Интеграл от бесконечного произведения
Вставка
- Опубліковано 22 лип 2023
- В этом видео будем находить интеграл от бесконечного произведения дробей. Эта забавная задача позволит использовать сразу несколько разных инструментов: комплексные числа, разложение в ряд, интегрирование по частям и т.п.
здесь получено разложение в бесконечное произведение для синуса: • Бесконечное произведен...
Здесь еще один интеграл от другого бесконечного произведения: • Определенный интеграл ...
В этом плейлисте собраны видео с различными способами нахождения суммы ряда 1/n^2: • Сумма ряда 1/n^2. Базе...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
Впечатлил последний трюк с добавлением суммы. Ловко!
Красивое, подробное решение. Спасибо за видео.
Эстетику получил, спасибо
Красивая задача и потрясающей красоты решение! Получил удовольствие!
Давно хотел выразить вам огромную благодарность за ваши важные, увлекательные и красивые, как с точки зрения содержания, так и с технической стороны, видео! Вы сделали это лето лучшим в моей жизни! Такого духа исследования, такого азарта от математики я не испытывал никогда! Потратить несколько дней или недель из-за небольшого вопроса или идеи, внезапно шёлкнувшей у тебя после вашего ролика в голове посреди ночи - бесценно. Я учусь в десятом классе, и вы можете представить, насколько я проспонсировал производителей тетрадей на 96 листов, строя длинную цепь, последовательно соединяющую мои знания и нечто до того непостижимое, пока смотрел практически каждое ваше видео по несколько раз. Единственное, что расстраивает, дак это то, что некоторые вещи, ввиду своего интеллекта, я понять не могу, и их приходиться постулировать. К примеру, откуда взялся ряд Фурье - загадка для меня. Я могу доказать, что формула работает, но, я думаю объяснять не стоит, что такой подход не даёт никакого представления о природе вещей. Но подобные проблемы постепенно закрываются. Прямо перед выходом этого видео я закрыл главный для себя вопрос: откуда взялась формула коэффициента перехода от прямоугольных ск к другим в виде определителя какой-то непонятной матрицы, свалившейся с Луны. Такого математического приключения без вас бы не было! В общем, буду краток: СПАСИБО!
P.s. у меня ЕГЭ по русскому скоро, а прочитав этот текст, можно оценить мои шансы...
рад, что кого-то мои видео так вдохновляют! :) удачи с ЕГЭ!
Друг, не переживай) С такой мотивацией все нужные тебе знания ты обязательно получишь)
Кто ищет, тот всегда найдёт)
Насчёт ряда фурье могу посоветовать объяснение от 3b1b, мне очень помогло, когда я этим занимался. Насчёт якобиана поищи видео про геометрический смысл якобиана криволинейного преобразования координат. Но чтобы его понять, нужно понимать минимальную базу линейной алгебры
Я тоже начинал интересоваться математикой с роликов на ютубе, узнаю эти эмоции) Успехов тебе!)
Мое уважение. Ты - исключение, а не школота, играющая в Майнкрафт. У тебя все получится. Но чтобы реализовать себя - уже сейчас думай как свалить из России. Мой тебе искренний совет. У тебя слишком мало времени осталось, чтобы найти подходящий западный колледж. И над языком работай, не над русским, а английским. Жаль будет, если такие сильные молодые мозги пропадут в этой тоталитарной системе
@@robertmonroe9728 балбес
Обожаю интересные разложения тригонометрических функций в ряды и беск. произведения)
А одно из самых прикольных, это разложение ln(2sin x) в виде:
Σ[n=1, oo] cos(2nx)/n
Прекрасные видео, это просто русскоязычный Майкл Пенн
Hmath, спасибо за твой контент. Я и не думал, что ещё до поступления в ВУЗ смогу брать даже такие интегралы.
Обожаю ваш контент, узнал много всего нового и просто полюбил математику из-за ваших видео. (P.S очень бы хотелось побольше видео о диффурах)
Поддерживаю. Хотелось бы нелинейных диффур, а для эстетики - в частных производных
Красота, получил эстетическое удовольствие от просмотра! А есть у вас что-нибудь про интегрирование по параметру? В машинном обучении встречаются такие задачи.
Обожал математику в школе и высшую математику в институте. Но после ВУЗа пошел в другую сферу. С удовольствием смотрю такие ролики, некоторые задачи до сих решаю самостоятельно.
А я перед сном решаю или разбираю задачи.)))
Красиво, захватывает.Спасибо.
Красиво и понятно. Как всегда. Спасибо!
Восхитительно... Даже не знаю что более прекрасно: реление или такой лаконичный ответ
This is a very satisfying result indeed. Thank you for sharing.
Ваш канал, как элитный и дорогой ресторан с несколькими мишленовскими звёздами. Как всегда всё со вкусом и дорого 👍
Блестящая работа! Благодарю
only the battery doesn't last for even one hour ,
Очень интересно. С удовольствием подписался и поставил лайк. Кстати, я ваш 9 914-ый подписчик. Удачи и успехов.
Спасибо. Проверил в маткаде))) точно п/4 :)
Как всегда, красота и мощь математики)
как все ласково и приятно )
По поводу сходимости 1/f(x) при комплексном аргументе можно ссылаться на теорему Вейштрасса о целых функциях, тогда честно все посчитав получим гиперболический синус
Смог не смотря догадаться до идентичного решения😄
Слишком много вас смотрю, наверное😅
Колдун однако! 😊
Красиво ❤
А в кпкой программе Вы редактируете математические записи для видео?
формулы в MathType, дальше вставляю и делаю картинки для каждого кадра видео в Photoshop, а дальше из кучи картинок уже собираю ролик в видеоредакторе (я пользуюсь movavi - простенькая прога, быстро можно сделать простую анимацию из картинок) и записываю звук.
@@Hmath тоже им пользуюсь, просто думал, что что-то удобнее имеется в Вашем распоряжении)
Крутое видео! Только почему не обосновал вследствие чего можно переставлять знак суммы и интеграла?
ряды равномерно сходятся
это круто!
Обожаю Чехова!
Здравствуйте, как думаете, можно ли оценить корень уравнения cos(x)=x с помощью ряда, скажем, с точностью до 10 знака? А то я попробовал и в ряды Фурье функции раскладывать и с интегральчиками баловался и т.п, но ничего не получается. Здесь можно обойтись какими-то около стандартными методами или же нужно придумать что-то гениальное?
для численного решения уравнений существует метод Ньютона (по этому названию и можно нагуглить). Где-то всего 5-6 итераций метода дают значение корня с точностью до 19-20 знака. Только при этом как-то нужно "уметь" вычислить значения косинуса и синуса с не меньшей точностью. :)
@@HmathДа, это правда. Но я увидел на mathstackexchange страничку, что-то типо: «Оценить корень без метода Ньютона». С этим сейчас и борюсь)
Можно по теореме Лагранжа об обращении рядов получить ряд обратной функции для f(x) = cos x - x
@@user-nt7cg6ok6f Это не особо сильно поможет в вычислении корня
en.m.wikipedia.org/wiki/Dottie_number
Первое, что вспомнилось...
КРАСИВСК
хотелось бы рассмотрение доказательств формул Рамануджана, было бы интересно
Чем-то этот весь матанализ похож на топологию. Ответ содержится уже в задаче, но задача запутана и чтобы его найти надо дергать за кончики, вязать, переплетать веревочки, чтобы в конце концов все узелки расплелись и веревочка приняла свою наиболее понятную форму. Интересно, какие задачи решают настоящие математики? Есть ли такой канал на ютубе? СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 🙂
Я [censored] ничего не понял! Но очень интересно!
Есть идея для задачи, попробуйте решить: ∞ Σ n=1 = n/³√2n^4+1. Нужно доказать сходимость ряда.
предельный признак сравнения, сравнить с 1/n^(1/3) (если я правильно разобрал, что тут написано). ряд расходится.
www.wolframalpha.com/input?i=sum+n%2F%282n%5E4%2B1%29%5E%281%2F3%29+n+from+1+to+inf
@@Hmath Все верно, я ее решал через интегральный признак Коши, как по мне это самый надежный метод. Спасибо за ответ.
Не доказали равномерную сходимость для изменения порядка суммирования и интегрирования. Даже об обычной сходимости не упоминается. Об этом всегда забывают. Даже сам факт добавления к обеим частям бесконечных сумм нужно было пояснить. К тому же не слишком хорошо говорить, что формулы, верные над полем вещественных чисел, верны и над полем комплексных. Это убеждение иногда может послужить причиной серьезных ошибок. Например, та же формула расстояния скалярного произведения. Комплексный анализ красив, но отличий от вещественного у него достаточно.
P.s. Вы также не уточнили по поводу трюка с переворачиванием бесконечного ряда даже с условием его сходимости.
если уж вы за точность, тогда и точно цитируйте то, что я говорил в видео. Я сказал: "чаще всего те формулы, которые работают с действительными числами, оказываются верны и для комплексных". Я не говорил, что это абсолютно всегда так!
Непонятно, что за трюк с "переворачивание ряда". Я там только бесконечное произведение "переворачивал".
Об "обычной сходимости" упоминается: 3:46
а также: 6:00
и еще: 6:13
Давайте еще сделаем такой челлендж: придумайте тогда такой пример интеграла, чтобы он сам изначально сходился, а после того, как разложили функцию в ряд и потом почленно проинтегрировали получился бы опять сходящийся ряд, но при этом этот ряд в итоге сходился бы к абсолютно другому числу, чем изначальный интеграл.
Я не очень понимаю почему именно в данном случае мы можем поменять порядок интегрирования и суммирования. Объясните пожалуйста. (Не уверен, но вроде здесь мы можем как-то ограничить функцией 2t*e^(-t) или ей подобной...)
Потому что операция интегрирования дистрибьютивно. Это тоже самое как сначала умножаешь потом суммируешь, или суммируешь потом умножаешь.
это если с конечными суммами, а с рядами не совсем так :) поэтому и спрашивают. Но тут "оправдание перестановок" займет больше времени, чем все остальное решение :)
Без обоснования таких неочевидных переходов математика превращается в шаманство. Извините.
необоснованные переходы не привели к неправильному ответу. Вы сильно преувеличиваете значимость "строгости" обоснований, тем более предъявляя их к бесплатному развлекательному контенту на ютьюбе.
Если вы видите, что "нет обоснований", значит у вас достаточно знаний, чтобы прекрасно представлять, что достижение той строгости, которая вам желательна, потребовало бы увеличить длину ролика (и количество работы над ним) в 3 раза и тем самым только уменьшило бы аудиторию.
@@Hmath Вы правы. В этом есть некоторая проблема научпопа. Тогда постараюсь доказать это сам и если получится, выложу обоснование здесь)
Почему поменяли операции интегрирования и суммирования? Где объяснение законности такой перестановочности? Всегда остаётся осадок от того, что опускаются тонкости.
объяснения нет, как вы могли заметить :) такие вот у меня нестрогие решения для инженеров, физиков и химиков: всегда остается осадок ;)
как я понимаю, интегрирование, по сути, есть суммирование, а от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
@@adokenai_me Нет, вы не правильно понимаете.
Интеграл от суммы КОНЕЧНОГО числа слагаемых равен сумме интегралов, это ясно. А вот интеграл от БЕСКОНЕЧНОЙ СУММЫ таким свойством не обладает!
@@user-tv7td9ih5k t*e^(-t(2n+1)) сходится равномерно, а значит можно менять порядок интегрирования и суммирования.
@@perkyfever Вы, наверное, хотели написать, что РЯД сходится равномерно?
Последнюю сумму можно было вычислить, используя теорему о вычетах.
Не всегда
@@mmruvvo94 я говорю конкретно за этот случай.
Махинации
Строго говоря, на 6:16 ошибка, так как предел для q строго меньше единицы, а при пределе интегрирования 0, e^(-2t)=1
а вас не смущает бесконечность на верхней пределе в интеграле?
Или то, что функция t/sh t не определена в нуле, например? :)
В этом случае интеграл понимается в смысле предела (т.е сначала ищем интеграл от a до b, а потом устремляем a к нулю, а b к бесконечности). Тогда 0
Некоторые действия сделаны без доказательства. Бесконечная сумма бесконечномалых не всегда ноль
Чувак, очень интересно.
А что мне даст такой интеграл?? Где я его могу применить??
слишком часто при интегрировании по частям первое слагаемое оказывается равным нулю..
Это с бесконечными такое чаще
Почему, разбирая такие сложные задачи, вы говорите кОмплексные числа?
А как одно с другим может быть связано? И как нужно говорить? :)
@@Hmath дело в том, что правильно говорить не кОмплексные, а комплЕксные
А сложность разбираемых задач говорит о том, что вы профессионал, а от профессионала немного странно слышать такое произношение
а почему вы решили, что "правильно" ударение на Е?
В русском языке уже есть слово "кОмплексный", и так его используют большинство людей. Зачем нужно менять в нем ударение? Какой в этом смысл? В каком еще языке существует два слова "комплексный" с разными ударениями: одно для чисел, другое для всего остального?
КомплЕксный - это пережиток 19 века, моды на французские слова и способ показать свою принадлежность к "касте математиков".
И даже сейчас далеко не все используют "комплЕксный" в отношении чисел. Это скорее какое-то региональное явление. Так что всё это сводится к обсуждению акцентов русского языка и какой из них более "правильный".
@@Hmath Вопрос почему решил, что правильно такое ударение, заставил задуматься)
Наверное, так научили в университете, причем акцентировали на этом внимание. Сейчас почитал в интернете, пишут, что допустимы оба варианта, однако ударение на Е является чем-то вроде профессионализма. Просто мне режет слух, не принимайте близко к сердцу. Ваши видео все равно прекрасны и очень увлекательны!)
я не принимаю :) я сам раньше постоянно говорил "комплЕксные", пока не подумал, что это какое-то странное слово и его происхождение туманно :) Теперь я специально в видео использую оба варианта.
Вот, например, в английском языке:
1) complex approach to a problem
2) complex number
в обоих случаях ударение на первый слог. Нет никакого отдельного ударения для комплексных чисел :)
Во французском языке ударение на второй слог. Опять же в обоих случаях.
Но почему-то в русском пытаются сделать два отдельных слова с разными ударениями.
Крысота! 😀
Слава Украине! Остановить войну!
Адресом ошиблись!🙂