Интеграл 1/(1+x^2)^2. 5 способов решения.
Вставка
- Опубліковано 21 гру 2019
- Из этого видео вы узнаете, как найти несобственный интеграл от рациональной дроби 1/(1+x^2)^2 от 0 до бесконечности пятью абсолютно разными способами. Возможно, это расширит ваши знания о методах интегрирования. Будут использованы:
- метод интегрирования по частям
- обратная замена с использованием свойств интеграла
- тригонометрическая замена
- вычеты функции комплексной переменной и контурное интегрирование
- интегрирование по параметру под знаком интеграла
Здесь можно посмотреть подробный разбор на простом примере нахождение несобственного интеграла с помощью вычетов: • Несобственный интеграл...
Для тех, кто хочет пересмотреть какой-то конкретный способ решения:
0:15 1 часть: метод интегрирования по частям;
5:41 2 часть: замена t=1/x и использованием свойств интеграла;
9:40 3 часть: тригонометрическая замена;
13:46 4 часть: при помощи вычетов функции комплексной переменной;
20:17 5 часть: интегрирование по параметру под знаком интеграла
От души
Наверное это самый лучший математический канал на ютубе. Захватывает! Спасибо!
настоящий обучающий контент. трудов вложено очень много, вполне можно для магистрантов на занятиях вместо лекции включать
рад, что вам нравится! :)
Полезное, учебное видео. Спасибо за качественную лекцию.
В будущих роликах стал говорить бодрее, молодец
5-ый способ(Фейнмановский, как его называют в англоязычных ютубах) самый весёлый, но найти красивую параметрическую замену - это отдельное искусство... Если её не знаешь, то перебрать можно много чего странного... Ни разу в жизни не видел, чтобы его применяли на практике.
Да, фейнмановским он называется потому, что стал известным в массах благодаря биографической книжке "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!" Хотя, понятно, что им пользовались уже несколько веков до Фейнмана. Для этого интеграла такой способ, конечно, чисто ради фана, потому что другие проще. Но есть много других интегралов, где таким способом быстрее решить. Дойду и до таких интегралов, надеюсь :)
Браво, это было реально круто
Респект! Очень классное видео!
Завтра пересдача по комплану! За весь семестр было информации меньше, чем в ваших видеороликах. Был интересен конкретно 4 способ, но и остальные полезны. Спасибо, подписка готова!
Ух.... Спасибо , кайфонуллллл
Прекрасно!
В третьем примере получить ответ можно проще, если заметить, что интеграл от квадрата косинуса равен интегралу от квадрата синуса.
И два способа о которых я подумал (1ый - через бета-функцию Эйлера, 2ой -- через замену на шинус), их тут нет)))
Очевидно, самый лёгкий способ третий. Однако, какой же Шелдон умный :)
Еще один способ прокатывает: Остроградского. В данном конкретном случае некоторые другие, может, и проще, зато Остроградский универсален, если в знаменателе неприводимый кв.трехчлен в степени
Не мог не заметить, что много труда вложено в видео, это похвально 👍 отсюда вопрос: какова ваша цель, чтобы делать подобного рода контент? Потому что он точно не для широкой аудитории, значит и профита с него мало, к сожалению...
Конечно, не для "широкой аудитории", но, если посмотреть, например, подобные видео на английском - они спокойно набирают по 100тыс просмотров :) Может и в России аудитория со временем появится: математика не потеряет своей актуальности и через 100 лет ;)
@@Hmath Тогда на английском нужно дублировать ролики.
я всё думаю над этим, но на английском ОЧЕНЬ высокая конкуренция. Там просто тысячи делают, зато, конечно, и аудитория в 100 раз больше.
@@Hmath Я думаю, что главное - выбрать свою цель (монетизация, популярность, реклама услуг репетиторства и т.п.) и к ней планомерно идти, тогда никакие "волки в лесу ютуба" не страшны.
Тут ведь как: не каждый, кто идет к "своей цели", в итоге до нее доходит, поэтому главное не цель, а приключения, которые ждут на пути к ней, хохохо :) Welcome VOLKI :)
Смотрел и попутно возник вопрос: вот третий способ решения, замену то мы делаем, но по идее t должно быть в пределах pi*k
pi*k
Здравствуйте, а в способе с ФКП мы берем вычеты в верхней полуплоскости потому что начальный интеграл от 0 до inf или по определению интеграла в комплексной плоскости через вычеты?
подробно о том, как от несобственных интегралов такого вида можно перейти к контурному интегралу в комплексной плоскости и вычислить его с помощью вычетов, я рассказывал на более простом примере (ссылка есть выше, в описании). Здесь это можно проделать аналогичном образом, поэтому здесь просто сразу воспользовался формулой, полученной там.
Понравился, конечно, последний способ из-за трюка Фейнмана... 😉
там, кстати, проще можно было сделать последним способом. Как-нибудь потом выпущу еще одно видео с более общим интегралом :)
@@Hmath Супер! ☺👍
Будет интересно...
Вы графический планшет используете?
да, если мышкой по столу водить - коряво совсем получится :)
Хороший монтаж фильма
Здравствуйте! А полюс может быть дробного порядка, или это исключительно целое число?
полюс целого порядка, еще и положительного :) по определению.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%81_(%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7)
А из этих методов только интегрирование по частям входит в 1 курс матанализа? Остальные это более старшие курсы, или нет?
еще замена переменной.
Подобного рода интеграл решал только там а знаменателе (3+х^2)^2 и решил его как вы думаете ? Долго думал и решил подстановкой x= sqrt(3)×tg(t) ;)
4 способ решения весьма сложный, но что такое вычеты?
объекты из комплексного анализа
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B5%D1%82_(%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7)
где вы учились и какова ваша специализация?
в обычном российском вузе, а это имеет значение?
@@Hmath Конечно имеет! По такому ролику можно подумать, что во ВГИК'е. 😂😂😂
хаха :)
А через эйлеровы интегралы?
да еще несколько других способов можно придумать :) но и так много получилось.
Вы бакалавриат заканчивали?)
а может я доктор физ.-мат. наук, ха-ха? :) в интернетах эти табели о рангах не имеют значения: любой может приписать себе всё что угодно, любое звание.
не понял. А гиперболическая замена где?
не вошла в эти 5 способов :) не очень понравились преобразования, и не стал включать.
4-ый
самый умный
8:22 а так можно делать? 🤨 Я имею ввиду заменять только часть выражения, а вторую оставлять как есть?
если вы про то, что заменить t-> х обратно, то, конечно, можно. Когда заменяем сначала x=1/t, мы меняем пределы интегрирования и по сути как бы получаем отдельный интеграл. И в нем дальше мы можем делать другие замены: могли бы потом заменить, например, t=u^2 или там t=sin(a) и т.п. Но каждый раз при замене переменной, нужно менять и пределы интегрирования, соответственно. Если поменять t=x обратно, то пределы останутся такими же: 0 и 1.
!