Найдем интеграл через дифференциальное уравнение!
Вставка
- Опубліковано 11 чер 2022
- В этом видео будем находить несобственный интеграл от cos(x)*sin(x)/(x*(1+x^2)), используя для этого дифференциальное уравнение.
В этом видео найден интеграл от sin(a*x)/x: • Интеграл Дирихле: sin x/x
Здесь найден интеграл от cos(x)/(1+x^2) через вычеты: • Несобственный интеграл...
Здесь рассмотрен алгоритм решения однородных линейных диф. уравнений с постоянными коэффициентами: • Однородное линейное ди...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911
Смотрел как детектив: все действующие лица прописаны, обстоятельства и мотивы указаны, порядок их взаимодействия известен. В финале, мисс Марпл называет имя.
Оригинальный подход. Красивое решение. Большое спасибо за полезное видео.
Диффурщики оценят. Автор - большой молодец!
Красивая задача и изящное решение. Как всегда - браво автору!
Здорово, очень четко и красиво. Успехов и всяческого благополучия.
Замечательно!
Как всегда великолепно!!!
Оригинальный подход. У меня сразу возникло желание найти все интегралы школьными методами))
Спасибо!
Круто! Оригинально! Даже не знаешь чем это все закончится! А ответ получается изящным и более общим!!! Слава производным!
спасибо за оригинальное решение!
Спосибо, интересно
Не математик, химик, но красиво, красиво
Трансформацией Лапласа тоже довольно интересно выходит:
L{y} = π/2 × 1/(s(s+1))
y = π/2 × (1 - e^(-t))
да, до преобразования Лапласа, надеюсь, когда-нибудь дойду :)
Спасибо за видео. Есть информация о сумме ряда 1/n^n?
есть. она равна интегралу :)
ua-cam.com/video/CQZkqyNAq8o/v-deo.html
Интересный метод, впервые вижу. А есть какой-то способ углядывать подобные трюки в других интегралах? Интуитивно кажется, что множество таких функций не очень большое
мне кажется, только опытным путем можно понять где подходит, а где нет :)
Можно было остановиться на первой производной по t - там получается интеграл Лапласа с косинусом, который мы уже знаем
А можно было через вычеты пойти, тоже бы вышло
Никогда не понимал, почему в интегралах, сожержащих тригонометрию, выплывает экспонента. С появлением π я ещё смирился. Почти смирился😊 а с е... Еще нет. Чудеса сплошные!
А это функция где-то используется(физика, например)? Обычно такие функции с нестандартным решением являются важными.
Да примерно такие интегралы в оптике постоянно вылезают
А вопрос можно? Точку 0,0 обойти сверху по окружности (интеграл по ней стремится к нулю при уменьшении радиуса) а дальше простой вычет первого порядка, не ?
прикреплена в описании ссылка на видео, где использовался такой метод. Здесь рассмотрен другой. Ну а так, если не доказывать, что интегралы по дуге стремятся к нулю, то тоже быстро. А если доказывать, то уже нет :)
Решение красивое, но всё-таки для перестановки производной и интеграла нужно показать равномерную сходимость интеграла, а то это далеко не всегда может сработать. Автор конечно обратил внимание, что делал это нестрого, но доказать можно было, не выглядит как что-то слишком сложное
Улыбнуло при переходе к диффуру)
Неопределенный интеграл можно найти таким способом?
нет. Но если можно найти от функции неопределенный интеграл, то и мудрить ничего не нужно :)
А когда можно применять трюк Феймана? Когда я пытался найти им интеграл Дирехле на всей прямой, ничего не находилось.
Какие именно условия для его использования?
по крайней мере интеграл должен сходиться (и после дифференцирования тоже). А так почитайте подробнее в книгах по мат. анализу.
например:
Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления (т. 2), стр. 712
Смирнов В.И. - Курс высшей математики (том II) стр. 252
Где вы такие задачи берёте?
Есть справочники интегралов :)
а как так после дифференцирования интеграл расходится? ну то-есть, если трижды возьмем производную итоговой функции, мы что, получим конечное значение для расходящегося интеграла? я так понимаю нет. так в чем прикол?
если возьмем 3ую производную, полученный интеграл будет расходится, для него не должно получится конечного значения. Не в любом случае можно переставлять дифференцирование по параметру и интеграл. Если был сходящийся интеграл, а после дифференцирования - расходящийся, значит очевидно нельзя было так делать :)
По хорошему, есть критерии, которые гарантируют, что можно дифференцировать и их нужно проверять, я это опустил :)
@@Hmath это я понимаю да. но меня смутило что раз функция итоговая выражается через значение интеграла (между интегралом и функцией можно равенство установить) то беря производную от самой функции, мы должны в теории получить и значение интеграла, что и происходит для первых двух производных. но вот на третьей это уже не работает вдруг
@@Hmath или тут как с рядами, типо значения совпадают только в некоторой области, а тут до 3 производной?
да, совпадает. пока интеграл сходится. С рядами так же ведь: можно их дифференцировать почленно, но не всегда. В какой-то момент может получится расходящийся ряд. Т.е равенство справедливо, пока сходится ряд (или тут интеграл)
@@Hmath спасибо за ответ!!
Какой смысл в этих решениях если всё это делает компьютер за пару секунд
можно написать еще более универсальный комментарий: "какой смысл делать то, что вы делаете, если кто-то другой (здесь можете вставить: человек, машина, компьютер) это сделает лучше?"
обязательно пишите подобный комментарий на любом канале и под любым видео!
Компьютер за пару секунд аналитически вычисляет такой интеграл? Компьютер может вычислить аналитически интеграл, под интегральная функция которого не имеет первообразной?
www.wolframalpha.com/input?i=integral+cos%28x%29*sin%28x%29%2F%28x*%28x%5E2%2B1%29%29+from+0+to+inf
вообще, конечно, может. Но видео не о том, кто и что может быстрее :)
@@Hmath этот результат проверять как? Я использую вольфрам как раз для проверки. Сам же часто сталкиваюсь с тем, что матлаб, например, тупо не верно проводит численное интегрирование. Все математические алгоритмы приходится реализовывать вручную. Особенно доставляют блоки преобразование кватернионов/поворотов в симулинке, поэтому реализовал всё самостоятельно.
А какой смысл вам писать этот комментарий, если есть тысячи комментаторов, которые пишут значительно быстрее и толковее? Какой смысл в популярных видео искать принципиально новые интегралы, место которым в научных статьях? Зачем в школе учат классической механике вместо того, чтобы сразу обсуждать открытые вопросы теории относительности? И главный вопрос: где логика?:)