe alterné. Déjà, le groupe symétrique S_n, c'est le groupe de toutes les permutations de {1,2,...n}, il y en a n! = 1x2x3x...xn. Le groupe alterné A_n est constitué des permutations paires, i.e. qui s'obtiennent comme composition d'un nombre pair de transpositions (une transposition échange deux éléments et laisse les autres invariants) ; il y en a n! / 2. Le sous-groupe A_n est normal dans S_n. Prenons maintenant un polynôme P irréductible de degré n, à coefficients rationnels. Le groupe de Galois est un sous-groupe de S_n (il permute les n racines), pour P "générique" il est égal à S_n. La question est donc de savoir si S_n est résoluble. C'est le cas si et seulement si n = 5, et est donc un constituant simple non abélien de S_n pour n >= 5. Ce point-là n'est pas très difficile à montrer. En tout cas merci pour ce travail de vulgarisation, j'aimerais tellement que tout le monde en entende parler au lycée !
Vidéo brillante à tout niveau, magnifique ! Après je dois avouer que je suis un peu choqué que (dans un souci de ne pas trop compliquer les choses j'imagine), ne soient retenues dans les fameuse opérations élémentaires que +, -, x, /, et racine carrée. Ce qui ou sous-entendrait que ne sont concernées et suffisantes que ces opérations lorsque la détermination exacte des racines d'un polynôme est possible (en particulier les polynômes de degré 4 ou inférieur) : que dire de racine cubique de 2 ? N'y avait-il pas moyen de vulgariser sans trop compliquer l'ensemble des nombres définis par radicaux, les racines énièmes ne sont-elles considérées comme si atroces ;)
Attaquer la théorie de Galois sur UA-cam, il fallait oser. Passe-Science l'a fait. Mille merci.
Et a l'époque de Galois, le Rubik's cube n'existait pas non plus, comment est ce qu'il visualisait sa découverte?
Commentaire de référencement parce que ça parle de Rubik's Cube !
On pourrait l'appeler Evariste le Gaulois !
Mince. Je rêvais de comprendre enfin cela. Et... j'ai toujours pas compris. Bouh ouh. Je vois toujours pas le rapport (cf. par exemple ce qui devrait pourtant être l'aboutissement, à 23minutes10)
Reprend la video à partir de 10:18 pour la demo, arrête toi au premier point pas clair, et pose une question en indiquant le timing (c'est mieux si tu le fais dans un nouveau commentaire et pas en reply de cette conversation, comme ca tout le monde peut en profiter et surtout je reçois une notif alors qu'en réponse pas toujours).
@@PasseScience A mon avis c'est à 15min23 et ensuite, que je n'arrive pas à faire le lien. Ca reste un "os" pour moi. Je vois très bien ce qu'est un corps au sens des nombres, les liens entre eux. Mais je ne vois pas le lien avec les groupes de symétrie d'objets géométriques.
@@guillaumelimousin7988 Hello alors au moment que tu indiques je ne dis pas que ça a un lien avec le groupes de symétries d'un objet quelconque; je dis que ça a un lien avec le groupe de symétrie de CET objet la: le corps des racines. Un corps c'est un objet comme un autre, un ensemble de points, il présente des symétries, et on s’intéresse au groupe des symétries de cet objet la; les symétries du corps des racines du polynôme qu'on est en train d’étudier, pas d'autre chose. Apres c'est peut être le sens du mot symétrie que tu ne saisis pas en ce qui concerne un corps; donc je peux détailler ce point, mais avant de détailler ce point il faut que ça soit clair qu'on parle d'un groupe composé de transformation de ce corps des racine du polynôme qu'on regarde.
Donc sur la notion de symétrie pour un corps, en fait ce qu'on désire c'est que les transformations qu'on fait subir à notre corps, elles envoient chaque point du corps sur un autre point du corps et qu'elles préservent les relations algébriques, c'est à dire que si dans le corps initial tu as par exemple les nombres a b et c tel que a + b = c on veut que les transformation "t" qu'on considère garantissent que t(a)+t(b)=t(c) et si on a a*b=c on veut que t(a)*t(b)=t(c), etc... En résume toutes les relations algébriques que pourraient entretenir un sous ensemble de points de notre corps; on souhaite qu'elles soient préservées dans l'image du corps par chacune des transformations qu'on considère. C'est en ce sens qu'un corps présente des symétries: dans les transformations qu'il peut subir et qui envoient chaque point sur un autre de lui même en préservant les relations, on parle d'automorphismes du corps. Et l'ensemble des automorphismes du corps des racines du polynôme qu'on considère forme un groupe. NB: l'exemple que je donne respecte la structure d'un vrai groupe d'automorphisme, il y a un nombre fini d’éléments. Et ce groupe de la vidéo, qui se nomme S3 (le groupe des permutations de 3 éléments ou des symétries du triangle) est le même groupe que celui des automorphismes du corps des racines de certains polynômes de degré 3.
@@PasseScience Ah OK. Déjà, j'avais pas compris que c'est pour ce seul polynome. Donc en fait, quand on dit "ça marche pas à partir du degré 5", c'est simplement que "ça marche pas toujours". C'est ça ? en tous cas c'est super de tomber sur un youtuber qui, en plus, répond si vite aux questions
@@guillaumelimousin7988 oui c'est ça, à partir du degrés 5 pour certains polynômes, on peut démontrer (avec ce processus) qu'on ne peut pas formuler au moins une de leur solutions numériques (formule avec des chiffres puisque le polynôme est ici donné) avec les opérations usuelles. Et que du coup ça implique que si on considère la famille des polynômes de degrés 5 (donc donné maintenant avec des coefficients littéraux) on ne puisse pas trouver de formule littérale générique pour ce degré la.
Dommage qu'il soit mort si jeune, qui sait ce qu'il aurait pu encore découvrir (que nous n'avons toujours pas découvert aujourd'hui peut-être même)
Une pépite: ça fait bientôt une semaine non stop que je cherche à comprendre une, à la fois mathématiquement et intuitivement, toutes les notions qui touche à la théorie de Galois et aux racines quintiques, cette vidéo est tellement bien faite que l'on peut retrouver le lien entre les idées 'vulgarisées', et leur format mathématiques brute (typiquement, j'adore la manière dont la vidéo parle de la stabilité d'un corps et de cette idée d'engendrement de corps par un ensemble, et aussi de la manière dont sont représenté les extension de corps et le fait qu'elles impliquent d'admettre toutes les composition de racine de 2 par les loi interne pour rester stable!!)
j'adore cette théorie, et encore plus grâce à cette vidéo, Merci Passe-Science d'avoir été aussi doué!!
Bonjour,
Je laisse très rarement des commentaires sur UA-cam, mais vu la qualité du contenu que tu proposes, je me sens réellement en gratitude envers toi ! Merci, continue comme ça, ta chaîne est tout bonnement excellente ! :) Amicalement
les deux autres propriete qui definissent un ensemble est
1. element neutre. quand appliquer, elle ne change pas la valeur
2. existence d'un inverse quand appliquer, s'anulle avec le input et devient l'element neutre
Maintenant que j'y penses, est-ce le fait que certains polynômes ne possèdent pas de formule en + - * ÷ et racine-nième pour trouver leurs points d'annulation implique qu'il n'est pas possible de trouver des solutions analytiques aux équations différentielles dont les polynômes caractéristiques répondent aux mêmes critères que les polynômes ci-dessus ?
Hello, hum je ne sais pas mais je ne suis pas sur d'avoir saisi la question
Hello, merci pour votre réponse ^^
J'ai appris à résoudre ainsi les équations différentielles (ED), en particulier celles de la forme :
f ' ' + af ' + bf = 0 avec a et b deux réels
En gros, on peut réécrire l'équation ainsi:
[ d² + ad + b ] (f) = 0 avec d l'opération de dérivation, donc on applique cet opérateur à f.
C'est ce qu'on appelle le polynôme caractéristique d'une ED. Alors on peut trouver les racines du polynôme, disons r et s, et le factoriser ainsi :
[d-r][d-s](f) = 0
Ce qui nous donne 2 ED simples à résoudre :
f ' =sf et f ' = rf
Maintenant si j'ai une ED de la forme suivante :
f ' ' ' ' ' - 3f ' + f =0
Son polynôme associé est:
d^5 - 3d +1 = 0
qui est le polynôme que vous présentez à 20:53 , comme il n'est pas possible de trouver ses racines à l'aide de + - * / et racine-nieme, alors la méthode que j'ai décrit pour trouver les solutions d'une ED n'est plus applicable.
A moins qu'il n'y ait d'autres méthodes pour trouver les solutions d'une ED.
Et donc en supposant qu'il n'y ait pas d'autres méthodes, ce qu'a démontré Galois implique l'impossibilité d'avoir des solutions analytiques pour certaines ED.
Après je ne connais pas grand chose aux ED, c'était une simple question de curiosité ^^
Effectivement, dis comme ça, si l'équation caractéristique n'a pas de solution que l'on peut écrire de manière "conventionelle", il doit en être de même pour la fonction solution de l'équation différentielle associée.
@@bazounet32 En supposant que la méthode que j'ai énoncée est la seule méthode, ce qui est une hypothèse assez douteuse ^^
@@fractalphilosophorum9405Il y a plein d'autre méthodes, cela dépend beaucoup de la forme de l'EqDiff originelle.
Mais en effet, pour celles qui reposent sur un polynome quintique, il n'y aura pas d'expression analyitque. Toutefois vous pourrez l'écrire en chiffres (coupés assez précis pour votre besoin technique).
C'est pas très Galois 3:53 de multiplier un xscale par -1 ;p
Merci pour ce remarquable travail. Grâce à vous je mesure beaucoup mieux la grandeur de ce jeune homme que j'ai du mal à ne pas considérer comme le plus grand génie scientifique de l'histoire. La race humaine a connu tellement de génies scientifiques qu'il est forcément difficile (et peut être même impossible et vain) de dire lequel est le plus incroyable, mais franchement Galois me semble être cette personne (tout en présentant mon profond respect à Riemann, Gauss, Grothendieck...).
Ramanujan, Einstein, Von Neuman
@@kalgon57 En effet, mais comme la liste est hyper longue...
@@fornlike tant que ça ? un génie par définition c'est exceptionnel. il doit y en avoir ... genre 2 ou 3 tous les 10 ans.
@@kalgon57 Après avoir pas mal creusé la question, je dirai qu'il y en a bien plus fréquemment qu'on ne pourrait le penser. ... Isaac Newton, Leonhard Euler, Leibniz, Niels Henrik Abel, Gotthold Eisenstein, Georg Cantor, Henri Poincaré, Nikola Tesla, David Hilbert, Kurt Gödel, Marie Curie, Emmy Noether, Ettore Majorana, Grigori Perelman, Terence Tao, Maryam Mirzakhani,... Lequel de ces noms selon toi ne mériterait pas le titre de génie? Et cette liste est très courte. L'Asie notamment a aussi des génies très peu connus.
@@fornlike Je ne les connais pas assez bien et certains même pas du tout. Mais je dirais qu'il ne suffit pas d'avoir fait avancer la science, fait une découverte ou d'avoir obtenu un prix Nobel pour être qualifié de génie. Une personne douée avec de la chance et de la persévérance peut faire une découverte. Parfois il faut de nombreuses petites contribution pour arriver à un résultat intéressant. Parfois il faut aussi beaucoup de subventions. Tout chercheur en mathématiques est susceptible de faire une découverte et de donner son nom à un théorème par exemple. Sommes-nous d'accord sur cela ? Par exemple Perelman ne se qualifie lui-même pas de génie, il a eu de bonnes opportunités tout au long de son parcours pour l'amener au plus haut niveau, il a consacré sa vie entière à ses recherches et a donc maximisé ses chances. Il est très doué, peut-être surdoué, mais de là à dire génie je dirais qu'il y a un cran en plus. Je ne sais pas si j'ai pris le bon exemple, mais tu as compris l'idée.
Quand tu dis que tu as pas mal creusé la question, c'est quoi ? Tu as fait une thèse, un article, un mémoire sur ce sujet ? Si oui, j'imagine que tu en sais plus que moi et que tu pourras me donner une définition consensuelle du génie ?
Super vidéo ! Un de mes sujets favoris pendant le confinement en plus.
Développer l'un des cadres mathématiques les plus prolifiques à 18 ans... Y'a pas à dire, s'il avait vécu plus longtemps on vivrait dans un autre monde.
c'est tout de même fascinant. il y a quelques années je me demandais si ce que l'on appelle parfois le « talent » existe réellement. il faut croire que certains sont dotés d'une intuition beaucoup plus forte que les autres. se dire que des merveilles se produisent (sans effort)*, c'est profondément élégant.
@@patrickhorlaville En disant ça, tu présupposes que cette intuition est causale de sa seule personne... Il a vécu pour sortir cette théorie, il a échangé avec des gens, il a étudié des notions déjà élaborées, etc. Et surtout, le problème lui a été posé, que ce soit lui qui l'ait posé ou quelqu'un d'autre, ce problème posé lui a été extérieur. C'est l'ensemble de toutes ces choses, plus son intuition propre effectivement, qui ont amené à produire une théorie pertinente. Je pense pas qu'on puisse parler d'intuition plus forte quand les facteurs environnants sont multiples .
Comment etre sûr que les solutions de polynômes à partir du degré 5 n'existent pas ? En effet si l'on ne trouve pas de solutions c'est peut être qu'il manque des opérations supplémentaires à +, -, x, /,racine pour exprimer ces solutions ? Si tel est le cas, est-ce que plus les degrés des polynômes sont importants plus il est necessaire de disposer de nouvelles opérations mathématiques ?
@@gmangman9363 Ah, mais elles existent toujours ! Le théorème, enfin le résultat de Galois, ce n'est pas du tout une question d'existence de ces solutions, il y a toujours des solutions complexes pour un polynôme de degré qcq. Le résultat de Galois concerne l'expressibilité de ces solutions via des opérations précises. Et en effet, si on change l'ensemble d'opérations utilisées, on change potentiellement jusqu'à quel degré on peut exprimer ces solutions avec le nouvel ensemble d'opérations. Quand on y réfléchit, le résultat de Galois est bien plus fou qu'une démonstration de non-existence, parce qu'il y a plein de manières en maths de démontrer des non-existences de solutions, alors que réussir à démontrer que, malgré leur existence, on ne pourra jamais les exprimer de manière générique avec un ensemble donné d'opérations, c'est beaucoup plus subtil et assez vertigineux.
😂🎉 Gallois fait pousser les cheveux 😮😅
Passionnant, à rapprocher de cette citation de Gallois :
"Sauter à pieds joints sur ces calculs; grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non suivant leurs formes; telle est selon moi, la mission [des géomètres futurs]"
Exceptionnel ! La clarté au service de la connaissance. Ayant étudier la theorie de Galois, cette introduction est au top! Souvent cela manque dans d'autres domaines ex les probas
bravo
Bravo pour la vidéo !
Les sous-titres sont néanmoins bourrés de fautes de conjugaison, d'accords... « suiviT de » , des mouvement_, l'opération qui les combineNT...
Merci, vous avez regardé lesquels, ceux fait à la main ou les autogénérés? ça m'intéresse d'avoir les timestamps.
j'aimerais beaucoup une video qui expliquerait une phrase qu'on entend souvent dans les conférences d'etienne klein: "la définition du groupe de symétrie associé à une particule détermine entièrement les caractéristiques de cette particule". il cite ca souvent en exemple pour justifier la capacité des mathématiques à adhérer sur le réel. ca semble super profond, j'aimerais beaucoup qu'unde mes vulgarisateurs préférés m'explique cela plus en détails un jour
Je parle du théorème de Noether dans cette video la autour de 7:00 ua-cam.com/video/MIeYz6aMBbk/v-deo.html et je reparle un peu de Noether dans la video "espace temps masse energie". Ca ne repond pas totalement à ta question mais c'est fortement lié ca te montrera le rapport entre une invariance des lois physiques et une loi de conservation (energie ou quantite de mouvement). Et tu peux chercher d'avantage sur le theoreme de Noether sur youtube. Lorsque Klein il dit "symetrie" cest dans le meme sens que invariance dans ma phrase precedente, les particules en quantiques sont represente par des champs (des valeurs en tout point de l'espace pour faire court) ses champs ont des invariances particulieres et des mathematiques de la meme famille que Noether implique des lois de conservations et d'autres proprietes. En effet je ferais peut etre une video dessus un jour :)
@@PasseScience Merci pour ta réponse. En effet j'avais déjà vu le théorème de Noether et le lien entre invariance des lois et conservation de l'énergie. Je pensais que le propos de klein désignais une réalité mathématique plus profonde. En tous cas merci beaucoup pour toutes tes videos, je les regarde toutes ;)
@@jadiswb654 oui ca désigne une mathematique plus profonde a cause du type de symétrie qui implique des choses plus riches, on parle de symétries de jauge local (on ne dit jamais le "local" mais c'est quand c'est local que c'est important). Une symetrie de jauge globale cest lorsque par exemple tu peux ajouter une constante partout et ca change rien (un champ de potentiel), une symetrie de jauge local c'est lorsque tu es encore plus libre, tu peux ajouter un certain champ (donc pas partout pareil) et avoir encore une situation formelle qui decrit la meme situation physique. ET ce type particulier d'invariance implique pas mal de chose (que je maitrise mal)
@@PasseScience merci encore. en trois mots j'ai deja l'impression de mieux comprendre. J'attends le prochain episode avec impass-science
@@jadiswb654 Pour la route tu as un exemple "simple" d'invariance de jauge ici concernant V et A le potentiel electrique et le potentiel vecteur:
fr.wikipedia.org/wiki/Potentiel_vecteur_du_champ_magn%C3%A9tique
Tu peux voir que V tout seul a une invariance globale, mais l'ensemble V,A (qu'il vaut mieux voir comme un object unique un quadrivecteur potentiel, voir video physique et perspective) a une symétrie de jauge et est donc defini a un champ de jauge pres. le phi dans le paragrape "Potentiel vecteur et invariance de jauge" sur la page. Ca permet deja de saisir ce que c'est une invariance de jauge avec des objets courants avant d'entammer les objet exotique et les consequence de l'invariance :)
Super vidéo! Les concepts abstraits sont super bien expliqués je comprend enfin certains éléments du cours ^^ Et en plus ça parle de cube
Question 14:27 tu parles de "Bon chemin": pourrais-tu développer un peu? J'aimerais comprendre ce qu'est un "bon chemin", concept essentiel dans ta vidéo. Est-ce le fait de partir du corps étendu avec une des racines, puis en étendant consécutivement les corps en y rajoutant d'autres nombres issus du précédent avec des + - × ÷ racine on arriverait au corps minimal contenant toutes les racines?
Ta vidéo est exceptionnelle, merci pour cet effort de vulgarisation
Hello, je conseille cette playlist: ua-cam.com/play/PLwV-9DG53NDxU337smpTwm6sef4x-SCLv.html
La question est détaillée dans le 6.6 (et du coup faut fouiller un peu avant en fonction), de memoire et si j'ai bien compris, lorsqu'on a une suite de groupe N1 N2 N3..... pour que ca soit un "bon chemin" il faut que les "groupes quotients" fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_quotient des maillons consécutifs dans la chaine (donc N2/N1, N3/N2, etc...) soient abéliens fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien (c'est a dire commutatif, on peut composer leur elements dans n'importe quel ordre, ca ne change pas le résultat).
Merci c'est une très bonne vidéo. Est ce que par hasard on pourrait avoir une sorte de vidéo "hardcore" ou "hors-série" pour quelques détails supplémentaires comme par exemple avec "les bons chemins"?
Je vais essayer d'expliquer comment fonctionne l'existence et la recherche d'un bon chemin. L'avantage, c'est que la vidéo a déjà parlé des sous-groupes et des graphes de Caylay.
L'idée, c'est de d'abord comprendre qu'est-ce qu'un sous-groupe normal. En fait, on peut voir un sous groupe comme un ensemble de transformations stable, c'est à dire dont la compositions d'éléments produit des éléments uniquement dans ce sous groupe. Prenons alors un sous-groupe que l'on va appeler N. Maintenant, si on prend une transformation au hasard (que l'on va appeler k) en dehors de ce sous groupe, et que l'on forme l'ensemble des transformations de la forme k.n (la transformation n puis la transformation k, où n est une transformation quelconque du sous groupe N). Cela va nous créer un autre ensemble de transformations, que l'on peut appeler k.N. Et, l'ensemble de ces k.N forme une partition du groupe de départ, c'est à dire que le groupe peut être séparé en un ensemble de parties égales, de même forme, disjointes et dont l'union constitue le groupe de départ.
Mais aussi, on peut réaliser la même construction, avec cette fois-ci les N.k (c'est à dire l'ensemble des éléments de la forme k, avec ensuite une transformation n de N). Il se peut que l'on obtienne une autre partition du groupe de départ, mais il se peut aussi que l'on obtienne la même permutation. Dans le second cas, on dit que le sous groupe N est normal. En résumé, un sous-groupe est dit normal quand transformant l'ensemble de ses éléments dans un sens où dans l'autre, on parcours la même partition.
Enfin, quand on a un groupe G ainsi qu'un sous-groupe normal N, l'ensemble des permutations que l'on peut réaliser avec ce sous-groupe normal et ses images par les transformations est lui même un groupe de permutations. On le nomme le groupe quotient entre G et N, noté soouvent G/N.
Et bien, les bon chemins correspondants à des racines n-ièmes (les faaaameux bons chemins) sont ceux passant par un sous groupe normal dont le quotient est un groupe dit commutatif (c'est à dire dans lequel les résultats par les opérations ne dépendent pas de l'ordre des éléments, contrairement au cas du rubik's cube) ! Et donc, selon Galois, une équation est résoluble avec les quatre équations fondamentales et les racines n-ièmes si, en partant du groupe de permutation de ses racines, on peut y touver un sous-groupe normal au quotient commutatif, puis un sous-groupe normal de ce sous-groupe au quotient commutatif, et ainsi de suite, jusqu'à l'identité elle-même (la transformation qui ne change rien).
@@aaaa8130 Oui !
@@aaaa8130 Oui. D'ailleurs, un tel groupe s'appelle un groupe résoluble !
@@QuadriviuumTremens Waouhhh je ne pensais pas trouver une explication aussi claire aussi rapidement. Merci
@@QuadriviuumTremens Ahhh si j'ai bien compris les différents sous-groupes de la chaîne doivent être distingués et abéliens pour pouvoir respecter les règles de l'arithmétique ???
Je ne comprends toujours pas la relation avec les polynômes
Trop dur pour moi j’abandonne
Oui ce n'est pas facile^^. Je propose quand meme mon aide si besoin, il suffit de commencer par poser une question sur le premier moment de la video ou il y a quelque chose qui vous parait essentiel mais que vous ne saisissez pas.
Je ne sais pas en France mais en Belgique dès le début des mathématiques modernes (+/- 1970) on a toujours parlé de champs; c'est là première fois que j'entend parler de corps!
Pour désigner la même chose? parce que en effet "champ" ca aussi aussi en terme mathématique francais, mais pour désigner autre chose que la structure algebrique dont on parle ici, on parle de champ vectoriel ou de champ de scalaire par exemple pour parler de l'association d'un certain object (vecteur ou nombre ou autre) en chaque point d'un espace. "Corps" c'est plus précis, ca désigne un ensemble dans lequel certaines opérations sont permises sans en sortir.
@@PasseScience Oui chez nous votre corps c'est un champ N, Z, R sont des champs (à moins que celà ai changé ce siècle ci mais ça m'étonnerait!)
En France, les champs sont les "stacks" anglais (des sortes de généralisations des faisceaux).
@@alainvaneghem6755 En français N et Z ne sont pas des corps, seulement Q et R. Z est un anneau, comme les matrices ou les polynômes, mais il faut avoir tous ses éléments inversibles pour la loi x pour être un corps.
Alain Vaneghem, je pense que votre mémoire vous taquine.
J'ai grandi dans les années septante et je n'ai jamais entendu appeler N ou R des "champs" . Mais bien, en primaire, des ensembles, et en humanités, des corps ou anneaux.
Malgré les difficultés pour comprendre cette théorie vous avez su la présenter d une manière abordable. Je vous remercie infiniment. Jamal
1:20 ... aux années collège
le discriminant et les polynômes ?
dans quel pays ou dans quelle période ? antiquité, non
moyen âge ? non
renaissance ? oui peut-être
la 3ème république, oui
avant les années 70, dans 60% des collèges peut-être
mais depuis 20 ans au moins dans aucun collège avec 0,5% de risque d’erreur
malheureusement
He oui, petite erreur de script, ça me paraissait tellement "mécanique et simple" que j'avais oublié que c’était si tard. (Bon après je ne cautionne pas cette apprentissage mécanique et perroquet sans compréhension des maths). On a qu'a dire que je dis college par respect pour Galois qui commence à construire la theorie des groupes que je presente dans cette vidéo certainement à l'age de 16 ans. Il va se retourner dans sa tombe si je dis qu'on fait le discriminant qu'à partir du lycée. :)
J ai limpression de mieux comprendre des notions géométriques de la physique des particules
Question (13:49): Je comprend pas ce que représentent les 4 corps (bleu, vert…) par rapport aux racines. En particulier pq r1 et r3 ne sont dans aucun corps construit à partir de Q (comme dans l’exemple précédent). Est-ce une simplification? C’est pour moi le plus gros saut dans l’explication qui fait que j’adhère pas bien à la suite. En tout cas super vidéo et super pédagogique. Quand on parle des ensembles en Maths, je visualise toujours les noeuds dans mon cerveau qui se créent au fur et à mesure des démonstrations. Merci.
Dans l'exemple un peu avant tu as le corps qui contient 'racine de (1 plus racine de 2)", et tu remarques que ce corps contient un sous corps en jaune. Donc dans le cas général un corps a une structure en poupées russes il peut contenir un ou des sous corps qui contiennent potentiellement eux aussi un ou des sous corps etc... qui au niveau le plus bas contiennent chacun Q. Ce n'est pas forcément une hiérarchie linéaire avec Q dans A puis A dans B ça peut être arborescent avec Q dans A, Q dans B (avec A et B non inclus l'un dans l'autre) mais A et B inclus dans C etc... Dans le schéma à 13:49 toutes les racines sont dans un corps qui contient Q, il est représenté en blanc-gris et sur ce schéma on s’intéresse au plus petit corps (au dessus de Q) qui contient toutes les racines de notre polynômes et qu'on peut atteindre avec la construction hiérarchique précédemment expliquées (avec le minimum d'etapes de racine depuis un sous corps pour en construire un plus gros). Le fait qu'une des racines soit également dans un des sous corps du corps gris est juste là pour rendre l'illustration plus "générale" rien ne l'empêche, ça peut arriver. C'est plus clair ?
Compris! (Enfin je crois). J avais mal abordé la partie précédente qui explique ce qu’est la partie “banc gris”. C’est génial! Merci beaucoup. Extrêmement bien fait et très jouissif d’apprendre quelque chose de nouveau comme cela. Je vais regarder les autres vidéos!
@@damienphilippe2276 Merci! Si les sujets maths avancées comme cette vidéo t'interessent, il y a notamment la vidéo sur l'equidecomposition et la mesure.
Avec son ami le mathématicien suisse Abel ils ont révolutionné l'algèbre moderne ( ensembles, groupes, espaces de Banach, Hilbert ...)
question + 7:20
Ma question n'a pas directement à voir avec les groupes de Galois.
Je m'intéresse aux groupes pour mes travaux (recherche en informatique), et je trouve élégant de voir un groupe comme un graphe où les noeuds sont les éléments du groupe et les arêtes sont étiqueté par un element du groupe et 2 noeuds e1 e2 sont reliés par l'arete e3 si e1*e3=e2 (comme tu l'as presque fait au time stamp donné). J'ai essayé de caractériser les graphes qui peuvent représenter un groupe ainsi (je suis pas naïf ça revient à faire classification des groupes simples finis ce qui prend 2*7! pages). Bref, après quelques recherches de mon côté et sur le net ("viewing groups as graphs" sur google), je n'ai rien trouvé, en tout cas pas quelque chose qui relie graphe et groupe comme je parle, ce qui m'a étonné. En saurais-tu plus sur le sujet ? Des ressources peut-être puisque tu as utilisé cette représentation ? Penses tu peut-être que c'est une vision qui n'apporte pas grand chose ?
Merci pour tes vidéo tu es un de mes créateurs favoris
Hello, merci. La représentation que j'utilise se nomme graphe de Cayley (en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph), oui c'est un bon outil et dont on parle paradoxalement peu. Ne pas oublier qu'un graphe de Caley va dependre du choix des générateurs que tu prendras pour ton groupe (un même groupe aura potentiellement donc plusieurs graphe de Caley), une des raisons pour lesquelles on utilise peu cet outil, est, je pense, le fait qu'en dehors des groupes triviaux avec très peu d’éléments, un graphe de Caley est intracable (beaucoup trop gros).
Un génie !
Les recommandations qui font plaisir :)
Merci beaucoup pour cette vidéo, qui m'introduit parfaitement à la théorie des groupes ! (La petite musique de Kerbal space program est très appréciable).
merci pour la vidéo. j'ai bien sur entendu parler de ce génie mort si jeune car j'ai fais des études de sciences, il y a longtemps. j'ai toujours bien aimé les maths mais là franchement c'est compliqué comme sujet. j'aime bien l'abstrait mais je suis un peu dépassé...qu'aurais découvert Evariste s'il avait vécu jusqu'à 70 ans ...?
Bravo une super vidéo, ca fais super plaisir de voir les automorphismes des corps de Galois de cette façon là schématique simple et je trouve plutôt claire, j'espère que la vidéo plaira :)
Quel niveau de vulgarisation excellent, je suis bluffé, bravo et merci !
Petit chipotage inutile : à partir de 18:00, j'aurais renversé le sens des flèches dans les diagrammes de Hasse du côté groupe, comme la correspondance est contravariante (le groupe trivial fixe l'extension de Galois L/F dans sa totalité, et le groupe de Galois entier ne fixe que le plus petit corps F duquel on est parti). Mais c'est vraiment pinailler sur des détails, merci encore et bravo !
Hello, merci, oui c'était volontaire de tricher ainsi, justement pour ne pas avoir à expliquer l'aspect contravariant de la correspondance (c'est déjà chaud à suivre pour le novice). C'est aussi pour cette raison (tricherie) que j'ai choisi une hiérarchie qui a une symetrie de renversement. :p
@@PasseScience Aaah, bien joué, c'était sûrement le meilleur choix d'un point de vue pédagogique en effet ! 👍
Fort intéressant mais j'ai l'impression qu'une vidéo de 23 minutes pour vulgariser un tel sujet c'est un peu trop ambitieux. Même en ayant de bonnes bases en math, je n'ai pas pu tout suivre, notamment les "bons chemins" (?). Reste que le versant historique est accrocheur et qu'on saisit tout de même l'idée globale. Mais le sujet aurait mérité d'être fractionné pour détailler un peu.
I don't even understand the language, but I get the point. That was that good of an explanation.
Haha, it was a joke, I'm a mathematician anyway XDD your points were clear thanx!
Ok. Merci.
formule des années collèges... on ne doit pas vivre dans le même Univers, on voit ça en 1ère... tout comme les additions (non là je plaisante)
Plusieurs choses m'impressionnent ici : la qualité remarquable de ta vulgarisation, le génie de Galois (et sa capacité à conceptualiser et à relier des choses qui n'ont en apparence pas grand chose à voir), ... et le petit nombre de pouces bleus (1 semaine après sa diffusion, 8275 vues et 840 pouces en l'air, c'est une bien faible reconnaissance de ton travail). Un grand bravo à toi.
Merci beaucoup pour les encouragements. Oui je pense objectivement que cette video et qq autres de la chaines méritent d'avantage de vues, mais c'est le fameux "algo" qui veut cela. Avec un peu de chance le partage touchera une chaine plus influente qui en parlera :)
Merci
Merci pour votre super travail, toujours aussi clair !
T es mon youtubeur scientifique préféré !
Juste une petite remarque en passant. D'mon temps, les équation du second degré, c'était du programme de première S, pas du collège.
C'est toujours le cas. Perso j'ai appris la résolution des équations du second degré et le discriminant en seconde (il y a bien longtemps), maintenant c'est en 1ère avec spécialité Maths.
J'ai rien pigé mais chapeau Galois !
Je vous invite à poser une question à partir du premier moment de la video ou quelque chose le necessite.
superbe video;en plus cest un sujet que j'etudie en ce moment en autodidacte ;durant cette periode de confinement,faut bien s'occuper hein:)
É bé, t'es motivé...
11:42 J 'ai souris en voyant le point " 2 / sq(2) " séparé de " sq(2) " ;-)
Bien vu :)
Très bon nouvel opus !
Pour ceux qui veulent aller plus loin, une conf de Alain Connes là dessus : ua-cam.com/video/qrpp1Mh8EDo/v-deo.html
Il va me falloir revoir ça une seconde fois ^^
Super travail merci :)
Mickaël Launay a une série sur les structures algèbriques, il parle de groupes de corps et de rubiks cube notamment :
ua-cam.com/play/PLNefH6S6myiMFlgsEIGHb8KZaLKE2eAZQ.html
Et aprés ça, qui peut contester qu'il y a un génie Français.
Décidément, je suis vraiment fan de cette chaîne youtube ! J'ai beaucoup aimé cette manière d'introduire la théorie de Galois. Et je trouve vraiment appréciable de trouver de la bonne vulgarisation sur ce genre de sujets complexes et profonds.
I can’t understand French,but this is recommended to me lol
English subtitles are available but It will be challenging :) (even without having to read subtitles the video is challenging).
@@PasseScience i am math major haha
@@howardcheung8304 So you should accept the challenge :), the second part is a sketch of proof of Galois fondamental theorem.
Voila pourquoi il faut présenter ces travaux correctement :)
C'est pas plutôt Abel qui a prouvé que ça ne marchait pas dans le cas général au delà du degré 5 ? Ce qu'a fait Galois, c'est donner un critère pour que ça marche, puisque ça marche quand même dans certains cas.
Tout à fait théorème Abel-Ruffini, dans la video j'ai ajouté "satisfaisante" ie: "le premier à donner une réponse satisfaisante". :) C'est le premier à avoir vraiment compris la raison structurelle pour laquelle ce n est pas possible et donc du coup comme tu le rappelle fournir un critère.
C'est Quoi les solutions de l'équation x^5-3x+1=0 du coup
Des nombres qui ne peuvent pas s'exprimer avec nos operations et fonctions usuelles +-*/et racine nieme mais necessitent d'autres fonctions. Voir le lien suivant, vous cliquez sur "exact form" dans l'encadré solution et vous allez voir des notations etrange avec des F3 etc... www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5-3x%2B1%3D0 des fonctions de la famille hypergeometric: en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function
Apres gardez bien en tente que pouvoir designer un nombre solution avec une fonction ca ne le rend pas plus existant qu'il ne l'est en lui meme. Ces equations ont des solutions, c'est a dire des nombres precis, et il est possible de ne pas pouvoir les designer autrement que de simplement dire que ce sont les solutions de telles ou telles equations.
@@PasseScience ha d'accord parceque dans les solutions "exactes" je vois des notations comme 1/3 4F3(1/5...)
En effet les solutions ici ne s'écrivent pas comme on a l'habitude au lycée etc.. et du coup le 1/3 3F4(1/5,2/5...) ça peut-être lu ou interpreté comment?
Il y a 0,335 , 1,214 , une négative et deux complexes conjuguées.
question (pas de timing) : Galois, avait-il connaissance des nombres imaginaire?
@@remigaborit2486 Oui, a priori, du vivant de Galois et pendant ses écrits, le concept de nombre complexe était déjà bien établi. Mais je ne suis pas du tout expert de la partie histoire des mathématiques. J'ai juste été googler rapidement.
@@PasseScience Mais du coup, ont pourrait donc avoir
des formules qui utilisent les nombres premiers?
@@remigaborit2486 Pas totalement certain de comprendre cette remarque, peux tu développer ?
@@PasseScience Pourrait on trouver des formules qui utilisent en plus des opérateurs cités, des nombres complexes?
@@remigaborit2486 Ha des formules pour exprimer les racines de polynômes ? en fait on réfléchit déjà sur le corps des complexes (ou une structure équivalente à l'époque) dans la démonstration de Galois. (vous aviez écrit nombres premiers, et la questions d'avant sur les complexes je considérait qu'elle concernait ce qui avait fait par d'autres que Galois) Ce qui changerait quelque chose c'est d'ajouter des types d'opérations possibles.
Si vous voulez sentir la raison fondamentale de l’impossibilité, avec une approche moins puissance que celle de Galois et focalisé sur les polynômes de degré 5 (et que l'anglais ne vous derange pas) je vous suggere cette très bonne video:
ua-cam.com/video/BSHv9Elk1MU/v-deo.html
Bravo ! D'une grande aide pour sentir la portée de cette théorie !
Très bien, merci ! :)
Continue!
merci pour ta vidéo !
après peut-être qu'a partir du degré 5 ont se retrouve avec des racines n-iemes ou des puissance rationnels, mais il doit bien y avoir des formules pour trouver les racines.
Et i est-il considéré comme un opérateur ? Si oui c'est un peu bizarre :/
Hello, dans la video je dis racine mais en fait il est bien question de racine n-ieme. Lorsque ce n'est pas résoluble par radicaux on utilise des fonctions assez étranges.
Si tu rentres l'exemple que je donne dans wolfram alpha et clique sur "exact forms" pour les "real roots" tu vas voir la fonction F_3:
www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5-3x%2B1
qui est une "Appell Hypergeometric Function" c'est defini ici:
mathworld.wolfram.com/AppellHypergeometricFunction.html
Donc tu peux constater que ce ne sont plus des opérateurs triviaux :)
Merci beaucoup!!!
Merci ! Super vidéo, très bien expliquée !