Интегралы Френеля через контурный интеграл в комплексной плоскости
Вставка
- Опубліковано 22 січ 2022
- В этом видео будем находить известные несобственные интегралы Френеля от cos(x^2) и sin(x^2). Для их нахождения воспользуемся контурным интегралом в комплексной плоскости, вычисление которого неожиданным образом привет к нахождению исходных несобственных интегралов.
видео про гамма-функцию, в котором найден интеграл от e^(-x^2): • Гамма-функция и бета-ф...
также этот интеграл найдет отдельно в этом видео: • Интеграл Эйлера-Пуассо...
В этом плейлисте есть еще другие примеры нахождения определенных и несобственных интегралов с помощью контурных интегралов от функций комплексной переменной: • ТФКП: комплексные числ...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911
Понятное, подробное объяснение. Спасибо за интересное видео.
Высокий класс! Был бы такой учитель лет шестьдесят пять назад, точно стал бы математиком. Вряд ли математика много приобрела бы от этого, но лично я прожил бы интереснее. Полный респект!
Очень красиво! Спасибо за ваши видео, так интересно смотреть их всегда. Продолжайте, пожалуйста!
Хорошее качество и видеоряда, и повествования. Спасибо за творчество.
Изящно и очень красиво! А, главное, без лишней воды!
Браво. Впервые вижу все эти интегралы, но представление получил и меня затянуло. Буду развиваться в этом направлении
заходите еще, будет больше :)
Очень понятно и интересно, спасибо!
Спасибо Вам за видео! Очень интересно и понятно🙇🏼♀️❤️
В одном видео вы радуете как тех, кто предпочитает комплЕксные числа, так и кОмплексные :)
или же огорчаю и те и других :)
Комплексные функции завораживают
Очень интересно получилось, так держать
Очень интересно получилось!
Мега благодарен! Очень круто!!!
Очень познавательно, объяснения понятны, тут много всего нужно знать, спасибо!
рад, что вам нравятся мои видео :)
@@Hmathв12 24__ѳ 12:37
Спасибо большое
Спасибо за ваши видео! Расскажите как-нибудь про эллиптические функции Якоби, после видео про эллипс с эллиптическим интегралом очень хочется узнать про вывод их свойств и применение))
это уже очень специфическая тема и там в коротких роликах ничего не рассказать, я думаю. А делать ролики на несколько часов, которые посмотрит потом 1.5 человека нет желания :) весь этот труд на ютьюбе ни кем ведь не оплачивается :)
кстати, на русском вот есть канал, где рассказывал автор про эллиптические функции: ua-cam.com/channels/m9ENftqo0CAPDG2bVQfhAA.htmlvideos
у него там видео больше, чем на час получилось, и посмотрели его менее 500раз за год.
Спасибо большое!
Для меня очень сложно, но интересно😊
Спасибо!
Спасибо!
Замечательное решение!
Есть только один единственный вопрос
Почему мы выбираем именно такой контур OAB?
У этого есть конкретные причины, или это так просто сверху спущено?
тут принцип как и у любой замены в интеграле: если получается найти, значит так и нужно делать :)
здесь функция e^(ix^2) в интеграле, а интеграл от e^(-x^2) знаем, вот и нужно придумать такой контур, чтобы от e^(ix^2) прийти к e^(-x^2)
Замечательный ролик, а в какой программе вы делаете такие презентации и насколько это удобно монтировать?
все отдельно делаю: сначала слайды на весь ролик - 80-200 картинок в фотошопе (формулы отдельно набираю и вставляю), потом это все монтирую в видеоредакторе и записываю звук (я примитивным пользуюсь, но привык уже, советовать не буду :)) времени много уходит ~1 час работы на 1 минуту готового видео.
@@Hmath понял, спасибо за ответ!
@@Hmath прям по Маяковскому 😊.
Очень интересно! Спасибо большое. Только есть небольшой вопрос: с чем связан выбор контура интегрирования, не могу для себя это никак уяснить? Или же можно выбирать любой произвольный замкнутый контур?
конечно, контур, как и функция, не могут быть любыми и выбираются так, чтобы в результате вычисления они:
1) привели к исходному интегралу (здесь интеграл по отрезку ОА равен исходному интегралу),
2) интеграл по контуру в итоге можно было легко вычислить.
Здесь в плейлисте есть различные примеры:
ua-cam.com/play/PLK_CvALNo5MfgQb1MJ5RFJLgkb0WhmSP8.html
каждый раз, это индивидуальный процесс. Как, в общем-то, и с любой заменой в интегралах
@@Hmath спасибо большое!)
Здравствуйте Алексей, не могли бы вы подсказать мне учебник по интегральному и диф.исчеслению ,но только хороший (на ваш взгляд ).
На вкус и цвет все фломастеры разные :)
Фихтенгольц Г.М (3 тома), Курант Р. (2 тома), Смирнов В.И. (тут вообще 7 книг с кучей разделов)
О, ну это пока ещё слишком глубоко для меня. Я только начал ангем изучать, какие ещё комплексные числа с интегралами
Это из раздела математического анализа))
Эти интегралы мне встретились при нахождении интеграла порядка ½ от синуса.
Там получалось нечто вроде
2/√π * S[0, +oo) sin (x - t²)dt =
2/√π * ½ * √(π/2) * (sin x - cos x) = sin(x - π/4)
У вас случайно нет видео про дифференцирование и интегрирование дробного порядка?
нет
Равенство двух искомых интегралов очевидно, причем на любом интервале, кратном 2π. Или не совсем очевидно. Вроде x*x=2πk подходит.
Мне кажется, что интеграл в правом верхнем углу видео, который вы искали, можно было найти гораздо проще. Числитель и знаменатель показателя у e домножим на i. Сделаем замену и напишем гауссов интеграл(который вы в конце использовали). Выделим реальную часть и всё, ответ.
тут уже в комментарии ниже это же предлагали и я там отвечал.
фактические вы делаете замену и получаете в интеграле не действительную, а комплексную переменную и хотите к нему применить результат полученный для интеграла с действительной переменной. Этот интеграл, кстати, получится не просто от 0 до бесконечности, а будет как раз контурный интеграл по наклонному лучу на комплексной плоскости. И он получается равен интегралу по действительной оси как раз по той причине, что интеграл по вертикальному участку контура стремиться к нулю.
В общем-то об этом и есть всё видео :) я его просто еще раз пересказываю фактически.
Т.е в вашем способе просто по умолчанию подразумевается, что интеграл по вертикальному отрезку стремиться к нулю, а это не всегда так :) Видимо уже нужно будет как-нибудь сделать видео, в котором как раз продемонстрировать это факт :)
@@Hmath понял, спасибо. Я просто ещё не слишком знаком с функциями от комплексных переменных, школьник все-таки)
Это может быть часть курсовой на мат факе
интересно, кстати, что если такой интеграл решать другим способом: свести к реальной/мнимой части экспоненты(например, cosx^2=Re(e^(-i*x^2)) , и затем вычислять через первообразную, то если корень из мнимой единицы определить как (1+i)/sqrt2, ответ(используем Пуассоновский интенрал) получается тот же. но это уже замена, сопряженная с... многозначной функцией, корнем, потому что выбери я (-1+i)/sqrt2, ответ был бы с другим знаком. я выбирал, уже зная ответ, а вот было бы интересно узнать, как с такими заменами все таки работают по-честному. хотя вы, возможно, можете даже не быть в курсе, не знаю, насколько это глубокая и нужная тема.
посмотрите внимательно на этот способ: это на самом деле то же самое, что я и рассказываю в видео :) при замене вы получите фактически контурный интеграл (т.к переменная - комплексное число) по такой же наклонной прямой, как у меня было в видео и вы приравниваете его к интегралу по действительной оси, а это как раз возможно при условии, что интеграл по куску кривой, соединяющей горизонтальную прямую и наклонную равен нулю (в моем случае это интеграл по вертикальному отрезку, но можно и по дуге окружности сделать - в этом случае только сложнее доказать). С этим и будет связан тот факт, что вы при замене в итоге взяли корень (1+i)/sqrt2.
Как лучше объяснить здесь в комментариях, я не знаю :)
Можно объяснение про нахождение z в контуре ВО? Почему он равен (i + 1)*t? Откуда вообще это t?
Мне казалось, что z находится как координаты точек х и у, но тогда для ВО координаты не постоянны… и вот тут непонятно, откуда возникло t
точка 0: x=0, y=0 => z=x+iy=0
в точке B: x=a, y=a => z=a+ai=(1+i)*a
ну вот теперь если z=(1+i)*t, тогда при t=0 получится как раз z=0, а при t=a получится z=(1+i)*a
а при других t из отрезка [0,a] получатся все остальные точки на отрезке OB
и если что, вместо переменной t можно и любую другую букву написать, если хочется :)
@@Hmath, ох, точно, спасибо) теперь понятно
А если бы там угол был не пи/4, а например пи/3 или пи/6, то z задавался бы уже двумя параметрами? Например, в точке 0 z = 0, в точке В z = a + i*b
Непонятен конец. Почему мнимая и действительная части равны? Мы же умножаем корень из пи пополам на (1+i)/sqrt(2). В мнимой части так и будет i*().
если z=a+bi, то действительная часть Rez = a, мнимая часть Imz = b. По определению.
А почему когда получился интеграл от фукции e^i(x^2) нельзя было сделать замену t=x*(1+i)/√2 , тогда производная t будет (1+і)/√2 что просто вынести за интеграл , а в степени заранее упростив будет -t^2 , интеграл от фукции (√π)/2 и надо просто помножить на (1+і)/√2 , что будет тем же самым ответом что и в конце видео
я уже здесь же отвечал на такой же вопрос ниже в комментарии.
Класс! А зачем ставить огонь 🔥 на ответы)
не во всех видео 🔥, только в некоторых, где ответ огненный :)
Ролик хороший, интересный, только где в жизни мы эти знания можем применить?
универсальный комментарий, можно его оставлять под любым видео на ютьюбе!
Это вам нужно такой раздел физики ,как оптика изучить, тогда вопросов не будет ,где это знание может пригодиться
Вот вам и гамма функция
Ну начало видел не совсем правдиво, если говорить про интеграл Лебега, то изменение подинтегральной функции на множестве меры ноль вообще не меняет интеграл)
тяжело вам будет смотреть видосики с моими постоянными упрощениями :)
тут бы сходимость доказать...