2 супер способа для нахождения радиуса окружности
Вставка
- Опубліковано 22 бер 2024
- Звенья ломаной внутри окружности, равные 9, 4 и 3, пересекаются под прямым углом. Найдите радиус окружности.
Мой Дзен: dzen.ru/valeryvolkov
Семейный Дзен: dzen.ru/irinablog
Telegram: t.me/volkov_telegram
Telegram 2: t.me/zhena_muzha_uchit
Группа ВК: volkovvalery
Ютуб: / valeryvolkov
Почта: uroki64@mail.ru
Из теоремы синусов R=a/2sin@, где @ означает угол Альфа. Из подобия треугольников с катетами 9 и 3, красный отрезок делит 4 в отношении 3 и 1. В треугольнике с катетами 9 и 3 гипотенуза √(81+9)=3√10, sin@=3/(3√10)=1/√10, тогда R=5/(2×1/√10)=2,5√10, тот же Ответ. Спасибо за видео.
Интересная задачка. Спасибо большое
Спасибо за интересную задачу!Я нашел другое решение.Надо построить хорды окружности из отрезков 3 и4 ,тк вписанный прямой угол операется на диаметр описанной окружности то концы хорд 9 и отрезка 4 это гипотенуза .Один катет 9 найдем второй.хорда с отрезком 3 паралельна хорде 9,тк перпендикулярны одной и тойже прямой,значит длина❤ этой хорды 3х2+9=15 и она делится точкой пересечения на отр.3 и 12 а значит и другая хорда разделена на отрзеки 4 и 9,следовательно второй катет 13, а квадрат диаметра -250.
Круто. Кто-то провел ломанную с ее отрезками, под прямым углом друг к другу, внутри какой-то окружности. Измерил длину отрезков. И в итоге был найден радиус этой окружности. :)
Первое решение изящнее, проще и понятней.
Я додумался только до второго
Можно по соотношению хорд, 9 передвинуть к 3 и прибавить 3, тогда 12*3=х*4, откуда х=9, по Пифагору 9кв*(4+9)кв : 2=7,9
Да, это самое простое решение, корень из 250, деленный на 2. Тоже сразу допер до него)
Аналитическая геометрия: 9 по оси ординат, тогда прямые y=(-4/3)x + 79/6 y=9/2, точка пересечения (13/2 ;9/2), расстояние до начала координат и есть радиус 5sqrt(10)/2. Школьникам пересекающиеся хорды под прямым углом через катеты 4 и 3, 4x=3*12, прямоугольный треугольник со сторонами 9, 9+4 и гипотенузой 2R.
Площадь треугольника можно проще найти во втором решении. 9 основание, 4 высота.
Благодарю! У меня было несколько иное решение, впрочем очень похожее на ваше 1-ое. Я дорисовал к хорде 9 два отрезка 4 и 3, также как и справа, опустил перпендикуляр к хорде 9, отрезки длины 3 соединил, гипотенузы провёл и рассмотрел 2 прямоугольных треугольника, тоже у меня был х. Ответ совпал с вашим.
Благодарю.
Спасибо, размялся в уме)
Я тоже
Интересно было посмотреть, видео выпало в рекомендациях) Никогда не понимал геометрию, с чего вдруг я должен захотеть что-то куда-то продлить, что-то с чем-то соединить и чего-то там рассмотреть)) Счастье, что это в жизни не понадобилось никак😁
Да, дополнительное построение - штука, не имеющая никаких правил и формул. Она делается либо методом тыка, либо логикой (чаще всего решая с конца).
красиво. спасибо.
я тоже подумал про систему и параллелограмм, но чёт даже поленился попробовать оформить - сдался на старте))
а вот формулу впис \ опис окр всегда забываю( - встречается обычно как раз только в огэ \ егэ \ олимпиадах. в итоге думал мучиться через подобие вместо удобной формулы.
Строим этот же треугольник. По теореме косинусов узнаем угол, по теореме синусов радиус.
сделайте курс по доп.построениям😂
Отрезок равный 4 продолжим до пересечения с окружностью. Получаем прямой угол, который опирается на диагональ. Построим треугольник с гипотенузой равной диагонали, катетами 9 и 4+х. Продолжим отрезок 3 до пересечения с окружностью. Получаем параллельную отрезку 9 прямую, равную 3+9+3. А также две пересекающиеся хорды 4*х = 3*(9+3); х = 9; Из треугольника с гипотенузой равной диагонали по теореме Пифагора находим диагональ ( √ (9^2 +(9+4)^2). откуда радиус = (5√10)/2.
Вводим координатную сетку по 9. Имеем окружность (x-a)^2+(y-b)^2=R^2, на которой известны три разных точки (0;0), (9;0), (12;-4). Отсюда находим радиус, разрешая лёгкую систему из трёх уравнений с тремя неизвестными а, b, R. R>=0.
a^2+b^2=R^2
(a-9)^2+b^2=R^2
(a-12)^2+(b+4)^2=R^2
Откуда, a=9/2; b = -13/2; R=5sqrt(5/2).
Ответ: R=5/2*sqrt(10).
P.S. Фактически из первых двух сходу находится a=9/2. А дальше система нижних двух уравнений после подстановки a идентична системе из 1-ого варианта решения на видео.
Возможно сразу использовать приём нахождения радиуса описанной окружности около равнобокой трапеции: отношение диагонали к синусу противолежащего угла равно 2R. Диагональ равна 4 корня из 10 (по Пифагора), синус угла равен 4/5.
Придумал ещё один способ как равенство сумм площадей попарных треугольников :) там тоже по формуле Герона вычисляются площади четырёх треугольников которые в сумме дают площадь одного и того же четырехугольника :) А вот про площадь описанной окружности вокруг треугольника забыл :)
По теореме косунисов найти 4корней из 10, по теореме синусов - радиус)
Продлим отрезок 3 до прересечения с окружностю =12 , произведения пересекающийся хорд равны , 3*12=4*х , продолжения отрезка 4 =9 , вес отрезок =13 , остается применить Пифагора 9*9+13*13 =250 это диаметр в квадрате !
Как посчитали длину продолжения отрезка 3? (как нашли длину 12?)
@@aliguseinov4836 это ж две параллельные хорды
Красиво! Если продолжить отрезок 3, то получится же равнобедренная трапеция с высотой 4. Первый способ из видео вполне стандартный для трапеции.
@@aliguseinov4836Диаметр перпендикулярный хорде делит ее по полам , то есть вся хорда ( которая на 3) будет 3+9+3.
@@MelnikovValentinСпасибо!
Задача тяжелее, чем я думал, когда впервые её увидел..
Похоже теряю хватку..
Красиво
Видим прямые углы, а что это значит? Это значит что тут максимально просто вводится координатная ось и находятся координаты трех точек на окружности.
Берем уравнение окружности (х-а) ²+ (у-в) ²= R². Подставляем точки, решаем систему, находим R
Я решал без дополнительных построений. Сделал координатную сетку с нулевой точкой в центре окружности, а дальше по уравнению окружности для двух точек:
1) x1^2 +y1^2 = R^2, где x1 = 4.5
2) x2^2 +y2^2 = R^2, где x2 = 7.5 y2 = y1-4
1) (9/2)^2 + y^2 = R^2
2) (15/2)^2 + (y-4)^2 = R^2
А дальше - решение полностью совпадает со способом 1
так саме робив. Далі вичитаємо з рівняння 2 рівняння 1, і отримуємо:
3*12-8*y-16=0
y=6,5
R=(y^2+x^2)^0,5
Круто
Я нашел косинус угла между сторонами 9 и 5, превратил его в синус по основному тождеству тригонометрии и по теореме a/sina=2R нашел радиус, как всегда сделав арифметическую ошибку
Круть!
Первое решение понравилось больше.
3:00 так и знал, что без ̶е̶г̶и̶п̶е̶т̶с̶к̶о̶й̶ ̶ф̶о̶р̶м̶у̶л̶ы̶ ̶П̶и̶к̶а̶ египетского треугольника здесь не обошлось...
Через неделю контрольная по стереометрии, а я в ней полный валенок
Могу предложить третий способ: откладываем кочергу на координатной оси, находим точку пересечения перпендикуляров выходящих из середин двух хорд решая систему уравнений из двух прямых, это будет центр окружности, а дальше по теореме пифагора находим радиус
К описанию неплохо бы решение
Я ещё проще знаю как найти радиус. Взять рулетку и измерить.
@@user-nt1ip4vo9g А если нет рулетки. Что делать будете?
@@galinawesseler1586 А если нет рулетки то мы не можем измерить и стороны отрезанных из круга уголочков. И что тогда будете делать? Или джентельменам верят на слово?
@@user-nt1ip4vo9gне путай задачу и решение.
задачу ставят, значит измерять(вычислять) не требуется
Никогда не понимал, почему в подобных задачах никто не использует импровизированную линейку? Одного отрезка с известной длинной достаточно, чтобы узнать длинну любого другого отрезка в рамках конкретной системы 🙂
Плюс-минус лапоть. Математика - точная наука
Итого получается 7.9
Я решил четвертым способом в уме
S=1/2*9*4
Продлеваем отрезок 3 в другую сторону до пересечения с окружностью, достроив конструкцию до равнобедренной трапеции. Нижнее основание равно 3 + 9 + 3 = 15. В этой трапеции есть треугольник с основанием 15 и высотой 4, около которого описана данная окружность. Две другие стороны находим по теореме Пифагора: они равны √(4² + 3²) = 5 и √(4² + 12²) = 4√10. Площадь треугольника равна S = 15•4/2 = 30. Теперь находим радиус по формуле R = abc/(4S) = 15•5•4√10/30 = 5√10/2.
Магия. Ну нафиг,матан проще геометрии.
Или построить до равнобедренной трапеции основания 9 и 15. Найти синус тупого угла. И теорема синусов.
А. как. эта дурь. поможет мне в работе ? Кому эта дурь помогла ? Хи. Хи