Как ни странно, в уме эмпирически ИМЕННО ЭТУ задачу решил за 5 секунд. Вспомнился анекдот: Маленький мальчик спрашивает у папы :"папа, а как пишется цифра восемь? " Очень просто, сынок, как бесконечность, повернутая на пи пополам"
В тему Вашего анекдота. Например "как записать знакопеременный ряд, где чётные члены положительны, а нечётные - отрицательны?": - как запишет программист: (1 - (int)((n & 0x01)
@@malkhazberezhiani981 математика - точная наука, именно поэтому нельзя так сказать: "видно, что они не встретятся". Я понимаю твою логику и сам бы хотел так доказывать, но такое док-во не примут
Не то что видно, а иллюстрируются графиками известные свойства степенной и линейной функций. Давно доказанные. Монотонное возрастание степенной функции и ее производной. И зачем вламываться в открытые двери и после единственным способом решения назвать подбор.
Валерий, Вам виднее, как излагать решение, но со стороны кажется проще сразу указать пару очевидных корней, а уже потом поставить вопрос, нет ли других. Тогда логика поиска станет понятной. А так неискушенному зрителю предлагается с неясной целью вертеть какую-то функцию чтобы потом закончить дело вполне прозаически...
Дело в том, что и указать сначала пару корней, а потом предполагать что эта пара единственная - такое же неочевидное начало решения. Да, мы найдем какие-то корни, но с чего мы должны решить, что больше нет? Показав такой вид решения, мы натолкнем неискушенных на неверный путь решения. Ведь тогда они будут сначала тратить время на нахождение каких-то решений, а потом пробовать обосновать их единственность, что не всегда разумно. Поэтому изначально идут от анализа функции. «А давайте посмотрим, что это вообще за функция».
@@brinza888 Он же сказал в начале, что можно просто нарисовать графики этих функций. Очевидно, что точек пересечения при построении будет две, причём такие, что мы можем назвать их по графику и для точной проверки подставить. Этот метод для неискушённых зрителей самый нормальный и не заставляющий вскипать мозги от этих производных. Всё честно)
@@Мопс_001 не очень хорошо. По графику вы обоснуете что их две, но две как минимум. Никто не гарантирует отсутствие других. А вот анализ функций да. В этом же вся суть решения уравнений. Вы находите решения, но еще нужно доказать что других нет (или совсем нет).
@@Мопс_001 "Просто нарисовать"!!! Даже в школе мы доказывали только для линейной функции, что любая точка на прямой линии принадлежит этой функции. Уже для X² в учебнике, увы, ограничились неким рисунком графика это функции, не утруждая себя доказательством того, что любая точка этого графика принадлежит функции X². А учился по учебнику Кочетков и Кочеткова... Или в Ваших учебниках было таки доказательство того, что любая точка на нарисованном графике принадлежит функции 2^х ?
@@brinza888 Если бы графическое решение было неверным и никогда не гарантировало правильности, его бы не применяли в школах в качестве нормального метода (и без доп. анализа). По крайней мере в той школе, где я учился, большего от графического метода не требовали.
Вторая производная положительна, тогда первая монотонна, тогда у функции не более 1 точки смены монотонности, а значит - не более 2 корней. Корни 1 и 2. Профит.
Валерий, раз на канале довольно часто попадаются такие уравнения, то можете записать видео о функции Ламберта. И как с помощью этой функции решаются подобные задачи. И решите уравнение x^2=2^x
Для того, чтобы использовать W-функцию Ламберта, нужно изучить отдельный сложный раздел математического анализа: ТФКП (теорию функций комплексного переменного), этот предмет студенты университетов проходят на 3 курсе.
@@NikolayZverev-r5b нет конечно, ничего такого на самом деле знать не требуется, тем более что-то там про комплексные переменные)) Для того, чтобы получить аналитическое решение такого уравнения, достаточно знать, что W(x) это [многозначная] функция, обратная к x*exp(x) Получаем: 2x=2^x x*2^(-x)=1/2 x*exp(-x*ln(2)) =1/2 -x*ln(2)*exp(-x*ln(2)) =-ln(2)/2 -x*ln(2)=W(-ln(2)/2) x=-W(-ln(2)/2)/ln(2) Всё. Но для абитуриента это совершенно бесполезно :D
@@Кирилл-е1н2о поставил например 3 и не выходит равенство, поставил 4 тоже не выходит. Отрицательные числа тем более не подойдут. 0 тоже. Только 1 и 2! И всё! Никакой головной боли с логарифмом от логарифма с логарифмическим логарифмом от натурального логарифма буквы "ё"!
@@Артьомдругартем из интереса. А в чём вы собственно не согласны с автором комментария? Он не утверждает что корня два. Он лишь утверждает что их не больше двух. И это значит лишь то, что их может быть либо 2 либо 1 либо 0.
@@penguinpenguin-zm2mr ПРЕЖДЕ,ПРЕЖДЕ,чем подбирать корни,НЕОБХОДИМО убедиться,что они есть(а не в том,что их не более двух).А для этого НЕОБХОДИМО получить значение функции в точке минимума. Я разжевываю то,что и так должно быть понятно. Ибо если оно больше 0,то и подбирать корни,которых нет,бессмысленно.
@@Артьомдругартем замечу, что уравнение решалось подбором. И то, какие два корня данное конкретное уравнение имеет -- было известно сразу. От сюда, собственно и обеспокоенность автора видео на предмет того, могут ли быть корни помимо этих. Все эти танцы с производной автор использовал для доказательства факта того, что корней не более двух. И он это очень чётко обозначил. А не того, что они вообще есть. Автор комментария замечает, факта того, что показательная функция выпуклая уже достаточно для того, что бы сделать вывод о том, что корней не может быть больше двух. Я не спорю с тем, что искать корни, которых нет, имеет мало смысла. И, в общем случае, и правда желательно узнавать количество корней.
Уже писали, но всё таки - название неточное. Именно такие уравнения можно решать использую W функция Ламберта. 2^x = 2x ln(2^x) = ln(2x) x*ln(2) = ln(2x) ln(2)/2 = (1/2x)*ln(2x) exp(-ln(2x))*-(-ln(2x)) = ln(2)/2, t=-ln(2x) exp(t)*t = -ln(2)/2 По определению ф-и Ламберта: t = W(-ln(2)/2). По св-ву W-функции имеем два действ. корня [*]: t1 = W0(-ln(2)/2) и t2 = W-1(-ln(2)/2). По св-ву W0: t1 = -ln(2). t2 ≈ -1.3863. Обратная замена: x1 = exp(-t1)/2 = 2/2 = 1 x2 = exp(-t2)/2 ≈ 2. Непосредственной подстановкой проверяем значение точно 2 - оно подходит, с учётом [*] x2 =2. Ответ: 1; 2. Конечно оговорка про элементарные функции верна. Но такие обратные функции, как арк-функции или корень просто взяли и включили в понятие элементарные просто по определению (ведь они сами через конечное число арифметических действий не выражаются). В этом смысле W функция Ламберта ничем не хуже.
Можно было графически показать, что прямая 2x пересекается с показательной функцией 2^x в двух точках Или методом перебора заметить, что значения функций слева от решений и справа слишком расходятся => поиск решений там не имеет смысла
Стоит заметить что любая прямая с показательной функцией может пересекаться не более 2 раз. А если мы подбором нашли эти 2 значения - зачем вообще производную брать??? В самом начале видео же сказал что только 2 значения. Что доказывал не понятно? Видео не о чем. В доказательстве нужно написать что могут быть не более 2 корней и подбором их нашли. 3 корней не может быть. Вот и все, это ответ. А нахождение производной не доказывает что не может быть 3 корней или бесконечно корней.
Первое что пришло в голову - -1, но оно не подошло, а вот 1 - подошла: 2^1 = 2*1, когда сказали что 2 варианта решения - то решил попробовать 2, и 2^2 = 2*2, и никакой аналитики, только удача и логика
Любая самая простая практика требует самой сложной теории! Очевидно сразу, что х=1 или х=2, но нужно же это доказать! За что люблю этот канал, так это за умение автора ну так запутать и усложнить, что любо-дорого посмотреть. Тем более мне, гуманитарию, который половину не понял, половину не вспомнил, но духом Высокой Математики таки проникся!
Валерий, здравствуйте. А показав на графике пересечение функций, можно считать это подтверждением правильности найденных корней и способом их нахождения? Понятно, что мы не можем точно определить места пересечения графически, и то, что корней только два. Но всё же. А ещё я поискал, и нашёл, что, вроде бы как, есть способ нахождения корней при помощи W-функции Ламберта. Я вообще не понимаю, как это работает, но, вроде бы, таким образом корни тоже находятся. Так, всё-таки, способ подбора правильно считать единственным верным?
Потому что умножая на ноль, мы приходим к единственному решению, а деля на ноль мы не приходим ни к единственному ни к периодическому решению. Деля на ноль ответ-неопределенность (задача не имеет конкретного решения).
Задание конечно постое, но решение интересное. Но народ, как Штирлиц говорил, запомнил начало и конец. Дело не в подборе а в том как производная иногда помогает решать уравнения.
А на кой фиг вообще именно в этом применять густой лес производных?) Всё равно так и так подбор, так не проще ли доказать всё через графики? Понимаю, чисто учебный пример, но тогда можно было бы найти и получше, где по крайней мере доказать единственность корней с помощью графика не было бы во сто крат проще
Если взять другоечисло например 3 в степени х=3х Х=1. 1 вариант, как с любым числом, короче формула следующая: если n в степени х= nx, то х=1, исключение если n=2, то уравнение имеет 2 корня. Как в данном случае 2 в степени х=2х,то х=1, х=2. Както так вот
Если ударяться в аналитику, тогда надо помимо нахождения знаков на промежутках монотонности исследовать функцию на асимптоты, доказав, что их нет, и оценить значение функции в точке минимума, показав, что оно меньше 0. И тогда уже на основании того, что асимптоты отсутствуют, функция является убывающе-возрастающей, а значение функции в точке минимума меньше нуля, можно делать вывод, что функция имеет не не более 2 корней, а ровно 2 корня.
@@maksimborisov4998 могут быть горизонтальные асимптоты. Например, показательная функция непрерывна на R и стремится к 0 при Х стремящемся к -бесконечности, т.е. Х = 0 - асимптота.
Доказав, что существует не более двух корней, я сразу заметил и подставил 1 и 2. Всё, решено методом быстрой подстановки в данном конкретном случае. Не факт, конечно, что такая смекалка поможет в других подобных уравнениях, но в данном частном случае сработало мгновенно.
Доки ви будете морочити людям голову своєю похідною? Графік функції y=2^x має напрям опуклості вниз (без другої похідної це легко доводиться за нерівністю Коші). Тому пряма може перетинати його щонайбільше у двох точках. Їх абсциси х=1 та х=2 - шукані корені. Якщо вже щось розказуєте, то робіть це раціонально.
@@Ivan-Matematyk Графический метод - не есть строгий метод доказательства количества точек пересечения графиков. Например: графики функции которые будут не пересекаться, но линии будут проходить на очень малом расстоянии друг от друга. Поэтому графический метод интересен для прикидок "где копать", но для строгого доказательства нужен именно аналитический метод. Который - с оговорками на школьный уровень - есть в одном варианте показанном в ролике.
@@pavelusenko25 Я не казав, що графічний метод є строгим без аналітичного обгрунтування. Але у конкретному випадку перетинів графіків скрізь опуклої (вгнутої) функції та прямої більше двох точок перетину бути не може, що випливає безпосередньо з одного з можливих означень опуклості. У цьому ж прикладі така опуклість зразу випливає з нерівності Коші. То чому б цим не скористатися? Якщо б замість 2х був квадратний тричлен, тоді я з Вами погодився би.
@@pavelusenko25 Та й то для параболи вітками вниз ми теж отримали би не більше двох коренів. (Аналог перетину графіків функцій різної опуклості з відповідною властивістю графіків функцій різної монотонності).
Текст внизу экрана Ютуб вставляет автоматически, я на это повлиять не могу, если Вы будете смотреть видео с другого источника (компьютер, планшет, телевизор Smart TV), то текста там скорее всего не будет.
Такое ощущение, что большинство комментариев написаны людьми, которые в математике плохо разбираются, но почему-то считают, что разбираются в ней очень хорошо.
Конечно оговорка про элементарные функции верна. Но такие обратные функции, как арк-функции или корень просто взяли и включили в понятие элементарные просто по определению (ведь они сами через конечное число арифметических действий не выражаются). В этом смысле W функция Ламберта ничем не хуже.
Второй способ нужен как показательный пример с одной стороны - и показать, что эти две функции пересекаются, что вообще не факт, т.е. решения может и не быть
Я решил с помощью W-функции Ламберта (функция задаётся уравнением W(xe^x)=x): 2^x=2x 2^x*2^(-x)=2x*2^(-x) 1=2x*e^(-x*ln2) 1/2=x*e^(-x*ln2) -ln2/2=(-x*ln2)e^(-x*ln2) W(-ln2/2)=W((-x*ln2)e^(-x*ln2)) W(-ln2/2)=-x*ln2 x=-W(-ln2/2)/ln2 И действительно, если посчитать на калькуляторе, то на основной ветви функции Ламберта решение принимает значение 1, а на дополнительной - 2, + ещё бесконечность комплексных решений
Графическим методом нашел не только количество корней но и сами корни. Так что автор неправ про "единственный" способ. Производные и т.п. идут в пень.😂 про подбор вообще проорал. Автор, что с тобой не так?
В конце видео сказано "единственный аналитический в элементарных функциях", а в начале был (хоть и не до конца) графический, который, к стати, всегда требует проверки найденных корней - по сути, тот же подбор, только "с прицелом". Что с кем не так?
Хотел поставить лайк, хотя почти ничего не понял- логарифмы и производные вот как уже лет пятнадцать не считаю, но как сказал автор--ставьте лайки, кто все понял.))) так что я пока не готов)
Это видео звучит примерно так: "Вот простой путь, но простым путём мы не пойдём)"
Деиствитльно зачем усложнять ,
Это чтобы научиться работать с логарифмами.
Нормальные герои всегда идут в обход...
А какой простой путь доказать, что корня только 2?
@@rendalf256 соответственно ты можешь их найти подбором, думаю увидеть там 1 и 2 нет проблем
Обожаю метод подбора, щёлкаю с помощью него такие уравнения на раз два :D
Ахахахахах
На раз, два, три, четыре...
@@user-tm4oy8je7j очевидно - 1
@@8nhuman8 3^(-1)=-3? Не кажется странным ваш ответ
@@folcrams2993 не кажется, т.к. я написал, что корень - 1. Это тире
Как ни странно, в уме эмпирически ИМЕННО ЭТУ задачу решил за 5 секунд. Вспомнился анекдот:
Маленький мальчик спрашивает у папы :"папа, а как пишется цифра восемь? "
Очень просто, сынок, как бесконечность, повернутая на пи пополам"
В тему Вашего анекдота. Например "как записать знакопеременный ряд, где чётные члены положительны, а нечётные - отрицательны?":
- как запишет программист: (1 - (int)((n & 0x01)
Как теорема виета и дискриминант. Хотя иногда нужно найти дискриминант
Точнее - на ±π/2 + πn, n є Z
Причём тут пи пополам
Рисуя графики функций сразу и наткнемся на ответ 1 и 2
И сразу видно, как они расходятся и более не встретятся. А чудило не верит и желает доказать методом производных.
@@malkhazberezhiani981 математика - точная наука, именно поэтому нельзя так сказать: "видно, что они не встретятся". Я понимаю твою логику и сам бы хотел так доказывать, но такое док-во не примут
А ещё на 4,и какой то корень между 0 и - 1
Извиняюсь перепутал с 2^x=x^2
Не то что видно, а иллюстрируются графиками известные свойства степенной и линейной функций. Давно доказанные. Монотонное возрастание степенной функции и ее производной. И зачем вламываться в открытые двери и после единственным способом решения назвать подбор.
Валерий, Вам виднее, как излагать решение, но со стороны кажется проще сразу указать пару очевидных корней, а уже потом поставить вопрос, нет ли других. Тогда логика поиска станет понятной. А так неискушенному зрителю предлагается с неясной целью вертеть какую-то функцию чтобы потом закончить дело вполне прозаически...
Дело в том, что и указать сначала пару корней, а потом предполагать что эта пара единственная - такое же неочевидное начало решения. Да, мы найдем какие-то корни, но с чего мы должны решить, что больше нет?
Показав такой вид решения, мы натолкнем неискушенных на неверный путь решения. Ведь тогда они будут сначала тратить время на нахождение каких-то решений, а потом пробовать обосновать их единственность, что не всегда разумно.
Поэтому изначально идут от анализа функции. «А давайте посмотрим, что это вообще за функция».
@@brinza888 Он же сказал в начале, что можно просто нарисовать графики этих функций. Очевидно, что точек пересечения при построении будет две, причём такие, что мы можем назвать их по графику и для точной проверки подставить. Этот метод для неискушённых зрителей самый нормальный и не заставляющий вскипать мозги от этих производных. Всё честно)
@@Мопс_001 не очень хорошо. По графику вы обоснуете что их две, но две как минимум. Никто не гарантирует отсутствие других. А вот анализ функций да. В этом же вся суть решения уравнений. Вы находите решения, но еще нужно доказать что других нет (или совсем нет).
@@Мопс_001 "Просто нарисовать"!!! Даже в школе мы доказывали только для линейной функции, что любая точка на прямой линии принадлежит этой функции. Уже для X² в учебнике, увы, ограничились неким рисунком графика это функции, не утруждая себя доказательством того, что любая точка этого графика принадлежит функции X². А учился по учебнику Кочетков и Кочеткова... Или в Ваших учебниках было таки доказательство того, что любая точка на нарисованном графике принадлежит функции 2^х ?
@@brinza888 Если бы графическое решение было неверным и никогда не гарантировало правильности, его бы не применяли в школах в качестве нормального метода (и без доп. анализа).
По крайней мере в той школе, где я учился, большего от графического метода не требовали.
То чувство, когда за 5 секунд, как только взглянул на уравнение, догадался до ответа 1 и 2
ну, ты же можешь по графику сделать
@Horus :D ну, так и есть)
Я тоже, только меня переклинило и я подумал, что решений нет, так как их больше одного.
@Horus :D так решил ведь за 5 секунд, значит с математикой не так у тебя плохо. Просто тут лишнего много.
Люблю простые пути,зачем усложнять.Лучшее решение графическое.Ответ виден сразу.Зачем мудрить?!
ой нет, как доказывать графически будете??
Я сразу подбором решил, 1 и 2 подходят. Но доказательство интересное!👍
Хорошее обоснование что решений только два. Спасибо.
Но и по рис. легко видно, что 2 корня (в учебнике так и писали). Не нужно усложнять решение. В этом смысле он неправ.
Вторая производная положительна, тогда первая монотонна, тогда у функции не более 1 точки смены монотонности, а значит - не более 2 корней. Корни 1 и 2. Профит.
Как человек с помощью мыши так красиво пишет.
Там не мышь. Там че-то другое. Короче от руки он пишет как ручкой, на планшете.
@@fiello76 стилусом? Ну возможно)
В жизни не часто встречается, однако вспомнить методы решения таких уравнений интересно
Перепугался, когда начало кончаться место на доске :)
В самом начале рисуют пересекающиеся в двух точках две функции, по которым видно, что они больше никогда на пресекутся.
Тут сразу видно очевидное решение без лишних формул.
Спасибо за понятное решение! Обожаю ваши ролики
Валерий, раз на канале довольно часто попадаются такие уравнения, то можете записать видео о функции Ламберта. И как с помощью этой функции решаются подобные задачи. И решите уравнение x^2=2^x
Для того, чтобы использовать W-функцию Ламберта, нужно изучить отдельный сложный раздел математического анализа: ТФКП (теорию функций комплексного переменного), этот предмет студенты университетов проходят на 3 курсе.
@@ValeryVolkov эх жаль. А как насчёт замечательных точек геометрических фигур. Или "особенных" фигур: окружность 9 точек, 6 точек и ТД?
@@NikolayZverev-r5b нет конечно, ничего такого на самом деле знать не требуется, тем более что-то там про комплексные переменные))
Для того, чтобы получить аналитическое решение такого уравнения, достаточно знать, что W(x) это [многозначная] функция, обратная к x*exp(x)
Получаем:
2x=2^x
x*2^(-x)=1/2
x*exp(-x*ln(2)) =1/2
-x*ln(2)*exp(-x*ln(2)) =-ln(2)/2
-x*ln(2)=W(-ln(2)/2)
x=-W(-ln(2)/2)/ln(2)
Всё.
Но для абитуриента это совершенно бесполезно :D
@@KirillBon гений, а теперь найди значение
В математике не супер силен, но почему метод, который показан в видео - единственный? И почему не подходит графический метод?
ну очевидно же что корни 1 и 2, зачем весь этот геморой? я понимаю если бы уравнение более сложным было
Чтобы доказать, что кроме 1 и 2 других корней нет.
@@Кирилл-е1н2о это можно доказать графически
@@youngfenrir на этом и было основано доказательство, в самом начале рисовали графики
@@youngfenrir графически нельзя доказывать
@@Кирилл-е1н2о поставил например 3 и не выходит равенство, поставил 4 тоже не выходит. Отрицательные числа тем более не подойдут. 0 тоже. Только 1 и 2! И всё! Никакой головной боли с логарифмом от логарифма с логарифмическим логарифмом от натурального логарифма буквы "ё"!
Вот, вначале вынесем мозги, а потом методом подбора раз и два
крут! 6 минут доказывал, что решается только методом подбора, (хотя доказал, что только два корня еще в самом начале, но да ладно)
Я в 5 классе, и мне удобно здесь сделать так:
x = 1
или
x = 2
Молодец
То, что корней не более двух, следует из выпуклости функции 2^x. Два корня находятся подбором, привет:)
Выпуклости функции недостаточно.
Она может быть выпуклой,но не пересекать прямую.
@@Артьомдругартем из интереса. А в чём вы собственно не согласны с автором комментария? Он не утверждает что корня два. Он лишь утверждает что их не больше двух. И это значит лишь то, что их может быть либо 2 либо 1 либо 0.
@@penguinpenguin-zm2mr ПРЕЖДЕ,ПРЕЖДЕ,чем подбирать корни,НЕОБХОДИМО убедиться,что они есть(а не в том,что их не более двух).А для этого НЕОБХОДИМО получить значение функции в точке минимума.
Я разжевываю то,что и так должно быть понятно.
Ибо если оно больше 0,то и подбирать корни,которых нет,бессмысленно.
@@Артьомдругартем замечу, что уравнение решалось подбором. И то, какие два корня данное конкретное уравнение имеет -- было известно сразу. От сюда, собственно и обеспокоенность автора видео на предмет того, могут ли быть корни помимо этих. Все эти танцы с производной автор использовал для доказательства факта того, что корней не более двух. И он это очень чётко обозначил. А не того, что они вообще есть.
Автор комментария замечает, факта того, что показательная функция выпуклая уже достаточно для того, что бы сделать вывод о том, что корней не может быть больше двух.
Я не спорю с тем, что искать корни, которых нет, имеет мало смысла.
И, в общем случае, и правда желательно узнавать количество корней.
Уже писали, но всё таки - название неточное. Именно такие уравнения можно решать использую W функция Ламберта.
2^x = 2x
ln(2^x) = ln(2x)
x*ln(2) = ln(2x)
ln(2)/2 = (1/2x)*ln(2x)
exp(-ln(2x))*-(-ln(2x)) = ln(2)/2, t=-ln(2x)
exp(t)*t = -ln(2)/2
По определению ф-и Ламберта: t = W(-ln(2)/2).
По св-ву W-функции имеем два действ. корня [*]:
t1 = W0(-ln(2)/2) и t2 = W-1(-ln(2)/2).
По св-ву W0: t1 = -ln(2).
t2 ≈ -1.3863.
Обратная замена:
x1 = exp(-t1)/2 = 2/2 = 1
x2 = exp(-t2)/2 ≈ 2. Непосредственной подстановкой проверяем значение точно 2 - оно подходит, с учётом [*] x2 =2.
Ответ: 1; 2.
Конечно оговорка про элементарные функции верна. Но такие обратные функции, как арк-функции или корень просто взяли и включили в понятие элементарные просто по определению (ведь они сами через конечное число арифметических действий не выражаются). В этом смысле W функция Ламберта ничем не хуже.
-Эй пс , ты можешь решить это уровнение
- я могу круче : докажу , что способ решения единственный и решу
После мудрых умозаключений приходим к простому подбору, которое видно сразу после построения графиков.
Можно было графически показать, что прямая 2x пересекается с показательной функцией 2^x в двух точках
Или методом перебора заметить, что значения функций слева от решений и справа слишком расходятся => поиск решений там не имеет смысла
абсолютно верно.
Второй метод подбора для решения не совсем подходит, так как доказать ваше "расхождение" можно только как раз той самой производной
Графически можно приблизительно решить. Или подбором
Метод подбора является строгим математическим решением? Или только если доказать количество корней заранее?
Нет такого метода!Есть просто подбор корней.Конечно,это нельзя считать строгим решением.
Здразтвуйте, вы сможите сказать как называется этот доска или какая программа, я тоже записиваю видео запись ...
Здорово, хорошо когда есть возможность вспомнить забытое.
Шесть минут логических рассуждений и пришли к выводу что уравнение решается методом подбора. Но методом подбора его сразу можно решить за 4 сек.
Как всегда супер!
Я просто построил график 2^х и 2*х посмотрел на точки пересечения ,увидел ,что больше графики не пересекутся и все
+1 На графиках идеально видно эти 2 точки.
а как найти не подбором?
Спасибо за видео.
А в комплексных числах?
Нужно сравнить 2Х и Х+2 что больше ? Или они равны ?
Стоит заметить что любая прямая с показательной функцией может пересекаться не более 2 раз. А если мы подбором нашли эти 2 значения - зачем вообще производную брать??? В самом начале видео же сказал что только 2 значения. Что доказывал не понятно? Видео не о чем.
В доказательстве нужно написать что могут быть не более 2 корней и подбором их нашли. 3 корней не может быть. Вот и все, это ответ. А нахождение производной не доказывает что не может быть 3 корней или бесконечно корней.
А сможешь доказать, что любая прямая с показательной функцией имеет не более 2 точек пересечения?
почему если точка экстремума оказалась точкой минимума , то будет не больше 2 пересесения с ОХ
Почему функция определена на всей числовой оси? Левая часть всегда положительная, значит Х должен быть больше нуля.
Функция у=2^х-2х действительно определена на всей числовой оси. Другое дело, что среди х
LOL
какая еще левая часть у функции? Буква f что ли?
Не следует путать ОДЗ и просто наши логические рассуждения. При любых значениях Х уравнение имеет смысл
Первое что пришло в голову - -1, но оно не подошло, а вот 1 - подошла: 2^1 = 2*1, когда сказали что 2 варианта решения - то решил попробовать 2, и 2^2 = 2*2, и никакой аналитики, только удача и логика
А уравнение типа а^x=вx тоже решать подбором?)
Любая самая простая практика требует самой сложной теории!
Очевидно сразу, что х=1 или х=2, но нужно же это доказать!
За что люблю этот канал, так это за умение автора ну так запутать и усложнить, что любо-дорого посмотреть. Тем более мне, гуманитарию, который половину не понял, половину не вспомнил, но духом Высокой Математики таки проникся!
Да, прав был учитель. Любую идею можно довести до безумной или преподнести как решение какой-нибудь хрени!
Почти идеально, к тому же - красиво. Сами придумали?
Валерий, здравствуйте. А показав на графике пересечение функций, можно считать это подтверждением правильности найденных корней и способом их нахождения? Понятно, что мы не можем точно определить места пересечения графически, и то, что корней только два. Но всё же.
А ещё я поискал, и нашёл, что, вроде бы как, есть способ нахождения корней при помощи W-функции Ламберта. Я вообще не понимаю, как это работает, но, вроде бы, таким образом корни тоже находятся. Так, всё-таки, способ подбора правильно считать единственным верным?
Вот и я говорю, что тут решение только через производную и логарифмы, а Серега Сыроежкин говорит, учительница опять два бала влепила.
И ещё Автор скажите пожалуйста, почему делить на ноль нельзя,а умножать можно.
Потому что умножая на ноль, мы приходим к единственному решению, а деля на ноль мы не приходим ни к единственному ни к периодическому решению. Деля на ноль ответ-неопределенность (задача не имеет конкретного решения).
Аналитически точно нет способов это решить?
Можно но использую особую функцию
Разве через дискриминант не легче ?
Учусь на направлении прикладная математика и информатика, а все равно интересно смотреть такие ролики:)
Задание конечно постое, но решение интересное. Но народ, как Штирлиц говорил, запомнил начало и конец. Дело не в подборе а в том как производная иногда помогает решать уравнения.
А на кой фиг вообще именно в этом применять густой лес производных?)
Всё равно так и так подбор, так не проще ли доказать всё через графики? Понимаю, чисто учебный пример, но тогда можно было бы найти и получше, где по крайней мере доказать единственность корней с помощью графика не было бы во сто крат проще
А что если попробовать применить productlog?
Метод подбора ведь можно называть красивее - метод итераций)
Метод проб - это не тоже самое, что метод итераций. Они дополняют друг друга.
@@Misha-g3b Не проб, а подбора. Итерации по сути это и есть подбор, только так сказать упорядоченный.
у тебя всё подбором?
Если взять другоечисло например 3 в степени х=3х
Х=1. 1 вариант, как с любым числом, короче формула следующая: если
n в степени х= nx, то х=1, исключение если n=2, то уравнение имеет 2 корня. Как в данном случае 2 в степени х=2х,то х=1, х=2. Както так вот
Разве ln2 не loge(2)?
А графическим способом несчитается?
Если ударяться в аналитику, тогда надо помимо нахождения знаков на промежутках монотонности исследовать функцию на асимптоты, доказав, что их нет, и оценить значение функции в точке минимума, показав, что оно меньше 0. И тогда уже на основании того, что асимптоты отсутствуют, функция является убывающе-возрастающей, а значение функции в точке минимума меньше нуля, можно делать вывод, что функция имеет не не более 2 корней, а ровно 2 корня.
Разве могут быть асимптоты, если функция непрерывна на R? А вот оценить значение в точке минимума нужно было.
@@maksimborisov4998 могут быть горизонтальные асимптоты. Например, показательная функция непрерывна на R и стремится к 0 при Х стремящемся к -бесконечности, т.е. Х = 0 - асимптота.
@@АлександрТурмов понял, спасибо
@@АлександрТурмов для данной функции прямая y = - 2x ассимптота, что это даёт?
@@ГеоргийЧащин-ю6я отсутствие горизонтальных асимптот и значение функции
Это нормально что я ничего не понял?
Спасибо !!! Это всё очень интересно и занимательно , но тут , конкретно с этим примером , без пал литры не разобратцо
А метод Ньютона уже устарел?
А о каком методе Ньютона вы пишите? Что это за метод решения?
@Valery Volkov вы доказали, что точки минимума есть, но не доказали что функция в ней меньше нуля
Доказав, что существует не более двух корней, я сразу заметил и подставил 1 и 2. Всё, решено методом быстрой подстановки в данном конкретном случае. Не факт, конечно, что такая смекалка поможет в других подобных уравнениях, но в данном частном случае сработало мгновенно.
Сложные уравнения: существуют
Корень 1: всегда есть
Почему метод подбора 1 и 2 ,
Спасибо, понятно, но я бы ограничилас ь графическим решением, приходилось такое уравнение решать, когда строишь график функции с исследованием
Был заинтересован единственным методом РЕШЕНИЯ, а тут подбор!?
XATAB XATAB Ты ожидаешь знания W-функции Ламберта от школьников и абитуриентов?
@@ЧингизНабиев-э2г Судя по закадровому голосу, человек давно не абитуриент.
@@xatabxatab5503 видео для них, не тупи
@@ЧингизНабиев-э2г а ты то сам сможешь точно посчитать W функция? Чтобы выразить через нее ответ много ума не надо.
@@mathbyautistdimag.9330 Надо Теорию функций комплексных переменных знать, чтоб Ламбертом решать такие задачи. А то 3-курс
Доки ви будете морочити людям голову своєю похідною? Графік функції y=2^x має напрям опуклості вниз (без другої похідної це легко доводиться за нерівністю Коші). Тому пряма може перетинати його щонайбільше у двох точках. Їх абсциси х=1 та х=2 - шукані корені. Якщо вже щось розказуєте, то робіть це раціонально.
Производная - универсальный метод оценки количества корней в подобных задачах.
@@pavelusenko25 Погоджуюся з Вами. Але це не означає, що потрібно стріляти гарматою по воробцях та ще й називати це єдиним способом.
@@Ivan-Matematyk Графический метод - не есть строгий метод доказательства количества точек пересечения графиков. Например: графики функции которые будут не пересекаться, но линии будут проходить на очень малом расстоянии друг от друга.
Поэтому графический метод интересен для прикидок "где копать", но для строгого доказательства нужен именно аналитический метод. Который - с оговорками на школьный уровень - есть в одном варианте показанном в ролике.
@@pavelusenko25 Я не казав, що графічний метод є строгим без аналітичного обгрунтування. Але у конкретному випадку перетинів графіків скрізь опуклої (вгнутої) функції та прямої більше двох точок перетину бути не може, що випливає безпосередньо з одного з можливих означень опуклості. У цьому ж прикладі така опуклість зразу випливає з нерівності Коші. То чому б цим не скористатися? Якщо б замість 2х був квадратний тричлен, тоді я з Вами погодився би.
@@pavelusenko25 Та й то для параболи вітками вниз ми теж отримали би не більше двох коренів. (Аналог перетину графіків функцій різної опуклості з відповідною властивістю графіків функцій різної монотонності).
I believe you can say that a line y=mx+n can have up to 2 common points with y=a^x and it is easy to see that x=1 , x=2 solve it.
график?\
Максимально нерациональным методом пошел
В этом вся математика, решаем методом потбора, а доказывает через логарифмы)
Берите выше! В этом вся прикладная наука!
Текст внизу экрана заслонил очень важную вычислительную часть,а ведь не все успевают и увидеть и услышать
Текст внизу экрана Ютуб вставляет автоматически, я на это повлиять не могу, если Вы будете смотреть видео с другого источника (компьютер, планшет, телевизор Smart TV), то текста там скорее всего не будет.
Вы сказали, что других способов в элементарных функциях нет. А в каких-то других есть?
Почему если точка экстремума это точка минимума то пересечься может только два раза?
Слишком длинное решение,можно было сразу подбором найти корни
Где такие задания могут встретится?
Замечал подобные задания в 19 ЕГЭ Профиль, только вместо одной переменной x стоял y
@@НикитаЮнусов-д5г 19?шутишь?
Валерий Волков, будут ли ещё видео по комплексным числам? Чему равно ноль в степени мнимая единица?
Такое ощущение, что большинство комментариев написаны людьми, которые в математике плохо разбираются, но почему-то считают, что разбираются в ней очень хорошо.
Андрей Яковличев эффект Даннинга-Крюгера никто не отменял)
Все прониклись Вашей гениальностью.
Вы это о себе?
а как получилось 1/ln2 = log(2)e?
логарифм 2 по основанию е обратно пропорционален логарифму е по основанию 2, свойство логарифмов однако
Думал будет Ламберт(
Aastapchik тоже :(
Объясните прикол, пожалуйста.
Рили, объясните. Просто единственный Ламберт, которого я знаю, это тот, который хер моржовый
Гы Гы W-функция Ламберта
@@AlexShake98 Спасибо.
Можно ещё с помощью W-функции Ламберта решить уравнение такого вида
Круто вы нагнули противников метода подбора
Конечно оговорка про элементарные функции верна. Но такие обратные функции, как арк-функции или корень просто взяли и включили в понятие элементарные просто по определению (ведь они сами через конечное число арифметических действий не выражаются). В этом смысле W функция Ламберта ничем не хуже.
Вызовите скорую я сошол с ума:)
Lion King ценю ваш юмор!
Второй способ нужен как показательный пример с одной стороны - и показать, что эти две функции пересекаются, что вообще не факт, т.е. решения может и не быть
Я решил с помощью W-функции Ламберта (функция задаётся уравнением W(xe^x)=x):
2^x=2x
2^x*2^(-x)=2x*2^(-x)
1=2x*e^(-x*ln2)
1/2=x*e^(-x*ln2)
-ln2/2=(-x*ln2)e^(-x*ln2)
W(-ln2/2)=W((-x*ln2)e^(-x*ln2))
W(-ln2/2)=-x*ln2
x=-W(-ln2/2)/ln2
И действительно, если посчитать на калькуляторе, то на основной ветви функции Ламберта решение принимает значение 1, а на дополнительной - 2, + ещё бесконечность комплексных решений
Толково! Спасибо.
графики обеих функций известны наизусть. У экспоненты и прямой не может быть более двух общих точек. Нечего было и производную мучить.
А чем вариант x=1 не хорош?
Он является решением, автор занес его в ответ. В чем проблема?
@@KOPOJLb_King как бы я могу ехать из точки а в точку б но зачем? Можно сделать дополнительную точку в и проехать по пути а->в->б вместо а->б
Графическим методом нашел не только количество корней но и сами корни. Так что автор неправ про "единственный" способ. Производные и т.п. идут в пень.😂 про подбор вообще проорал. Автор, что с тобой не так?
В конце видео сказано "единственный аналитический в элементарных функциях", а в начале был (хоть и не до конца) графический, который, к стати, всегда требует проверки найденных корней - по сути, тот же подбор, только "с прицелом".
Что с кем не так?
n в степени х=nx, то x=1..Исключение при n=2 уравнение имеет 2 корня х=1 и х=n.
Сразу видно,что 1,2,и на графике показываем что всего 2 точке пересечения
Сложный способ решения, более лёгкий способ надо
Вспоминается вычисление площади треугольника через интегралы)
Ууууууу, классно. Я бы на 1 найденном(угаданном) корне бы остановился😂
Хотел поставить лайк, хотя почти ничего не понял- логарифмы и производные вот как уже лет пятнадцать не считаю, но как сказал автор--ставьте лайки, кто все понял.))) так что я пока не готов)
Прямая может пересекать выпуклую кривую не более чем в двух точках. Все.
Так блин . Типо можно графики построить м увидеть , что всего 2 точки пересечения , а там потбор
Сначал Волков сказал «не более двух корней», а потом «не менее двух корней».